Đề tài Bài giảng điện tử môn ’Lý thuyết Galoa’ theo hướng tích cực hóa nhận thức người học

Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois Đề tài NCKH "Bài giảng điện tử môn ’Lý thuyết Galoa’ theo hướng tích cực hóa nhận thức người học" Chủ nhiệm đề tài: Ths. Ngô Thị Ngoan ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐHTN Thành viên tham gia: TS. Nguyễn Văn Hoàng Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois Lời mở đầu - Lý thuyết Galois là sự phiên dịch và kết nối của lý thuyết về đa thức, lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Công thức nghiệm (chỉ sử dụng các phép toán đại số trên các hệ số của đa thức) của đa thức bậc hai đã được con người biết từ rất lâu. Đến giữa thế kỉ 16, công thức nghiệm của đa thức bậc ba được hình thành, sau đó khoảng ba trăm năm, dựa trên ý tưởng của Largrange và Cauchy, Abel đã chứng minh không có công thức nghiệm của đa thức bậc năm. Đến năm 1829, Abel đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức với bậc tùy ý có công thức nghiệm. Ngay sau đó, năm 1831 Galois phát minh ra sự kết nối giữa nhóm với mỗi đa thức, sử dụng các tính chất của nhóm này, đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa thức có công thức nghiệm. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois - Mục tiêu của môn học Lý thuyết Galois là tìm hiểu kiến thức để thấy được sự kết nối đó và đến được Định lý Lớn của Galois chính là điều kiện cần và đủ để một đa thức giải được bằng căn thức. - Môn học Lý thuyết Galois là môn học rất hay, cần thiết và là môn học khó. Nó đòi hỏi sinh viên nắm vững các kiến thức của nhiều môn học: Đại số Đại cương, Đa thức, Lý thuyết nhóm, Lý thuyết trường. Thời gian trên lớp quá ít cho việc giảng dạy và học tập của thầy và trò. - Vì vậy chúng tôi chọn đề tài thiết kế bài giảng điện tử cho môn học này để giảm bớt áp lực về thời gian và kiến thức. Mong muốn các em có thể học tốt môn học và thấy yêu thích nó, thấy được sự đẹp đẽ của toán học trong mối quan hệ chặt chẽ giữa các lĩnh vực của toán học. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 1.1 Mở rộng trường Bổ đề 1.1 Cho F là trường và f(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy. Khi đó K = F [x]/(f(x)) là trường và x = x+ (f(x)) là một nghiệm của f(x). Hơn nữa ta có đơn cấu ϕ : F −→ K, do đó ta có thể coi F là trường con của K. Chứng minh - Đặt I = (f(x)). Vì f(x) bất khả quy nên K = F [x]/I là vành giao hoán khác 0. Lấy g(x) + I ∈ K sao cho g(x) /∈ I. Khi đó (g(x), f(x)) = 1. Suy ra tồn tại q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f(x). Từ đó 1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I). Chứng tỏ g(x) + I khả nghịch trong K, do vậy K là trường. Ta thấy ϕ : F −→ K, a 7−→ a+ I là một đơn cấu. Đặt x = x+ I ∈ K. Giả sử f(x) = ∑n i=0 aix i. Khi đó f(x) = ∑n i=0 aix i = ∑n i=0(aix i + I) = ( ∑n i=0 aix i) + I = f(x) + I = 0. Suy ra x là nghiệm của f(x). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.2 Cho F là trường con của trường K. Khi đó quan hệ F ⊆ K được gọi là một mở rộng trường, nó còn được kí hiệu bởi K/F . Một dãy các mở rộng trường F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fn, thường được gọi là một tháp các trường. Chú ý 1.3 Nếu K/F là một mở rộng trường, thì K là một F -không gian véctơ, trong đó phép nhân một phần tử của F với một véctơ của K xác định bởi F ×K −→ K, (a, x) 7−→ ax. Kí hiệu [K : F ] = dimF K và gọi là bậc của mở rộng trường. Định lý 1.4 Cho f(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy, đặt K = F [x]/(f(x)). Khi đó K/F là một mở rộng trường và [K : F ] = deg(f(x)). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Chứng minh Đặt d = deg(f(x)) và I = (f(x)). Khi đó K = F [x]/I là trường và là F -không gian véctơ.Đặt S = {1 + I, x+ I, . . . , xd−1 + I}. Ta sẽ chứng tỏ S là cơ sở của K.Lấy tùy ý g(x) ∈ F [x], khi đó từ Định lý phép chia với dư, tồn tại q(x), r(x) ∈ F [x] sao cho g(x) = f(x)q(x) + r(x), với r(x) = a0 + a1x+ . . .+ ad−1xd−1 ∈ F [x]. Do đó g(x)+ I = r(x)+ I = a0(1+ I)+a1(x+ I)+ . . .+ad−1(xd−1 + I). Mặt khác, giả sử ∃b0, b1, . . . , bd−1 ∈ F sao cho b0(1 + I) + b1(x+ I) + . . .+ bd−1(xd−1 + I) = 0, suy ra b0 + b1x+ . . .+ bd−1xd−1 chia hết cho f(x). Chứng tỏ b0 = b1 = . . . = bd−1 = 0. Vậy [K : F ] = deg(f(x)). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.5 Cho E/F là mở rộng trường và α1, . . . , αn ∈ E. Khi đó trường con bé nhất của E chứa F và α1, . . . , αn, kí hiệu là F (α1, . . . , αn), và nó được gọi là mở rộng của F bằng cách ghép thêm các phần tử α1, . . . , αn. Nhận xét 1.6 i) F (α1, . . . , αn) là giao của mọi trường con của E chứa F và α1, . . . , αn. ii) Khi n = 1 và α = α1, ta gọi F (α)/F là mở rộng đơn. iii) Mỗi phần tử của F (α1, . . . , αn) có dạng f(α1, ..., αn) g(α1, ..., αn) , với f(x1, ..., xn), g(x1, ..., xn) ∈ F [x1, . . . , xn] và g(α1, . . . , αn) 6= 0. iv) Giả sử E/F là mở rộng trường và α ∈ E. Ta xét cấu trúc của F (α)/F như sau. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Trường hợp 1. α là phần tử đại số trên F . Lấy f(x) ∈ F [x]− {0} là đa thức có bậc bé nhất nhận α là nghiệm. Khi đó f(x) là đa thức bất khả quy trên F . Xét ánh xạ δ : F [x] −→ F [α], g(x) 7−→ g(α), rõ ràng δ là toàn cấu và có Ker δ = (f(x)). Do đó F [x]/(f(x)) ∼= F [α], suy ra F (α) ∼= F [α]. Trường hợp này ta nói F (α)/F là mở rộng đơn đại số.Ví dụ: Q( √ 2) ∼= Q[x]/(x2 − 2). Trường hợp 2. α là phần tử siêu việt trên F . Ánh xạ δ : F [x] −→ F [α], g(x) 7−→ g(α) là toàn cấu, và có Ker δ = {g(x) ∈ F [x] | g(α) = 0} = 0. Suy ra F [α] ∼= F [x]. Do đó F (α) ∼= F (x) = { g(x)h(x) | g(x), h(x) ∈ F [x], h(x) 6= 0}. Trường hợp này ta nói F (α)/F là mở rộng đơn siêu việt.Ví dụ: Q(pi) ∼= Q(x). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.7 Cho E/F là mở rộng trường. Khi đó - E/F được gọi là mở rộng hữu hạn nếu [E : F ] <∞. - E/F được gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử của E đều là phần tử đại số trên F . Bổ đề 1.8Cho E/K và K/F là các mở rộng trường. Khi đó [E : F ] = [E : K][K : F ]. Do đó E/F là mở rộng hữu hạn nếu và chỉ nếu cả E/K và K/F là các mở rộng hữu hạn. Chứng minh Lấy {αi}i∈I là một cơ sở của K-không gian vectơ E, và {βj}j∈J là một cơ sở của F -không gian vectơ K. Khi đó ta chứng minh được rằng {αiβj}(i,j)∈I×J là một cơ sở của F -không gian vectơ E. Nhận xét 1.9 i) Mọi mở rộng hữu hạn E/F là mở rộng đại số. Thật vậy, giả sử [E : F ] = n. Lấy α ∈ E. Khi đó 1, α, . . . , αn phụ thuộc tuyến tính. Nên ∃a0, a1, . . . , an ∈ F không đồng thời bằng 0 để a0 + a1α+ a2α2 + . . .+ anαn = 0. Suy ra α đại số trên F . Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 ii) Mọi mở rộng đơn đại số là mở rộng hữu hạn. Thật vậy, giả sử E = F (α) với α là phần tử đại số trên F . Lấy f(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy bậc n nhận α là nghiệm. Khi đó E = F [x]/(f(x)) ∼= {∑n−1i=0 aiαi | ai ∈ F} là F−không gian véc tơ chiều n. iii) Giả sử E = F (α1, . . . , αn) với α1, . . . , α2 là phần tử đại số trên F . Khi đó E/F là mở rộng hữu hạn. Thật vậy, có tháp trường F ⊆ F (α1) ⊆ F (α1, α2) ⊆ . . . ⊆ F (α1, . . . , αn) = E, trong đó mỗi bước là một mở rộng đơn đại số. Vì thế E/F là mở rộng hữu hạn. iv) Nói chung, một mở rộng đại số không là mở rộng hữu hạn. Chẳng hạn, lấy F = Q và E = Q(S). Trong đó S = { p√2 | p là số nguyên tố } ⊆ R và Q(S) là trường con nhỏ nhất của R chứa Q và S. Khi đó, E/F là mở rộng đại số nhưng không là mở rộng hữu hạn. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.10 i) Cho F là trường, và f(x) ∈ F [x] phân tích được thành tích các nhân tử bất khả quy (không nhất thiết phân biệt) f(x) = p1(x) . . . pk(x). Ta nói f(x) là đa thức tách được nếu mỗi pi(x) không có nghiệm bội. ii) Cho E/F là mở rộng trường, khi đó α ∈ E được gọi là phần tử tách được nếu α siêu việt trên F hoặc đa thức tối tiểu của α (tức là, đa thức bất khả quy, hệ tử cao nhất bằng 1 và nhận α là nghiệm) là đa thức tách được. iii) Mở rộng trường E/F được gọi là mở rộng tách được nếu mọi phần tử của E đều là phần tử tách được. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định nghĩa 1.11 Trường F được gọi là trường hoàn thiện nếu mọi đa thức khác hằng trong F [x] đều là đa thức tách được. Nhận xét 1.12 Cho p(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy. Nếu đạo hàm p′(x) 6= 0 thì deg(p′(x)) < deg(p(x)). Do đó (p(x), p′(x)) = 1, vì thế tồn tại u(x), v(x) ∈ F [x] sao cho 1 = u(x)p(x) + v(x)p′(x). Từ đó, nếu p(x) có nghiệm bội α trong một mở rộng E ⊇ F thì α là một nghiệm chung của p(x) và p′(x); do đó 1 = u(α)p(α) + v(α)p′(α) = 0 là điều mâu thuẫn. Vậy p(x) không có nghiệm bội, tức là p(x) tách được. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 1.2 Trường phân rã của đa thức Định nghĩa 1.13 Cho mở rộng trường E/F và f(x) ∈ F [x]. Ta nói f(x) phân rã trong E nếu f(x) được viết thành tích những nhân tử tuyến tính trong E[x]. Ta nói E là trường phân rã của f(x) trên F nếu f(x) phân rã trong E và nó không phân rã trong mọi trường con thực sự của E (khi đó thường nói gọn là E/F là trường phân rã của f(x)). Ví dụ: f(x) = x2 − 2 ∈ Q[x]. Ta có f(x) = (x+√2)(x−√2) trong R[x], do đó f(x) phân rã trong R. Ta cũng thấy f(x) phân rã trong Q( √ 2). Hơn nữa, Q( √ 2) không có trường con trung gian nào giữa Q và Q( √ 2) (vì nếu tồn tại K sao cho Q ⊆ K ⊆ Q(√2), khi đó 2 = [Q( √ 2) : Q] = [Q( √ 2) : K][K : Q]; do đó [K : Q] = 1 hoặc [Q( √ 2) : K] = 1; suy ra K = Q( √ 2) hoặc K = Q). Vậy Q( √ 2) là trường phân rã của f(x) trên Q. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Định lý 1.14 Cho F là một trường và f(x) ∈ F [x] là đa thức có bậc dương. Khi đó luôn tồn tại trường phân rã E của f(x) trên F . Chứng minh Đặt n = deg(f(x)). Ta chứng minh bằng bằng quy nạp theo n. Khi n = 1, ta chọn E = F . Giả sử n > 1. Ta lấy p(x) là một ước bất khả quy của f(x), khi đó deg(p(x)) ≥ 1. Đặt K = F [x]/(p(x)), ta thấy F ⊆ K là một mở rộng trường và p(x) có một nghiệm α1 ∈ K. Trong K[x], đa thức f(x) viết được f(x) = (x− α1)g(x), với deg(g(x)) = n− 1. Áp dụng giả thiết quy nạp đối với trường K và đa thức g(x), suy ra tồn tại trường phân rã T của đa thức g(x) trên K. Do đó g(x) có n− 1 nghiệm α2, . . . , αn ∈ T (đây cũng là các nghiệm của f(x)). Đặt E = F (α1, . . . , αn), suy ra E là trường phân rã của f(x) trên F . Ví dụ: Trường phân rã của f(x) = x2 + 1 trên Q là Q(i); trường phân rã của f(x) = x2 + 1 trên R là C = R(i). Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Bổ đề 1.15 Cho ϕ : F → F , a 7−→ a là một đẳng cấu trường. Khi đó ta có đẳng cấu vành cảm sinh ϕ∗ : F [x]→ F [x], f(x) = ∑n i=0 aix i 7−→∑ni=0 ai xi = f(x). Giả sử p(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy trên F và gọi p(x) = ϕ∗(p(x)) ∈ F [x]. Gọi α và α thứ tự là nghiệm của p(x) và p(x). Khi đó có duy nhất đẳng cấu trường ϕ̂ : F (α)→ F (α) mở rộng ϕ và ϕ̂(α) = α. Chứng minh Ta có nhận xét p(x) và p(x) cùng có bậc và cùng bất khả quy. Từ giả thiết ta có các đẳng cấu u : F (α) ∼= F [x]/(p(x)), f(α) 7−→ f(x) + (p(x)); ϕ∗ : F [x]/(p(x))→ F [x]/(p(x)), f(x) + (p(x)) 7−→ f(x) + (p(x)); v : F (α) ∼= F [x]/(p(x)), f(α) 7−→ f(x) + (p(x)). Đặt ϕ̂ = v−1 ϕ∗ u, khi đó ϕ̂ : F (α)→ F (α) thỏa mãn Bổ đề. Giả sử tồn tại ψ : F (α)→ F (α) là mở rộng của ϕ và ψ(α) = α. Khi đó, với mọi f(α) = ∑n i=0 aiα i ∈ F (α), ta có ψ(f(α)) = f(α) = ϕ̂(f(α)). Vậy ψ = ϕ̂. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Hệ quả 1.16 Cho p(x) là đa thức bất khả quy và α, β là hai nghiệm của p(x). Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu trường ϕ̂ : F (α)→ F (β) là mở rộng của idF và ϕ̂(α) = β. Chứng minh Kết quả được suy ra từ Bổ đề 1.15, bằng cách chọn F = F và ϕ = idF . Định lý 1.17 Cho ϕ : F → F , a 7−→ a là một đẳng cấu trường. Cho f(x) = ∑n i=0 aix i ∈ F [x] và lấy f(x) =∑ni=0 ai xi ∈ F [x] là đa thức tương ứng với f(x) qua ϕ∗ (với ϕ∗ như trong Bổ đề 1.15). Lấy E là trường phân rã của f(x) trên F , và lấy E là trường phân rã của f(x) trên F . Khi đó (i) Tồn tại một đẳng cấu trường ∼ ϕ : E → E là mở rộng của ϕ. (ii) Nếu f(x) tách được thì có chính xác [E : F ] mở rộng ∼ ϕ của ϕ. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Chứng minh Ta có nhận xét deg(f(x)) = deg(f(x)). (i) Ta chứng minh bằng quy nạp theo [E : F ] ≥ 1. Nếu [E : F ] = 1 thì E = F và f(x) phân rã trong F ; khi đó f(x) cũng phân rã trong F ; vì thế E = F . Do đó ta lấy ∼ ϕ = ϕ. Giả sử [E : F ] > 1, khi đó tồn tại nhân tử bất khả quy p(x) của f(x) có deg(p(x)) ≥ 2. Gọi α ∈ E là một nghiệm của p(x). Lấy p(x) = ϕ∗(p(x)) ∈ F [x] và gọi α ∈ E là một nghiệm của p(x). Từ đó theo Bổ đề 1.15, tồn tại đẳng cấu ϕ̂ : F (α)→ F (α) là mở rộng của ϕ và ϕ̂(α) = α. Lưu ý rằng E và E lần lượt cũng là trường phân rã của f(x) trên F (α) và của f(x) trên F (α). Vì [E : F ] = [E : F (α)][F (α) : F ] và [F (α) : F ] = deg(p(x)) ≥ 2, nên [E : F (α)] < [E : F ]. Từ đó theo giả thiết quy nạp, tồn tại đẳng cấu trường ∼ ϕ : E → E là mở rộng của ϕ̂, do đó ∼ϕ là mở rộng của ϕ. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 (ii) Ta cũng quy nạp theo [E : F ]. Nếu [E : F ] = 1 thì E = F và chỉ có duy nhất mở rộng ∼ ϕ của ϕ, chính là ϕ. Giả sử [E : F ] > 1, và p(x) là nhân tử bất khả quy của f(x) có deg(p(x)) = d ≥ 2. Lấy α ∈ E là một nghiệm của p(x). Giả sử ∼ϕ : E → E là một mở rộng tùy ý của ϕ. Khi đó nếu đặt α = ∼ ϕ(α) thì α là một nghiệm của p(x). Ta thấy ∼ ϕ(F (α)) = F (α), do đó ∼ ϕ|F (α) : F (α)→ F (α) là một đẳng cấu trường, và là một mở rộng của ϕ. Như vậy mỗi đẳng cấu trường ∼ ϕ : E → E mà là một mở rộng tùy ý của ϕ, đều thu được bằng cách mở rộng từ ϕ qua hai bước: thứ nhất ta mở rộng từ ϕ lên đẳng cấu ϕ̂ : F (α)→ F (α) (trong đó α, α lần lượt là nghiệm của p(x), p(x)), thứ hai ta mở rộng từ ϕ̂ lên ∼ ϕ. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 - Vì f(x) tách được nên p(x) có d nghiệm phân biệt α. Khi đó, từ Bổ đề 1.15, ta có d đẳng cấu trường ϕ̂ : F (α)→ F (α) là mở rộng của ϕ, tương ứng với d nghiệm α. Lưu ý rằng E cũng là trường phân rã của f(x) trên F (α), và E cũng là trường phân rã của f(x) trên F (α); hơn nữa [E : F (α)] = [E : F ]/d < [E : F ]. Từ đó và từ giả thiết quy nạp ta suy ra rằng ứng với mỗi một trong số d đẳng cấu ϕ̂ như trên có chính xác [E : F ]/d đẳng cấu trường ∼ ϕ : E → E là mở rộng của ϕ̂; do đó có tất cả là d× ([E : F ]/d) = [E : F ] mở rộng của ϕ theo cách như trên. Hệ quả 1.18 (Tính duy nhất của trường phân rã) Cho f(x) ∈ F [x] là đa thức có bậc dương. Khi đó trường phân rã của f(x) trên F là duy nhất sai khác một đẳng cấu giữ nguyên các phần tử của F . Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 Nhận xét 1.19 Từ chứng minh Định lý 1.14 và Hệ quả 1.18, ta thấy: nếu f(x) ∈ F [x] có bậc n > 0 và có n nghiệm α1, . . . , αn thì trường phân rã của f(x) trên F là E = F (α1, . . . , αn). Ví dụ. Xét f(x) = x3 − 2 ∈ Q[x]. Ta thấy f(x) có 3 nghiệm là α, αε, αε2 (với α = 3 √ 2 ∈ R, và ε là một căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị.) Khi đó trường phân rã E của f(x) trên Q là E = Q(α, αε, αε2). Rút gọn ta được E = Q(α, ε). Thật vậy, ta có α, α ∈ E, suy ra  = α−1(α) ∈ E. Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois Lời mở đầu Chương 1. Mở rộng trường Chương 2. Nhóm Galois Chương 3. Giải được bằng căn thức Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois 1.1 Mở rộng trường 1.2 Trường phân rã của đa thức 1.3 Cấu trúc trường hữu hạn • Bài tập Chương 1 1.3 Cấu