Luận văn Khái niệm diện tích trong dạy - Học toán ở trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Đức Thuận KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH TRONG DẠY - HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Đức Thuận KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH TRONG DẠY - HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Một trong những món quà tuyệt vời mà cuộc sống dành tặng cho mỗi chúng ta là khó khăn, thử thách, là cơ hội để vươn lên, trưởng thành hơn. Tôi đã trải qua một giai đoạn khó khăn, rất khó khăn. Didactic Toán là một ngành học khó, đòi hỏi rất cao ở người học, người nghiên cứu... Chập chững bước đầu đến với didactic, có lẽ tôi chưa đưa ra được những kết quả thật xuất sắc, ấn tượng, nhưng tôi đã học hỏi được nhiều kiến thức quý giá và cần thiết. Tôi muốn dành lời cảm ơn đầu tiên đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu. Dẫu bộn bề công việc, Cô vẫn dành nhiều thời gian để hướng dẫn, góp ý cho các học viên về mặt khoa học. Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung về sự nhiệt tình chỉ bảo, động viên, chia sẻ. Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình góp ý về luận văn và giải đáp thắc mắc của lớp chúng tôi về didactic toán. Tôi muốn cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã dành thời gian dịch tài liệu, luận văn cho chúng tôi. Tôi muốn cảm ơn những người bạn cùng lớp cao học về sự hợp tác, động viên, giúp đỡ trong toàn khóa học. Tôi muốn cảm ơn những người bạn, những đồng nghiệp đã nhiệt tình giới thiệu, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi triển khai thực nghiệm. Sau cùng, tôi muốn đặc biệt cảm ơn các thành viên trong gia đình, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Nhờ có sự chia sẻ của Ban Giám hiệu Trường, Phòng Khoa học Công nghệ - Sau đại học, Khoa Giáo dục Tiểu học, tôi đã có những điều kiện thuận lợi trong việc học, hoàn thành luận văn. Trần Đức Thuận MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1 Chương 1. DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC ................... 4 1. Một điều tra khoa học luận về khái niệm diện tích......................................... 5 1.1. Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử .................................................................................................... 5 1.2. Khái niệm diện tích ................................................................................ 8 2. Từ khoa học luận đến didactic ......................................................................10 2.1. Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích”..................................10 2.2. Các quan niệm về khái niệm diện tích ...................................................10 2.3. Bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích.........................................11 2.4. Vai trò của các công thức tính diện tích .................................................13 Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG DIỆN TÍCH .........................................................................................15 1. Diện tích trong chương trình toán bậc phổ thông ..........................................15 1.2. Diện tích trong chương trình tiểu học ....................................................16 1.2. Diện tích trong chương trình trung học cơ sở.........................................16 1.3. Diện tích trong chương trình trung học phổ thông .................................18 2. Diện tích trong các sách giáo khoa toán tiểu học...........................................18 2.1. Về biểu tượng và tính chất của diện tích ................................................18 2.2. Về đơn vị đo diện tích ...........................................................................19 2.3. Về các công thức tính diện tích..............................................................19 3. Diện tích trong sách giáo khoa Toán 8..........................................................21 3.1. Về định nghĩa, tính chất của diện tích ....................................................21 3.2. Về các công thức tính diện tích..............................................................23 3.3. Về các tổ chức toán học.........................................................................25 4. Kết luận........................................................................................................32 Chương 3. THỰC NGHIỆM..................................................................................34 1. Thực nghiệm đối với giáo viên .....................................................................34 1.1. Giới thiệu bộ câu hỏi .............................................................................35 1.2. Phân tích a-posteriori.............................................................................39 1.3. Kết luận.................................................................................................40 2. Thực nghiệm đối với học sinh ......................................................................41 2.1. Thực nghiệm thứ nhất............................................................................41 2.2. Thực nghiệm thứ hai..............................................................................45 3. Kết luận phần thực nghiệm...........................................................................51 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ......................................52 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC 1 MỞ ĐẦU Ø Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu Ø Khung lý thuyết tham chiếu Ø Mục đích nghiên cứu Ø Phương pháp nghiên cứu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU Tính diện tích, so sánh diện tích là những vấn đề thường gặp trong cuộc sống hàng ngày và trong nhiều ngành khoa học như toán học, vật lý, địa lý... Ở Việt Nam, diện tích được đưa vào giảng dạy khá sớm, ngay từ bậc tiểu học, và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Việc dạy học diện tích được chia thành nhiều giai đoạn. Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2006, những kiến thức về “diện tích” đưa vào bậc tiểu học là những “yếu tố, kiến thức chuẩn bị” [1, tr. 8]. Chỉ từ lớp 8, học sinh mới được nghiên cứu đối tượng “diện tích”. Vì thế, chúng tôi quyết định chọn nghiên cứu việc dạy - học khái niệm diện tích ở trung học cơ sở tại Việt Nam. Điều này không có nghĩa chúng tôi sẽ hoàn toàn không quan tâm đến việc đưa vào diện tích ở bậc tiểu học. Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là: – Khái niệm diện tích được hình thành như thế nào? – Khái niệm diện tích có những đặc trưng nào? – Có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích? – Sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào (theo quan điểm nào)? – Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học sinh? 2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học. Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ thê ̉ chê ́”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”. Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nghiên cứu về mối quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết đối tượng tri thức “diện tích” xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì 2 trong thể chế. Nói cách khác, tùy theo thể chế được lựa chọn là thể chế toán học hay thể chế dạy - học toán ở Việt Nam, chúng tôi có thể trả lời được các câu hỏi: “khái niệm diện tích được hình thành như thế nào?”, “khái niệm diện tích có những đặc trưng nào?”, “có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?”, “sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào?”. Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác với O ra sao. Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) và bị ảnh hưởng, chi phối bởi quan hệ thể chế. Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “diện tích” cho phép chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm diện tích sau khi học, đọc sách giáo khoa... Từ đó, chúng tôi có thể tìm được câu trả lời cho câu hỏi “cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học sinh?”. Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie. Praxéologie là một khái niệm do Yves Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, t, q, Q], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, t là kỹ thuật cho phép giải quyết T, q là công nghệ giải thích cho kỹ thuật t, Q là lý thuyết giải thích cho công nghệ q. 3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: Q1. Khái niệm diện tích có những đặc trưng khoa học luận nào? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm diện tích xuất hiện và tác động? Những đối tượng, khái niệm toán học nào có liên quan, góp phần làm nảy sinh và tiến triển khái niệm này? Q2. Mối quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích? Khái niệm diện tích (một hình phẳng) được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 8 hiện hành? Nó mang những đặc trưng nào? Đặc trưng nào chiếm ưu thế? Các kiểu nhiệm vụ nào được ưu tiên? Các kỹ thuật liên quan nào được giảng dạy, các kỹ thuật nào được ưu tiên? Các phát biểu công nghệ lý giải những kỹ thuật đó? 3 Q3. Những ràng buộc của thể chế dạy học ở Việt Nam có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh? 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù hợp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3. Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học về khái niệm diện tích. Tuy nhiên, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu gốc mà chỉ tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm diện tích trong luận án tiến sĩ của Baltar (1996). Để rõ hơn về cách tiếp cận hình học, chúng tôi có tham khảo tác phẩm “Cơ bản”(Euclide), “Cơ sở hình học” (Hilbert). Chúng tôi điểm lại một số kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một cách tường minh hay ngầm ẩn, những đối tượng, khái niệm khác có mối liên hệ với khái niệm này, những chướng ngại có thể gặp khi tiếp cận khái niệm... Kết quả thu được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong Chương 1: “Diện tích: Từ khoa học luận đến didactic”. Để trả lời câu hỏi Q2, Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, và đặc biệt là sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật, công nghệ gắn với đối tượng diện tích, trả lời được câu hỏi Q2. Chúng tôi so sánh với tổ chức toán học tham chiếu để đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng trong sách giáo khoa. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cũng cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q3, đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong Chương 2: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích”. Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với giáo viên qua các phiếu thăm dò và thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu bài tập. Đây cũng là nội dung của Chương 3: “Thực nghiệm”. 4 Chương 1 DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC Ø Những bài toán gắn với diện tích trong lịch sử Ø Khái niệm diện tích Ø Sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích Ø Các quan niệm về khái niệm diện tích Ø Những tổ chức toán học tham chiếu Ø Vai trò của công thức tính Để trả lời cho câu hỏi Q1, chúng tôi cần phải tìm hiểu trước hết những đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích. Thiếu sự am hiểu các đặc trưng của tri thức, người ta khó có thể đặt ra những câu hỏi thỏa đáng liên quan đến việc dạy học tri thức đó. Do điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể tiến hành một nghiên cứu gốc trên phương diện khoa học luận của khái niệm diện tích - đối tượng tri thức được lựa chọn để nghiên cứu trong luận văn này. May thay, chúng tôi đã tìm thấy những kiến thức cơ sở về khái niệm đó trong các công trình của một số nhà didactic toán. Đặc biệt, ba tác giả sau đã có những nghiên cứu khá hệ thống về khái niệm này: – Perrin (1992) nghiên cứu về “vấn đề chuyển đổi didactic của khái niệm diện tích trong mặt phẳng”; – Baltar (1996), trong luận án mang tên “Dạy và học khái niệm diện tích trong mặt phẳng: một nghiên cứu về sự lĩnh hội mối quan hệ giữa độ dài và diện tích ở trường phổ thông”, đã làm rõ tiến triển của khái niệm diện tích trong lịch sử, các đặc trưng, các tình huống nảy sinh khái niệm diện tích. Chính trên cơ sở nghiên cứu này mà tác giả đã thiết kế một đồ án dạy học với sự hỗ trợ của Cabri; – Valentina (2005) nghiên cứu vai trò của “các công thức tính diện tích hình phẳng: cầu nối giữa hình học và đại số”. Tham khảo những công trình trên, cùng với việc nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide, “Cơ sở hình học” của D. Hilbert, chúng tôi đã tìm được câu trả lời cho câu hỏi Q1. Chính trên cơ sở hiểu rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích, chúng tôi sẽ xác định được những tổ chức toán học liên quan đến nó. Các tổ chức toán 5 học ấy sẽ là cơ sở tham chiếu cho phần phân tích quan hệ thể chế được thực hiện ở chương sau. Hơn thế, ba tài liệu tham khảo trên còn mang lại cho chúng tôi một tiếp cận ban đầu về khái niệm diện tích với tư cách là đối tượng dạy - học. Cụ thể, đó là sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích, những quan điểm có thể gắn với nó và vai trò của các công thức tính. Sự tiếp cận từ góc độ didactic ấy cũng sẽ là cơ sở cho nghiên cứu được thực hiện tiếp theo trong khuôn khổ của luận văn. 1. MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH 1.1. Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử Những gì được trình bày ở đây chủ yếu được rút ra từ nghiên cứu của Baltar (1996). Diện tích xuất hiện từ rất lâu, nhưng chỉ được định nghĩa một cách chính xác từ thế kỷ XIX. 1.1.1. Bài toán đo đạc, so sánh, cầu phương ở thời cổ đại Khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính diện tích (đo đạc ruộng đất), so sánh diện tích và cầu phương một hình. – Bài toán tính diện tích được hình thành từ nhu cầu đo đạc ruộng đất để tính thuế sau mỗi vụ mùa. Các nền văn minh Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cổ đại đều tìm được những công thức riêng để tính chính xác hoặc xấp xỉ diện tích của một số hình thường gặp: tam giác, các loại tứ giác, hình tròn... Những công thức này giúp họ giải quyết được bài toán đo đạc diện tích, nghĩa là tìm được số đo tương ứng với hình. Phân tích thành tựu toán học thời kỳ này, Baltar khẳng định: “ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, đã có một bước chuyển từ hình sang số đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16). Cần phải lưu ý rằng diện tích còn được người xưa sử dụng như một công cụ để giải nhiều phương trình bậc hai. Trong xu hướng sử dụng này, một số dương được gắn với một độ dài, một bình phương được gắn với một diện tích. Nói cách khác, ở đây, diện tích cũng được xem xét theo quan điểm số. – Bài toán so sánh diện tích cũng đã xuất hiện từ thời cổ đại. Đặc biệt, như Baltar đã chỉ ra, trong toán học của người Hy Lạp, “bài toán diện tích được đặt trong phạm vi hình và không có bước chuyển sang số”, hay nói cách khác là họ đã có một cách “tiếp cận hình học đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16). Để làm rõ thêm điều này, chúng tôi đã nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide và tìm thấy trong quyển I những tiên đề, mệnh đề được ông đưa ra làm cơ sở cho việc so sánh diện tích của hai hình: 6 · Tiên đề 1: Hai cái cùng bằng một cái thứ ba thì bằng nhau. · Tiên đề 2: Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. · Tiên đề 3: Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. · Tiên đề 4: Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau. · Tiên đề 5. Toàn thể lớn hơn một phần. · Các mệnh đề từ 34 đến 41 trong tập I nói về các trường hợp đẳng diện của hình bình hành và hình tam giác (hai hình không bằng nhau nhưng có cùng diện tích). Chẳng hạn : “hai tam giác có đáy bằng nhau và có các đỉnh thuộc cùng cặp đường thẳng song song thì có cùng diện tích” (mệnh đề 38). – Bài toán thứ ba là bài toán cầu phương (dựng hình vuông có cùng diện tích với một hình cho trước). Với hệ thống các mệnh đề trình bày theo trình tự phù hợp, Euclide đã chỉ ra cách dựng một hình vuông đẳng diện (có cùng diện tích) với một đa giác bất kỳ cho trước (mệnh đề 14, tập II). Như vậy, Euclide đã giải quyết trọn vẹn bài toán cầu phương một đa giác cho trước với thước thẳng và com-pa. Bài toán cầu phương một hình bất kỳ, đặc biệt là hình tròn, với công cụ là com-pa, chưa được giải quyết triệt để. Lưu ý rằng cho đến tận thế kỷ thứ III trước công nguyên, khái niệm “diện tích” vẫn chưa được định nghĩa dù ba bài toán trên đã xuất hiện từ thuở sơ khai của loài người, và dù tác phẩm “Cơ bản” của Euclide được viết với ý đồ xây dựng hình học thành một khoa học suy diễn theo tư tưởng của phương pháp tiên đề. Điều cần nói ở đây là Euclide đã đưa ra một số tiên đề cho phép giải quyết nhiều bài toán về diện tích theo quan điểm hình học và “diện tích chưa được biểu thị bằng con số” [14, tr. 6]. Tuy nhiên, như một số nhà toán học của giai đoạn trước, Euclide cũng dùng hình học, đặc biệt là diện tích và các tính chất của diện tích, để tìm một số kết quả thuộc phạm vi số học và đại số dưới dạng hình học (các hằng đẳng thức đại số, các tỷ lệ thức...). 1.1.2. Bài toán cầu phương ở thế kỷ XVII Cho đến tận thế kỷ XVI, khái niệm diện tích vẫn chưa được định nghĩa. Thời kỳ này, với sự phát triển của cơ học, thiên văn học, người ta đặc biệt quan tâm đến diện tích của các parabol, elip... Nổi bật trong giai đoạn này là việc Cavalieri đưa ra phương pháp Indivisible (không thể phân chia) để giải quyết bài toán so sánh hay tìm tỉ số diện tích, thể tích hai hình. Bằng cách tìm tỉ số diện tích của hình với một hình đã biết diện tích, phương pháp Indivisible cho phép tính diện tích hình. Cavalieri xem một hình phẳng được tạo thành từ nhiều đoạn thẳng (các indivisible) và tỉ số diện tích hai hình tìm được thông qua tỉ số độ dài các indivisible. Tuy nhiên, phương pháp 7 này gặp phải những chướng ngại về bản chất vô hạn, phần tử indivisible, tính liên tục và gây ra nhiều cuộc tranh luận. Thời kỳ này đặt nền tảng cho sự ra đời và phát triển của phép tính vi - tích phân. 1.1.3. Bài toán xác định hàm độ đo từ cuối thế kỷ XIX Cuối thế kỷ XIX, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Phép tính tích phân trở thành một công cụ hữu hiệu để giải bài toán tính diện tích. Cũng trong thời kỳ này, bài toán