Đề tài Định lý giới hạn trung tâm – Các xấp xỉ xác suất và bài tậ

Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán Nhóm 1: 1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071) 2. Bùi Văn Tiệp (08267261) 3. Phạm Văn Toàn (08096701) 4. Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh PHẦN I: LÝ THUYẾT Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất 3.1. Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn 3.1.1. Phân phối đều:  Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là:  Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối đều là:  Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất của phân phối đều. của phân phối đều.  Các đặc trưng số của phân phối đều: Kỳ vọng: ( ) ( ) ( ) 2 b a x a bE X xf x dx dx Med X b a          Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Với: E(X2) = 2 2 2 21( ) ( ) 3 b a xx f x dx dx b ab a b a         ( ) ( ) 2 b a x a bE X xf x dx dx b a         (Tính ở trên) Suy ra phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) = 2 21 ( ) 3 b ab a  - ( 2 a b )2 = 2( ) 12 b a 3.1.2. Phân phối chuẩn:  Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với hai tham số µ và σ2 nếu có hàm mật độ là: f(x)= 2 2 ( ) 21 2 x e       Kí hiệu: X ~ N(µ;σ2)  Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: F(X)= 2 2 ( ) 21 2 tx e dt          Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp.  Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn như sau: Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn.  Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông.  Các đặc trưng số của phân phối chuẩn: Kỳ vọng: E(X) = 2 2 ( ) 21. 2 x x e dx         =  Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Với: E(X2) = 2 2 ( ) 2 21. 2 x x e dx         = µ 2 + σ2 E2(X) =  2 Suy ra: D(X) = E(X2) – E2(X) = µ2 + σ2 –  2 = σ2 Vậy phương sai : D(X) = σ2  Ta thấy hai tham số  và σ2 chính là kì vọng và phương sai của phân phối chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn hoàn toàn xác định khi biết kì vọng và phương sai của nó.  Tính xác suất: Giả sử X ~ N( ;σ2) P[a≤ X ≤b] = 2 2 ( ) 21 2 xb a e dx        = ( ) ( ) b a          Quy tắc 3 : Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng  và phương sai σ2 [ ] 2 ( ) 1XP X P                    Với   ta có: [ ]=2 (1) - 1 = 0,6826P X     Với 2  ta có: [ 2 ]=2 (2) - 1 = 0,9544P X     Với 3  ta có: [ 3 ]=2 (3) - 1 = 0,9973P X      Như vậy nếu X ~ N(( ;σ2) thì [ ] 1P X     khi 3  . Điều này có nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai σ2 thì gần như chắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [ - 3σ , + 3σ]  Bổ sung về kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ2 = 1 thì X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss. Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc được kí hiệu là ( )x còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí hiệu là ( )x còn gọi là hàm Laplace. - Hàm ( )x là hàm chẵn, ( ) ( )x x   , trong khoảng (0, +∞) thì hàm ( )x đơn điệu giảm. (0) 0,3989  , (1) 0, 2420  , (2) 0,0540  , (3) 0,0044  , (4) 0,0001  và nếu x≥4 thì ( )x 0 - Hàm ( )x = ( ) x t dt    Hàm ( )x là hàm lẻ. Ta có: (0) 0,5  , (1) 0,2420  , (2) 0,0540  , (3) 0,0044  , (3,9) 0,0001  và nếu x≥4 thì ( ) 1x  và nếu x < -4 thì ( ) 0x  Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Hình 5 : Đồ thị hàm ( )x Hình 6 : Đồ thị hàm ( )x 3.2. Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov) Cho họ các biến ngẫu nhiên {X1, X2, X3,...Xn) độc lập từng đôi một. Đặt Y = 1 n i i X   ; 1 EX n i i    và 2 1 ar n i i V X   Nếu EXi , VarXi hữu hạn và 3 3 1 EX lim 0 n i i n i E X     Thì Y 2( ; )  3.3. Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức 3.3.1. Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức:  Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với quy luật phân phối nhị thức. H(N, M, n)  B(n, p) Ta có: P[X=K] = . . . K n K K K n KM N M n n N p qc c cc    với (q=1–p)  Ví dụ : Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ? Giải: Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra.  X={0,1,2,...,9,10} Ta có: X ~ H(1000, 600, 10)  B(10; 0,6) Suy ra: P[X=K] = 10 10600 400 10 10 1000 . .(0,6) .(0, 4) K K K K Kc c cc   với K=0;10 Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra. Suy ra: P(A) = P[X=3]= 3 7 3 3 7600 400 10 10 1000 . .(0,6) .(0, 4)c c cc  = 0,04246 3.3.2. Xấp xỉ xác suất giữa poisson và nhị thức: Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh  Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối poisson. B(n, p)  P ( ) Ta có: P(X=K) = .. . ! K K K n K n ep q Kc    với  =np và K= 0;  Ví dụ: Tại một trận địa phòng không, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường. Xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001. Nếu máy bay bị bắn trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,8. Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì chắc chắn bị rơi. Tính xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi lần bắn một viên. Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu  X={0,1,2,...,1000} Ta có: X ~ B(1000; 0,001)  P ( ) Với:  = np = 1000 x 0,001 = 1 Suy ra: X ~ B(1000; 0,001)  P (1) Gọi B là biến cố máy bay bị rơi. Gọi A0 là biến cố không có viên đạn nào trúng máy bay A1 là biến cố có 1 viên đạn bắn trúng máy bay A2 là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay Ta có A0 , A1 , A2 lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) Với P(A0) = P(X=0) = 1 0 0 0 1000 1000 .1 1.(0,001) .(0,999) 0! e ec    P(B/ A0) = 0 P(A1) = P(X=1) = 1 1 1 1 999 1000 .1 1.(0,001) .(0,999) 1! e ec    P(B/A1) = 0,8 P(A2) = P[X≥2] = 1 – P[X<2] = 1 - 2 e P(B/A2) = 1 Suy ra: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) = 1 e .0 + 1 e .0,8 + (1 - 2 e ).1 = 0,5585 Vậy xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi khẩu bắn một viên là 0,5585 3.4. Xấp xỉ xác suất giữa: Chuẩn và nhị thức  Khi n khá lớn (n≥30) và P không quá gần 0, cũng không quá gần 1 (0< P <1) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn và ta có: o P[X=K] = 1. . . ( )K K n Kn p q uc    với Ku     Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh o P[K1<X<K2] = 2 1( ) ( )K K         Ví dụ: Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm xác suất để có 70 viên đạn trúng mục tiêu? Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu  X = {0,1,2,..100} X ~ B(100; 0,8)  N 2( ; )  Với  =100. 0,8 = 80 và 2 = npq = 100.0,8.0,2 = 16 Suy ra: X ~ B(100; 0,8)  N(80;16) Gọi A là biến cố có 70 viên đạn trúng mục tiêu Suy ra: P(A) = P(X=70) = 70 70 30 100 1 70 80 1.(0,8) .(0, 2) . ( ) . ( 2,5) 4 4 4c       1 1. (2,5) .0,0175 0,004375 4 4    Vậy xác suất để có 70 viên trúng mục tiêu là 0,004375 PHẦN II: BÀI TẬP XÁC SUẤT II.1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỔNG – TÍCH Câu 3: Trong một hộp có 8 bi trắng và 6 bi đen. Lấy lần lượt từ hộp ra 2 bi (không hoàn lại). Tính xác suất cả 2 đều là bi trắng; một bi trắng và một bi đen? Giải: Xác suất cả hai đều là bi trắng: Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng 1 1 8 7 1 1 14 13 8*7 4( ) ( * ) ( )* ( / ) * 14*13 13 C CP C P A B P A P B A C C      Vậy xác suất lấy được cả hai đều là bi trắng là : 4 13 Xác suất 1 bi trắng và 1 bi đen Gọi A là biến cố lấy được lần 1 là bi trắng B là biến cố lấy được lần 2 là bi đen C là biến cố lấy được một bi trắng và một bi đen 1 1 1 1 8 6 6 8 1 1 1 1 14 13 14 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) 48 48 48 182 182 91 C AB AB P C P AB AB P AB P AB P A P BA P A P B A C C C C C C C C              II.2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - BAYES Câu 15: Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai 30kg và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép. Trộn cả ba bao lúa vào bao thứ tư Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh rồi bốc ra 1 hạt. Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra không lép, tính xác suất hạt này là của bao thứ 2. Giải: Xác suất hạt bốc ra là hạt lép Gọi A1: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất” A2: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai” A3: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba” B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép” Ta có P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + P(A3).P(B/A3) Với P(A1) = 20 0, 2 20 30 50    P(A2) = 30 0,3 20 30 50    P(A3) = 50 0,5 20 30 50    P(B/A1) = 0,01 P(B/A2) = 0,02 P(B/A3) = 0,03 P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3% Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3% Xác suất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai: Gọi B : “Biến cố hạt lấy ra không lép” P( B ) = 1- P(B) = 1 – 0,023 = 0,977 Suy ra : 2( / )P A B = 2 2 ( ). ( / ) ( ) P A P B A P B = 0,3.0,98 0,3009 0,977  = 30,09% Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09% Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ; hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh. Giải: Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì A là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1 Gọi B là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 2 thì B là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2 Gọi C là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 3 P(A) = 7 3 1 7 1 3  C C 7 4 7 31)(  AP Áp dụng công thức đầy đủ P(B)= P(B/A).P(A) + P(B/ A )P( A )= 7 4. 7 3. 1 9 1 6 1 9 1 7 C C C C  = 7 5 Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh 7 2 7 51)(1)(  BPBP Áp dụng công thức đầy đủ P(C) = P(C/B).P(B) + P(C/ B ).P( B ) = 28 11 7 2. 12 4 7 5. 12 5 7 2. 7 5. 1 12 1 4 1 12 1 5  C C C C Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là: 28 11 II.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần) a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. Giải: a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được  0,1, 2X        0 2 5 3 0 2 8 1 1 5 3 1 2 8 2 0 5 3 2 2 8 1.3 30 0 28 28 5.3 151 1 28 28 102 2 28 C CX P P X C C CX P P X C C CX P P X C                     Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt) X 0 1 2  P X 3 28 15 28 10 28 Khi 0 ( ) ( ) ( ) 0x F X P X x P       Khi     30 1 ( ) 0 28 x F X P X x P X        Khi       3 15 181 2 ( ) 0 1 28 28 28 x F X P X x P X P X            Khi        2 ( ) 0 1 2 3 15 10 1 18 18 28 x F X P X x P X P X P X              Vậy hàm phân phối xác suất là: Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh 0 nếu 0x  ( )F X  3 28 nếu 0<x1 18 28 nếu 1<x2 1 nếu x>2 b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. Gọi X là số sản phẩm xấu được chọn:  0,1, 2X  Ta tính xác suất tương đương của X Khi   0 2 3 5 0 2 8 100 0 28 C CX P P X C       Khi   1 1 3 5 1 2 8 3.5 151 1 28 28 C CX P P X C        Khi   2 0 3 5 2 2 8 32 2 28 C CX P P X C       Bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu) X 0 1 2 ( )P X 10 28 15 28 3 28 Khi 0 x    ( ) 0F X P X x P      Khi   100 1 ( ) 0 28 x F X P X      Khi     10 15 251 2 ( ) 0 1 28 28 28 x F X P X P X          Khi      2 ( ) 0 1 2 1x F X P X P X P X         Hàm phân phối xác suất sản phẩm xấu chọn được là: 0 nếu 0x  10 28 nếu 0 1x  F(X) = 25 28 nếu 1 2x  1 nếu x>2 c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. Kỳ vọng sản phẩm tốt:  1 3 15 10 350. 1. 2. 28 28 28 28 E X     Kỳ vọng sản phẩm xấu là:  2 10 15 3 210. 1. 2. 28 28 28 28 E X     Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 0 3 15 10 55( ) 0 . 1 . 2 . 28 28 28 28i i E X x p     Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh  2 2 2 22 10 15 3 270 . 1 2 .28 28 28 28E X     Suy ra phương sai của số sản phẩm tốt là:      2 21 1 1 45[ ] 112D X E X E X   Và phương sai của số sản phẩm xấu là:       2 2 2 2 2 2 27 21 45[ ] 28 28 112 D X E X E X          Câu 48: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: 2 , [0;3]( ) 9 0, [0;3] x xf x x      a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Giải: a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX * Tìm hàm phân phối F(x): Khi x  0 0)()()(    x dttfxXPxF Khi 0<x 3 279 0)()()()( 3 0 2 0 0 xdttdttftfxXPxF xx    Khi x >3 1)()()()()()( 3 3 0 0     dttftfdttfdttfxXPxF x Vậy hàm phân phối xác suất của x là: nếu x 0 nếu 0<x 3 nếu x>3 * ModX: Ta có f(x)= 9 2x nếu 30  x 00)( 9 2)( ,,  xxfxxf Bảng xét dấu f(x): x 0 3 f ’(x) +         1 27 0 )( 3xxF Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh f(x) mod(x) = 3 * MedX: Gọi a là median của x thì a   2 1 9 3,0 0 2   dx xa 2 3 2 3 2 1 27  aa Vậy med(x)= 2 2 3 * EX: E(x)= 4 3 9 )()()()()( 3 0 33 03 3 0 0       dxxdxxxfdxxxfdxxxfdxxxfdxxxf * VarX: D(x)= 80 387 4 3 9 0)()( 23 0 42 2                    dxxdxxxfdxxfx b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là : P(1<x<4)= 27 260 9 )()()( 3 1 24 3 3 1 4 1   dx xdxxfdxxfdxxf Gọi A là biến cố để trong 3 phép thử độc lập cố 2 lần x thuộc (1,4) thì A tuân theo công thức bernoulli vói p= 27 26 , k=2,n=3 )(AP = 2 2 2 3 26 26 676(1 ) 3. 1 0,103 27 27 6516 p pC                Vậy xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị trong khoảng (1; 4) là P(A) = 0,103 II.4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG VÀ CÁC LOẠI XẤP XỈ XÁC SUẤT II.4.1. Phân phối Poisson Câu 49: Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 cuộc gọi trong một giờ. Tìm xác suất trạm điện thoại này nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút, không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút. Giải: Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút. Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh  là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút: 300 5 60    Suy ra: X~ ( )P  Ta có:   5.5( ) , 0, ! KeP X K K n K     Gọi A là biến cố trong một phút có đúng hai cuộc gọi đến. Suy ra: 5 25( ) ( 2) 0,0842 2! eP A P X      Gọi B là biến cố trong một phút không ít hơn 2 cuộc điện thoại gọi đến. Suy ra:  ( ) ( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1)P B P X P X P X P X          5 5 5.51 [ ] 1 6 0,9595 1 1 e e e         Vậy: Xác suất trạm điện thoại nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút là 0,0842 Xác suất trạm điện thoại nhận không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút là 0,9595 Câu 50: Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một trang sách này có đúng 3 lỗi in sai, nhiều hơn 3 lỗi in sai. Giải: Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách.  là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách:  = 100 0,1 1000  Suy ra: X~ ( )P  Ta có:   0,1.0,1( ) , 0, ! KeP X K K n K     Gọi A là biến cố trong một trang sách có đúng 3 lỗi in sai. Suy ra: 0,1 3.0,1( ) ( 3) 0,00015 3! eP A P X      Gọi B là biến cố trong một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai. Suy ra: ( ) ( 3) 1 [ ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)]P B P X P X P X P X P X           0,1 0 0,1 1 0,1 2 0,1 3.0,1 .0,1 .0,1 .0,11 ( ) 0,0000038 0! 1! 2! 3! e e e e          Vậy: Xác suất để một trang sách có đúng 3 lỗi in sai là: 0,00015 Xác suất để một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai là: 0,0000038 II.4.2. Phép thử Bernoulli và phân phối Nhị thức Câu 56: Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,3%. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm của lô hàng này. Tính số sản phẩm tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không bé hơn 91%. Giải: Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một phế phẩm trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% thì A là biến cố không nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 91% Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Hai biến cố A và A là hai biến cố đối lập nhau nên giả sử P(A) là xác suất của biến cố A thì xác suất của biến cố A là P( A ) = 1- P(A) Vì tỉ lệ phế phẩm = 0,003 là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra sản phẩm chỉ xảy ra 2 khả năng hoặc nhận được chính phẩm hoặc nhận được phế phẩm nên bài toán tuân theo lược đồ bernoulli Gọi X