Luận văn Dạng khác của định lý đường cong jordan trong không gian tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Hoàng Lâm DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 2( , )w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Hoàng Lâm DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 2( , )w Chuyên ngành : Hình Học và Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục Danh mục các kí hiệu Danh mục các hình vẽ LỜI MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................... 5 1.1. Không gian tôpô ......................................................................................... 5 1.2. So sánh các tôpô ......................................................................................... 6 1.3. Tập mở, tập đóng, lân cận. ......................................................................... 6 1.4. Các loại điểm, phần trong, bao đóng. ........................................................ 8 1.5. Các tiên đề tách ........................................................................................ 10 1.6. Không gian liên thông .............................................................................. 12 1.7. Không gian tôpô thương .......................................................................... 14 Chương 2. TOÁN TỬ ĐÓNG KURATOWSKI – TÔPÔ ALEXANDROFF - TÔPÔ KĨ THUẬT SỐ ............................................................................................ 15 2.1. Toán tử đóng Kuratowski ........................................................................ 15 2.2. Tôpô Alexandroff ..................................................................................... 18 2.3. Lý thuyết về tôpô kĩ thuật số .................................................................... 21 2.4. Một số tôpô trên mặt phẳng 2 ............................................................... 26 Chương 3. DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 2( , )w ............................................................. 31 3.1. Đường cong Jordan, định lý đường cong Jordan ..................................... 31 3.2. Mệnh đề .................................................................................................... 32 3.3. Mệnh đề .................................................................................................... 33 3.4. Định lý ...................................................................................................... 35 3.5. Định lý ...................................................................................................... 37 3.6. Định lý ...................................................................................................... 39 3.7. Định nghĩa ................................................................................................ 40 3.8. Định lý ...................................................................................................... 41 3.9. Định lý ...................................................................................................... 44 3.10. Ví dụ minh họa ....................................................................................... 47 KẾT LUẬN ............................................................................................................ 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 51 Danh mục các kí hiệu  : phép đồng phôi.  : phép lấy tổng. ( )CL X : tập các tập con đóng khác rỗng của X . 4A : 4 – kề ngang. 8A : 8 – kề ngang. 2H : 2 – kề ngang. 2V : 2 – kề dọc. 5D : 5 – kề dưới. 5U : 5 – kề trên. 5L : 5 – kề trái. 5R : 5 – kề phải. 4D : 4 – kề chéo. t : Không gian tôpô Khalimsky. u : Không gian tôpô Macrus. ( )T z : Tam giác cơ bản. Danh mục các hình vẽ Hình 2.1 : Bảng II.................................................................................................16 Hình 2.2 : 4 – kề...................................................................................................17 Hình 2.3 : 8 – kề...................................................................................................17 Hình 2.4 : 4 – đường............................................................................................18 Hình 2.5 : 8 – đường............................................................................................19 Hình 2.6 : Liên thông trong II..............................................................................19 Hình 2.7 : Một phần đồ thị liên thông của tôpô Khalimsky t..............................22 Hình 2.8 : Một phần đồ thị liên thông của tôpô Marcus u...................................23 Hình 2.9 : Một phần đồ thị liên thông của tôpô w...............................................25 Hình 3.1 : Mô hình đường cong Jordan...............................................................27 Hình 3.2 : Sự phân hoạch của không gian tôpô  2,w bởi toàn ánh f ..............29 Hình 3.3 : Sự phân hoạch của không gian tôpô  2,w bởi toàn ánh g ..............32 Hình 3.4 : Sự phân hoạch của không gian tôpô  2,w bởi toàn ánh h ...............34 Hình 3.5 : Mô hình các loại đồ thị.......................................................................37 Hình 3.6 : Mô hình đồ thị vuông - chéo...............................................................37 Hình 3.7 : Mô hình 4 loại tam giác cơ bản...........................................................38 Hình 3.8 : Sự phân hoạch của không gian tôpô  2,w bởi toàn ánh g ..............41 Hình 3.9 : Một phần đồ thị con liên thông của w ................................................41 Hình 3.10 : Ví dụ về dạng khác đường cong Jordan trong không gian  2,w 43 1 LỜI MỞ ĐẦU Đường cong Jordan là một đường liên tục, đơn, đóng. Các bài toán về đường cong Jordan là một đề tài thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Thông thường các bài toán liên quan được mang tên là “Định lý đường cong Jordan”. Định lý đường cong Jordan khẳng định mọi đường cong Jordan chia mặt phẳng thành hai thành phần liên thông nhận đường cong đã cho là biên. Do đó, bất kỳ một đường liên tục nào nối một điểm của miền này với một điểm của miền kia đều phải cắt đường cong Jordan. Một trong những lĩnh vực quan tâm hiện nay của các nhà toán học là các bài toán kinh điển được phát triển như thế nào trong các lĩnh vực khác nhau như tôpô kĩ thuật số chẳng hạn. Tôpô kỹ thuật số nghiên cứu các cấu trúc và tính chất tôpô trong ảnh kỹ thuật số (chủ yếu là ảnh số 2 chiều – 2D ( 2 ), và ảnh số 3 chiều – 3D ( 3 )). Những khái niệm và kết quả của tôpô kĩ thuật số đã giải quyết được nhiều vấn đề thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực xử lí ảnh như tạo ảnh, lưu trữ, thao tác biến đổi và trình bày ảnh. Tôpô kỹ thuật số được nghiên cứu vào cuối những năm 1960 bởi Azriel Rosenfeld. Thuật ngữ "tôpô kỹ thuật số" được ông đưa ra trong bài báo của mình lần đầu tiên năm 1973. Ông đã có những đóng góp quan trọng trong việc xây dựng và phát triển lĩnh vực này. Năm 1989, V. Kovalevsky đã mở rộng tôpô ô lưới do Alexandrov-Hopf xây dựng trước đó vào năm 1935 từ 2D lên 3D và lên không gian có số chiều lớn hơn. Mãi cho đến cuối những năm 80 của thế kỷ trước, để xây dựng cấu trúc tôpô kĩ thuật số trên mặt phẳng người ta đã sử dụng thuật ngữ 4 – kề và 8 – kề ([9], [10]). Tuy nhiên cách xây dựng này có những bất lợi nhất định. Một trong những bất lợi đó là việc 4 – kề và 8 – kề không cho ta sự tương tự về định lý đường cong Jordan trong mặt phẳng kĩ thuật số. Để khắc phục bất lợi này, năm 1980 Khalimsky, Kopperman và Meyer là những người đầu tiên đưa ra cách xây 2 dựng hoàn toàn mới đó là sử dụng tôpô thuần túy để tiếp cận đến bài toán xây dựng cấu trúc tôpô cho mặt phẳng kĩ thuật số 2 ([3]). Từ đó có nhiều thuận lợi hơn cho việc xử lí ảnh. Và cũng trong quá trình xây dựng theo cách này Khalimsky, Kopperman và Meyer đã giới thiệu một không gian tôpô mới có nhiều thuận lợi cho việc xây dựng cấu trúc tôpô kĩ thuật số trên mặt phẳng có tên là không gian tôpô Khalimsky ([2]). Ngày nay không gian tôpô Khalimsky là một trong những khái niệm quan trọng của tôpô kĩ thuật số, nó được nghiên cứu và sử dụng bởi nhiều tác giả ([4], [7]). Trong [13], Josef Slapal tác giả của bài báo này đã giới thiệu và nghiên cứu một tôpô thuận tiện hơn trong mặt phẳng 2 được định nghĩa bởi w . Josef Slapal chỉ ra rằng định lý đường cong Jordan trong không gian tôpô w có nhiều thuận lợi hơn không gian tôpô Khalimsky. Không gian tôpô w sau đó đã được nghiên cứu tỉ mĩ hơn, sâu hơn trong [14] và cũng trong [14] tác giả cũng đã chứng minh tôpô thương của w cho không gian tôpô Khalimsky và Marcus – Wyse [8]. Như vậy một vấn đề đặt ra là liệu rằng trong không gian tôpô w còn có lớp đường cong Jordan nào khác với lớp đường cong Jordan mà Josef Slapal đã chỉ ra trong [13] mà có vẫn có những thuận lợi hơn so với không gian tôpô Khalimsky hay không? Và câu trả lời là có ngoài lớp các đường cong Jordan đã được Josef Slapal chỉ ra trong [13] thì Josef Slapal cũng đã chỉ ra rằng còn có một lớp các đường cong Jordan khác trong không gian tôpô w mà vẫn có những thuận tiện hơn trong không gian tôpô Khalimsky. Nhằm tìm hiểu xem lớp các đường cong Jordan khác này có dạng như thế nào và có những đặc điểm cũng như tính chất gì thuận tiện nên tôi chọn đề tài : “Dạng khác của định lý đường cong Jordan trong không gian tôpô 2( , )w ”. Luận văn được chia làm ba chương. Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 Chương này trình bày sơ lược một số kiến thức cơ bản về tôpô đại cương cùng một số tính chất cơ bản của nó trong đó tính chất liên thông và các tiên đề tách được quan tâm đặc biệt làm nền tảng cho việc nghiên cứu các chương tiếp theo. Chương 2. TOÁN TỬ ĐÓNG KURATOWSKI – TÔPÔ ALEXANDROFF – Chương này trình bày về toán tử đóng Kuratowski, tôpô Alexandroff, tôpô kĩ thuật số trong mặt phẳng 2 , các loại tôpô kĩ thuật số như tôpô Khalimsky, tôpô Marcus – Wyse và đặc biệt là tôpô w cùng một số kết quả đã có để phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau. Chương 3. DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN Chương này trình bày về dấu hiệu nhận dạng lớp các đường cong Jordan khác không gian tôpô 2( , )w . Trong phần kết luận chúng tôi sẽ trình bày một số nhận xét và đưa ra hướng mở rộng cho luận văn. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Trong quá trình học tập và làm luận văn, Thầy đã luôn động viên, giúp đỡ tôi tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại cũng những vấn đề lớn và các bài toán mở để tôi có được một cái nhìn bao quát về vấn đề mình đang nghiên cứu. Chính nhờ sự giúp đỡ và động viên này đã khích lệ tôi rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. 4 Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ông Josef Slapal người đã có những chia sẻ cũng như những góp ý quý báu trong quá trình tôi hoàn thành luận văn này. Và tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất cả các quý Thầy Cô trong tổ bộ môn Hình Học, Khoa Toán – Tin, Ban giám hiệu nhà trường, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin và Phòng Đào Tạo Sau Đại Học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập Cao học. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao Học Hình Học và Tôpô khóa 23 đã động viên, giúp đỡ và góp ý cho tôi rất nhiều trong quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin gừi lời cám ơn chân thành nhất đến gia đình tôi, nơi đã động viên hỗ trợ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi chủ yếu nhắc lại các khái niệm, tính chất căn bản của không gian tôpô. Chương này sẽ là chương làm nền tảng cho việc nghiên cứu về tôpô kĩ thuật số và các loại tôpô kĩ thuật số trên 2 cũng như tôpô w trong hai chương tiếp theo. 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa Cho tập hợp X  . Họ  các tập hợp con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa : (i) , X   (ii) Nếu có một họ   I G      thì I G      (iii) Với mọi 1 2 ,G G  , ta có 1 2 G G  . Tập X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô. Ký hiệu  ,X  . 1.1.2. Ví dụ a) Cho X là tập hợp tùy ý khác rỗng. Họ  , X   là một tôpô trên X .  ,X  được gọi là không gian tôpô thô (hoặc không gian phản rời rạc). b) Họ  |A A X   là một tôpô trên X .  ,X  được gọi là không gian tôpô rời rạc. c) Cho tập hợp X vô hạn. Họ  | \ . hoaëc höûu haïnA X A X A    Khi đó  là một tôpô trên X . Tập hợp X với tôpô này được gọi là tôpô bù hữu hạn. d) Cho X tùy ý, A X . Họ  , ,X A   là một tôpô trên X . 6 Chú ý: Trên một tập hợp X có thể cho nhiều tôpô khác nhau. 1.2. So sánh các tôpô 1.2.1. Định nghĩa Cho 1 2 ,  là hai tôpô trên X . Ta nói 1  là yếu (nhỏ, thô) hơn 2  hay nói cách khác là 2  mạnh (lớn, mịn) hơn 1  nếu 1 2   . Kí hiệu : 1 2   . 1.2.2. Nhận xét (i) Tôpô thô là yếu nhất và tôpô rời rạc là mạnh nhất trong tất cả các tôpô trên cùng một tập hợp X . (ii) Nếu 1 2   và 2 1   thì hai tôpô này là không thể só sánh được với nhau. 1.3. Tập mở, tập đóng, lân cận. 1.3.1. Định nghĩa Cho  ,X  là không gian tôpô. Tập G X được gọi là tập mở trong  ,X  nếu G  . Như vậy ta có: (i)  và X là các tập mở. (ii) Hợp một họ các tập hợp mở là một tập hợp mở (iii) Giao hữu hạn các tập hợp mở là một tập mở. 1.3.2. Định nghĩa Cho A X và V X . V được gọi là một lân cận của tập hợp A nếu tồn tại :G A G V   . Nếu { }A x thì V được gọi là lân cận của điểm x . Nếu V là tập mở thì V được gọi là lân cận mở của A . 1.3.3. Định lý G là tập hợp mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm thuộc G . 7 1.3.4. Định nghĩa Họ tất cả các lân cận của x trong  ,X  được gọi là hệ lân cận của x . Ký hiệu là x  . 1.3.5. Định nghĩa Họ x x  là một cơ sở lân cận của điểm x (hay cơ sở địa phương của không gian X tại điểm x ) nếu V x  , :B B Vxx   . 1.3.6. Định lý Nếu x là họ tất cả các lân cận của x thì : (i) ,V Vx x  . (ii) 1 2 1 2 ,V V V Vx x     . (iii) 1 2 1 2 ,V V V Vx x x       . (iv ) W W, : ,V V yx x y        . Ngược lại nếu với mỗi điểm Xx có họ x  các tập con nào đó của X thỏa các tính chất (i), (ii), (iii), (iv) thì trên X có một tôpô duy nhất nhận họ x  làm hệ lân cận của x . 1.3.7. Nhận xét (i) Hợp các lân cận của x cũng là một lân cận của x . (ii) Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của x . 1.3.8. Định nghĩa F X được gọi là tập đóng nếu \X F  . 1.3.9. Nhận xét (i) F đóng \X F mở. (ii) Giao một họ bất kì các tập đóng là một tập đóng. (iii) Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng. 8 1.4. Các loại điểm, phần trong, bao đóng. 1.4.1. Các loại điểm Cho không gian tôpô  ,X  , Xx và A X . (i) x được gọi là điểm trong A nếu :G G Ax    (tức x nhận A làm lân cận). (ii) x được gọi là điểm ngoài A nếu \:G G X Ax    . (iii) x được gọi là điểm biên của A nếu G V Ax     và  \V X A   . (iii) x là điểm dính của A nếu V V Ax     . (iv) x là điểm giới hạn của A nếu  \V V X Ax     . (v) x là điểm cô lập của A nếu : { }V V A xx    . 1.4.2. Phần trong 1.4.2.1. Định nghĩa Phần trong của A là tập hợp tất cả các điểm trong của tập A . Kí hiệu: int A hay 0A . 1.4.2.2. Định lý Int A là tập mở lớn nhất chứa trong A . 1.4.2.3. Hệ quả (i) : GintA G A { laø taäp môû } (ii) G mở intG A  1.4.2.4. Định lý (i) X Xint ,intA   (ii) ,A B X  , ta có : 9 + int(int ) intA A + Nếu int intA B A B   + int( ) int( ) int( )A B A B   + int( ) intA intBA B   . 1.4.3. Bao đóng 1.4.3.1. Định nghĩa Bao đóng của A là tập đóng nhỏ bé nhất trong X chứa A . Kí hiệu [ ]A hay A . 1.4.3.2. Hệ quả (i) : }A F F A  { ñoùng (ii) A đóng A A  . 1.4.3.3. Định lý (i)   , X X (ii) A A (iii) A B A B   (iv) A B A B   (v) A B A B   1.4.3.4. Định lý Cho không gian tôpô  ,X  , A X , x A khi và chỉ khi x A là điểm dính của tập A . 1.4.3.5. Nhận xét (i) F là tập đóng khi và chỉ khi mọi điểm dính của F đều thuộc F . (ii) 0\ \X A X A ,   0 \ \X A X A . 10 1.5. Các tiên đề tách 1.5.1. 0T - không gian 1.5.1.1. Định nghĩa Không gian tôpô  ,X  gọi là 0 T - không gian nếu hai điểm ,x y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa .x 1.5.1.2. Ví dụ a) Tập {0,1}X  cùng với tôpô  , ,{0}X  là 0 T - không gian. b) Đường thẳng thực với tôpô tự nhiên là 0 T - không gian. c) Không gian tôpô rời rạc là 0 T - không gian. 1.5.2. 1 2 T - không gian Không gian tôpô  ,X  gọi là 1 2 T - không gian nếu mỗi điểm của X là đóng hoặc mở. 1.5.3. 1T - không gian 1.5.3.1. Định nghĩa Không gian tôpô  ,X  gọi là 1T - không gian nếu hai điểm ,x y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa .x 1.5.3.2. Định lý  ,X  là 1T - không gian khi và chỉ khi mỗi tập con gồm một phần tử của X là tập đóng. 11 1.5.4. 2T - không gian (Không gian Hausdorff) 1.5.4.1. Định nghĩa Không gian tôpô  ,X  gọi là 2T - không gian nếu với mỗi cặp điểm bất kỳ khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau. 1.5.4.2. Nhận xét  ,X  là 2T - không gian thì  ,X  là 1T - không gian. Điều ngược lại không đúng. 1.5.5. 3T - không gian 1.5.5.1. Định nghĩa Không gian tôpô  ,X  gọi là 3T - không gian (hay không gian chính qui) nếu X là 1 T - không gian và với mỗi tập con đóng F của X không chứa x luôn tồn tại các con tập con mở U và V sao cho x U , F V sao cho .U V  1.5.5.2. Định lý  ,X  là 3T - không gian khi và chỉ khi ,X Vx   mở chứa x , U mở sao cho U U Vx   . 1.5.6. 4T - không gian 1.5.6.1. Định nghĩa Không gian tôpô  ,X  gọi là 4T - không gian (hay không gian chuẩn tắc) nếu X là 1 T - không gian và với hai tập con đóng bất kì ,A B không giao nhau trong X luôn tồn tại tập U mở chứa A và tập V mở chứa B sao cho .U V  1.5.6.2. Định lý 12  ,X  là 4T - không gian khi và chỉ khi A đóng, G mở, A G , U mở sao cho A U U G   . 1.7. Không gian liên thông 1.7.1. Định nghĩa Không gian tôpô  ,X  được gọi là không gian liên thông nếu và chỉ nếu chỉ có  và X là hai tập vừa đóng vừa mở trong  ,X  . 1.7.2. Nhận xét  ,X  không liên thông nếu tồn tại một tập M khác  và X , M là tập vừa đóng vừa mở. 1.7.3. Các định nghĩa tương đương a)  ,X  liên thông nếu và chỉ nếu A là tập vừa đóng vừa mở thì A  hoặc A X . b)  ,X  liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại hai tập mở 1 2,G G khác rỗng sao cho 1 2 G G X  và 1 2 G G  . 1.7.4. Định nghĩa Cho A X , A được gọi là liên thông nếu A với tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô trên X là không gian liên thông. 1.7.5. Định nghĩa Hai điểm ,x y X được gọi là liên thông nếu tồn tại tập liên thông E trong X sao cho E chứa cả ,x y . 1.7.6. Định nghĩa 13  ( ) :C x A X A x  laø taäp lieân thoâng chöùa được gọi là thành phần liên thông chứa x . 1.7.7. Định lý Tập A là liên