Đề tài Bất đẳng thức AG-MG và các bài tập áp dụng

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức là một vấn đề khó trong toán học, đặc biệt là học sinh THPT. Đối với nhiều trường THPT trong tỉnh, có thể nói rằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nh÷ng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,và đặc biệt hơn nữa là với xu hướng ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Riêng đối với trường THPT DTNT Tỉnh để học sinh không sợ học phần bất đẳng thức đã là một vấn đề đối với giáo viên .Vì vậy tìm ra phương pháp giúp học sinh không những có hứng thú với các bài toán về bất đẳng thức đơn giản mà còn làm được các bài bất đẳng thức trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, các kỳ thi học sinh giỏi, tôi viết chuyên đề " BẤT ĐẲNG THỨC AG-MG VÀ CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG'' m ột trong những bất đẳng thức cổ điển nhất , dễ chứng minh nhưng cũng có nhiều áp dụng nhất không chỉ ở những bài toán đơn giản mà còn ở những bài toán khó . Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu. Được sự động viên, giúp đỡ của Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT DTNT Tỉnh . Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề này. II.THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi - Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập . - Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học. - Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề. Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp. 2. Khó khăn - Đa số học sinh học yếu phần bất đằng thức. Có tư tưởng sợ học phần này. - Gi áo viên mất nhiêu thời gian để soạn bài 3. Số liệu thống kê Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến bất đằng thức, số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau: Không nhận biết được Nhận biết, nhưng không biết vận dụng Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh Số lượng 44 8 4 1 Tỉ lệ ( %) 66,7 22,2 9,9 1.1 III. NỘI DUNG 1.Cơ sở lý luận 1. Cho hai số dương a, b. Ta có: . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2. Cho ba số dương a, b, c . Ta có : . 3. Với hai số dương a, b. Ta có : . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b. 4. Tổng quát: Cho và . Khi đó : với . 2 . Nội dung BÀI TẬP 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c. Ta có: . Giải: Ap dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số a, b, c . Ta có: . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Tổng quát: ; . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi . BÀI TẬP 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c. Ta có: . Giải: Ta có: . . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. BÀI TẬP 3: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c , d . Ta có: . Giải: Đặt: S = . M=. N= . Ta có : M+N=4. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì: M+S= . N+S= . M+N+2S8 S2. Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c = d. BÀI TẬP 4: Cho (1) Giải BÀI TẬP 5 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz=1, chứng minh: . Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số. Ta có: . Tương tự, ta có: . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z. BÀI TẬP 6: Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c >0, ta có: Giải: Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM cho vế trái: . Mặt khác: . =. = . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c . BÀI TẬP 7: Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR a) . b) Giải a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Þ Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi và chỉ khi đều : a = b = c ( p là nữa chu vi của ABC: ) BÀI TẬP 8 : Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: ; x>0 Phân tích: . . Giải: Ta có: . là hàm một biến và . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là: . BÀI TẬP 9: Chứng minh rằng : Với mọi x, y, z >0, ta có: . Giải: Ta có: . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z. BÀI TẬP 10: Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c, d >0, ta có: . Giải: Ta có: VT = . . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =d. BÀI TẬP 11: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3. Chứng minh: . Phân tích: Nếu ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM thì: ? Nên không thể dùng cách này. Giải: Ta có: Vì : . Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =1. BÀI TẬP 12: Chứng minh rằng : Giải Ta biến đổi BĐT như sau: Û Û Û Û Û BÀI TẬP 13: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn: a+b+c+d=4. Chứng minh rằng : Giải: Ta có: . Tương tự : VT. Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =d=1. BÀI TẬP 14: Cho a, b, c, d là bốn số dương thỏa mãn : a+b+c+d=4. Chứng minh rằng : . Giải: Ta có: VT BÀI TẬP 15: Cho Tìm GTNN của Giải Mặt khác . Vậy Dấu “=” xảy ra . VI. B ÀI T ẬP ÁP D ỤNG Bài1: . Chứng minh rằng : Bài 2: Chứng minh rằng : Bài 3: . Chứng minh rằng: Bài 4: Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: Bài 5: Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR Bài 6 . : Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR Bài 7. Cho: V. KẾT QỦA Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy 10NC và Luyện thi Đại học trong hai năm gần đây. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Kết quả sau khi thực hiện chuyên đề: Không nhận biết được Nhận biết, nhưng không biết vận dụng Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh Số lượng 4 10 22 21 Tỉ lệ ( %) 7.1 17,5 38,6 36,8 VI. GIẢI PHÁP MỚI Dạng toán trong bất đẳng thức nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan. VII. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY 1. Quá trình áp dụng Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải. 2. Hiệu quả sau khi sử dụng Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu. 3. Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh. Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy của học sinh. VII. KẾT LUẬN Bất đẳng thức AM – GM là bất đẳng thức rất quen thuộc ở phổ thông nhưng để sử dụng được nó không phải là điều đơn giản. Có những bài ta phải dùng AM – GM xuôi và phải chọn được hệ số nhưng có những bài lại phải dùng ngược. Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức AM – GM mà tôi thấy hay và đã sắp xếp lại. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên việc sưu tầm, tổng hợp và sắp xếp chưa được hoàn thiện. Rất mong được thầy giáo và các bạn đồng nghiệp ghóp ý. Tôi xin chân thành cảm ơn! IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1. Bất đẳng thức, định lý và áp dụng. Tác giả: Nguyễn Văn Mậu. Nhà xuất bản Giaó Dục. 2. Bài tập đại số lớp 10. 3. Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 4. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo-NXB Giáo Dục năm 2009 Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2015 Người thực hiện T ạ Th ị Th úy Chinh MỤC LỤC Số TT Mục Lục Trang 1 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 2 II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1 3 III. NỘI DUNG 2 4 IV. B ÀI T ẬP ÁP D ỤNG 10 5 V. KẾT QỦA 11 6 VI. GIẢI PHÁP MỚI 11 7 VII. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY 12 8 VIII. KẾT LUẬN 13 9 IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO: 13 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT DTNT TỈNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: BẤT ĐẲNG THỨC AG-MG VÀ CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG Họ và tên người thực hiện : Tạ Thị Thúy Chinh Chức vụ : Giáo viên Sinh hoạt tổ chuyên môn : TOÁN Thanh Hóa ngày 20 tháng 4 năm 2015