Đề tài Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU XUẤT SẮC Tên đề tài (tiếng Việt) Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng Tên đề tài (tiếng Anh) Optimality conditions and numerical methods for nonsmooth optimal control problems governed by partial differential equations Thời gian thực hiện 24 tháng , tháng 1/2021-12/2022 Giới thiệu tóm tắt Bài toán chuyển pha (phase transitions) xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như khí hậu học (sự tan của băng), khoa học vật liệu (kỹ thuật luyện thép, sự đúc kim loại), khoa học thực phẩm (sự chuyển hóa của thức ăn), (xem Meirmanov [23] và Visintin [31]). Trong nhiều trường hợp, miền ranh giới (mushy region) giữa các pha (băng – nước, rắn – lỏng) có thể biến đổi tự do theo thời gian. Chẳng hạn xét bài toán 2 pha Stefan (two-phase Stefan problem) được cho bởi phương trình biến phân sau: (1) +=∀φ∈H1QT: φ.,T=0y =ϑ(v), ở đó y là hàm mật độ năng lượng trong (internal energy density function), u là nguồn nhiệt trong (internal heat source) và v là enthalpy. Hàm ϑ là hàm không trơn và được cho bởi phương trình sau: ϑr=r,r1. Khi đó miền ranh giới giữa các pha được cho bởi x,t∈QT: yx,t=0. Với mỗi u∈L2(QT), phương trình (1) có nghiệm duy nhất y∈L20,T;H1Ω và duy nhất v∈L2(QT) (xem [Chương II, 31]). Do hàm ϑ liên tục và không khả vi nên ánh xạ nghiệm S: L2(QT)∋u↦y∈L20,T;H1Ω là liên tục nhưng không khả vi. Sự tối ưu nguồn nhiệt u dẫn tới việc nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) không trơn (2) min12S(u)-yd2+ α2u2sao cho u∈Uad, ở đó α>0 là hệ số Tikhonov và tập ràng buộc Uad được cho, chẳng hạn, bởi Uad=f∈L∞(QT) a≤f≤b, a.a. x,t∈QT. Việc tìm nghiệm tối ưu của bài toán (2) đòi hỏi sự nghiên cứu các điều kiện tối ưu (bậc 1, bậc 2) cũng nhưkhảo sátsự hội tụ và đánh giá sai số của các bài toán rời rạc (dựa trên các phương pháp như phương pháp phần tử hữu hạn—finite element method (FEM), phương pháp rời rạc hóa gradient—gradient discretization method (GDM)) của (2). Tổng quan tình hình nghiên cứu và sự cần thiết tiến hành nghiên cứu 2.1. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước Các chủ đề nghiên cứu về điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán ĐKTƯtrơn với ràng buộc được cho bởi phương trình đạo hàm riêng đã và đang được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm. Sau đây là một số tác giả, những người đang nghiên cứu lĩnh vực này: W. Alt, N. Arada, J. F. Bonnans, E. Casas,C. Christof, C. Clason, V. Dhamo, B.T. Kien, K. Malanowski, V. H. Nhu, N J.-P. Raymond,A. Rösch, N. H. Son,R. Temam, B. A. Ton, F. Tröltzsch, D. Wachsmuth, Gần đây,một vàitài liệu nghiên cứu điều kiện tối ưucho bài toán ĐKTƯ không trơn đã được công bố bởi một số tác giả.Đó là: Meyer và Susu (2017) [25] và Betz (2019) [4]cho bài toán ĐKTƯ với phương trình parabolic nửa tuyến tính không trơn; Christof và các đồng tác giả (2018) [14] cho bài toán ĐKTƯ với phương trình elliptic nửa tuyến tính không trơn;Clason và các đồng tác giả (2018, 2020) [15,16] cho bài toán ĐKTƯ với phương trình elliptic tựa tuyến tính không trơn. Dưới đây là một số công trình liên quan tới hướng nghiên cứu của đề tài. W. Alt and K. Malanowski, The Lagrange-Newton method for nonlinear optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 2(1993), 77-100. W. Alt and K. Malanowski, The Lagrange-Newton method for state constrained optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 4(1995), 217-239. N. Arada, E. Casas and F. Tröltzsch, Error estimate for the numerical approximation of a semilinear elliptic control problem, Comp. Optim. Appl., 23(2002), 201-229. L. M. Betz, Second-order sufficient optimality conditions for optimal control of non-smooth, semilinear parabolic equations, SIAM J. Control Optim., 57(2019), 4033–4062. T. Bewley, R. Temam and M. Ziane, Existence and uniqueness of optimal control to the Navier-Stokes equations, C. R. Acard. Sci. Paris, 330(2000), 1007-1011. J. F. Bonnans, Second-order analysis for control constrained optimal control problems of semilinear elliptic systems, Appl. Math. Optim. 38 (1998), 305–325. J. F. Bonnans and H. Zidani, Optimal control problems with partially polyhedric constraints, SIAM J. Control Optim. 37 (1999), 1726–1741. E. Casas and V. Dhamo, Error estimates for the numerical approximation of a quasilinear Neumann problem under minimal regularity of the data, Numer. Math. 117 (2011), 115–145. E. Casas, J.-P. Raymond and H. Zidani, Pontryagin's principle for local solutions of control problems with mixed control-state contraints, SIAM J. Control Optim. Vol 39, 4(2000), 1182-1203. E. Casas and M. Mateos, Uniform convergence of the FEM. Applications to sate constrained control problems, Comput. Appl. Math., to appear. E. Casas and F. Tröltzsch, Numerical analysis of some optimal control problems governed by a class of quasilinear elliptic equations, ESAIM: COCV, 17(2011), 771-800. E. Casas and F. Tröltzsch, First- and second-order optimality conditions for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations, SIAM J. Control Optim. 48 (2009), 688–718. S. Cherednichenko and A. Rösch, Errorestimates for the discretization of elliptic control problems with pointwise control and state constraints, Comput. Optim. Appl, 44(2009), 27-77. C. Christof, C. Clason, C. Meyer, S. Walther,Optimal control of a non-smooth semilinear elliptic equation,Mathematical Control and Related Fields 8 (2018), 247-276. C. Clason, V. H. Nhu, A. Rösch, Optimal control of a non-smooth quasilinear elliptic equation, Mathematical Control and Related Fields, accepted 2018(to appear in 2021). C. Clason, V. H. Nhu, A. Rösch,No-gap second-order optimality conditions for optimal control of a non-smooth quasilinear elliptic equation, revised 2020. B. T. Kien and V. H. Nhu, Second-order necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J. Control and Optim., 52(2014), 1166-1202. B. T. Kien, N. V. Tuyen and J.-C. Yao, Second-order KKT optimality conditions for multi-objective optimal control problems, SIAM J. Control Optim., 56(2018), 4069-4097. B. T. Kien, X. Qin, C.-F. Wen and J.-C. Yao,Second-order optimality conditions for multiobjective optimal control problems with mixed pointwise constraints and free right end point, SIAM J. Control Optim., 58(4), 2658-2677. K. Kunisch and D. Wachsmuth, Sufficient optimality conditions and semi-smooth Newton methods for optimal control of stationary variational inequalities, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 18 (2012), 520–547. K. Malanowski, Sufficient optimality conditions for optimal control subject to state constraints, SIAM J. Control Optim., 35(1997), 205-227. K. Malanowski, Second-order sufficient conditions for state-conditioned optimal control problems, J. Optim. Th. Appl.,123(2004), 595-617. A.  Meirmanov, Mathematical Models for Poroelastic Flows, Atlantis Press, Paris, 2014. C. Meyer, A. Rösch and F. Tröltzsch, Optimal control of PDEs with regulized pointwise state constraints, Comp. Optim. Appl., 33(2006), 209-228. C. Meyer and L. M. Susu, Optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations, SIAM J. Control Optim. 55 (2017), 2206-2234. A. Rösch and F. Tröltzsch, Sufficient second-order optimality conditions for an elliptic optimal control problem with pointwise control-state constraints, SIAM J. Optim. 17 (2006), 776-794. A. Rösch and D. Waschsmuth, Semi-smooth Newton method for an optimal control problem with control and mixed control state constraints, Optim. Meth. Sof.,26(2011), 169-186. J.-P. Raymond and H. Zidani, Pontryagin's principle for state-constrained control problems governed by parabolic equationswith unbounded controls, SIAM J. Control Optim.,36(1998),1853-1879. N.H. Son, B. T. Kien and A. Rösch, Second-order optimality conditions for boundary control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J. Optim., 26(2016), 1912-1943. B. A. Ton, An optimal control free boundary problem for the Navier-Stokes equations, Nolinear Analysis, 63(2005), 831-839. A. Visintin, Models of Phase Transitions, Birkhäuser, Boston, 1996. 2.2. Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu Qua khảo sát các công trình trên chúng tôi thấy rằng có hai vấn đề chưa được giải quyết. Vấn đề thứ nhất là việc đưa racác điều kiện tối ưu(bậc 1 và bậc 2) cho bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình parabolic tựa tuyến tính (chẳng hạn bài toán ĐKTƯ (2)). Vấn đề mở thứ hai là nghiên cứuphương pháp số, trong đó khảo sát sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ không trơn. Khi nghiên cứu các điều kiện cực trị cho bài toán ĐKTƯ không trơn, các tác giả trong [4,14,15,25] đã sử dụng lược đồ sau: xấp xỉ bài toán ĐKTƯ gốc bằng các bài toán ĐKTƯ trơn (regulization scheme), sau đó nhận được tính compact của tập các nghiệm tối ưu cho các bài toán xấp xỉ, và cuối cùng thông qua giới hạn thu được hệ các điều kiện cực trị cho bài toán gốc. Tuy nhiên đối với bài toán ĐKTƯ (2), thành phần không trơn xuất hiện trong toán tử đạo hàm cấp cao hơn và đo đó chúng ta không nhận được tính compact của tập các nghiệm tối ưu cho bài toán ĐKTƯ xấp xỉ. Vì vậy lược đồ trên không thể áp dụng trực tiếp cho bài toán (2). Để nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ trơn, một phương pháp được sử dụng rộng rãi là việc áp dụng điều kiện cần tối ưu bậc 1 và điều kiện đủ tối ưu bậc 2 (xem [3,8,10,11,13]). Tuy nhiên theo tìm hiểu của chúng tôi, hiện chưa có một tài liệu nào nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá sai số cho bài toán ĐKTƯ không trơn. Do đó để nghiên cứu hai vấn để mở nêu trên, chúng ta cần phải đưa ra các phương pháp mới, công cụ mới và kỹ thuật chứng minh mới, hoặc ít nhất cần phải cải tiến các phương pháp tiếp cận hay các kỹ thuật đã được sử dụngtrước đó.Việc nghiên cứu các vấn đề mở đó sẽ góp phần vào sự phát triển của nhóm nghiên cứu ĐKTƯ ở Việt Nam và đồng thời tạo nên hướng nghiên cứu mới cho nhóm. Mục tiêu của đề tài Mục tiêu của đề tài là đưa ra một số kết quả mới về các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho các bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng. Nội dungnghiên cứu Nghiên cứu các điều kiện tối ưu (bậc 1 và bậc 2) cho bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng. Nghiên cứu phương pháp số, trong đó bao gồm sự hội tụ và đánh giá sai số của các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng. 5. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu Để thu được kết quả nghiên cứu đã nói ở trên, trước tiên chúng tôi sẽ khảo sát và nghiên cứu thật chi tiết các công trình liên quan trước đó. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiếp cận hai vấn đề cần giải quyết như sau. - Về các điều kiện cực trị: Trước hết chúng tôi cần nghiên cứu các tính chất định tính của phương trình đạo hàm riêng liên quan tới bài toán ĐKTƯ. Sau đó sử dụng các công cụ và kỹ thuật mới (hoặc được cải tiến từ các kỹ thuật đã biết) để nhận được các điều kiện tối ưu bậc 1 và bậc 2. - Về việc chứng minh tính hội tụ và đánh giá sai số: Chúng tôi sẽ nghiên cứu các bài toán rời rạc (dựa trên các phương pháp rời rạc hóa như FEM và GDM) của phương trình trạng thái, của phương trình liên hợp và của bài toán ĐKTƯ. Sau đó sử dụng các điều kiện cần tối ưu bậc 1 và điều kiện đủ tối ưu bậc 2 (đã được nghiên cứu ở trên) để đưa ra sự hội tụ cũng như đánh giá sai số của nghiệm tối ưu rời rạc so với nghiệm tối ưu của bài toán liên tục. 6. Kế hoạch triển khai TT Họ và tên Cơ quan công tác Chức danh thực hiện đề tài 1 Bùi Trọng Kiên Viện Toán học Chủ nhiệm đề tài 2 Vũ Hữu Nhự Trường Đại học Phenikaa Thành viên chính 3 Nguyễn Quốc Tuấn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Thành viên chính Nội dung, công việc chủ yếu (các mốc đánh giá chủ yếu) Sản phẩm cần đạt Thời gian (bắt đầu, kết thúc) Người thực hiện 1 - Nghiên cứu các tính chất định tính của phương trình đạo hàm riêng liên quan tới bài toán ĐKTƯ cần xét. - Đưa ra các điều kiện cực trị cho bài toán ĐKTƯ không trơn. 01 công trình sẽ được xuất bản cho chủ đề nghiên cứu này. 12 tháng (từ 01/2021 – 12/2021) Bùi Trọng Kiên, Vũ Hữu Nhự, Nguyễn Quốc Tuấn 2 - Nghiên cứu bài toán rời rạc của phương trình trạng thái, phương trình liên hợp, bài toán ĐKTƯ. - Chứng minh sự hội tụ và đánh giá sai số của nghiệm tối ưu rời rạc và nghiệm tối ưu của bài toán ĐKTƯ liên tục. 01 công trình sẽ được xuất bản cho chủ đề nghiên cứu này. 12 tháng (từ 01/2022 – 12/2022) Bùi Trọng Kiên, Vũ Hữu Nhự, Nguyễn Quốc Tuấn Dự kiến kết quả đề tài 7.1. Dự kiến kết quả nghiên cứu Đưa ra 02 công trình cho các kết quả mới về các điều kiện tối ưu và sự hội tụ và đánh giá sai số. 7.2. Dự kiến công trình công bố Số TT Kết quả công bố Số lượng Ghi chú 1 Tạp chí SCI-E của Web of Science 02 Tạp chí uy tín 2 Tạp chí quốc tế khác 0 3 Tạp chí quốc gia có uy tín 0 4 Khác 0 Tổng kinh phí đăng ký tài trợ: 8.1. Tổng hợp TT Mục chi Nội dung chi Tổng số Chia ra các năm Năm 2021 Năm 2022 1 6650 Hội nghị, hội thảo 2 6700 Đi công tác trong nước 3 6800 Đi công tác nước ngoài 4 6850 Đoàn vào 5 7000 Tiền công lao động trực tiếp 377.178.600 189.319.400 187.859.200 Chủ nhiệm đề tài 174.210.800 87.105.400 87.105.400 Thành viên nghiên cứu chính, thư ký khoa học 202.967.800 102.214.000 100.753.800 6 7000 Chi giao khoán khác 2.821.400 680.600 2.140.800 7 7750 Quản lý phí 20.000.0000 10.000.000 10.000.000 Tổng cộng: 400.000.000 200.000.000 200.000.000 8.2. Chi tiết: a. Tiền công lao động: TT Họ và tên Chức danh thực hiện đề tài Hệ số tiền công (hstc) Tổng số Năm 2021 Năm 2022 Tổng số Năm 2021 Năm 2022 1 Bùi Trọng Kiên CNĐT 0,79 148 74 74 174.210.800 87.105.400 87.105.400 2 Vũ Hữu Nhự TVC 0,49 139 70 69 101.483.900 51.107.000 50.376.900 3 Nguyễn Quốc Tuấn TVC 0,49 139 70 69 101.483.900 51.107.000 50.376.900 Tổng cộng: 426 214 212 377.178.600 189.319.400 187.859.200 b. Chi tiết các khoản còn lại: TT Mục chi Nội dung chi Tổng số Năm 2021 Năm 2022 1 7000 Nội dung chi giao khoán khác 2.821.400 680.600 2.140.800 7000 In ấn tài liệu, văn phòng phẩm 2.821.400 680.600 2.140.800 2 7750 Chi phí quản lý gián tiếp 20.000.000 10.000.000 10.000.000     TỔNG CỘNG: 22.821.400 10.680.600 12.140.800 TRUNG TÂM Hà Nội, ngày tháng năm 20 Chủ nhiệm đề tài Bùi Trọng Kiên THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Kế toán đơn vị