Luận án Nghiên cứu chuyển pha trong mô hình sigma tuyến tính

nghiên cứu chuyển pha trong mô hình sigma tuyến tính luận án tiến sĩ vật lý Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 62.44.01.01 Hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Trần Hữu Phát TS. Nguyễn Tuấn Anh Hà Nội - 2011 Bộ giáo dục và đào tạo Bộ khoa học và công nghệ Viện năng lượng nguyên tử Việt Nam ----------oOo---------- Nguyễn Văn Thụ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả thu được bằng phương pháp nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2011 Tác giả luận án Nguyễn Văn Thụ i Lời cảm ơn Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới GS. TSKH. Trần Hữu Phát - người thày đã luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt thời gian thực hiện luận án này. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Tuấn Anh và TS. Nguyễn Văn Long đã nhiệt tình hướng dẫn tôi trong việc tính số bằng phần mềm Mathe- matica, đồng thời đã cho tôi nhiều ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình tôi thực hiện luận án. Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ Giáo dục và Đào tạo, Việt Năng lượng nguyên tử Việt Nam, Viện khoa học và kỹ thuật hạt nhân và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể hoàn thành luận án. Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ tấm lòng biết ơn tới các thầy cô, bạn bè và những người thân đã động viên và giúp đỡ tôi trong những năm qua. Tôi cũng xin được cảm ơn sự quan tâm của anh chị em ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là Khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi dành thời gian hoàn thành luận án. Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn của mình tới những người thân yêu nhất trong gia đình đã động viên, giúp đỡ và dõi theo từng bước đi của tôi trong nhiều năm qua. Hà Nội, ngày 11 tháng 11 năm 2011 Tác giả luận án Nguyễn Văn Thụ ii Mục lục Trang Trang bìa phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Danh mục các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v mở đầu 1 Chương 1: cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến tính khi không có sự tham gia của quark 8 1.1. Mô hình sigma tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Cấu trúc pha khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc 9 1.2.1. Chuyển pha chiral khi thế hóa bằng không . . . . . . 9 1.2.2. Cấu trúc pha ở nhiệt độ và ICP hữu hạn . . . . . . . . 16 1.3. Cấu trúc pha khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.1. Khi àI > mpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3.2. Khi àI < mpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4. Vai trò của cân bằng điện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.1. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc . . . . 45 1.4.2. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc 49 1.5. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chương 2: cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến tính khi có sự tham gia của quark 54 2.1. Thế hiệu dụng trong gần đúng trường trung bình . . . . . . . 54 iii 2.2. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc . . . . . . . 56 2.2.1. Giới hạn chiral ² = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.2. Trong thế giới vật lý ² = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc . . . . 72 2.3.1. Khi àI > mpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3.2. Khi àI < mpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.4. Vai trò của điều kiện trung hòa điện tích . . . . . . . . . . . 84 2.4.1. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc . . . . 88 2.4.2. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc 90 2.5. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Chương 3: Chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn 97 3.1. Chuyển pha chiral khi không tính đến hiệu ứng Casimir . . . 97 3.1.1. Thế hiệu dụng và phương trình khe . . . . . . . . . . 97 3.1.2. Tính số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2. Chuyển pha chiral dưới ảnh hưởng của hiệu ứng Casimir . . . 104 3.2.1. Năng lượng Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.2.2. Tính số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.3. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 kết luận 114 Các công trình liên quan đến luận án . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Phụ lục 124 Danh mục các chữ viết tắt CEP critical endpoint (điểm tới hạn). CJT Cornwall-Jackiw-Tomboulis. HF Hartree-Fock. ICP isospin chemical potential (thế hóa spin đồng vị). IHF improved Hatree-Fock (Hatree-Fock cải tiến). LQCD lattice quantum chromodynamics (mạng sắc động lực học lượng tử). LSM linear sigma model (mô hình sigma tuyến tính). LSMq linear sigma model with constituent quarks (mô hình sigma tuyến tính với sự tham gia của quark). NJL Nambu-Jona-Lasinio. PNJL Polyakov-Nambu-Jona-Lasinio. QCD quantum chromodynamics (sắc động lực học lượng tử). QCP quark chemical potential (thế hóa quark). SB symmetry breaking (sự phá vỡ đối xứng). SD Schwinger-Dyson. TQ twisted quark (quark có cấu trúc trường xoắn). UQ untwisted quark (quark có cấu trúc trường không xoắn). v mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nghiên cứu chuyển pha hiện đang là vấn đề thời sự của vật lý hiện đại. Nó đang được các nhà vật lý quan tâm trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ vũ trụ học đến vật lý hạt nhân. Trong lĩnh vực vũ trụ học, người ta cho rằng đã xảy ra rất nhiều các quá trình chuyển pha ở thời kì đầu khi vũ trụ được hình thành. Chuyển pha của QCD là một trong số những chuyển pha đó. Có hai hiện tượng liên quan đến chuyển pha QCD đó là hiện tượng không giam cầm của các quark và gluon và hiện tượng phục hồi đối xứng chiral. ở giá trị nào đó của nhiệt độ sẽ xảy ra sự chuyển pha từ pha các hadron đến pha quark-gluon plasma. Trạng thái không giam cầm cũng xảy ra khi mật độ đạt giá trị tới hạn, ở đó có sự dịch chuyển pha giữa pha hadron và pha của vật chất quark lạnh. Tại cùng giá trị tới hạn của nhiệt độ và mật độ có thể xảy ra sự chuyển pha không giam cầm và chuyển pha chiral. Sắc động học lượng tử được xem là lý thuyết phù hợp nhất để mô tả vật chất tương tác mạnh. Về mặt nguyên tắc, QCD có thể mô tả tất cả các pha của vật chất tương tác mạnh ở mọi giá trị của nhiệt độ và mật độ. Việc khảo sát cấu trúc pha của QCD sẽ cho ta cái nhìn tổng quát về sự chuyển pha vật chất trong tương tác mạnh. Trong những năm gần đây đã có rất nhiều các công trình nghiên cứu về cấu trúc pha của QCD ở giá trị hữu hạn của nhiệt độ và thế hóa. Các nghiên cứu này đã chỉ ra rằng bài toán cấu trúc pha chỉ có thể giải chính xác trong một số trường hợp giới hạn. Trước tiên, ở nhiệt độ hoặc mật độ đủ cao để đạt đến trạng thái tiệm cận tự do, sao cho tương tác giữa các hạt đủ nhỏ, lúc này ta có thể sử dụng khai triển nhiễu loạn. Trong trường hợp này mô hình hiệu dụng cho QCD được gọi là lý thuyết nhiễu loạn chiral [14, 36, 39, 57]. 2Khi nhiệt độ thấp và mật độ đủ lớn các nghiên cứu đã cho thấy rằng QCD ở pha có màu và hương bị khóa, lúc này QCD được mô tả bởi các mô hình như NJL [9, 24, 29, 30], LSM [4, 5, 52], PNJL [1, 43]. Trong số các mô hình này thì LSM là một mô hình tiêu biểu, nó bắt đầu được nghiên cứu từ nhiều thập kỷ trước đây. Đây là một mô hình rất phù hợp để nghiên cứu các hiện tượng liên quan đến tương tác mạnh ở nhiệt độ thấp, bao gồm cả đối xứng chiral. Tuy nhiên các nghiên cứu theo LSM cho đến nay vẫn chưa đầy đủ, đặc biệt khi tính đến ICP và QCP. Chính vì lý do này mà chúng tôi chọn đề tài "Nghiên cứu chuyển pha trong mô hình sigma tuyến tính" làm vấn đề nghiên cứu của luận án này. 2. Lịch sử vấn đề Mô hình sigma tuyến tính được đề cập lần đầu tiên trong công trình nghiên cứu của M. Gell-Mann và M. Levy [25] khi nghiên cứu đối xứng chiral trong QCD. Từ đó đến nay LSM luôn thu hút được sự quan tâm của các nhà vật lý. Mô hình này được coi là lý thuyết hiệu dụng để nghiên cứu sự ngưng tụ trong chất hạt nhân. Sau [25], nghiên cứu đáng kể về LSM phải kể đến công trình của D. K. Campell, R. F. Dashen và J. T. Manassah [18]. Trong công trình này các tác giả đã khảo sát chi tiết cấu trúc năng lượng của hệ với hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng: số hạng phá vỡ đối xứng dạng chính tắc (standard case) hay còn gọi là phá vỡ đối xứng dạng cos θ và số hạng phá vỡ đối xứng dạng không chính tắc (non-standard case) hay còn gọi là phá vỡ đối xứng dạng sin2 θ. Tuy nhiên các tính toán ở đây chỉ dừng lại ở gần đúng cây. Bây giờ chúng tôi điểm qua về việc sử dụng LSM ở gần đúng bậc cao trên hai phương diện: hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng và sự tham gia của các quark. 3Trước tiên ta nói đến trường hợp không có sự tham gia của các quark và số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc. Khi không có ICP, các tác giả [38] đã sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT để khảo sát sự phụ thuộc nhiệt độ của khối lượng các pion và hạt sigma theo LSM ở nhiệt độ hữu hạn trong hai gần đúng khác nhau là gần đúng HF và gần đúng khai triển N lớn. Cũng xét cho trường hợp không có ICP, các tác giả [59] khảo sát sự chuyển pha chiral trong LSM theo phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT và đề xuất một phương pháp tái chuẩn hóa mới trong gần đúng HF. Kết quả cho thấy, trong giới hạn chiral chuyển pha là loại một, trong thế giới vật lý thì đối xứng chiral được phục hồi ở nhiệt độ cao. Trường hợp số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc, sau [18], hiện chưa có công trình trình nào khảo sát bài toán này ở gần đúng bậc cao. Bây giờ ta xét đến bài toán cấu trúc pha của vật chất tương tác mạnh với sự tham gia của các quark. Hiện nay nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq mới chỉ dừng lại ở trường hợp không có ICP [52], trong đó bỏ qua khối lượng dòng của quark. Các nghiên cứu về cấu trúc pha của QCD hiện nay chủ yếu tập trung vào mô hình NJL [6] và mô hình PNJL [51]. Nghiên cứu về không-thời gian rút gọn với số chiều không gian được bổ sung thêm (extra dimension) đang thu hút được sự quan tâm lớn của nhiều nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý. Công trình đầu tiên nghiên cứu về vấn đề này thuộc về Kaluza và Klein [54] khi cố gắng thống nhất lực hấp dẫn với các lực khác trong tự nhiên. Từ đó đến nay vấn đề này đã có những bước tiến đáng kể. Trước tiên phải kể đến những thành công trong lý thuyết siêu hấp dẫn, siêu dây và lý thuyết màng [53]. Đặc biệt, thành phần không gian bổ sung đã được mở rộng đến thang năng lượng thấp [3, 48]. Toàn ảnh QCD [50], lý thuyết hạt nhân toàn ảnh [12] và lý thuyết toàn ảnh về siêu dẫn nhiệt độ cao [32] đã hình thành và phát triển với những kết quả rất đáng quan tâm. Bên cạnh đó các nghiên cứu về không-thời gian 4với topo không tầm thường cũng đưa đến những hiệu ứng vật lý mới như hiệu ứng Casimir [15, 46] gây ra bởi cấu trúc chân không của trường lượng tử của không-thời gian rút gọn, lý thuyết về năng lượng tối [22], sự dãn nở vũ trụ [21]. 3. Mục đích nghiên cứu Luận án đặt ra mục đích là nghiên cứu cấu trúc pha của LSM trong hai trường hợp: có và không có sự tham gia của quark. Trong mỗi trường hợp này đều lần lượt khảo sát hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đặt ra mục tiêu nghiên cứu chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn trong trường hợp không có ICP. 4. Đối tượng, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu Đối tượng chúng tôi lựa chọn để nghiên cứu trong luận án này là mô hình sigma tuyến tính mô tả tương tác của các hạt pion, sigma và các quark. Mô hình sigma tuyến tính cũng là đối tượng mà chúng tôi lựa chọn khi nghiên cứu chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn. Trên cơ sở đó, những mục tiêu chính mà chúng tôi đặt ra trong luận án này như sau: • Khảo sát sự khôi phục đối xứng chiral trong mô hình sigma tuyến tính ở ICP bằng không khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc, trong cả giới hạn chiral và thế giới vật lý. • Nghiên cứu chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử trong trường hợp số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc, trong giới hạn chiral và ở ICP hữu hạn. • Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng, sự phục hồi đối xứng và giản đồ pha ở ICP hữu hạn khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc. 5• Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng, sự phục hồi đối xứng và giản đồ pha ở ICP hữu hạn khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc. • Nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq với số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc. • Nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq với số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc. • Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện trung hòa điện tích lên cấu trúc pha của LSM và LSMq. • Nghiên cứu chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn trong LSMq khi bỏ qua và khi có tính đến năng lượng Casimir. 5. Phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ luận án này chúng tôi sử dụng kết hợp phương pháp trường trung bình và tác dụng hiệu dụng. Lý thuyết trường trung bình là một phương pháp được sử dụng khá rộng rãi trong nghiên cứu các vấn đề của vật lý hiện đại, đặc biệt là các bài toán có liên quan đến hiện tượng chuyển pha của vật chất. Đây là một phương pháp tương đối đơn giản nhưng lại có thể cho ta kết quả với độ chính xác chấp nhận được. Chính vì những lý do này mà chúng tôi lựa chọn phương pháp trường trung bình để nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq. Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn là phương pháp rất phù hợp để nghiên cứu sự chuyển pha trong lý thuyết trường lượng tử. Ngoài ra, phương pháp này còn cho phép ta tính toán ở gần đúng cao hơn so với phương pháp trường trung bình. Hơn thế nữa, khi sử dụng phương pháp này chúng tôi muốn vận dụng và tiếp tục phát triển cách tái chuẩn hóa thế hiệu dụng ở gần đúng hai vòng. 66. Đóng góp của luận án Thực hiện luận án này có nhiều ý nghĩa về phương diện khoa học. Bên cạnh những mô hình như mô hình NJL, mô hình LQCD, LSM là một trong những mô hình được sử dụng nhiều trong QCD do những ưu điểm nổi bật của nó. Việc nghiên cứu cấu trúc pha của LSM góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu các quá trình chuyển pha ở thời kỳ đầu của vũ trụ sau vụ nổ lớn, các hiện tượng chuyển pha liên quan đến cấu trúc của vật chất đậm đặc, những tính chất và sự chuyển pha trong chất hạt nhân, sự phá vỡ và phục hồi đối xứng ở nhiệt độ cao hay ở giá trị lớn của thế hóa,... đang là những vấn đề có tính thời sự và rất có ý nghĩa trong vật lý hiện đại. Việc hoàn thành những nhiệm vụ đặt ra trong luận án sẽ là một đóng góp đáng kể vào việc giải quyết những vấn đề có liên quan đến các hiện tượng tới hạn trong vật lý hiện đại. 7. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và phần phụ lục, luận án gồm ba chương: Chương I: Cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến tính khi không có sự tham gia của quark. Trong chương này chúng tôi khảo sát cấu trúc pha của LSM. Trong LSM thì số hạng phá vỡ đối xứng đóng vai trò rất quan trọng. Có hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng: dạng chính tắc và dạng không chính tắc. Các nghiên cứu của chúng tôi trong chương này cho thấy cấu trúc pha trong hai trường hợp này khá khác nhau. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc chúng tôi lần lượt khảo sát cấu trúc pha với ICP bằng không và khi ICP có giá trị hữu hạn. Tương ứng với hai khả năng của ICP, bài toán cấu trúc pha được khảo sát cả hai trường hợp là giới hạn chiral và thế giới vật lý. Bên cạnh đó chúng tôi cũng khảo sát ảnh hưởng của điều kiện trung hòa 7điện tích lên cấu trúc pha của LSM. Chương II: Cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến tính với sự tham gia của quark. Khi có sự tham gia của quark, cấu trúc pha của LSM thay đổi đáng kể. Trong chương này chúng tôi khảo sát cấu trúc pha của LSMq. Hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng được khảo sát chi tiết. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc chúng tôi khảo sát cả hai trường hợp là giới hạn chiral và thế giới vật lý. Điều kiện trung hoà điện tích cũng được tính đến ở cuối chương để khảo sát hệ trong trạng thái cân bằng bền. Chương III: Chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn. Mô hình sigma tuyến tính với sự tham gia của các quark được sử dụng trong chương này để nghiên cứu chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn khi bỏ qua ICP. Các nghiên cứu thực hiện với cả giới hạn chiral và thế giới vật lý. CHƯƠNG 1 cấu trúc pha trong mô hình sigma tuyến tính khi không có sự tham gia của quark Mô hình sigma tuyến tính là mô hình được sử dụng rộng rãi trong QCD. Bài toán cấu trúc pha trong QCD có ý nghĩa rất lớn trong vật lý hiện đại. Trong chương này, sau khi giới thiệu sơ lược về LSM, chúng tôi khảo sát bài toán về cấu trúc pha trong mô hình này cho các trường hợp khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng. 1.1. Mô hình sigma tuyến tính Trong LSM, hệ được mô tả bởi Lagrangian LLSM = LMS + L(i)SB − V, LMS = 1 2 [ (∂ασ) 2 + (∂α~pi) 2 + 2iàI(pi1∂0pi2 − pi2∂0pi1) ] , V = m2 2 (σ2 + ~pi2)− à 2 I 2 (pi21 + pi 2 2) + λ2 4 (σ2 + ~pi2)2, (1.1) trong đó α = x1, x2, x3, x0, ~pi = (pi1, pi2, pi3), àI là ICP. Theo các tác giả [18] có hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng L(1)SB = −²mpif 2piσ, (1.2) với ² = 0, 1 và L(2)SB = m2pi 2 ~pi2. (1.3) Nếu số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (1.2) ta gọi đây là trường hợp chính tắc (standard). Trong trường trường hợp này m2 = 3m2pi −m2σ 2 < 0, λ2 = m2σ −m2pi 2f 2pi > 0, (1.4) trong đó mpi và mσ là khối lượng của các hạt pion và hạt sigma, fpi là hằng số phân rã pion. 9Trường hợp số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (1.3) ta gọi đây là trường hợp không chính tắc (non-standard). Khi đó các hệ số trong biểu thức thế năng tương tác có dạng m2 = −m 2 σ 2 < 0, λ2 = m2σ 2f 2pi > 0. (1.5) 1.2. Cấu trúc pha khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc Lagrangian của hệ có dạng LLSM = LMS + L(1)SB − V, (1.6) với các hệ số tương tác được xác định như ở (1.4). Ta sẽ lần lượt khảo sát cấu trúc pha trong trường hợp ICP bằng không và ICP hữu hạn. 1.2.1. Chuyển pha chiral khi thế hóa bằng không Khi ICP bằng không lại có thể xảy ra hai khả năng khác nhau. Bây giờ ta sẽ lần lượt xét hai trường hợp này. 1.2.1.1. Giới hạn chiral ² = 0 Trong trường hợp này chúng ta đã biết trạng thái cơ bản của hệ là 〈σ〉 = u, 〈pii〉 = 0. Trong gần đúng cây (tree-level), u được tìm từ điều kiện cực tiểu của thế tương tác ( m2 + λ2u2 ) u = 0, (1.7) và do đó u = ± √ −m 2 λ2 , khi u 6= 0. 10 Chúng ta tiến hành phép dịch chuyển σ → u+ σ, pii → pii. (1.8) Thay (1.8) vào (1.6) và thực hiện một vài phép biến đổi ta sẽ thu được Lagrangian tương tác L int = −λ 2 4 (pi21 + pi 2 2) 2 − λ 2 4 (σ2 + pi23) 2 − λ 2 2 (pi21 + pi 2 2)(σ 2 + pi23) −λ2uσ(u2 + σ2 + pi23)− λ2(pi21 + pi22), (1.9) và các hàm truyền nghịch đảo iD−1pi1 = ω 2 n − k2 −m2 − λ2u2, iD−1pi2 = ω2n − k2 −m2 − λ2u2, iD−1σ = ω 2 n − k2 −m2 − 3λ2u2, iD−1pi3 = ω2n − k2 −m2 − λ2u2.(1.10) Từ (1.7) và (1.10) ta thấy rõ ràng các pion là các boson Goldstone. Dựa vào (1.9) và (1.10) chúng ta có thể tính được thế hiệu dụng CJT trong gần đúng hai vòng (double-bubble) [19]. Gần đúng này được gọi là phép gần đúng HF. Kết quả cho ta V CJTβ (u,G) = m2 2 u2 + λ2 4 u4 + λ2 2 (Ppi2Pσ + Ppi2Ppi3) + 3λ2 4 (P 2σ + P 2 pi3 ), + 1 2 ∫ β { lnG−1pi1 (k) + lnG −1 pi2 (k) + lnG−1σ (k) + lnG −1 pi3 (k) +D−1pi1 Gpi1 +D −1 pi2 Gpi2 +D −1 σ Gσ +D −1 pi3 Gpi3 − 4 } + 3λ2 4 P 2pi1 + 3λ2 4 P 2pi2 + λ2 2 (Ppi1Ppi2 + Ppi1Pσ + PσPpi3 + Ppi1Ppi3), (1.11) trong đó ∫ β f(k) = 1 β +∞∑ n=−∞ ∫ d3~k (2pi)3 f(ωn, k), ωn = 2pin β , β = 1 T . Pa = ∫ β