Luận văn Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann

Thác triển chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của Giải tích phức hữu hạn cũng như vô hạn chiều. Trên thế giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn ñề này và trong khoảng hơn 3 thập kỷ qua ñã có nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng như Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed Zeriahi, Ở Việt Nam hình thành một nhóm khá mạnh nghiên cứu về bài toán này, trong ñó nổi bật các nhà khoa học Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, ðỗ ðức Thái và Lê Mậu Hải.

pdf55 trang | Chia sẻ: duongneo | Ngày: 27/07/2017 | Lượt xem: 564 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------- Nguyễn Thị Thúy Hồng THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------- Nguyễn Thị Thúy Hồng THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn ñược hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy Nguyễn Thái Sơn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến thầy – người ñã từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài và những kinh nghiệm thực hiện ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền ñạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cảm ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường ðại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh ñã giúp tác giả nâng cao trình ñộ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng khoa học công nghệ và sau ñại học ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này. Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các ñồng nghiệp trường THPT Bình ðông – Tiền Giang ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học. Sau cùng chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp ñã trao ñổi, góp ý và ñộng viên tác giả rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2008 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hồng 2 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn ........................................................................................... 1 Mục lục ................................................................................................ 2 MỞ ðẦU ............................................................................................. 4 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ....................................... 8 1.1. Không gian phức nℂ ................................................................ 8 1.2. ðịnh nghĩa hàm chỉnh hình....................................................... 8 1.3. ðịnh nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình.................. 9 1.4. Hàm ñiều hòa dưới, hàm ña ñiều hòa dưới................................ 10 1.5. Bao ña ñiều hòa dưới ................................................................ 12 1.6. Nguyên lý môñun cực ñại ......................................................... 15 1.7. Không gian Banch hyperbolic................................................... 17 1.8. Tập cực và tập ña cực ............................................................... 18 1.9. ðiều kiện lồi – ñĩa yếu và tính chất........................................... 18 1.10. ðịnh lý Shiffmann .................................................................. 19 Chương 2. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT ........... 20 2.1. ðịnh lý Kwack.......................................................................... 20 2.2. Mở rộng ñịnh lý Kwack sang vô hạn chiều............................... 21 2.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs................................ 25 Chương 3. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP CỰC ... 29 3.1. Thác triển chỉnh hình qua tập cực ............................................. 29 3.1.1. ðịnh nghĩa tập cực và tính chất......................................... 29 3.1.2. Ký hiệu............................................................................. 30 3 3.1.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập ña cực ñóng ............ 31 3.2. Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn......................... 38 3.2.1. ðịnh lý Noguchi ............................................................... 38 3.2.2. ðịnh nghĩa tập cực loại hữu hạn ....................................... 39 3.2.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn ñóng với tập giá trị là không gian giả lồi........................... 39 3.2.4. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn ñóng với tập giá trị là mặt Riemann compact hyperbolic .. 42 3.3. Miền Hartogs và thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn .................................................................................... 43 3.3.1.ðịnh nghĩa ......................................................................... 43 3.3.2. Tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn (SPEP) ................................................................ 43 3.3.3. ðịnh lý về quan hệ giữa tính chất (SPEP) của không gian giải tích Banach và miền Hartogs của nó .......................... 48 KẾT LUẬN ......................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 52 4 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn ñề tài: Thác triển chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của Giải tích phức hữu hạn cũng như vô hạn chiều. Trên thế giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn ñề này và trong khoảng hơn 3 thập kỷ qua ñã có nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng như Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed Zeriahi, Ở Việt Nam hình thành một nhóm khá mạnh nghiên cứu về bài toán này, trong ñó nổi bật các nhà khoa học Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, ðỗ ðức Thái và Lê Mậu Hải. Cho ñến nay việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng ñáng chú ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay còn gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Trong ñó trường hợp ñặc biệt nhưng quan trọng là với ñiều kiện nào của không gian phức X thì mọi ánh xạ chỉnh hình từ 2( )H r X→ có thể thác triển chỉnh hình tới 2∆ , ở ñây 0 1r< < và { } { }2 22 1 2 1 1 2 2( ) ( , ) :| | ( , ) :| | 1H r z z z r z z z r= ∈ ∆ − với { }C: |z| <1z∆ = ∈ Dạng 2: Thác triển ánh xạ qua các tập mỏng (tức là các tập có ñộ ño Lebegue bằng 0), chẳng hạn qua tập các ñiểm kỳ dị cô lập, qua siêu mặt hoặc qua tập ña cực ñóng. Thác triển kiểu này ñược gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. 5 Trong ña số các trường hợp thì thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ ra khó hơn rất nhiều so với thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Như vậy việc thác triển chỉnh chình kiểu Riemann là phương hướng thứ hai của bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình. Nó ñã ñược quan tâm nghiên cứu từ lâu bởi rất nhiều nhà toán học lớn. Cùng với sự hình thành của ngành giải tích phức hyperbolic, phương hướng nghiên cứu nói trên ñã có những tiến bộ ñáng kể, ñặc biệt là việc nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình qua ñiểm thủng. Từ ñịnh lý Kwack, ðỗ ðức Thái ñã có những công trình nghiên cứu về tính chất *∆ - thác triển. Năm 1995, ðỗ ðức Thái ñã chứng minh ñược rằng nếu X là một không gian phức có tính chất 1 – thác triển chỉnh hình thực sự qua tập ña cực thì nó có tính chất n - thác triển chỉnh hình thực sự qua tập ña cực với mọi n 2≥ . Dựa vào lịch sử của vấn ñề ñược nêu trên, chúng tôi nhận thấy vai trò quan trọng của việc nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. ðể có thể ñọc ñược và hiểu biết các kiến thức có liên quan, tôi ñã ñược giảng viên hướng dẫn tạo ñiều kiện ñể tiếp xúc với các tài liệu khoa học và các sách giáo khoa nâng cao về giải tích phức. ðó cũng là một cơ hội cho bản thân tôi ñể củng cố các kiến thức về tôpô. Hơn nữa việc tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann cũng là cơ sở cho việc tìm hiểu một cách toàn diện bài toán thác triển chỉnh hình. ðó là lý do chúng tôi chọn ñề tài Luận văn là 6 “Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann” 2. Mục ñích nghiên cứu. Nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. 3. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu. Tô pô và Hình học giải tích phức. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của ñề tài. Tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Reimann, từ cơ sở ñó tìm hiểu một cách toàn diện bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình. 5. Cấu trúc luận văn. Nội dung của Luận văn này gồm phần mở ñầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể như sau: Phần mở ñầu: Nêu xuất xứ của bài toán ñược nghiên cứu. Chương 1: Trình bày các ñịnh nghĩa và các kết quả ñã ñược viết thành giáo khoa có liên quan ñến ñề tài. Do kiến thức về tôpô và giải tích của các tác giả có liên quan ñến bài toán chủ yếu do tự nghiên cứu tài liệu, do ñó chúng tôi trình bày khá chi tiết về các nội dung này. Chương 2: Thác triển chỉnh hình qua siêu mặt. Xuất phát ñịnh lý về tính chất *∆ −thác triển mà có thể ñược xem là một sự mở rộng của ñịnh lý Kwack từ một chiều sang vô hạn chiều, chúng tôi tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình qua siêu mặt. Chương 3: Thác triển chỉnh hình qua các tập cực. 7 Trước hết chúng tôi tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua các tập cực và sau ñó thác triển chỉnh hình qua các tập cực loại hữu hạn. Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm hiểu về miền Hartogs và liên quan ñến tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn. Phần kết luận: ðưa ra các nhận xét của bản thân tác giả về các kết quả ñã tìm hiểu ñược, ñồng thời qua ñó phát thảo các hướng nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới nếu thời gian và ñiều kiện cho phép. Trong Luận Văn này, chúng tôi tìm hiểu các kết quả nói trên ñể củng cố kiến thức của mình và ñồng thời nghiên cứu việc thác triển chỉnh hình qua các tập cực ñóng và sau ñó nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn và tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn. Do thời gian có hạn và nội dung kiến thức quá mới, chúng tôi chỉ dừng lại ở chỗ tìm hiểu các bài báo và trình bày lại theo hiểu biết của mình. 8 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, chúng tôi ñọc và sử dụng một số kiến thức thuộc chương trình tôpô và giải tích phức trong chương trình ñại học. Ngoài ra các kiến thức nâng cao cũng ñược tìm kiếm trong các bài báo của các tác giả có liên quan. Do ñó, ñể luận văn ñược mạch lạc và tiện theo dõi, trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị. 1.1. Không gian phức nℂ Xét không gian Eulide số chiếu chẵn 2nℝ , các ñiểm của nó là các bộ có thứ tự 2n số thực ( )1 2 2nx ,x , ...,x . Ta ñưa vào trong ñó cấu trúc phức, bằng cách ñặt ( )v v n vz x ix v 1, ...,n+= + = . Thường ta ký hiệu n v vx y+ = nên ( )v v vz x iy v 1, ...,n= + = . Không gian mà ñiểm là những bộ n số phức (hữu hạn) ( ) { }1 n vz z ,...,z z= = sẽ gọi là không gian phức n chiều và ký hiệu là nℂ . ðặc biệt khi n = 1, ta có 1 =ℂ ℂ là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy ý, không gian nℂ là tích n mặt phẳng phức n n lâ n` ...= × × ×ℂ ℂ ℂ ℂ . 1.2. ðịnh nghĩa hàm chỉnh hình • ðịnh nghĩa 1 9 Hàm f, xác ñịnh trong lân cận nào ñó của ñiểm nz∈ℂ , ñược gọi là khả vi tại ñiểm ñó theo nghĩa giải tích phức ( n −ℂ khả vi), nếu nó 2n −ℝ khả vi tại ñó và tại ñiểm này ( ) v f 0 v 1,...,n z ∂ = = ∂ tức là vi phân có dạng 1 n 1 n f fdf dz ... dz . z z ∂ ∂ = + + ∂ ∂ • ðịnh nghĩa 2 Hàm n −ℂ khả vi tại mỗi ñiểm của lân cận nào ñó của ñiểm 0 nz ∈ℂ , ñược gọi là hàm chỉnh hình tại ñiểm 0z . Hàm chỉnh hình tại mỗi ñiểm của tập mở nào ñó nΩ⊂ℂ ( ñặc biệt là các miền) ñược gọi là chỉnh hình trên tập Ω , kí hiệu là ( )H Ω . 1.3. ðịnh nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình • ðịnh nghĩa 1 Miền G chứa miền Ω trong nℂ gọi là mở rộng chỉnh hình của Ω nếu mọi hàm chỉnh hình trên Ω có thể mở rộng tới một hàm chỉnh hình trên G. a) Giả sử Ω là mở trong nℂ và K là compact trong Ω với \ KΩ liên thông, thì Ω là miền mở rộng chỉnh hình của \ KΩ nếu n > 1. b) Nếu G là mở rộng chỉnh hình của Ω thì ( ) ( )f f GΩ = với mọi hàm f chỉnh hình trên G. Thật vậy nếu không tồn tại hàm f chỉnh hình trên G và ( ) ( )0 f G \ fω ∈ Ω . Khi ñó hàm ( ) ( ) 0 1g z , z f z ω = ∈Ω − chỉnh hình trên Ω không thể mở rộng chỉnh hình tới G. 10 c) Nếu Ω là bị chặn còn G là mở rộng chỉnh hình của Ω , thì G bị chặn. Thật vậy theo b) ( ) ( )j jz G z j 1,n= Ω ∀ = và vậy thì G bị chặn nếu Ω bị chặn. • ðịnh nghĩa 2 Miền Ω n⊂ℂ gọi là miền chỉnh hình hay miền tồn tại của hàm f chỉnh hình trên Ω nếu không thể mở rộng chỉnh hình f tới một miền lớn hơn Ω . Nói một cách chính xác khai triển của f thành chuỗi lũy thừa tại mọi 0z Ω∈ không thể hội tụ trong một ña ñĩa ( )0P z ,r với ( )0r z , Ωρ> ∂ . • ðịnh nghĩa 3 a) Giả sử Ω là một miền trong nℂ . Với mọi tập compact K Ω⊂ ñặt  ( ) ( ){ }Ω kK z Ω : f z f , f H Ω= ∈ ≤ ∀ ∈ Tập ΩK gọi là bao lồi chỉnh hình của K trong Ω . b) Miền Ω gọi là lồi chỉnh hình nếu ΩK là compact với mọi tập compact K trong Ω . 1.4. Hàm ñiều hòa dưới, hàm ña ñiều hòa dưới • ðịnh nghĩa hàm ñiều hòa dưới  ðịnh nghĩa 1 Hàm hai biến thực u ( x, y) trên miền D 2⊂ ℝ gọi là ñiều hòa nếu nó có các ñạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn ñiều kiện: 2 2 2 2 u u u 0 x y ∂ ∂∆ = + = ∂ ∂ u∆ ñược gọi là toán tử Laplace.  ðịnh nghĩa 2 Hàm [ )u : D ,→ −∞ + ∞ ñược gọi là nửa liên tục trên nếu 11 ( ) ( ) o o z z lim supu z u z → ≤ với mọi oz D∈ . Một cách tương ñương [ )( )1u , a− −∞ là mở với mọi a−∞ < <+ ∞ .  ðịnh nghĩa 3 Hàm [ )u : D ,→ −∞ + ∞ ñược gọi là hàm ñiều hòa dưới nếu a) u nửa liên tục trên. b) ðối với mọi hình tròn U với U D⊂ và mọi hàm ñiều hòa h trên U liên tục trên U từ h u≥ trên U∂ suy ra h u≥ trên U. • ðịnh nghĩa hàm ña ñiều hòa dưới  ðịnh nghĩa Hàm nửa liên tục trên [ ): ,ϕ Ω → −∞ + ∞ với Ω là mở trong nℂ gọi là ña ñiều hòa dưới nếu với mọi z∈Ω và n , 0ω ω∈ ≠ℂ hàm ( )zτ ϕ τω→ + là ñiều hòa dưới trong một lân cận của 0∈ℂ . Ký hiệu ( )P Ω là tập các hàm ña ñiều hòa dưới trong Ω . Ví dụ: Nếu ( )f H∈ Ω thì f và log f là hàm ña ñiều hòa dưới.  ðịnh lý Giả sử ϕ là hàm lớp 2ℂ trên mở nΩ ∈ℂ . Khi ñó ϕ là ña ñiều hòa dưới nếu và chỉ nếu ( ) ( ) 2n n ij ii , j 1 j L z, z 0 z và z z ϕ ϕ ω ω ω Ω ω = ∂ = ≥ ∀ ∈ ∈ ∂ ∂∑ ℂ . Chứng minh. ðịnh lý nhận ñược từ ñẳng thức sau ( ) 2 2n n j i ii, j 1 j u z z và z z ϕ ω ω ω τ τ = ∂ ∂ = ∀ ∈Ω ∈ ∂ ∂ ∂ ∂∑ ℂ ở ñây 12 ( ) ( )u zτ ϕ τω= + . 1.5. Bao ña ñiều hòa dưới • ðịnh nghĩa Giả sử Ω là miền trong nℂ còn K compact trong Ω . Tập  ( ) ( ){ }PΩ K K z Ω : z sup P Ωφ φ φ= ∈ ≤ ∀ ∈ gọi là bao ña ñiều hòa dưới của K trong Ω . Bây giờ giả sử δ là hàm liên tục tùy ý trên nℂ sao cho 0δ> trừ tại 0 và ( ) ( )tz t zδ δ= ( có thể lấy δ là một chuẩn tùy ý trên nℂ ). ðặt ( ) ( ){ } ( ){ } z, Ω inf z : Ω inf z : Ω δ δ ω ω δ ω ω ∂ = − ∈∂ = − ∉ Rõ ràng ( )z, Ωδ ∂ là liên tục trên Ω . • ðịnh lý Nếu Ω là một miền trong nℂ , các ñiều kiện sau là tương ñương (i) ( )log δ z, Ω− ∂ là ña ñiều hòa dưới. (ii) Tồn tại hàm ña ñiều hòa dưới liên tục φ vét cạn Ω , có nghĩa là ( ){ }cΩ φ z c= < là compact tương ñối trong Ω với mọi c∈ℝ . (iii)  PΩK compact nếu K compact trong Ω . Chứng minh 13 ( ) ( )i ii⇒ Hiển nhiên hàm ( ) ( )2z z log z, Ωφ δ= − ∂ là ña ñiều hòa dưới vét cạn của Ω . ( ) ( )ii iii⇒ là hiển nhiên vì ( )log z, Ω khi z Ωδ− ∂ →+∞ →∂ . ( ) ( )iii ii⇒ Cho oz Ω∈ và nω∈ℂ . Ta cần chứng minh hàm ( )oz log z , Ωδ τω→− + ∂ là ñiều hòa dưới trong mọi hình tròn { }oD z : r Ωτω τ= + ≤ ⊂ . Giả sử u là hàm liên tục trên D ñiều hòa trong D sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o fo log z , Ref , r hay 1 z , e , r τ δ τω τ τ δ τω τ − + ∂Ω ≤ = + ∂Ω ≥ = Chọn hàm f liên tục trên D và chỉnh hình trong D sao cho u = Ref. Hàm như vậy tồn tại do D ñơn liên. Viết (1) trong dạng ( ) ( )olog z , Ref rδ τω τ τ− + ∂Ω ≤ ∀ = (2) Chúng ta muốn chứng minh (2) thực hiện trên rτ ≤ . ðối với mỗi na ∈ℂ với ( )a 1δ < xét với mỗi 0 1λ≤ ≤ ánh xạ ( )foz ae , rττ τω λ τ−→ + + ≤ Ký hiệu Dλ là ảnh của nó. Rõ ràng Do = D. ðặt { }0 1: Dλλ∧ = ≤ ≤ ⊂ Ω . Hiển nhiên ∧ là tập con của ñoạn [0, 1]. Ta kiểm tra lại ∧ là ñóng trong [0, 1] và vậy thì ∧ = [0, 1]. ðặt ( ){ }foK z ae : r, 0 1ττω λ τ λ−= + + = ≤ ≤ Bởi (1) K là compact trong Ω . Nếu ( )Pϕ ∈ Ω thì 14 ( )( )foz ae ττ ϕ τω λ −→ + + là ñiều hòa dưới trong một lân cận của rτ ≤ . Vậy thì ( )( )fo K z ae supτϕ τω λ ϕ−+ + ≤ nếu rτ ≤ . Có nghĩa   P P D K . Do K compact trong suy raλ λΩ Ω⊂ ∀ ∈∧ Ω ∧ là ñóng. Như vậy 1D ⊂ Ω . ðó là ( )foz ae ττω λ −+ + ∈Ω nếu ( )a 1 và rδ τ< ≤ . Vậy thì ( ) ( ) ( ) ( ) fo o z , e , r hay log z , Ref , r. τδ τω τ δ τω τ τ −+ ∂Ω ≥ ≤ − + ∂Ω ≤ ≤ Và (i) ñã ñược chứng minh xong. • ðịnh nghĩa Miền nΩ ⊂ℂ gọi là giả lồi nếu nó thỏa mãn một trong ba ñiều kiện tương ñương của ñịnh lý 1.4.2. Bởi vì ( ) ( )f P f H∈ Ω ∀ ∈ Ω ta có   P K KΩ Ω⊆ . Vậy ta có hệ quả sau. • Hệ quả ðối với miền nΩ ⊂ℂ ba khẳng ñịnh sau là tương ñương. (i) Ω là miền chỉnh hình (ii) Ω là miền lồi chỉnh hình (iii) Ω là miền giả lồi. 15 1.6. Nguyên lý mô ñun cực ñại • ðịnh lý ( Hàm một biến phức) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn D và liên tục trên D . Khi ñó hoặc f = const hoặc ( )f z chỉ ñạt cực ñại trên biên ∂D của D. Chứng minh Vì f liên tục trên tập compact D nên tồn tại oz D∈ sao cho ( ) ( )o z D max f z f z ∈ = Giả sử oz D∈ , ta sẽ chứng minh rằng f (z) = const. Lấy r > 0 sao cho ( )oD z , r D⊂ . Theo ñịnh lý giá trị trung bình ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2i io o o o 0 0 0 1 1 1f z f z d f z re d f z re d 2 2 2 pi pi pi ϕ ϕϕ ϕ ϕ pi pi pi = = + ≤ +∫ ∫ ∫ Vì thế ( ) ( )2 io o 0 1 f z re f z d 0 2 pi ϕ ϕ pi  + − ≥  ∫ Trên ñường tròn ( )oD z , r∂ tất nhiên cũng có ( ) ( )io of z re f z Mϕ+ ≤ = và do ñó ( ) ( )2 io o 0 1 f z re f z d 0 2 pi ϕ ϕ pi  + − =  ∫ Bởi tính liên tục: ( ) ( )io of z re f z Mϕ+ = = với mọi 0 2ϕ pi≤ ≤ . 16 Tương tự có ñẳng thức trên với mọi /r r≤ , do ñó ( )f z M= với mọi ( )oz D z , r∈ . Lấy ñiểm z* tùy ý trong D. Gọi L là ñường cong nối zo với z*. Do L compact tồn tại các ñiểm zo, z1, , zn = z* trên L và r > 0 sao cho ( ) ( )n j j+1 j j 0 L D z , r và z D z , r D, j 0, 1, ..., n 1 = ⊂ ∈ ⊂ = −∪ . Bởi vì ( )f z M= trên ( )oD z , r nên ( )1f z M= . Vì vậy theo lập luận trên ( )f z M= với mọi ( ) ( )1z D z , r , ..., f z M∈ = với mọi ( )n 1z D z , r−∈ . ðặc biệt ( )*f z M= . Như vậy ta ñã chứng minh ( )f z M= với mọi z D∈ . Viết ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i arg f z i x,yf z f z e Me Mcos x,y iMsin x, y .ϕ ϕ ϕ= = = + Theo ñiều kiện Cauchy – Riemann Msin Mcos x y ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂− = ∂ ∂ (*) Mcos Msin x y ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂− = − ∂ ∂ Nhân ñẳng thức ñầu của (*) với sinϕ và nhân ñẳng thức thứ hai với cosϕ rồi so sánh ta có 2 2Msin Mcos hay M 0 x x x ϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂= − = ∂ ∂ ∂ . 17 Khi M = 0 thì hiển nhiên f = const. Còn khi M 0≠ thì 0 x ϕ∂ = ∂ . Thay ñiều kiện này vào một trong hai vế của (*) ta cũng có 0 y ϕ∂ = ∂ . Từ ñó constϕ = trong miền D và vậy thì f = const. • ðịnh lý ( Hàm nhiều biến phức) Nếu f chỉnh hình trên miền Ω ⊂ nℂ sao cho f ñạt cực ñại tại Ω∈a , thì f = const trên Ω . Chứng minh Chọn 0ρ > ñủ bé ñể ( )B a, ρ ⊂ Ω . Khi ñó như hàm của một biến :ζ ζ ρ∈ <ℂ , f = const trên {a :ωζ ζ ρ+ < với mọi }n : 1ω ω∈ =ℂ . Vậy f = const trên ( )B a,ρ . Suy ra f = const trên Ω . 1.7. Không gian Banach hyperbolic Giả sử X là một không gian giải tích phức. Ta gọi giả khoảng cách Kobayashi Xd trên X là giả khỏang cách lớn nhất trong số các giả khoảng cách Xδ trên X sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình từ X vào ñĩa ñơn vị D là khoảng cách giảm. Nếu Xd trở thành khoảng cách thì ta nói X là một không gian giải tích hyperbolic. Một không gian Banach hyperbolic là không gian hyperbolic ñầy ñủ theo nghĩa Cauchy. 18 Một mặt Riemann ñược gọi là mặt Riemann Hyperbolic theo nghĩa này, nếu mọi phủ phổ dụng của nó là song chỉnh hình tới ñĩa ñơn vị. Một ña tạp phức compact là hyperboli
Luận văn liên quan