Cẩm nang toán học

Họ và tên: Phạm Văn Hòa Ngày sinh: 23/03/1994 Mã số sinh viên: 12020714 Ctmail: hoapv_570@vnu.edu.vn Phone: 01664187405 Nhóm: 1 TOÁN K57_V TIỂU LUẬN I, Hàm đường thẳng 1,Xét đường thẳng có phương trình: y=ax +b, trong đó a,bÎ R được gọi là phương trình hàm đường thẳng. Ta có: a -là hệ số góc 2, Hàm số có tập xác định là: R=(-∞ ;+∞) và tập giá trị là R x a<0 y y=ax+b o a>0 *Tính chất Phương trình tổng quát: y=ax +b, trong đó a là hệ số góc. Đồ thị luôn là một đường thẳng Hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 Khi b=0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ Khi a=0 thì hàm số trở thành hàm hằng và có đồ thị là một đường thẳng song song với trục ox Đặc biệt đồ thị hàm y= x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và chia góc phần tư thứ nhất làm hai phần bằng nhau và được gọi là đường phân giác thứ nhất *Đạo hàm Hàm y= ax +b có đạo hàm bằng: y’=a- là một hằng số Hàm hằng có đạo hàm bằng 0 II,Hàm lũy thừa 1, Hàm lũy thừa có dạng : y=x , trong đó α là một số thực bất kì. 2,Miền xác định cuả hàm số phụ thuộc vào a Với aÎ N thì miền xác định của hàm số là cả trục số R Với a nguyên âm thì tập xác định của hàm số là cả trục số trừ điểm gốc 0 Với a có dạng ; pÎ Z thì : miền xác định phụ thuộc vào p chẵn hay lẻ và tập giá trị của p 3, Nếu α là số hữu tỷ thì khi đó ta có thể viết :y= thì không xác định được với x<0 Nếu a là số vô tỉ thì quy ước chỉ xét tại mọi x³ 0 nếu a>o và tại mọi x<0 nếu a<0 Để đúng cho mọi trường hợp ở đây ta xét x>0 4, Đồ thị y=x a<0 y=x a=1 0<a<1 a>1 aa>1 *Tính chất Hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 trong khoảng(0,+∞) và liên tục trên khoảng đó Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1,1) và đi qua gốc tọa độ nếu a>0 và không đi qua nếu a<0 Với α=1 thì đồ thị hàm số trùng với đường phân giác thứ nhất Đồ thị hàm số với α>1 và 0<α<1 là hai đường cong đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất Khi a>0 đồ thị hàm số không có tiệm cận. Khi a<0 thì đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang và nhận trục Oy làm tiệm cận đứng *Đạo hàm Hàm số y=x (α ÎR ) có đạo hàm với mọi x>0 và (x)’=α x Đối với hàm số hợp y=u và u=u(x) thì y’=α u u’ III, Hàm mũ 1, Hàm mũ có dạng: y=a , trong đó a là cơ số . Hàm số chỉ xác định với cơ số a>0, khi đó tập tập xác định của nó là R=(-∞,+∞) 2, Tập giá trị của hàm số là : (0 ;+∞) 3, Hàm số liên tục trên tập xác định hay liên tục trên R=(-∞ ;+∞) 4, Đồ thị y= a y= a a>1 0<a<1 *Tính chất Hàm mũ luôn dương với mọi giá trị của biến số Nếu a=1 , hàm y=1 với mọi x. Với mọi a>0 ta có a =1 Với a>1 thì ta có hàm số đồng biến trên tập xác định. a =0 a =+∞ Với 0<a<1 ta có hàm số nghịch biến trên tập xác định a =+∞ a =0 Hàm mũ luôn có hàm ngược là hàm lôgarit Một số công thức hay dùng : a a =a ; =a ; (a ) = a *Đạo hàm Đạo hàm của hàm mũ : (a)’=a lna Đạo hàm của hàm hợp: Ta có: y=a và u=u(x) , khi đó : y’= u’a lna IV, Hàm logarit 1, Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ 2,Ta có: hàm mũ có dạng y= a , do đó hàm logarit có dạng : y= log x trong đó a được gọi là cơ số của hàm lôgarit 3, Hàm lôgarit chỉ được xác định khi x>0 và có giá trị trong khoảng (-∞; +∞) và log x chỉ xác định khi: a>0 và a#1 4, Do hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ nên đồ thị hai hàm số đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất 5, Đồ thị y= log x y= log x *Tính chất Hàm logarit đơn điệu và liên tục trong khoảng (0;+∞) Hàm logarit đồng biến khi a>1 va nghịc biến khi 0<a<1 Điểm (0;1) luôn nằm trên đồ thị hàm logarit, nghĩa là log 1=0 Đặc biệt log a=1 *Một số công thức hay dùng vì y=a và y= log x là hai hàm ngược nhau nên ta có : a =x ; log a=x Với x,y,z>0 thì ta có : Log xyz=log x+log y+log z Log = log x-log y Với m là số thực bất kì ta luôn có : Log x =mlog x Giả sử a,b là hai số dương bất kì #1, ta có với x>0 thì log x=log b log x Đặc biệt : log b log a=1 Lưu ý: logarit với hai cơ số a và b khác nhau của cùng một biến là những đại lượng tỉ lệ với nhau (khi x thay đổi) Ta có: với mọi a>0, a#1, với mọi x>0 và với mọi số thực β log x = log x từ đó: log x= log Loga Nê pe (Napier) hay loga tự nhiên Người ta gọi lôga với cơ số e là lôga tự nhiên log x=ln x Lôga với cơ số 10 được viết đơn giản là: lg x *Đạo hàm: Ta có: y= log x thì y’= Với hàm hợp ta có : y= log u và u=u(x) thì khi đó ta có : y’= Lưu ý : một số đạo hàm đặc biệt : (lnx)’=   (ln u)’= (lg x)’= (lg u)’= V, Hàm lượng giác Các hàm số có dạng : y=sin x ; y=cos x ; y=tan x ; y=cotg x được gọi là các hàm số lượng giác vì chúng xác định trên R thông qua đường tròn lượng giác Các hàm số : y=sin x và y= cos x có miền xác định là toàn trục số R và có miền giá trị là khoảng đóng [-1 ;1] Hàm số y=tan x xác định tại mọi x # (2k+1)π/2 ;kÎ Z và có miền giá trị là R Hàm số y=cotg x xác định tại mọi x # kπ , kÎ Z và có miền giá trị là R Đồ thị a, b, d, c, a,đồ thị hàm y= sin x b, đồ thị y= cos x c, đồ thị hàm y= tg x d, đồ thị hàm y= cotg x *Tính chất Hàm số y=sin x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì là 2π Hàm số y=cos x là hàm chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π Hàm số y= tg x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π Hàm số y=cotg x là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π * Một số công thức hay dùng a, các công thức cơ bản 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ b, các công thức cộng trừ 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ c, các công thức nhân đôi 1/ 2/ 3/ 4/ d, các công thức góc nhân ba 1/ 2/ 3/ 4/ e, các công thức hạ bậc 1/ 2/ 3/ 4/ 1/ 2/ f, các công thức nhân ba 1/ 2/ 3/ 4/ g, Công thức biểu diễn qua : 1/ 2/ 3/ 4/ h, công thức biến đổi tổng->tích 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 9/ 10/ 11/ I, công thức biến đổi tích ->tổng 1/ 2/ 3/ * Đạo hàm của hàm số lượng giác (sin x)’ = cos x (cos x) = - sin x (tg x)’ = (cotg x)’ = VI, Hàm số lượng giác ngược 1, Công thức hàm lượng giác ngược: y=arcsin x ; y=arccos x ; y= arctg x ; y=arccotg x 2, Tập giá trị và tập xác định của các hàm lượng giác ngược Hàm y= arcsin x xác định với mọi xÎ [-1;1] và có tập giá trị là đoạn [ -  ; ] Hàm y=arccos x xác định và liên tục trong xÎ [-1 ;1] và có tập giá trị là đoạn [0 ;π] Hàm y=arctg x xác định và liên tục với mọi xÎ (-∞ ;+∞) và có tập giá trị là : (-  ; ) Hàm y=arccotg x xác định và liên tục với mọi xÎ (-∞ ;+∞) và có tập giá trị là : (0 ;π) 3, Đồ thị Các hàm lượng giác ngược có đồ thị đối xứng với các hàm lượng giác tương ứng qua đường phân giác thứ nhất y=arcsin x y= arccos x y= arccotg x y=arctg x * Tính chất : Các hàm y=arcsin x và y= arctg x là các hàm tăng. Các hàm y=arccosx và y=arccotg x là các hàm giảm Tập hợp tất cả các nhánh của một hàm lượng giác ngược được kí hiệu là Arc của hàm lượng giác tương ứng * Các trị số hay gặp : arcsin 0=0 ; arcsin 1=  ; arcsin =  ; arcsin =  ; arcsin = arccos 0= ; arccos 1=0; arccos = ; arccos = ; arccos = arctg 0=0; arctg 1= ; arctg = ; arctg = Tương tự đối với hàm arccotg sao cho: arctg x+arccotg x= * sai lầm: A arctan x =kп * Các công thức hay dùng VII, Hàm hypebolic 1, Các hàm hypebolic gồm: shx= ; chx= ; thx= = ; cothx= = 2, Tập gái trị và tập xác định của các hàm hypebolic Hàm shx xác định với mọi xÎ R và có tập giá trị là R Hàm chx xác định với mọi xÎ R và có tập giá trị là [1;+∞] Hàm thx xác định với mọi xÎ R và có tập giá trị là (-1;+1) Hàm cothx xác định với mọi xÎ R\{o} và có tập giá trị là (-∞;-1) È (1;+∞) 3, Các hàm hypebolic đều liên tục trên tập xác định của chúng 4, Đồ thị * Một số công thức hay dùng 1, ch a + sh a=1 2, sh(a+b)=shachb+shbcha 3, sh(a-b)=shachb-shbcha 4, ch(a+b)=chachb+shashb 5, ch(a-b)=chachb-shashb 6, th(a+b) = 7, th(a-b) = 8, ch2a = ch a + ch a 9, sh2a=2chasha 10, th2a = 11, Với th =t , ta có: cha =  ; sha =  ; tha = 12, sh3a = 3sha +4sh a 13, ch3a = 4ch a- 3cha VIII, Hàm hypebolic ngược: 1, Công thức các hàm hypebolic ngược là: y=argshx; y=argchx; y=argthx; y=argcotcothx ( với arg là viết tắt của acsgumen) 2, Vì hàm y=ch x là hàm chẵn nên tồn tại hàm ngược y= argch x với xÎ[0; +∞) 3, Hàm y=argsh x liên tục trên R=(-∞;+∞) 4, Hàm y=argch x xác định và liên tục khi xÎ [1;+∞) và có tập giá trị là : [0;+∞) 5, Hàm y=argth x xác định và liên tục trên (-1;1) và có tập giá trị là R=(-∞;+∞) 6, Hàm y=argcoth x xác định với x1 và có tập giá trị là R\{0} 7, Đồ thị * Tính chất: Dạng loga của hàm hypebolic ngược: argsh x= ln (x+ ) argch x = ln (x+ ) argth x = ln argcoth x= ln THE END !