Đề tài Bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) đểxấp xỉhàm trong thực nghiệm

Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 1 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 -----

----- ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Đề tài: “bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.” Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 2 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 MỤC LỤC Trang Chương I Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm: 1.1. Giới thiệu chung…...………………………………………………..1 1.1.1. Đặt vấn đề…………………………………………………..1 1.1.2. Bài toán đặt ra………………………………………………2 1.2. Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm……………………………………………...3 1.2.1. Sai số trung bình phương…………………………………...3 1.2.2. Định nghĩa………………………………………………….3 1.2.3. ý nghĩa của sai số trung bình phương……………………....3 1.2.4. Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương…………………5 Chương II Các phương pháp xấp xỉ: 2.1 . Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng…………..…7 2.1.1. Định nghĩa……………….…………………………………….7 2.1.2. Nội dung……………………………………………………….7 2.1.3. Sai số của phương pháp…………………………………..........9 2.1.4. Mở rộng trên hệ trực giao để đơn giản hóa kết quả……….…..11 2.1.4.1. Định nghĩa……………………………………………...11 2.1.4.2. Tiếp cận lời giải………………………………………...11 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 3 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 2.1.4.3. Sai số của phương pháp………………………………....12 2.1.4.4. Chú ý …………………………………………………...12 2.2. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số………………..14 2.2.1. Đặt vấn đề…………………………………………………….14 2.2.2. Tiếp cận lời giải………………………………………............14 2.2.3. Sai số trung bình……………………………………………...14 2.2.4. Trường hợp các mốc cách đều………………………………..15 2.3. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao…………..20 2.3.1. Định nghĩa hệ hàm trực giao………………………..………...20 2.3.2. Đặt vấn đề…………………………………………………….20 2.3.3. Nội dung của phương pháp………………………….………...21 2.3.4. Sai số của phương pháp……………………………..………...30 2.4. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức lượng giác…………32 2.4.1. Định nghĩa đa thức lượng giác………………………………..32 2.4.2. Thuật toán……………………………………………………..32 Chương III Các ví dụ minh họa: 3.1. Đa thức đại số…………………………………………………………..39 3.1.1. Ví dụ 1………………………………………………………..39 3.1.2. Ví dụ 2………………………………………………………...40 3.2. Đa thức trực giao………………………………………………………..43 3.2.1. Ví dụ 1………………………………………………………...43 3.2.1. Ví dụ 2………………………………………………………...48 3.3. Đa thức lượng giác……………………………………………………...52 Chương IV Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 4 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 SƠ ĐỒ KHỐI BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH VIẾT BẰNG NGÔN NGỮ C: 4.1. Sơ đồ khối biểu diễn thuật toán…………………………………………54 4.1.1. Trường hợp dạng đa thức đại số………………………………. 54 4.1.2. Trường hợp dạng đa thức trực giao…………………………… 55 4.1.3. Trường hợp dạng đa thức lượng giác………………………… .56 4.2. Kết quả chạy chương trình……………………………………………...57 4.2.1. Trường hợp đa thức đại số…………………………………..…57 4.2.2. Trường hợp đa thức trực giao……………………………….....57 4.2.3. Trường hợp đa thức lượng giác………………………………..58 Kết luận…………………………………………………………….....……59 Tài liệu tham khảo…………………………………………………............60 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 5 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 LỜI NÓI ĐẦU Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu trong cuộc sống con nguời. Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng. Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu. Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số dưới dạng phức tạp như dạng biểu thức hoặc một hàm số dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm người ta thường nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trung bình phương. Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán tin ứng dụng- Trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS LÊ TRỌNG VINH, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Bùi Văn Bằng Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 6 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LẬP CÔNG THỨC TỪ THỰC NGHIỆM 1.1 Giới thiệu chung 1.1.1 Đặt vấn đề Có rất nhiều phương pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực nghiệm mà ta đã biết đến như phép nội suy để lập đa thức cấp n: ( )xϕ (đại số hoặc lượng giác) xấp xỉ hàm số ( )y f x= mà ta đã biết các giá trị của hàm này là iy y= tại các điểm ix x= . Phương pháp nội suy nói trên khi sử dụng trong thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là: 1. Trong các đa thức nội suy ( )xϕ ta đòi hỏi ) = iy . Tuy nhiên sự đòi hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số iy là giá trị của hàm ( )y f x= tại các điểm ix x= , trong thực tế chúng ta cho dưới dạng bảng và thường thu được từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán trong thực hành. Những số y này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị đúng ( ) i f x của hàm ( )y f x= tại ix x= . Sai số mắc phải ( )i i iy f xε = − nói chung khác không. Nếu buộc ( )i ix yϕ = thì thực chất đã đem vào bài toán các sai số của các số liệu ban đầu nói trên (chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy và hàm ( )f x trùng nhau tại các điểm ix x= ). 2. Để cho đa thức nội suy biểu diễn xấp xỉ hàm ( )f x một cách sát thực đương nhiên cần tăng số mốc nội suy i x (nghĩa là làm giảm sai số của công thức nội suy). Nhưng điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu được khá cồng kềnh ix(ϕ i iε )(xϕ )(xϕ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 7 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 gây khó khăn cho việc thiết lập cũng như dựa vào đó để tính giá trị gần đúng hoặc khảo sát hàm ( )f x . 1.1.2 Bài toán đặt ra Chính vì những lý trên nên phương pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thực hơn thông qua hai bài toán: Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ). Giả sử đã biết giá trị iy ( 1,2,..., )=i n của hàm ( )=y f x tại các điểm tương ứng ix x= . Tìm hàm ( )m xφ xấp xỉ với hàm f(x) trong đó 0 ( ) ( ).φ ϕ = =∑ m m i i i x a x (1 - 1) với là những hàm đã biết, i a là những hệ số hằng số. Trong khi giải quyết bài toán này cần chọn hàm sao cho quá trình tính toán đơn giản đồng thời nhưng sai số có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi thu được các số liệu i y ) cần phải được chỉnh lý trong quá trình tính toán. Trong bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ là tùy thuộc ý nghĩa thực tiễn của hàm f(x) . Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết). Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm 0 1 ( , , ,..., ) m Y f x a a a= (1 – 2) Trong đó: i a ( 1,2,..., )=i m là những hằng số. Giả sử qua thực nghiệm ta thu được n giá trị của hàm = iy y ( 1,2,..., )=i m ứng với các giá trị ix x= của đối. Vấn đề là từ những số liệu thực nghiệm thu được cần xác định các giá trị của tham số 0 1, ,..., ma a a để tìm được dạng cụ thể của biểu thức (1 – 2): ( )=y f x về sự phụ thuộc hàm số giữa y và x . )(xiϕ )(xmφ iε )(xmφ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 8 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 1.2 Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm 1.2.1 Sai số trung bình phương Những hàm trong thực nghiệm thu được thường mắc phải những sai số có tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu được các giá trị của hàm. Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực nghiệm ta cần đưa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó chấp nhận được trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên (nghĩa là gạt bỏ được những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đưa ra phải khá bé trên miền đang xét. Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên được gọi là sai số trung bình phương. 1.2.2 Định nghĩa Theo định nghĩa ta sẽ gọi là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phương của hai hàm ( )f x và ( )ϕ x trên tập 1 2( , ,..., )= nX x x x , nếu = . (2 – 1) 1.2.3 Ý nghĩa của sai số trung bình phương nσ nσ ∑ = − n i ii xxf n 1 2)]()([1 ϕ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 9 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phương ta giả thiết ( )f x , (x) là những hàm liên tục trên đoạn [ ],a b và 1 2( , ,..., )= nX x x x là tập hợp các điểm cách đều trên [ ],a b 1 2 ...= < < < =na x x x b Theo định nghĩa fích phân xác định ta có lim n n σ σ →∞ = (2 – 2) Trong đó: = . (2 – 3) Giả sử ( ) ( )f x xϕ− có trên [ ],a b một số hữu hạn cực trị và là một số dương nào đó cho trước. Khi đó trên [ ],a b sẽ có k đoạn riêng biệt [ ],i ia b ( 1,2,..., )=i k sao cho ( ) ( )f x xϕ α− ≥ (với [ ],∈ i ix a b , ( 1,2,..., )=i k ) Gọi là tổng các độ dài của k đoạn nói trên. Với n đủ lớn và đủ bé, từ (2 – 2) ta suy ra < ( bé tùy ý). Từ (2 – 3) suy ra > . Do đó 2 ( ) εω α   < −     b a . Nghĩa là tổng độ dài ω của các đoạn [ ],i ia b sẽ bé tùy ý. ϕ 2σ ab − 1 dxxxf b a ∫ − 2)]()([ ϕ α ω nσ σ ε ε )(2 ab −ε ∫ − b a dxxxf 2)]()([ ϕ ≥ ∑∫ = − k i b a i i dxxxf 1 2)]()([ ϕ ≥ ωα 2 Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 10 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Tóm lại: với đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn [ ],a b (trừ tại những điểm của những đoạn [ ],i ia b mà có tổng độ dài ω bé tùy ý), ta có ( ) ( )f x xϕ α− < . Trong đó là một số dương tùy ý cho trước. Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bình phương như sau: Nếu sai số trung bình phương của hai hàm f(x) và trên tập hợp n điểm [ ],a b X⊂ (n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên [a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và khá bé. 1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương Từ ý nghĩa của sai số trung bình phương nói trên Ta nhận thấy nếu các giá trị iy ( 1,2,..., )=i n của hàm ( )f x tại các điểm ix và nếu sai số trung bình phương = khá bé thì hàm sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm ( )f x . Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phương làm tiêu chuẩn đánh giá như trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương. Rõ ràng: Nếu hàm ( )f x thu được bằng thực nghiệm (nghĩa là ( )≈i iy f x ) thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao phương pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phương được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn. Ta xét trường hợp ( )ϕ x là phụ thuộc các tham số 0 1, ,..., ma a a 0 1( ) ( ; , ,..., )ϕ = mx x a a a . (2 – 4) nσ α nσ )(xϕ )(xϕ nσ ∑ = − n i ii xy n 1 2)]([1 ϕ )(xϕ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Trong số những hàm ( )ϕ x có dạng (2 – 4) ta sẽ gọi hàm 0 1( ) ( ; , ,..., )ϕ = mx x a a a (2 – 5) là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương với hàm ( )f x nếu sai số trung bình phương ( )ϕ x với ( )f x là bé nhất. Cụ thể là 0 1 0 1( , ,..., ) min ( , ,..., )σ σ=mn n ma a a a a a trong đó [ ]20 1 0 1 1 1( , ,..., ) ( ; , ,..., )σ ϕ = = −∑ n n m i m i a a a y x a a a n . (2 – 6) Từ (2 – 6) ta nhận thấy (2 – 5) tương đương với đẳng thức: [ ] [ ]2 20 1 0 1 1 1 ( ; , ,..., ) min ( ; , ,..., )ϕ ϕ = = − = −∑ ∑ n n i m i m i i y x a a a y x a a a . (2 – 7) Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 – 4) với hàm ( )f x ) sẽ đưa về tìm cực tiểu của tổng bình phương 2 1 ε = ∑ n i i trong đó 0 1( ; , ,..., )ε ϕ= −i i my x a a a . Bởi vậy phương pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 12 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ 2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng 2.1.1 Định nghĩa Giả sử cho hệ hàm: 0 1( ), ( ),..., ( ),...ϕ ϕ ϕmx x x Ta sẽ gọi hàm ( )ϕm x là đa thức suy rộng cấp m nếu ( )φm x có dạng 0 ( ) ( )φ ϕ = =∑ m m i i i x a x . (3 – 1) Trong đó 0 1, ,..., ma a a là các hệ số hằng số. Hệ hàm { ( )}ϕm x đã cho gọi là hệ cơ bản. 2.1.2 Nội dung Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá trị thực nghiệm iy ( 1,2,..., )=i n của hàm ( )=y f x tại các điểm tương ứng ix . Khi đó việc tìm một đa thức suy rộng có dạng (3 – 1) mà xấp xỉ với hàm ( )f x nói trên { } [ ]1 2, ,..., ,nx x x a b⊂ sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số ia trong (3 – 1). Để quá trình tính toán được đơn giản ta xét đa thức suy rộng ( )φm x với cấp m không lớn lắm. Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giả thiết n m+1. Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1 giá trị ia từ n phương trình: ( )φ=i m iy x ( 1,2,..., )=i n (vì số phương trình thường nhiều hơn số ẩn). ≥ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 13 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 Ta sẽ áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm đa thức suy rộng 0 ( ) ( )φ ϕ = =∑ m m ii i x a x xấp xỉ tốt nhất với hàm ( )f x trên [ ],a b . Trong (2 – 7) ta coi 0 1( ; , ,..., )mx a a aϕ = = . Từ đó ta suy ra: ( )0 1, ,..., ma a a là điểm cực tiểu của hàm m+1 biến 0 1( , ,..., )mF a a a = . (3 – 2) Do đó ( )0 1, ,..., ma a a là nghiệm của hệ phương trình = 0 ; = 0 ; ……; = 0. Hoặc dạng tương đương với nó [ ][ ] [ ][ ] 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0 ............................................................................... 2 ( ) ( ) ... n i i i m i m i i n i i i m i m i i i i i y x a x a x a x y x a x a x a x y x a x a ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = − − − − − = − − − − − = − − − ∑ ∑ [ ][ ] 1 ( ) ( ) 0 n m i m m i i x a xϕ ϕ =         − − =  ∑ (3 - 3) Gọi là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là . Gọi y là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là iy . Theo định nghĩa tích vô hướng các véc tơ ta có [ ] 1 , ( )ϕ ϕ = =∑ m r i r i i y y x ; [ ] 1 , ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ = =∑ n r s r i s i i x x (3 – 4) Do đó (3 – 3) được chuyển về dạng )(xmφ ∑ = m i ii xa 0 )(ϕ ∑ = −−−− n i mimiii axaxaxy 1 2 1100 ])(....)()([ ϕϕϕ 0a F ∂ ∂ 1a F ∂ ∂ ma F ∂ ∂ rϕ )( ir xϕ Đồ án tốt nghiệp -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 14 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toỏn Tin_2 – K48 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 , , ... , , , , ... , , .................................................................... , , ... , , m m m m m m m a a y a a y a a y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  + + + =  + + + =    + + + = (3 - 5) Ta nhận thấy (3 – 5) là hệ (m + 1) phương trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: 0 1, ,..., ma a a trong đa thức xấp xỉ . Ma trận của hệ phương trình tuyến tính (3 – 5) có các phần tử là , do đó là một ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hướng). Ta sẽ gọi hệ phương trình (3 – 5) là hệ phương trình chuẩn. Định thức của hệ phương trình chuẩn có dạng G( = (3 – 6) Ta gọi định thức 0 1( , ,..., )ϕ ϕ ϕ= mG là định thức Gram của hệ véc tơ trên tập điểm { }1 2, ,..., nX x x x= . Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở là hệ hàm độc lập tuyến tính trên { } [ ]1 2, ,..., ,nX x x x a b= ⊂ thì trong số những đa thức suy rộng cấp m có dạng (3 – 1) luôn tồn tại một đa thức suy rộng . (3 – 1’) Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương đối với hàm ( )f x . Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở là những độc lập tuyến tính trên { } [ ]1 2, ,..., ,nx x x a b⊂ thì 0 1( , ,..., ) 0ϕ ϕ ϕ= >mG . Nghĩa là trong trường hợp này hệ phương trình chuẩn (3 – 5) có và duy nhất )(xmφ ],[ ji ϕϕ ),.....,, 10 mϕϕϕ ],].....[,][,[ ............................................ ],]......[,][,[ ],]......[,][,[ 10 11101 01000 mmmm m m ϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕϕϕ mϕϕϕ ,....., 10 )(),....,(),( 10 xxx mϕϕϕ )()( 0 xax i m i im ϕφ ∑ = = )(),....,(),( 10 xxx mϕϕϕ Đồ án tốt