Đề tài Hàm và chuỗi Hilbert

3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Nghiên cứu cấu trúc vành và module để phân lớp chúng là một trong những nhiệm vụ quan trọng của Đại số Giao hoán. Kết quả của việc làm này cho ta các thông tin cần thiết để nghiên cứu các đa tạp trong Hình học Đại số, bởi lẽ mỗi đa tạp là tập các không điểm của một ideal và việc nghiên cứu đa tạp t−ơng ứng với việc nghiên cứu vành th−ơng theo ideal xác định đa tạp đó, (điều này cũng cho thấy Đại số Giao hoán có quan hệ mật thiết, là một công cụ chủ yếu của Hình học Đại số). Có nhiều lí thuyết cho phép ta đặc tả cấu trúc vành và module, chẳng hạn: Lí thuyết đồng điều, Lí thuyết dKy phần tử, Lí thuyết bội, ... Cần nhấn mạnh rằng số bội có liên quan chặt chẽ đến số các giao điểm của một đa tạp đại số bất khả quy khi cắt nó bởi hệ thống các siêu phẳng đủ tổng quát. Muốn tiếp cận theo h−ớng này, chúng ta cần phải xác định đ−ợc số bội (kèm theo là chiều Krull) của vành hay module đang xét. Điều này dẫn đến bắt buộc phải khảo sát hàm và chuỗi Hilbert của các lớp vành, module phân bậc hay đa phân bậc. Nh− vậy việc nghiên cứu hai khái niệm này là một khâu thiết yếu để ta có thể tiếp cận gần hơn với cấu trúc của vành và module. Đó là lí do chúng tôi chọn đề tài: “ Hàm và chuỗi Hilbert ”. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá và minh hoạ chi tiết các tính chất cơ bản của hàm và chuỗi Hilbert của module. Ngoài ra, khoá luận còn trình bày một số kiến thức về hàm đa thức, đa thức số học và có liên hệ với một số bài toán của THPT. 3. Đối t−ợng và phạm vi nghiên cứu Đối t−ợng chính mà khoá luận nghiên cứu là hàm và chuỗi Hilbert, trong đó tập trung nhiều hơn vào khái niệm hàm Hilbert. Bên cạnh đó, khoá luận còn nghiên cứu một loạt các khái niệm bổ trợ có thể coi nh− kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc khảo sát các đối t−ợng chính nh−: Vành và module phân bậc, độ dài module, chiều Krull, hàm đa thức và đa thức số học, ... 4 4. Ph−ơng pháp nghiên cứu + Ph−ơng pháp nghiên cứu lí luận: Tr−ớc hết là đọc các tài liệu liên quan đến lớp vành và module phân bậc, độ dài module, đa thức số học và hàm đa thức để tìm hiểu cơ sở lí luận làm tiền đề cho việc nghiên cứu đối t−ợng chính. Tiếp đó vận dụng các kiến thức cơ sở trên để đọc, hiểu về định nghĩa và các tính chất của hàm và chuỗi Hilbert qua các tài liệu liên quan. + Ph−ơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hoá các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, kết hợp với đ−a vào các ví dụ minh hoạ chi tiết. + Ph−ơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp h−ớng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng nh− hình thức của khoá luận. 5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khoá luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cấu trúc của module mà cụ thể là về hàm và chuỗi Hilbert. Đồng thời, sử dụng các kiến thức về đa thức số học giúp giải quyết một số bài toán THPT đơn giản hơn. Với bản thân, nghiên cứu về hàm và chuỗi Hilbert giúp tôi hiểu rõ hơn về cấu trúc của vành và module, thấy đ−ợc sự liên hệ chặt chẽ giữa Đại số Giao hoán và Hình học Đại số. 6. Bố cục của khoá luận Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của khoá luận gồm ba ch−ơng. Ch−ơng 1 gồm ba phần. Phần thứ nhất trình bày các kiến thức cơ sở về vành phân bậc, chẳng hạn: Phần tử thuần nhất, ideal thuần nhất, thành phần phân bậc, ... Phần thứ hai nghiên c−ú về module phân bậc trên vành phân bậc với các khái niệm liên quan và một vài tính chất cơ bản của chúng. Phần ba tìm hiểu về vành và module Rees. Ch−ơng 2 nghiên cứu về độ dài module. Ch−ơng này gồm hai phần trình bày về khái niệm độ dài module và một vài đặc tr−ng của module có độ dài hữu hạn. Đây là một trong những đặc tr−ng quan trọng khi nghiên cứu về cấu trúc của module. 5 Ch−ơng 3 gồm ba phần. Đây là ch−ơng chứa đựng nội dung chính của khoá luận. Trong đó phần đầu của ch−ơng là những kiến thức về đa thức số học và hàm đa thức. Phần thứ hai khảo sát về hàm và chuỗi Hilbert. Phần cuối của ch−ơng là đa thức Hilbert - Samuel cùng với định lí cơ bản của Lí thuyết chiều. Trong toàn bộ khoá luận, khái niệm vành luôn đ−ợc giả thiết là vành giao hoán có đơn vị 1 0≠ . 6 Ch−ơng 1. vành và module phân bậc Nội dung của ch−ơng này gồm các vấn đề sau: Khái niệm và một số tính chất cơ bản của vành phân bậc, module phân bậc trên vành phân bậc, vành và module Rees. 1.1. Vành phân bậc Đây là nội dung cơ sở của khoá luận, làm nền cho việc xây dựng khái niệm hàm và chuỗi Hilbert của module. Đồng thời đây cũng là lớp vành đóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu về Lí thuyết chiều. 1.1.1. Vành phân bậc và các đối t−ợng thuần nhất của nó Định nghĩa 1.1.1.1. Cho ( , )G + là một vị nhóm cộng giao hoán với phần tử trung hoà 0. Một vành R đ−ợc gọi là vành G - phân bậc nếu tồn tại một họ các nhóm con cộng giao hoán { } GRα α∈ của R thoả mKn các điều kiện sau: ( )i G R Rα α∈ = ⊕ ( )ii R R Rα β α β+⊂ , mọi , Gα β ∈ . Ng−ời ta gọi Rα là thành phần phân bậc α của R , kí hiệu: [ ]Rα Ví dụ. ( )i Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Khi đó: G A R Rα α∈ = = ⊕ với khi = 0 0 khi 0 ARα α α  =   ≠ là một vành G - phân bậc. ( )ii Cho K là một tr−ờng, ta có vành đa thức 1 2[ , ,..., ]dR K x x x= . Khi đó có thể phân bậc vành này nh− sau: 1. Gọi n R là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n , tính cả đa thức không. Ta có 0 n n R R ≥ = ⊕ là một vành ℕ - phân bậc. Khi đó R đ−ợc gọi là có phân bậc chuẩn hay phân bậc tự nhiên. 7 2. Vì 1 2{( , ,..., ), , i = 1, }d d i dα α α α= ∈ℕ ℕ là một vị nhóm cộng giao hoán nên với mỗi 1 2( , ,..., ) ddα α α α= ∈ℕ đặt 1 21 2 ... ddx xR Kx αα αα = thì d R Rα α∈ = ⊕ ℕ là một vành dℕ - phân bậc. Nhận xét 1.1.1.2. Nh− vậy, mỗi vành giao hoán đều có thể coi là một vành G - phân bậc và trên cùng một vành có thể có nhiều cách phân bậc khác nhau. Định nghĩa 1.1.1.3. (Các đối t−ợng thuần nhất của vành phân bậc) Cho vành G - phân bậc G R Rα α∈ = ⊕ . Khi đó: ( )i Mỗi phần tử x Rα∈ đ−ợc gọi là một phần tử thuần nhất bậc α và kí hiệu: deg x α= . Quy −ớc: Phần tử 0 là phần tử thuần nhất bậc tùy ý. ( )ii Vành con S của R đ−ợc gọi là một vành con phân bậc hay vành con thuần nhất nếu ( ) G S S Rα α∈ = ∩⊕ . ( )iii Một ideal I của R đ−ợc gọi là ideal phân bậc hay ideal thuần nhất nếu ( ) G I I Rα α∈ = ∩⊕ . ( )iv Một ideal I của R đ−ợc gọi là thừa nhận đ−ợc nếu với mỗi tập con hữu hạn J của G , thì từ J x Iα α∈ ∈∑ với x Rα α∈ sẽ kéo theo x Iα ∈ với Jα∀ ∈ . Ví dụ. Cho 1 2[ , ,..., ]dR K x x x= là vành đa thức d biến trên tr−ờng K có phân bậc 0 n n R R ≥ = ⊕ với nR là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc n . Khi đó, I là ideal thuần nhất của R nếu nó sinh bởi các đa thức thuần nhất. 1.1.2. Một số tính chất của vành phân bậc Mệnh đề 1.1.2.1. Nếu G R Rα α∈ = ⊕ là một vành G - phân bậc thì 0R là một vành con của R chứa đơn vị 1. Đồng thời Rα là các 0R - module với Gα∀ ∈ . Chứng minh. Theo định nghĩa ta có ngay 0 0 0R R R⊂ , suy ra 0R là một nhóm cộng giao hoán đóng với phép nhân trong R , do đó nó là một vành con của R . Mặt khác, do 1 G R Rα α∈ ∈ = ⊕ nên 1 đ−ợc viết duy nhất d−ới dạng 1 G xα α∈ = ∑ với 8 x Rα α∈ , xα = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. Khi đó, với Gβ∀ ∈ ta có 1 G x x x x Rβ β α β β α∈ = = ∈∑ , mà x x R R Rα β α β α β+∈ ⊂ , Gα∀ ∈ . Do đó: 0x xα β = , 0α∀ ≠ hay 0x x xβ β= , Gβ∀ ∈ . Kết hợp với G R Rα α∈ = ⊕ ta suy ra 0x x x= , x R∀ ∈ . Vậy 0 1x = hay 01 R∈ . Cuối cùng, từ 0R R Rα α⊂ , Gα∀ ∈ ta suy ra Rα là các 0R - module với Gα∀ ∈ . Mệnh đề 1.1.2.2. Cho I là một ideal của vành phân bậc .R Khi đó ba mệnh đề sau là t−ơng đ−ơng: (i) Ideal I là thừa nhận đ−ợc. (ii) Ideal I là thuần nhất. (iii) Ideal I đ−ợc sinh bởi những phần tử thuần nhất nào đó của R. Chứng minh. ( ) ( )i ii⇒ Mỗi x I∈ giả sử J x xα α∈ =∑ với x Rα α∈ và J là một tập con hữu hạn của G . Do I là thừa nhận đ−ợc nên x Iα ∈ với Jα∀ ∈ . Do đó x I Rα α∈ ∩ , suy ra ( ) G x I Rα α∈ ∈ ∩⊕ hay ( ) G I I Rα α∈ ⊂ ∩⊕ . Bao hàm thức ng−ợc lại là hiển nhiên. ( ) ( )ii iii⇒ Do ( ) G I I Rα α∈ = ∩⊕ nên mỗi x I∈ ta có G x xα α∈ = ∑ với x I Rα α∈ ∩ . Suy ra x Rα α∈ hay xα là phần tử thuần nhất. ( ) ( )iii i⇒ Giả sử I sinh bởi tập S những phần tử thuần nhất của R . Khi đó, mỗi x I∈ ta có: 1 n i i i x yλ = =∑ , , yi iR Sλ ∈ ∈ . Gọi xα là tổng tất cả các hạng tử cùng bậc α trong biểu diễn của x , thì deg( )i i i i y x yα λ α λ = = ∑ và J x xα α∈ =∑ . Do S là hệ sinh của I nên x Iα ∈ hay I là thừa nhận đ−ợc. Mệnh đề 1.1.2.3. Nếu , I J là các ideal thuần nhất của một vành phân bậc R thì , , I J IJ I J+ ∩ cũng là các ideal thuần nhất. Đặc biệt, nếu n n R R ∈ = ⊕ ℤ là một vành ℤ - phân bậc, thì I , ( : )I J cũng là các ideal thuần nhất. 9 Nhận xét 1.1.2.4. Cho vành G - phân bậc G R Rα α∈ = ⊕ , I là một ideal phân bậc của R . Khi đó, G R I R α αα∈      ∩⊕ là một vành phân bậc với phép nhân đ−ợc hiểu là: RR I R I R βα α β         ∩ ∩ ⊂ R I R α β α β + +∩ . Từ đó, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.2.5. Nếu I là một ideal thuần nhất của một vành phân bậc R thì vành th−ơng R I cũng là một vành phân bậc. Khi đó, G R I R α αα∈      ∩⊕ đ−ợc gọi là một dạng biểu diễn của R I và ta có thể viết: G RR I I R α αα∈       = ∩⊕ . Mệnh đề 1.1.2.6. Cho 0 n n R R ≥ = ⊕ là một vành ℕ - phân bậc và 1 2{ , ,..., }nx x x là tập các phần tử thuần nhất có bậc d−ơng trong R . Khi đó, 1 2{ , ,..., }nx x x là hệ sinh của R+ khi và chỉ khi 0 1 2[ , ,..., ]nR R x x x= . Chứng minh. ( )⇒ Giả sử 1 2( , ,..., )nR x x x+ = . Ta sẽ chứng minh 0 1 2[ , ,..., ]r nR R x x x⊂ với mọi 0r ≥ bằng qui nạp theo r . Với 0r = , hiển nhiên có 0 0 1 2[ , ,..., ]nR R x x x⊂ . Giả sử mệnh đề trên đK đúng với mọi t r< , tức là 0 1 2[ , ,..., ]t nR R x x x⊂ , t r∀ < . Ta chứng minh nó cũng đúng với r . Thật vậy, lấy r x R∈ , khi đó vì 1 2( , ,..., )nR x x x+ = nên x đ−ợc viết d−ới dạng: 1 1 2 2 ... r rx a x a x a x= + + + , với ia R∈ . Vì luôn có thể coi ia là các phần tử thuần nhất nên với mọi i ta có: deg( ) degi i i ia x a degx r= + = . Suy ra deg ia r< hay 0 1 2[ , ,..., ]i na R x x x∈ với mọi i , (theo giả thiết qui nạp). Ta nhận đ−ợc 1 1 2 2 0 1 2... [ , ,..., ]n n nx a x a x a x R x x x= + + + ∈ . Từ đó 0 1 2[ , ,..., ]r nR R x x x⊂ . Mệnh đề đúng với r . Suy ra 0 1 2 0 [ , ,..., ] n n n R R R x x x ≥ = ⊂⊕ . Bao hàm thức ng−ợc lại là hiển nhiên. 10 ( )⇐ Hiển nhiên. Ta nhắc lại rằng, một R - module M đ−ợc gọi là module Noether nếu nó thoả mKn một trong các điều kiện sau: ( )i Mọi tập hợp không rỗng những module con của M đều có một phần tử cực đại. ( )ii Mọi dKy tăng những module con của M : 1 2 ... ...nM M M⊂ ⊂ ⊂ ⊂ đều dừng, nghĩa là tồn tại m để k mM M= với mọi k m≥ . ( )iii Mọi module con của M đều là hữu hạn sinh. Một vành R đ−ợc gọi là vành Noether nếu nó là R - module Noether. Từ đó kết hợp với Mệnh đề 1.1.2.6 ta có hệ quả: Hệ quả 1.1.2.7. Cho 0 n n R R ≥ = ⊕ là một vành ℕ - phân bậc. Khi đó R là Noether khi và chỉ khi 0R là Noether và R là một 0R - đại số hữu hạn sinh. 1.1.3. Đồng cấu phân bậc Định nghĩa 1.1.3.1. Cho G R Rα α∈ = ⊕ và G S Sα α∈ = ⊕ là hai vành G - phân bậc và : R Sf → là một đồng cấu vành. Khi đó, f đ−ợc gọi là đồng cấu phân bậc hay đồng cấu thuần nhất bậc β nếu ( )f R Sα α β+⊂ , với Gα∀ ∈ . Một đồng cấu thuần nhất với bậc nào đó đ−ợc gọi tắt là đồng cấu thuần nhất hay đồng cấu phân bậc. Ví dụ. ( )i Cho R là một vành G - phân bậc và r Rβ∈ . Khi đó đồng cấu nhân : R Rϕ → cho bởi ( )f x rx= , x R∀ ∈ là đồng cấu thuần nhất bậc β . ( )ii Xét vành đa thức hai biến [ , ]R K X Y= trên tr−ờng K với phân bậc chuẩn 0 n n R R ≥ = ⊕ . Khi đó đồng cấu : R Rf → xác định bởi ( )f X X Y= + và ( )f Y X= là một tự đồng cấu phân bậc của R . Nh−ng đồng cấu h : R R→ xác định bởi ( ) 1, ( ) 1h X X h Y Y= + = + không phải là một đồng cấu phân bậc (vì 1, 1X Y+ + không phải là các phần tử thuần nhất). 11 T−ơng tự nh− đối với đồng cấu vành, đồng cấu phân bậc cũng có tính chất sau: Mệnh đề 1.1.3.2. Cho R, S, T là các vành G- phân bậc. Nếu ϕ : R → S là một đồng cấu thuần nhất bậc β và ψ : S → T là một đồng cấu thuần nhất bậc γ thì ψ ϕ ° : R → T là một đồng cấu thuần nhất bậc β γ+ . Mệnh đề 1.1.3.3. Nếu ϕ : R → S là một đồng cấu thuần nhất thì Kerϕ là một ideal thuần nhất của R, Imϕ là một vành con thuần nhất của .S Chứng minh. Giả sử ϕ là một đồng cấu thuần nhất bậc β . Khi đó vì R sinh bởi các phần tử thuần nhất nên Imϕ sinh bởi tập ,{ ( ) / }A x x R Gα α αϕ α= ∈ ∀ ∈ . Với mỗi α , vì ( )R Sα α βϕ +⊂ nên ( )x Sα α βϕ +∈ là một phần tử thuần nhất của S . Suy ra A là tập con các phần tử thuần nhất của S , hay Imϕ là vành con thuần nhất của S . Tiếp theo ta chứng minh Kerϕ là một ideal thuần nhất của R . Với mỗi x Kerϕ∈ , giả sử J x xα α∈ =∑ với x Rα α∈ , J là một tập con hữu hạn của G . Khi đó, 0 ( ) ( ) G x xα α ϕ ϕ ∈ = = ∑ với ( )x Sα α βϕ +∈ . Mà 0 0 0 ...= + + và biểu diễn là duy nhất nên ta suy ra ( )xαϕ = 0, mọi Jα ∈ . Vậy x Kerα ϕ∈ với mọi Jα ∈ . Do đó Kerϕ là ideal thừa nhận đ−ợc của R . Bởi Mệnh đề 1.1.2.2, Kerϕ là ideal thuần nhất của R . 1.2. Module phân bậc Định nghĩa 1.2.1. Cho ( , )G + là một vị nhóm con của vị nhóm cộng giao hoán *( , )G + , G R Rα α∈ = ⊕ là một vành G - phân bậc. Một R - module M đ−ợc gọi là một R - module G*- phân bậc nếu tồn tại một họ { } *GM β β∈ các nhóm con cộng của M thoả mKn các điều kiện sau: ( )i *G M M β β∈ = ⊕ ( )ii R M Mα β α β+⊂ với mọi *, G Gα β∈ ∈ . Khi đó, M β đ−ợc gọi là thành phần thuần nhất bậcβ của M và kí hiệu là [ ]M β . Ví dụ. ( )i Mỗi vành phân bậc R đều là một R - module phân bậc. 12 ( )ii Cho M M β β∈ = ⊕ ℤ là R - module phân bậc, p∈ℤ . Đặt ( ) pM p Mβ β+= . Khi đó, ( ) ( )M p M p β β∈ = ⊕ ℤ cũng là một R - module phân bậc. Hơn nữa, ( )M p còn đ−ợc gọi là module dịch chuyển của M và p là số dịch chuyển. Nhận xét 1.2.2. Do 0R M Mβ β⊂ với mọi *Gβ ∈ nên M và họ { } *GM β β∈ đều là các 0R - module. Định nghĩa 1.2.3. (Các đối t−ợng thuần nhất) Cho G R Rα α∈ = ⊕ là một vành G - phân bậc và *G M M β β∈ = ⊕ là R - module phân bậc. Khi đó: ( )i Phần tử x M β∈ đ−ợc gọi là một phần tử thuần nhất bậc β và kí hiệu degx β= . Quy −ớc: Phần tử 0 là phần tử thuần nhất bậc tuỳ ý. ( )ii Một R - module con N của M đ−ợc gọi là một module con phân bậc hay module con thuần nhất nếu * ( ) G N N M β β∈ = ∩⊕ . ( )iii Một R - module con N của M đ−ợc gọi là thừa nhận đ−ợc nếu với mỗi J là tập con hữu hạn của *G mà J x Nβ β∈ ∈∑ với x Mβ β∈ sẽ kéo theo x Nβ ∈ với mọi Jβ ∈ . Chú ý 1.2.4. Nếu a R∈ và x M∈ là các phần tử thuần nhất thì hoặc deg degax a degx= + hoặc 0.ax = Định nghĩa 1.2.5. Cho *G M M β β∈ = ⊕ và * ' G M M β β∈ ′= ⊕ là các G R Rα α∈ = ⊕ - module phân bậc và ϕ : M → M' là một đồng cấu R - module. Khi đó, ϕ đ−ợc gọi là đồng cấu phân bậc hay đồng cấu thuần nhất bậc γ nếu ( )M Mβ β γϕ +′⊂ với mọi *Gβ ∈ . Nếu ϕ là đồng cấu thuần nhất bậc nào đó thì ϕ đ−ợc gọi tắt là đồng cấu thuần nhất hay đồng cấu phân bậc. D−ới đây là một số tính chất của module phân bậc trên vành phân bậc mà việc chứng minh chúng hoàn toàn t−ơng tự nh− đối với vành phân bậc. 13 Mệnh đề 1.2.6. Cho N là một module con của module phân bậc M . Khi đó, ba mệnh đề sau là t−ơng đ−ơng: (i) Module con N là thừa nhận đ−ợc. (ii) Module con N là thuần nhất. (iii) Module con N sinh bởi tập những phần tử thuần nhất của .M Mệnh đề 1.2.7. Nếu N và L là các module con thuần nhất của một R - module phân bậc M và I là một ideal thuần nhất của R thì L N+ , L N∩ , IL đều là các module con thuần nhất của .M Thêm nữa, nếu n n M M ∈ = ⊕ ℤ và n n R R ∈ = ⊕ ℤ thì ( : )L N là một ideal thuần nhất của .R Mệnh đề 1.2.8. Cho vành G R Rα α∈ = ⊕ và *G M M β β∈ = ⊕ là R - module phân bậc. Khi đó, nếu N là một R - module con phân bậc của M thì M N là một R - module phân bậc và *G MM N N M β ββ∈       ≅ ∩⊕ . Mệnh đề 1.2.9. Cho *G M M β β∈ = ⊕ và * ' G M M β β∈ ′= ⊕ là các G R Rα α∈ = ⊕ - module phân bậc và ϕ : M → M' là một đồng cấu thuần nhất R - module. Khi đó Kerϕ , Imϕ t−ơng ứng là các module con thuần nhất của , '.M M Một trong những lớp module quan trọng khi nghiên cứu về hàm và chuỗi Hilbert là module Rees mà ta sẽ tìm hiểu sau đây. 1.3. Vành và module Rees Định nghĩa 1.3.1. Cho vành R và một họ 0{ }n nF I ≥= các ideal của R . Họ F đ−ợc gọi là một lọc các ideal của R nếu nó đồng thời thoả mKn hai điều kiện sau: ( )i 0 1 ... ...nR I I I= ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ( )ii m n m nI I I +⊂ với mọi m và .n Lọc F đ−ợc gọi là lọc tách đ−ợc nếu 0 n n I ≥ ∩ = 0. Ví dụ. Xét vành số nguyên ℤ , {(2 ) / 0}nF n= ≥ là họ các ideal của ℤ . Khi đó, F là một lọc các ideal của ℤ . Hơn nữa đây còn là một lọc tách đ−ợc của ℤ . Định nghĩa 1.3.2. Cho 0{ }n nF I ≥= là một lọc các ideal của vành R . Khi đó, các 14 vành phân bậc 0 ( ) nn n R F I t ≥ = ⊕ ; 1 0 ( )( ) n n n R FG F I t+ ≥ = ⊕ ; ( ) n n n T F I t ∈ = ⊕ ℤ với , n I R= 0n∀ ≤ t−ơng ứng đ−ợc gọi là: đại số Rees, vành phân bậc liên kết và đại số Rees mở rộng của lọc F . Nếu 0 ( ) nn n R F I t ≥ = ⊕ là vành Noether thì lọc 0{ }n nF I ≥= đ−ợc gọi là lọc Noether. Chú ý 1.3.3. ( )i Ta có, 10 nn nn I tI +≥      ⊕ là một vành phân bậc với phép nhân đ−ợc hiểu là: 1 1 1 m n m nm n m n m n m n I I It t tI I I ++ + + + +                   ⊂ , ,m n∀ . Do đó ta còn có thể viết: 10 ( ) nn nn IG F tI +≥       = ⊕ và 10 nn nn I tI +≥      ⊕ đ−ợc gọi là một dạng biểu diễn của ( )G F . ( )ii Nếu 0{ }n nF I ≥= thì F đ−ợc gọi là một lọc I - adic sinh bởi ideal .I Khi đó, 0 ( ) ( ) n n n R I R F I t ≥ = = ⊕ ; ( )1 0 ( ) ( ) n nn n IG I G F tI +≥ = = ⊕ ; ( ) ( ) n n n T I T F I t ∈ = = ⊕ ℤ với nI R= khi 0n < t−ơng ứng đ−ợc gọi là đại số Rees, vành phân bậc liên kết, đại số Rees mở rộng của .I Sử dụng định lí cơ sở Hilbert (xem[5], tr. 136, Định lí 1.10) ta suy ra đ−ợc mệnh đề d−ới đây. Mệnh đề 1.3.4. Cho I là một ideal của vành Noether .R Khi đó các vành: 0 ( ) n n n R I I t ≥ = ⊕ ; ( )1 0 ( ) n nn n IG I tI +≥ = ⊕ ; ( ) n n n T I I t ∈ = ⊕ ℤ là các vành Noether. Định nghĩa 1.3.5. Cho 0{ }n nF I ≥= là một lọc các ideal của ,R 0{ }n nW M ≥= là một họ các R - module con của R - module M . W đ−ợc gọi là lọc t−ơng thích với lọc F nếu nó đồng thời thoả mKn ba điều kiện sau: ( )i 0M M= ( )ii 1n nM M+ ⊂ với mọi 0n ≥ ( )iii n m m n I M M +⊂ với mọi m và .n 15 Nhận xét 1.3.6. Giả sử 0{ }n nW M ≥= là một lọc t−ơng thích với lọc 0{ }n nF I ≥= các ideal của R . Khi đó 0 ( ) nn n R W M t ≥ = ⊕ là một ( )R F - module phân bậc, và 1 0 0 ( ) n nn n n n G W M t M t+ ≥ ≥ = ⊕ ⊕ là ( )G F - module phân bậc, có dạng biểu diễn: 10 ( ) nn nn MG W tM +≥       = ⊕ với phép nhân ngoài đ−ợc hiểu là: 1 1 1 m n m nm n m n m n m n I M Mt t tI M M ++ + + + +                   ⊂ , với mọi m và .n Định nghĩa 1.3.7. Cho M là một R - module và I là một ideal của R . Họ { } 0n nW M ≥= các module con của M đ−ợc gọi là một I - lọc nếu { } 0n nW M ≥= là một lọc t−ơng thích với lọc I - adic 0{ }n nF I ≥= . Đặc biệt, một I - lọc đ−ợc gọi là một I - lọc ổn định hay lọc I - ổn định nếu 1n nIM M += với mọi n đủ lớn. D−ới đây là một vài tính chất cơ bản của I - lọc ổn định của một R - module, là cơ sở cho việc nghiên cứu về đa thức Hilbert - Samuel. Mệnh đề 1.3.8. Cho M là một