Luận văn Phương trình trên nhóm abel hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Quy Nhơn - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN AN KHƯƠNG Quy Nhơn - 2011 iMỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 đặc trưng của nhóm abel hữu hạn 3 1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Thặng dư bậc hai, kí hiệu Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Đặc trưng trên trường hữu hạn Fq, tổng Gauss . . . . . . . . . 10 1.5 Đặc trưng môđun k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2 phương trình trên nhóm abel hữu hạn 16 2.1 Biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Luật thuận nghịch bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Biến đổi Fourier của hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . 24 2.2 Phương trình x1 x2    xk  a . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 3 phương trình đồng dư bậc cao 32 3.1 Tổng Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 32 3.1.2 Một số dạng mở rộng của tổng Jacobi . . . . . . . . . 36 3.2 Phương trình α1xk11    αnxknn  α . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Phương trình đồng dư A1xm11 A2xm22  A pmod pq . . . . . . 46 3.3.1 Số nghiệm của phương trình A1x31 A2x32  A pmod pq 46 3.3.2 Số nghiệm của phương trình A1x41 A2x42  A pmod pq 53 ii 3.3.3 Điều kiện đủ để phương trìnhA1xm11 A2xm22  A pmod pq có nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1LỜI MỞ ĐẦU Một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết số là tìm nghiệm và xét tính chất nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trình trên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quan hệ mật thiết với nghiệm hữu tỉ cũng như nghiệm phức của phương trình đó. Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn là một đối tượng đã được các nhà toán học nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn còn được quan tâm rộng rãi. Một trong các khía cạnh nghiên cứu của vấn đề này là bài toán xác định số nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn và nghiệm của các phương trình đồng dư trên vành các số nguyên. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở Chương 2 và Chương 3. Trong phần đầu của Chương 1 chúng tôi trình bày khái niệm các đặc trưng của nhóm hữu hạn và các khái niệm cần thiết cho các phần sau. Tiếp theo chúng tôi trình bày chi tiết về nhóm các đặc trưng và hệ thức trực giao của các đặc trưng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số đặc trưng cụ thể trên trường hữu hạn Fq cũng như ý nghĩa của nó qua tổng Gauss trên trường hữu hạn (các Mệnh đề 1.4.9, 1.4.11). Trong Chương 2 chúng tôi trình bày về phép biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn và một số ứng dụng. Chúng tôi bắt đầu từ việc xây dựng các định nghĩa, ví dụ cũng như những tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn (Đẳng thức Parseval, các Mệnh đề 2.1.10, 2.1.12). Sau đó chúng tôi đã sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier để chứng 2minh Luật thuận nghịch bậc hai và giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Phần cuối của chương là chứng minh Định lý Fermat trên trường hữu hạn. Trong Chương 3 chúng tôi trình bày về tổng Jacobi và ứng dụng của nó. Phần đầu chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ sở của tổng Jacobi. Từ đó chúng tôi làm rõ được với mỗi số nguyên tố p có dạng p  4f 1 đều là tổng của bình phương của hai số nguyên. Phần sau chúng tôi sử dụng tổng Jacobi để tìm số nghiệm của phương α1xk11    αnxknn  α trên trường Fp. Đồng thời giải một số bài toán về số nghiệm của phương trình đồng dư dạng A1x m1 1 A2x m2 2  A pmod pq trên vành các số nguyên. Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra lại các kết quả tính toán từ các ví dụ minh họa. Cuối cùng, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Nguyễn An Khương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện luận văn này. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; Trường THPT Phan Đình Phùng -ĐăkLăk đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như thực hiện đề tài. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cùng chia sẻ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. 3Chương 1 ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về đặc trưng của G. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng giới thiệu một đặc trưng môđun k của vành các số nguyên Z và các đặc trưng của trường hữu hạn Fq. Kiến thức trong chương này được chúng tôi trình bày dựa trên các tài liệu [4], [5], [9], [10]. 1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n viết theo lối cộng. Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu từ G vào nhóm nhân C các số phức khác không. Nói cách khác, một đặc trưng của nhóm G là một hàm χ : G ÝÑ C thỏa mãn χpa bq  χpaqχpbq với mọi a, b P G. Kí hiệu là χ0 là đặc trưng tầm thường, tức là χ0paq  1 với mọi a P G. Chú ý 1.1.2. Từ định nghĩa ta có χpaqn  χpnaq  χp0q  1 với a P G. Do đó χpaq chính là căn bậc n của đơn vị và χp
aq  χpaq
1  χpaq. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử χ và χ1 là hai đặc trưng của nhóm G. Tích của hai đặc trưng χ và χ1 là ánh xạ được xác định bởi χχ1 : G ÝÑ C a ÞÝÑ χχ1paq : χpaqχ1paq. Rõ ràng ánh xạ này cũng là một đặc trưng của G. Hơn nữa, tập hợp tất cả các đặc trưng của G lập thành một nhóm giao hoán với phép toán nhân như trên. Cụ thể, ta có định lý sau. 4Định lý 1.1.4. Tập các đặc trưng của nhóm G lập thành một nhóm giao hoán, kí hiệu là pG, với phép toán nhân được xác định như trên. Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được pG là một nhóm giao hoán với đơn vị là χ0. Định nghĩa 1.1.5. Nhóm pG được gọi là nhóm đối ngẫu của nhóm G. Ví dụ 1.1.6 (Đặc trưng của nhóm Zn). Gọi ω  e 2pii n là căn bậc n của đơn vị, các ánh xạ χj : Zn ÝÑ C xác định bởi χjpaq  ωja, j P Z là các đặc trưng của Zn. Thật vậy, ta có χjpaq P C và χjpa bq  ωjpabq  χjpaqχjpbq, j P Z. Nên χj là đặc trưng của Zn. Ngoài ra ta có các sự kiện sau. piq χj  χk nếu và chỉ nếu j  k pmod nq. Thật vậy, vì χj  χk nên χjp1q  χkp1q. Do đó ωj  ωk hay j  k pmod nq. Ngược lại, nếu j  k pmod nq thì ωJ  ωktn  ωk. Hay χj  χk. piiq χj  χ j 1. Thật vậy, với mọi a P Zn ta có χjpaq  ω ja  pωaqj  pχ1paqq j. Do đó ta có χj  χj1. piiiq xZn  tχ0, ..., χn
1u. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh xZn là nhóm xyclic cấp n. Ta có χ1 là phần tử sinh của nhóm xZn và χn  e2pii  1  χ0. Ngoài ra, giả sử tồn tại 0   n1   n sao cho χn1  χ0. Khi đó n|n1. Điều này vô lý. Vậy xZn là nhóm xyclic cấp n, hay xZn  tχ0, ..., χn
1u. pivq xZn  Zn. Từ piiiq ta có đẳng cấu trong pivq. Mệnh đề 1.1.7. Cho h : G1 ÝÑ G2 là một đồng cấu nhóm và χ là một đặc trưng của nhóm G2. Đồng cấu nối của χ bởi h được kí hiệu là hχ xác định bởi h  χ  h (hợp thành của χ và h) là một đặc trưng của nhóm G1. Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ quy tắc hợp thành của hai đồng cấu. 5Mệnh đề 1.1.8. Nếu G1, G2 là hai nhóm Abel hữu hạn và đẳng cấu với nhau thì hai nhóm đối ngẫu xG1,xG2 tương ứng của chúng cũng đẳng cấu với nhau. Chứng minh. Giả sử h : G1 ÝÑ G2 là một đẳng cấu và χ2 là đặc trưng của nhóm G2, xét sơ đồ G1 h // χ1 !!C CC CC CC C G2 χ2  C Theo Mệnh đề 1.1.7, ta có đồng cấu nối χ2  h là đặc trưng của nhóm G1, nên mỗi đặc trưng χ1 của nhóm G1 là đồng cấu nối nào đó giữa χ2 và h. Khi đó ánh xạ h : xG2 Ñ xG1 χ2 ÞÝÑ h  pχ2q : χ2  h là toàn ánh. Bây giờ ta cần chứng h là một đồng cấu và đơn ánh. Thật vậy, theo định nghĩa của đặc trưng h ta có hpχ2χ12q  hpχ2qhpχ12q nên suy ra h là một đồng cấu. Hơn nữa với mỗi j  t1, 2u gọi χ0j là đặc trưng tầm thường của Gj, khi đó nếu hχ2  χ01 thì χ2  hpaq  1 với mỗi a P G1, vì h song ánh nên suy ra χ2  χ02. Do đó Ker phq  IdxG2 là ánh xạ đồng nhất . Vậy h là một đẳng cấu. Mệnh đề 1.1.9. Gọi G  G1G2 là tích trực tiếp của hai nhóm G1 và G2. Khi đó các nhóm đối ngẫu tương ứng pG,xG1,xG2 thỏa mãn pG  xG1  xG2. Chứng minh. Ta có G  tpx1, x2q;x1 P G1, x2 P G2u. Khi đó với χ1 P xG1, χ2 P xG2 xét tương ứng χ : G ÝÑ C px1, x2q ÞÝÑ χpx1, x2q : χ1px1qχ2px2q. 6Dễ thấy χ là một ánh xạ. Ta sẽ chứng minh χ là một đặc trưng của G. Thật vậy, với mọi px1, x2q, py1, y2q P G ta có χppx1, x2q py1, y2qq  χpx1 y1;x2 y2q  χ1px1 y1qχ2px2 y2q  χ1px1qχ2px2qχ1py1qχ2py2q  χpx1;x2qχpy1; y2q. Vậy χ là một đặc trưng của nhóm G. Tiếp theo ta chứng minh ánh xạ Φ : xG1  xG2 ÝÑ pG pχ1, χ2q ÞÝÑ Φpχ1, χ2q : χ là một đẳng cấu. Trước hết ta thấy rằng Φ là một toàn cấu. Thật vậy, với mọi χ P pG ta có χpx1, x2q  χpx1, 0qχp0, x2q  χ1px1qχ2px2q, do đó luôn tồn tại pχ1, χ2q P xG1  xG2 sao cho Φpχ1, χ2q  χ. Hay Φ là một toàn cấu. Hơn nữa, với pχ1, χ2q, pχ11, χ12q P xG1  xG2, giả sử pχ1, χ2q  pχ11, χ12q ta có χpx1, x2q  χ1px1qχ2px2q  χ 1 1px1qχ 1 2px2q  χ 1 px1, 0qχ1p0, x2q  χ1px1, x2q. Do đó χ  χ1, hay Φ là đơn cấu. Từ đó suy ra được Φ là một đẳng cấu. Hệ quả 1.1.10. G  pG. Chứng minh. Vì G là một nhóm hữu hạn nên G  Zn1      Znk và theo Mệnh đề 1.1.9 ta có nhóm đối ngẫu pG yZn1     yZnk . Do đó G  pG. 1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng Mệnh đề 1.2.1 ([4, Proposition 1.1]). Với mọi đặc trưng không tầm thường χ của G ta luôn có ¸ aPG χpaq  0. 7Chứng minh. Đặt S  ° aPG χpaq. Ta sẽ chứng minh S  0. Thật vậy, chọn b P G sao cho χpbq  1, với mọi χ  χ0. Khi đó ta có χpbqS  ¸ aPG χpaqχpbq  ¸ aPG χpa bq  ¸ abPG χpa bq  S. Từ đó suy ra Spχpbq
1q  0 hay S  0. Hệ quả 1.2.2. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Khi đó (i) Nếu χ là một đặc trưng của G thì ° xPG χpxq  $ ' & ' % n, nếu χ  χ0, 0, nếu χ  χ0. (ii) Nếu x P G thì ° χP pG χpxq  $ ' & ' % n, nếu x  0, 0, nếu x  0. Chứng minh. piq Nếu χ  χ0 thì ° xPG χ0pxq  ° xPG 1  n  |G|. Nếu χ  χ0 thì theo Mệnh đề 1.2.1 ta suy ra được ° xPG χpxq  0. piiq Với x P G, xét ánh xạ ϕ : pG ÝÑ C χ ÞÝÑ ϕpχq : χpxq. Dễ thấy ϕ là một đặc trưng của pG và do đó theo trên ta có ° χP pG ϕpχq  $ ' & ' %    pG    , nếu ϕ  ϕ0, 0, nếu ϕ  ϕ0  $ ' & ' % n, nếu χpxq  χ0pxq, 0, nếu χpxq  χ0pxq  $ ' & ' % n, nếu χpxq  1, 0, nếu χpxq  1  $ ' & ' % n, nếu x  0, 0, nếu x  0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Hệ quả 1.2.3 (Hệ thức trực giao tổng quát). Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Khi đó 8(i) Nếu χ, ψ P pG thì ° aPG χpaqψpaq  $ ' & ' % n, nếu χ  ψ, 0, nếu χ  ψ. (ii) Nếu a, b P G thì ° χP pG χpaqχpbq  $ ' & ' % n, nếu a  b, 0, nếu a  b. Chứng minh. piq Nếu χ  ψ thì χpaqχpaq  χpaq
1χpaq  1. Do đó ¸ aPG χpaqψpaq  n. Nếu χ  ψ thì χψ là một đặc trưng không tầm thường. Do đó theo Mệnh đề 1.2.1 ta có điều phải chứng minh. piiq Nếu a  b thì ° χP pG χpaqχpbq  ° χP pG |χpaq|2  n. Nếu a  b thì ¸ χP pG χpaqχpbq  ¸ χP pG χpb
aq  0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1.3 Thặng dư bậc hai, kí hiệu Legendre Định nghĩa 1.3.1. Cho m là một số nguyên dương, số a được gọi là thặng dư bậc hai theo môđun m nếu ƯCLNpa,mq  1 và phương trình đồng dư x2  a pmod mq có nghiệm. Nếu ngược lại ta nói a không là thặng dư bậc hai theo môđun m. Định nghĩa 1.3.2. Gọi a là một số nguyên và p là một số nguyên tố lẻ. Kí hiệu Legendre là số được xác định như sau  a p  $ ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' % 0, nếu p|a, 1, nếu phương trình x2  a pmod pq có nghiệm,
1, nếu phương trình x2  a pmod pq vô nghiệm. 9Mệnh đề 1.3.3. Gọi a, p là những số như trên. Khi đó ta có (i)
a p  a p
1 2 pmod pq pTiêu chuẩn Eulerq; (ii)
1 p  1,

1 p  p
1q p
12 ; (iii)
a p
b p 
ab p ; (iv) Nếu a  b pmod pq thì
a p 
b p . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh piq, các kết quả piiq, piiiq, pivq được suy ra từ piq. Để chứng minh piq trước hết ta chứng minh rằng phương trình x2  a pmod pq có nghiệm nếu và chỉ nếu a p
12  1 pmod pq. Thật vậy, giả sử phương trình x2  a pmod pq có nghiệm x. Khi đó xp
1  a p
1 2 pmod pq. Từ đó suy ra a p
1 2  xp
1 pmod pq. Ngoài ra, theo Định lý Fermat nhỏ ta có xp
1  1 pmod pq nên suy ra được a p
1 2  1 pmod pq. Ngược lại, ta giả sử a p
12  1 pmod pq và gọi b là phần tử sinh của nhóm pZ{pZq, khi đó luôn tồn tại số n sao cho a  bn. Do đó ta có b npp
1q 2  1 pmod pq. Hơn nữa, b là phần tử sinh của nhóm pZ{pZq nên npp
1q2 phải chia hết cho pp
1q tức là n2 phải là số chẵn. Do đó b n 2 là nghiệm của phương trình x2  a pmod pq. Tiếp theo ta chứng minh cho hai trường hợp còn lại đó là phương trình x2  a pmod pq vô nghiệm và p|a. Trường hợp 1: Với p|a ta có
a p  0. Suy ra a p
12  1 pmod pq. 10 Trường hợp 2: Với
a p 
1 tức là phương trình x2  a pmod pq vô nghiệm. Khi đó với mỗi 1 ¨ i ¨ p
1 tồn tại duy nhất j với 1 ¨ j ¨ p
1 sao cho i.j  a pmod pq. Hiển nhiên là i  j, nên ta có thể nhóm các số 1, ..., p
1 thành p
12 cặp sao cho tích từng cặp đồng dư a theo môđun p. Từ đó suy ra pp
1q!  a p
1 2 pmod pq. Do đó, theo Định lý Wilson ta có
1  a p
12 pmod pq. 1.4 Đặc trưng trên trường hữu hạn Fq, tổng Gauss Cho Fq là trường hữu hạn với q là lũy thừa của một số nguyên tố. Ngoài đặc trưng của nhóm Abel pFq,q và đặc trưng trên nhóm giao hoán pFq , .q đã được đề cập, trong phần này ta sẽ xét đặc trưng trên trường Fq. Cụ thể ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 1.4.1. Một đặc trưng cộng tính của trường Fq là đặc trưng của nhóm pFq,q, tức là với mỗi χ P pFq và với mọi a, b P Fq ta có piq χpa bq  χpaqχpbq; piiq χp0q  1; piiiq χp
aq  χpaq. Ví dụ 1.4.2. Cho Fp là trường hữu hạn với p phần tử và Fq là trường hữu hạn với pk phần tử (p nguyên tố, q  pkq, với mỗi x P Fq ta định nghĩa trpxq : x xp xp 2    xp k
1 . Khi đó hàm ψapxq  e trpaxq p với a P Fq là đặc trưng cộng tính của Fq. Thật vậy, ta có ψapxq P C với mỗi x P Fr và ψap0q  1. Ngoài ra, ta có trpapx1 x2qq  apx1 x2q a p px1 x2q p    ap k
1 px1 x2q pk
1  11  apx1 x2q a p pxp1 x p 2q    a pk
1 pxp k
1 1 x pk
1 2 q  trpax1q trpax2q. Từ đó suy ra ψapx1 x2q  ψapx1qψapx2q. Vậy ψa là đặc trưng cộng tính của trường Fq. Định nghĩa 1.4.3. Một đặc trưng nhân tính của trường Fq là đặc trưng ψ của nhóm nhân pFq , .q mở rộng lên Fq bằng cách đặt ψp0q  0 với ψ  ψ0. Tức là với mỗi ψ  ψ0 và với mọi a, b P Fq ta có piq ψpabq  ψpaqψpbq; piiq ψp1q  1, ψp0q  0; piiiq ψpa
1q  ψpaq. Ví dụ 1.4.4. Cho p là một số nguyên tố. Kí hiệu Legendre ψpaq 
a p là đặc trưng nhân tính của Zp. Thật vậy, trước hết ta thấy rằng ψpxq hoàn toàn xác định trên Zp. Ngoài ra, với mọi a, b P Zp ta có ψpabq   ab p   a p  b p  ψpaqψpbq, ψp1q   1 p  1, ψp0q  0, ψpa
1q  ψp1qpψpaqq
1  ψpaq  ψpaq. Vậy ψ là đặc trưng nhân tính của Zp. Hơn nữa đặc trưng ψ có cấp hai. Định nghĩa 1.4.5 (Tổng Gauss). Gọi χ là đặc trưng cộng tính và ψ là đặc trưng nhân tính của trường Fq. Khi đó tổng Gpχ, ψq  ¸ aPFq χpaqψpaq được gọi là tổng Gauss trên trường Fq. 12 Mệnh đề 1.4.6. Với hai đặc trưng χ và ψ được xác định như trên ta có (i) Gpχ0, ψ0q  q
1; (ii) Gpχ0, ψq  0 nếu ψ  ψ0; (iii) Gpχ, ψ0q 
1 nếu χ  χ0. Chứng minh. piq Ta có ψ0p0q  0 nên từ định nghĩa ta suy ra Gpχ0, ψ0q  q
1. piiq Ta có Gpχ0, ψq  ° aPFq ψpaq. Do đó nếu ψ  ψ0 thì theo Mệnh đề 1.2.1 ta suy ra Gpχ0, ψq  0. piiiq Tương tự, nếu χ  χ0 thì Gpχ, ψ0q  ¸ aPFq χpaq   ¸ aPFq χpaq
χp0q 
1. Định lý 1.4.7 ([4, Theorem 6.6]). Nếu χ và ψ lần lượt là hai đặc trưng cộng tính và đặc trưng nhân tính không tầm thường thì |Gpχ, ψq|  ? q. Chứng minh. Ta có |Gpχ, ψq|2  |Gpχ, ψq||Gpχ, ψq|  ¸ aPFq ¸ bPFq χpaqχpbqψpaqψpbq  ¸ aPFq ¸ bPFq χpb
aqψpba
1q  ¸ aPFq ¸ bPFq χpac
aqψpcq, c  ba
1.  ¸ aPFq ψpcq ¸ bPFq χpapc
1qq. Do vậy, khi c  1 ta có ° aPFq χpapc
1qq  0. Suy ra ° aPFq χpapc
1qq 
1. Khi c  1, thay vào trên ta được |Gpχ, ψq|2  ψp1qpq
1q
¸ cPFq c1 ψpcqq
¸ cPFq ψpcq  q. 13 Từ đó suy ra |Gpχ, ψq|  ? q. Định nghĩa 1.4.8. Cho p là một số nguyên tố. Khi đó tổng ga  p
1¸ t1  t p e 2piiat p được gọi là tổng Gauss bậc hai trên trường Fp. Với những kí hiệu như trên, các mệnh đề sau giúp ta hiểu rõ hơn tổng Gauss đặc biệt này. Mệnh đề 1.4.9. ga  papqg1. Chứng minh. Nếu a  0 pmod pq thì e 2piia p t  1, do đó p
1 ° t1
t p  0, ngoài ra khi a  0 pmod pq ta cũng có
a p  0. Nếu a  0 pmod pq thì ta có  a p ga  p
1¸ t0  a p  t p e 2piia p t  p
1¸ t0  at p e 2piia p t  p
1¸ at0  at p e 2piia p t  p
1¸ x0  x p e 2pii p x  g1. Từ đó suy ra ga   a p g1. Định nghĩa 1.4.10. Cho m là một số nguyên. Khi đó tổng Gppmq  p
1¸ k0 e 2pii p mk 2 được gọi là tổng Gauss trên vành các số nguyên theo môđun p. Mệnh đề 1.4.11. Nếu m là một số nguyên dương không chia hết cho số nguyên tố lẻ p thì Gppmq  p
1¸ k0 e 2pii p mk 2  p
1¸ k0  k p e 2pii p mk  gm. 14 Chứng minh. Gọi Q1 là tập con của Zp bao gồm những phần tử là thặng dư bậc hai, Q0 là tập con của Zp bao gồm những phần tử không là thặng dư bậc hai. Khi đó |Q1|  pp
1q2 , |Q0|  pp
1q 2 và ¸ kPZp e 2pii p mk 2  1 2 ¸ kPQ1 e 2pii p mk. Ngoài ra, ta có ¸ kPZp e 2pii p mk  k p  ¸ kPQ1 e 2pii p mk
¸ kPQ0 e 2pii p mk  1 2 ¸ kPQ1 e 2pii p mk
 1 ¸ kPQ1 e 2pii p mk ¸ kPQ0 e 2pii p mk  1 2 ¸ kPQ1 e 2pii p mk
¸ kPZp e 2pii p mk  p
1¸ k0 e 2pii p mk 2 ,  vì ¸ kPZp e 2pii p mk  0 . Từ đó suy ra p
1¸ k0 e 2pii p mk 2  p
1¸ k0  k p e 2pii p mk. 1.5 Đặc trưng môđun k Định nghĩa 1.5.1. Cho a và k là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Khi đó số nguyên dương nhỏ nhất x thỏa mãn phương trình đồng dư ax  1 pmod kq gọi là bậc của a theo môđun k, kí hiệu là x  ordka. Định nghĩa 1.5.2. Cho r và k ¡ 0 là hai số nguyên tố cùng nhau. Nếu φpkq  ordkr thì r gọi là căn nguyên thủy của đơn vị theo môđun k, tức là rφpkq  1 pmod kq và φpkq là số nguyên t bé nhất thỏa rt  1 pmod kq. Ví dụ 1.5.3. Số 2 là căn nguyên thủy của đơn vị theo môđun 5. Vì ta có 2φp5q  1 p mod 5q và φp5q  4 là số nguyên dương nhỏ nhất để 24  1 pmod 5q. 15 Định nghĩa 1.5.4. Cho ψ là một đặc trưng của nhóm pZ{kZq, với k P Z. Hàm χ : Z ÝÑ C được xác định bởi χpaq  $ ' & ' % ψpa kZq, nếu ƯCLN(a,k)  1, 0, nếu ƯCLN(a,k) ¡