Chuyên đề Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

SỞ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO ðỒNG NAI Trường THPT BC Lê Hồng Phong Giáo viên thực hiện NGUYỄN TẤT THU Năm học: 2008 – 2009 MỤC LỤC MỤC LỤC.................................................................................................................................... 1 LỜI MỞ ðẦU.............................................................................................................................. 3 I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. ............................................................ 4 II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ........... 24 III. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP............................................................................................... 30 BÀI TẬP ÁP DỤNG ................................................................................................................. 41 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ...................................................................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 46 LỜI MỞ ðẦU Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan ñến dãy số là một phần quan trọng của ñại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua ñến dãy số và ñặc biệt là bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi ñã xác ñịnh ñược công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như ñược giải quyết. Do ñó xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất ñịnh trong các bài toán dãy số. Chuyên ñề “Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số ” nhằm chia sẻ với các bạn ñồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài toán xác ñịnh CTTQ của dãy số mà bản thân ñúc rút ñược trong quá trình học tập và giảng dạy. Nội dung của chuyên ñề ñược chia làm ba mục : I: Sử dụng CSC – CSN ñể xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số có dạng công thức truy hồi ñặc biệt. II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác ñể xác ñịnh CTTQ của dãy số III: Ứng dụng của bài toán xác ñịnh CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số - tổ hợp . Một số kết quả trong chuyên ñề này ñã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên ñề các kết quả ñó ñược xây dựng một cách tự nhiên hơn và ñược sắp xếp từ ñơn giản ñến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho các em học sinh. Trong quá trình viết chuyên ñề, chúng tôi nhận ñược sự ñộng viên, giúp ñỡ nhiệt thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi xin ñược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên ñề sẽ có những thiếu sót. Rất mong quý Thầy – Cô và các bạn ñồng nghiệp thông cảm và góp ý ñể chuyên ñề ñược tốt hơn. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số có công thức truy hồi dạng ñặc biệt. Phương pháp này ñược xây dựng dựa trên các kết quả ñã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết chúng ta nhắc lại một số kết quả ñã biết về CSN – CSC . 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un gọi là cấp số cộng . un 1 d n 2 , d là số thực không ñổi d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng ñầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số ðịnh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un u1 (n 1)d (1). ðịnh lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng ñầu của CSC (un ) có công sai d. Ta có: n S [2u n 2 1 (n 1)d ] (2). 1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un 1 bội q . q.un n ℕ * gọi là cấp số nhân công n 1 ðịnh lí 3: Cho CSN (un ) có công bội q . Ta có: un u1q (3). ðịnh lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng ñầu của CSN (un ) có công bội q . Ta có: 1 - qn S u (4). n 1 1 - q 2. Áp dụng CSC – CSN ñể xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số ñặc biệt Ví dụ 1.1: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số (un ) ñược xác ñịnh bởi: Giải: u1 1, un un 1 2 n 2 . Ta thấy dãy (un ) là một CSC có công sai d 2 . Áp dụng kết quả (1) ta có: un 1 2(n 1) 2n 3 . Ví dụ 1.2: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số (un ) ñược xác ñịnh bởi: Giải: u1 3, un 2un 1 n 2 . n 1 Ta thấy dãy (un ) là một CSN có công bội q 2 . Ta có:un 3.2 . Ví dụ 1.3: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi: Giải: u1 2, un 3un 1 1 n 2 . Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy (un ) không phải là CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1 ở VT. Ta tìm cách làm mất 1 ñi và chuyển dãy số về CSN. Ta có: 1 3 1 nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: 2 2 1 3 un 2 3un 1 2  3(un 1 1) (1). 2 1 5 ðặt vn u Þ v n 2 1 2 và vn 3vn 1 n 2 . Dãy (vn ) là CSN công bội q 3 Þ v v .q n 1 5 .3n  1 . Vậy u v 1 5 .3n 1  n 1, 2, ..., ... n 1 2 n n 2 2 2 Nhận xét: Mẫu chốt ở cách làm trên là ta phân tích 1 3 1 ñể chuyển công thức 2 2 truy hồi của dãy về (1), từ ñó ta ñặt dãy phụ ñể chuyển về dãy (vn ) là một CSN. Tuy nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích 1 3 1 ? Ta có thể làm như sau: 2 2 Ta phân tích 1 k 3k Þ k 1 . 2 î u x Với cách làm này ta xác ñịnh ñược CTTQ của dãy (u ) : í 1 0 . Thật vậy: n ïun aun 1 b n 2 * Nếu a 1 thì dãy (un ) là CSC có công sai d b nên un u1 (n 1)b . * Nếu a  1 , ta viết b ab b  . Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñược viết như a 1 a 1 b b b b n 1 sau: u a(u a 1 1 a ), từ ñây ta có ñược: u (u )a a 1 a n n 1 n 1 n 1 1 Hay u u an 1 b a 1 . n 1 a 1 Vậy ta có kết quả sau: Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 CTTQ là: x 0, un 1 ìu (n ï aun 1 1)b b n khi 2 (a,b a 1 0 là các hằng số) có un í ïu  .an 1 an 1 b 1 khi a 1 . î 1 a 1 Ví dụ 1.4: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñược xác ñịnh : u1 2; un 2un 1 3n 1 . Giải: ðể tìm CTTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3n CSN. Muốn làm vậy ta viết : 1 ñể chuyển về dãy số là một 3n 1 3n 5 2 3(n 1) 5ùû (2). Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñược viết như sau: un 3n 5 2 un 3(n 1) 5ùû .  n 1 n 1 ðặt vn un 3n 5 , ta có: v1 10 và vn 2vn 1 n 2 Þ vn v1.2 10.2 Vậy CTTQ của dãy (u  ) : u v 3n 5 5.2n  3n 5  n 1, 2, 3,... . n n n Chú ý : 1) ðể phân tích ñược ñẳng thức (2), ta làm như sau: ìïa b 2 ìïa 3 3n 1 an b 2 éëa(n 1) b ùû . Cho n 1;n u  2 ta có: í ïî b 5 í . ïîb 5 2) Trong trường hợp tổng quát dãy u : í 1 , trong ñó f (n) î n ïun aun 1 f (n) n 2 là một ña thức bậc k theo n , ta xác ñịnh CTTQ như sau: Phân tích f (n) g(n) ag(n 1) (3) với g(n) cũng là một ña thức theo n . Khi ñó ta có: u g(n)  a éu g(n  1)ù  ...  an 1 éu g(1)ù n ë n 1 û ë 1 û Vậy ta có: u éu g(1)ù an 1  g(n) . n ë 1 û Vấn ñề còn lại là ta xác ñịnh g(n) như thế nào ? Ta thấy : *Nếu a 1 thì g(n) ag(n 1) là một ña thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n) , mà f (n) là ña thức bậc k nên ñể có (3) ta chọn g(n) là ña thức bậc k 1 , có hệ số tự do bằng không và khi ñó ñể xác ñịnh g(n) thì trong ñẳng thức (3) ta cho k 1 giá trị của n bất kì ta ñược hệ k 1 phương trình, giải hệ này ta tìm ñược các hệ số của g(n) . * Nếu a 1 thì g(n) ag(n 1) là một ña thức cùng bậc với g(n) nên ta chọn g(n) là ña thức bậc k và trong ñẳng thức (3) ta cho k g(n) . Vậy ta có kết quả sau: 1 giá trị của n thì ta sẽ xác ñịnh ñược u1 x 0 î Dạng 2: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi: í ïun  a.un 1  f (n) , trong ñó f (n) là một ña thức bậc k theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau: Ta phân tích: f (n) g(n) a.g(n 1) với g(n) là một ña thức theo n . Khi ñó, ta ñặt n 1 vn un g(n) ta có ñược: un éëu1 g(1) a g(n) . Lưu ý nếu a 1, ta chọn g(n) là ña thức bậc k 1 có hệ số tự do bằng không, còn nếu a 1 ta chọn g(n) là ña thức bậc k . u 2 Ví dụ 1.5: Cho dãy số (u ) : í 1 . Tìm CTTQ của dãy (u ) . î n ïun un 1 2n 1 n Giải: Ta phân tích 2n 1 g(n) g(n 1) a én 2 (n 1)2 ù b éën (n 1)ùû ë û ( trong ñó g(n) an 2 bn ). Cho n  0, n  a b 1 1 ta có hệ:  a 1 Þ g(n) n 2  2n . í í ïa b 3 ïb 2 î î n Þ u n 2 2n 1 . u 1 Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : í 1 .Tìm CTTQ của dãy (un ) . î n ïun 3un 1 2 ; n 2, 3,... Giải: Ta vẫn bắt chước cách làm trong các ví dụ trên, ta phân tích: 2n a.2n 3a.2n 1 . Cho n  1 , ta có: a 2 Þ 2n 2.2n 3.2.2n 1 Nên ta có: u 2.2n  3(u 2.2n 1 ) ... 3n 1(u 4) n n 1 1 Vậy un 5.3n 1 2n 1 . n Chú ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un a.un 1 b. , ta phân tích n k. n  ak. n 1 với (a ) . Khi ñó: u kb. n  a u kb. n 1  ...  a n 1  u bk n n 1 1 n Suy ra u an  1 1(u bk )  bk. n . Trường hợp a , ta phân tích n  n. n  (n 1). n 1 n n 1 n 1 Þ un bn. un 1 b(n 1). ... (u1 b ) Þ un  b(n  u 1 1) n n  1 . Vậy ta có kết quả sau. u î Dạng 3: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : í 1 n , ta làm như sau: Nếu a  Þ un b(n  1) n ïun . n 1 u 1 a.un 1 b. n 2 Nếu a , ta phân tích n k. n  n 1 ak. n 1 . Khi ñó: u an 1(u bk ) bk. n Ta tìm ñược: k . a n n u 2 Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í 1 . î ïun 5un 1 2.3 6.7 12 ; n 2, 3, ... ïì3n í  k.3n ì 3 2 5k.3n 1 ïk í Giải: Ta có: 7n l.7n 5l.7n 1 cho n 1 , ta ñược: ïl 7 ïî 2 Hơn nữa 12 3 5.3 nên công thức truy hồi của dãy ñược viết lại như sau: n n n n 1 n 1 n 1 un 3.3 21.7 3 5 un 1 3.3 21.7 3 ... 5 (u1 9 147 3) Vậy un  157.5n 1  3n 1  3.7n 1 3 . u 1 Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í 1 . î ïun 2un 1 3 n; n 2 ìï3n Giải: Ta phân tích: í 3.3n 2.3.3n 1  nên ta viết công thức truy hồi của dãy ï ë n n 2 2 é(n î 1) 2 như sau: u 3.3n n 2 2 éu 3.3n 1 (n 1) 2ù ... 2n 1(u  12) Vậy un n 11.2n 1  3n 1 ë n 1 û 1 n 2 . u p Dạng 4: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : í 1 , trong î n ïun a.un 1 b. f (n); n 2 ñó f (n) là ña thức theo n bậc k , ta phân tích n và  f (n) như cách phân tích ở dạng 2 và dạng 3. Ví dụ 1.9: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : u0 1, u1 3, un 5un 1 6un 2 n 2. Giải: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số trên, ta thay thế dãy (un ) bằng một dãy số khác là một CSN. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: un x1.un 1  x2 (un 1  x1un  2 ) , do ñó ta phải chọn x1, x2 : ìïx1 í x x x2 5 6  hay x1, x2 là 1 2 nghiệm phương trình : x 2 5x 6 0  x 2; x  3 . Ta chọn x  1 2; x2  3 . Khi ñó: n 1 n 1 un 2un 1 3(un 1 2un n 1 2 ) ... 3 (u1 2u0 ) 5.3 n n Þ un 2un 1 5.3 . Sử dụng kết quả dạng 3, ta tìm ñược: un 5.3 6.2 . Chú ý : Tương tự với cách làm trên ta xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi: ìïu0 ; î í ïun u1 a.un 1  b.un  2 =0  , trong ñó a,b là các số thực cho trước và a 2 4b 0 n 2 như sau: 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : x ax b ñược gọi là phương trình ñặc trưng của dãy). 0 (4) ( phương trình này Khi ñó: u x  .u x  (u x .u  ) ... x n 1(u x .u ) . n 1 n 1 2 n 1 1 n 2 2 1 1 0 Sử dụng kết quả của dạng 3, ta có các trường hợp sau: x2 .u0 u1 n u1 x.u0 n n n Nếu x1 x2 thì un x1 x2 x1 ë k l u y x x2 . Hay un k.x1 l.x2 , trong ñó k,l là nghiệm của hệ: í 0 . î ïx1.k x2 .l u1 n 1 é u0a au0 ù n 1 Nếu x1 x2 thì un ìïl êê 2 .u (u1 )n ú , hay un 2 úû (kn l ) , trong î ñó k,l là nghiệm của hệ: í 0 . Vậy ta có kết quả sau: ïk l u1  u0 ; u1 Dạng 5: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : í u a.u b.u  0 n 2 , trong n n 1 n 2 ñó a,b,c là các số thực khác không; a 2 4b  0 ta làm như sau: 2 Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình ñặc trưng: x ax b 0 . n n k l u0 Nếu x1 x2 thì un k.x1 l.x2 , trong ñó k,l là nghiệm của hệ : í . î ïx1.k x2 .l u1 n 1 l  .u0 Nếu x1 x2 thì un (kn l ) , trong ñó k,l là nghiệm của hệ: í . ïîk l u1 u0 1; u1 2 Ví dụ 1.10: Cho dãy số un ñược xác ñịnh bởi : í u . 4u u n 1 Hãy xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) . Giải: n 1 n n 1 Phương trình x 2 4x  1 0 có hai nghiệm x  2 5; x  2 5 . 1 2 n n ìïk l 1 í Þ un k.x1 l.x2 . Vì u0 1;u1 2 nên ta có hệ: (2 5)k (2 5)l 2 k l 1 . Vậy u 1 é(2 5)n (2 5)n ù . 2 n 2 ë û î u 1;u 3 Ví dụ 1.11: Xác ñịnh CTTQ của dãy: (u ) : í 0 1 . Giải: n ïun 4un 1 4un 2 0 n 2, 3,... Phương trình ñặc trưng x 2 4x ìïl  4 0 có nghiệm kép x 2  2 nên un (kn l )2n 1 Vì u0 1; u1 3 nên ta có hệ: í ï k l 3 î k 1;l 2 . Vậy un (n 2)2n 1 . u 1;u 3 Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) : í 0 1 u 5u 6u  2n 2  2n 1; . Xác ñịnh n 2 CTTQ của dãy (un ) . Giải: n n 1 n 2 Với cách làm tương tự như Ví dụ 1.4, ta phân tích: 2n 2 2n 1 (kn 2 ln t) 5 ék(n 1)2 l(n 1) t ù 6 ék(n 2)2 l(n 2) t ù (5) ë û ë û ì19k 7l 2t 1 ìk 1 5l 2t 5 3l 2t 13 ï ï Ở (5) cho n 0; n 1;n 2 ta có hệ: í7k íl 8 . ï k ït 19 î î ðặt v u n 2  8n 19 Þ v  20; v  25 và v 5v 6v 0 n n Þ v .3n 0 1 .2n . Ta có hệ: 20 n n 1 n 2 15  ï n 3 2 25 í 35 î î Þ v 15.3n 35.2n Þ u 15.3n 35.2n n2 8n  19 . n n u ; u Chú ý : ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số: (u ) : í 0 1 , î n ïun 1 a.un b.un 1 f (n) ; n 2 ( trong ñó  f (n) là ña thức bậc k theo n và a 2 4b  0 ) ta làm như sau: Ta phân tích  f (n)  g(n)  ag(n  1) bg(n  2) (6) rồi ta ñặt vn  un g(n) Ta có ñược dãy số (v ïìv0 ) : í u0 g(0); v1 u1 g(1)  . ðây là dãy số mà ta ñã xét î n ïvn avn 1 bvn 2 0 n 2 trong dạng 5. Do ñó ta sẽ xác ñịnh ñược CTTQ của vn Þ un . Vấn ñề còn lại là ta xác ñịnh g(n) như thế nào ñể có (6) ? Vì f (n) là ña thức bậc k nên ta phải chọn g(n) sao cho g(n)  ag(n  1) bg(n  2) là một ña thức bậc k theo n . Khi ñó ta chỉ cần thay k xác ñịnh ñược g(n) . 1 giá trị bất kì của n vào (6) ta sẽ Giả sử g(n)  a nm  a nm 1  ...  a n a (a  0 ) là ña thức bậc m . Khi ñó hệ m m 1 1 0 m số của x m và x m 1 trong VP là: a  .(1  a b) và é (a  2b)m.a (1 a b)a ù . Do ñó : m ë m m 1 û i) Nếu PT: x 2  ax b  0 (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 1 a b 0 nên VP(6) là một ña thức bậc m . ii) Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó có một nghiệm x 1 Þ 1 a b 0 và (a m 1 .  2b)m.am  (1 a b)am 1  (a 2b).m.am  0 nên VP(6) là một ña thức bậc iii) Nếu PT (1) có nghiệm kép x 1 Þ a 2;b 1 nên VP(6) là một ña thức bậc m 2 . Vậy ñể chọn g(n) ta cần chú ý như sau: Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g(n) là một ña thức cùng bậc với f (n) Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong ñó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g(n) n.h(n) trong ñó h(n) là ña thức cùng bậc với f (n) . Nếu (1) có nghiệm kép x  1 thì ta chọn g (n )  n 2 .h (n )  trong ñó h(n) là ña thức cùng bậc với f (n) .  u ; u Dạng 6: ðể tìm CTTQ của dãy (u ) : í 0 1 , î n ïun a.un 1 b.un 2 f (n) ; n 2 ( trong ñó  f (n) là ña thức theo n bậc k và b2 4ac k  0 ) ta làm như sau: Xét g(n) là một ña thức bậc k : g(n) ak n ... a1k a0 . Nếu phương trình : x 2  ax b  0 (1) có hai nghiệm phân biệt, ta phân tích f (n)  g(n)  ag(n  1) bg(n  2) rồi ñặt vn  n n un g(n) . Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó một nghiệm x 1 , ta phân tích f (n) n.g(n) a(n 1)g(n 1) b(n 2)g(n 2) rồi ñặt vn un n.g(n). Nếu (1) có nghiệm kép x 1 , ta phân tích f (n) n 2 .g(n)  a(n 1)2 .g(n  1) b(n 2)2 .g(n 2) rồi ñặt v u n2 .g(n) . î u 1;u 4 Ví dụ 1.13: Xác ñịnh CTTQ của dãy (u ) : í 0 1 . Giải: n ïun 3un 1 2un 2 2n 1 n 2 Vì phương trình x 2 3x  2 0 có hai nghiệm x  1; x  2 nên ta phân tích 2n 1  n(kn l ) 3(n 1) ëék(n  1) l  2(n 2) éëk(n 2) l ùû , cho n  0;n  1 ta ìï5k l 1 có hệ: í k  1;l 6 . ðặt vn 3k l un 3 n(n  6) Þ v0  1;v1  11 và vn  3vn 1  2vn 2 0 Þ v .2n  .1n  với ìï 1 , : í  10; 9 ï n 2 11 î Þ v 10.2n  9 Þ u 5.2n 1 n 2  6n 9  n 0, 1, 2, ... . n n î n u 1;u 3 Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í 0 1 . Giải: Ta phân tích 2n  a.2n  4a.2n 1 ïun 3a.2n 4un 1 2 . 3un 2 5.2 n 2 Cho n 2 ta có: 4 4a 8a n 3a a 4 ðặt vn un 5.4.2 Þ v0 19;v1 43 và vn 4vn 1 3vn 2 0 Vì phương trình x 2 4x  3 0 có hai nghiệm x  1, x  3 nên vn .3n .1n Với ìï , : í ïî 19 3 43  12; 7 Þ vn  12.3n 7 . Vậy un 4.3n 1 5.2n 2 7  n 1, 2, ... . Chú ý : Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy số (un ) ñược xác ñịnh bởi: ìïu0 ;u1 í  2 n (với a 4b  0 ) như sau: î ïun a.un 1 b.un 2 c. n 2 Ta phân tích n k n a.k. n 1 b.k. n 2  (7). Cho n 2 thì (7) trở thành: k( 2 a. b) 2 2 Từ ñây, ta tìm ñược k  2 a b khi không là nghiệm của phương trình : x 2 ax b 0 (8). Khi ñó, ta ñặt v u kc. n , ta có dãy (v ïìv0 ) : í u0 kc; v1 u1 kc n n n v a.v bv 0 n 2 n n 1 n 2 n n Þ vn p.x1 q.x2 (x1, x2 là hai nghiệm của (8)). n n n Þ un p.x1 q.x2 kc. . Vậy nếu x là một nghiệm của (8), tức là: 2 a b Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích :  0 thì ta sẽ xử lí thế nào ? n kn. n  a.k(n 1) n 1  bk(n 2) n 2  (9). Cho n  2 ta có:  k(2 a)  2 k(2 a)  k ( a ). 2 a 2 Þ (2) có nghiệm k là nghiệm ñơn của phương trình (8). n n n Khi ñó: Þ un p.x1 q.x2 kcn. . Cuối cùng ta xét trường hợp x a là nghiệm kép của (8). Với tư tưởng như trên, 2 ta sẽ phân tích: n kn 2 . n  a.k(n 1)2 n 1  bk(n 2)2 n 2 (10). Cho n  2 ta có: (10)  2 4k. 2  ak. Þ k 1 . 4 a 2 Khi ñó: Þ u p.x n  q.x n 1 cn 2 . n . n 1 2 2 Vậy ta có kết quả sau: Dạng 7: Cho dãy số (un ) xác ñịnh bởi: ìïu0 ;u1 n í . u a.u b.u c. ; n 2 n n 1 n 2 ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau: Xét phương trình : x 2  ax b  0 (11) Nếu phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt khác thì 2 n n n un p.x1 q.x2 kc. với k . 2 a b Nếu phương trình (11) có nghiệm ñơn x thì n n n un p.x1 q.x2 kcn. với k . 2 a Nếu x là nghiệm kép của (11) thì : un  (p qn 1 cn 2 ). n . 2 n u 1; u 3 Ví dụ 1.15: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : í 0 1 . î ïun 5un 1 6un 2 5.2 n 2 Giải: Phương trình x 2 5x  6 0 có hai nghiệm x  1 2; x2  3 , do ñó n u p.2n q.3n 5kn.2n . 2 ì 2 2 a ï ïk 4 5 Với íp q ï2p 3q ï î 1 10k 3 k 2; p 26;q 25 . Vậy un 26.2n 25.3n 10n.2n 25.3n u0 2n 1; u1 1(5n 3  13)  n 1, 2, ... . n Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (u ) : í n . u u u Giải: n 4 n 1 4 n 2 3.2 Phương trình x 2 4x  4 0 ïìp  có nghiệm kép x 1  2 nên un  (p qn 3 n 2 )2n 2 Dựa vào u0, u1 ta có hệ: p q 0  î p 1;q 1 . Vậy un (3n 2 2n 2)2n 1 n  1, 2, ... . Với cách xây dựng tương tự ta cũng có ñược các kết quả sau: u , u , u Dạng 8: Cho dãy (un ) : í 0 1 2 .ðể xác ñịnh CTTQ î ïun aun 1 bun 2 cun 3 0 n