Đề tài Hiện tượng đa cộng tuyến

LỜI MỞ ĐẦU Trong mô hình phân tích hồi quy bội, chúng ta giả thiết giữa các biến giải thích Xi của mô hình độc lập tuyến tính với nhau, tức là các hệ số hồi quy đối với một biến cụ thể là số đo tác động riêng phần của biến tương ứng khi tất cả các biến khác trong mô hình được giữ cố định. Tuy nhiên khi giả thiết đó bị vi phạm tức là các biến giải thích có tương quan thì chúng ta không thể tách biệt sự ảnh hưởng riêng biệt của một biến nào đó. Hiện tượng trên được gọi là đa công tuyến.Vậy để đa cộng tuyến là gì, hậu quả của hiện tượng này như thế nào, làm thế nào để phát hiện và biện pháp khắc phục nó. Để trả lời được những câu hỏi trên, sau đây chúng ta cùng đi thảo luận về đề tài “ Hiện tượng đa cộng tuyến”. Chương 1. Lý luận cơ bản về hiện tượng đa cộng tuyến Khái niệm đa cộng tuyến và nguyên nhân Khái niệm Khi xây dựng mô hình hồi quy bội, trường hợp lý tưởng là các biến Xi trong mô hình không có tương quan với nhau; mỗi biến Xi chứa một thông tin riêng về Y, thông tin không chứa trong bất kì biến Xi khác. Trong thực hành, khi điều này xảy ra ta không gặp hiện tượng đa cộng tuyến. Trong những trường hợp còn lại, ta gặp hiện tượng đa cộng tuyến.Giả sử ta phải ước lượng hàm hồi quy Y gồm k biến giải thích X1, X2, X3,…..,Xk Y1 = β1+ β2 X2i + β3 X3i + Ui ,
Các biến X2 , X3 ,..., Xk gọi là các đa cộng tuyến hoàn hảo hay còn gọi là đa cộng tuyến chính xác nếu tồn tại λ2 ,..., λk không đồng thời bằng không sao cho: λ2 X2 + λ3 X3 + ... + λk Xk = 0 Các biến X2 , X3 ,..., Xk gọi là các đa cộng tuyến không hoàn hảo nếu tồn tại λ2 ,..., λk không đồng thời bằng không sao cho: λ2 X2 + λ3 X3 + ... + λk Xk + Vi = 0 (1.1) trong đó Vi là sai số ngẫu nhiên. Trong (1.1) giả sử
λi ≠ 0 khi đó ta biểu diễn: Xi =
Từ (1.2) ta thấy hiện tượng đa cộng tuyến xảy ra khi một biến là tổ hợp tuyến tính của các biến còn lại và một sai số ngẫu nhiên, hay nói cách khác là có một biến biểu diễn xấp xỉ tuyến tính qua các biến còn lại. 1.1.2. Nguyên nhân Do phương pháp thu thập dữ liệu: Các giá trị của các biến độc lập phụ thuộc lẫn nhau trong mẫu nhưng không phụ thuộc lẫn nhau trong tổng thể. Ví dụ: Người thu nhập cao sẽ có khuynh hướng nhiều của cải hơn. Điều này có thể đúng với mẫu mà không đúng với tổng thể. Trong tổng thể sẽ có các quan sát về các cá nhân có thu nhập cao nhưng không có nhiều của cải và ngược lại. Các dạng mô hình dễ xảy ra đa cộng tuyến: - Hồi quy dạng các biến độc lập được bình phương sẽ xảy ra đa cộng tuyến, đặc biệt khi phạm vi giá trị ban đầu của biến độc lập là nhỏ. - Các biến độc lập vĩ mô được quan sát theo chuỗi thời gian. Ước lượng khi có đa cộng tuyến 1.2.1. Ước lượng khi có hiện tượng đa cộng tuyến hoàn hảo Sau đây chúng ta sẽ chỉ ra rằng khi có đa cộng tuyến hoàn hảo thì các hệ số hồi quy là không xác định còn các sai số tiêu chuẩn là vô hạn. Để đơn giản về mặt trình bày chúng ta sẽ xét mô hình hồi quy 3 biến và chúng ta sẽ sử dụng dạng độ lệch trong đó:
;
;
(1.3)
;
(1.4) thì mô hình hồi quy 3 biến có thể viết lại dưới dạng:
(1.5) Theo tính toán trong chương hồi quy bội ta thu được các ước lượng:
(1.6)
(1.7) Giả sử:
trong đó
là hằng số khác không, thay điều kiện này vào (1.6) ta được:
(1.8) là biểu thức không xác định. Tương tự như vậy ta cũng có thể chỉ ra
không xác định. Vì sao chúng ta lại thu được kết quả như ở (1.8)? Lưu ý đến ý nghĩa của
có thể giải thích điều đó.
cho ta tốc độ thay đổi trung bình của
khi
thay đổi 1 đơn vị còn
không đổi. Nhưng khi
thì điều đó có nghĩa là không thể tách ảnh hưởng của
và
khỏi mẫu đã cho. Trong kinh tế lượng thì điều này phá hủy toàn bộ ý định tách ảnh hưởng riêng của từng biến lên biến phụ thuộc. Thí dụ:
thay điều kiện này vào (1.5) ta được:
Trong đó:
Áp dụng công thức tính ước lượng của phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường ta được: Như vậy dù
được ước lượng một cách duy nhất thì cũng không thể xác định được
và
từ một phương trình 2 ẩn. Như vậy trong trường hợp đa cộng tuyến hoàn hảo, chúng ta không thể nhận được lời giải duy nhất cho các hệ số hồi quy riêng, nhưng trong khi đó ta lại có thể nhận được lời giải duy nhất cho tổ hợp tuyến tính của các hệ số này. Chú ý rằng trong trường hợp đa cộng tuyến hoàn hảo thì phương sai và các sai số tiêu chuẩn của các ước lượng
và
là vô hạn. 1.2.2. Ước lượng trong trường hợp có đa cộng tuyến không hoàn hảo Đa cộng tuyến hoàn hảo chỉ là 1 trương hợp đặc biệt hiếm xảy ra. Trong các số liệu liên quan đến chuỗi thời gian, thường xảy ra đa cộng tuyến không hoàn hảo. Xét mô hình (1.5). Bây giờ chúng ta giả thiết giữa
và
có cộng tuyến không hoàn hảo theo nghĩa:
Trong đó
,

là nhiễu ngẫu nhiên sao cho
Trong trường hợp này theo phương pháp bình phương nhỏ nhất ta dễ dàng thu được các ước lượng
và
. Chẳng hạn:
(1.9) Trong trường hợp này không có lý do gì để nói rằng (1.9) là không ước lượng được. Hậu quả của hiện tượng đa cộng tuyến Ta xét trường hợp mô hình có hiện tượng đa cộng tuyến không hoàn hảo, tức là biến độc lập Xi có thể xấp xỉ tuyến tính theo các biến X2 , X3 ,..., Xk . Có một số trường hợp xảy ra như sau: Phương sai và hiệp phương sai của các ước lượng bình quân bé nhất lớn Trong chương mô hình hồi quy bội ta đã có biểu thức: Var(
) =
(1.10) Var(
(1.11) Và: cov(
) =
(1.12) Trong đó
là hệ số tương quan giữa
Từ 1.10 và 1.11 ta thấy
tăng dần tới 1 (nghĩa là cộng tuyến tăng) thì phương sai của hai ước lượng này tăng dần tới vô hạn 1.12 chỉ ra rằng khi
tăng dần tới 1 thì cov(
) tăng về giá trị tuyệt đối. Khoảng tin cậy rộng hơn Giả sử khi thực hành ta có khoảng tin cậy 95% cho
khi
đã biết là:
) Trong đó: Se(
Se(
Cho nên ta có thể viết lại các khoảng tin cậy 95% cho
là
(1.13) Và cho
là:
(1.14) (1.13) và (1.14) chứng tỏ
càng gần tới 1 thì khoảng tin cậy cho các tham số càng rộng. Do đó trong trường hợp có đa cộng tuyến gần hoàn hảo thì số liệu của mẫu có thể thích hợp với tập các giả thiết khác nhau. Vì thế xác suất chấp nhận giả thiết sai tăng lên (tức là tăng sai lầm loại II). Tỷ số t mất ý nghĩa Như đã biết, khi kiểm định giả thiết
:
chúng ta đã sử dụng tỷ số
và đem so sánh giá trị t đã được ước lượng với giá trị tới hạn t. thong khi có đa cộn tuyến gần hoàn hảo thì sai số tiêu chuẩn ước lượng được sẽ rất cao vì vậy làm cho chỉ số t nhỏ đi. Kết quả là sẽ làm tăng khả năng chấp nhận giả thiết H0.
cao nhưng tỉ số ít ý nghĩa Để giải thích điều này. Ta hãy xét mô hình hồi quy k biến như sau:
Trong trường hợp có đa cộng tuyến gần hoàn hảo, như đã chỉ ra ở trên, ta có thể tìm được một hoặc một số hệ số góc riêng là không có ý nghĩa là không có ý nghĩa thống kê trên cơ sở kiểm định t. nhưng trong khi đó
lại có thể rất cao, nên bằng kiểm định F chúng ta có thể bác bỏ giả thiết:
. Mâu thuẫn này cũng là tín hiệu của đa cộng tuyến. Các ước lượng bình phương bé nhất và các sai số tiêu chuẩn của chúng trở lên rất nhạy đối với những thay đổi nhỏ trong số liệu Dấu của các ước lượng của các hệ số hồi quy có thể sai Khi có đa cộng tuyến gần hoàn hảo thì có thể thu được các ước lượng của các hệ số hồi quy trái với điều chúng ta mong đợi. Chẳng hạn lý thuyết kinh tế cho rằng đối với hàng hoá thong thường thu nhập tăng thì cầu hàng hoá tăng, nghĩa là khi hồi quy thu nhập là một trong các biến giải thích, biến phụ thuộc là lượng cầu hàng hoá, nếu xảy ra hiện tượng đa cộng tuyến gần hoàn hảo thì ước lượng của hệ số của biến thu nhập có thể mang dấu âm – mâu thuẫn với điều ta mong đợi. Thêm vào hay bớt đi các biến cộng tuyến với các biến khác, mô hình sẽ thay đổi về độ lớn trong các ước lượng hoặc dấu của chúng Phát hiện sự tồn tại của đa cộng tuyến R
cao nhưng tỉ số t thấp Trong trường hợp R
cao (thường R
> 0,8) mà tỉ số t thấp thì đó chính là dấu hiệu của hiện tượng đa cộng tuyến . 1.4.2. Tương quan cặp giữa các biến giải thích cao Nếu hệ số tương quan cặp giữa các biến giải thích cao (vượt 0,8) thì có khả năng có tồn tại đa cộng tuyến. Tuy nhiên tiêu chuẩn này thường không chính xác. Có những trường hợp tương quan cặp không cao nhưng vẫn có đa cộng tuyến. Thí dụ, ta có 3 biến giải thích X
, X
, X
như sau: X
= (1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0) X
= (0,0,0,0,0, 1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0) X
= (1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0) Rõ ràng X
= X
+ X
nghĩa là ta có đa cộng tuyến hoàn hảo, tuy nhiên tương quan cặp là: r
= -1/3 ; r
= r
= 0,59 Như vậy đa cộng tuyến xảy ra mà không có sự bảo trước cuả tương quan cặp những dẫu sao nó cũng cung cấp cho ta những kiểm tra tiên nghiệm có ích. Xem xét tương quan riêng Vì vấn đề được đề cập đến dựa vào tương quan bậc không. Farrar và Glauber đã đề nghị sử dụng hệ số tương quan riêng. Trong hồi quy của Y đối với các biến X
, X
,X
. Nếu ta nhận thấy răng r
cao trong khi đó r
; r
; r
tương đối thấp thì điều đó có thể gợi ý rằng các biến X
, X
và X
có tương quan cao và ít nhất một trong các biến này là thừa. Dù tương quan riêng rất có ích nhưng nó cũng không đảm bảo rằng sẽ cung cấp cho ta hướng dẫn chính xác trong việc phát hiện ra hiện tượng đa cộng tuyến. Hồi quy phụ Một cách có thể tin cậy được để đánh giá mức độ của đa cộng tuyến là hồi quy phụ. Hồi quy phụ là hồi quy mỗi một biến giải thích X
theo các biến giải thích còn lại. R
được tính từ hồi quy này ta ký hiện R
Mối liên hệ giữa F
và R
: F=
F
tuân theo phân phối F với k – 2 và n - k +1 bậc tự do. Trong đó n là , k là số biến giải thích kể cả hệ số chặn trong mô hình. R
là hệ số xác định trong hồi quy của biến X
theo các biến X khác. Nếu F
tính được vượt điểm tới hạn F
(k-2, n-k+1) ở mức ý nghĩa đã cho thì có nghĩa là X
có liên hệ tuyến tính với các biến X khác. Nếu F
có ý nghĩa về mặt thống kê chúng ta vẫn phải quyến định liệu biến X
nào sẽ bị loại khỏi mô hình. Một trở ngại của kỹ thuật hồi quy phụ là gánh nặng tính toán. Nhưng ngày nay nhiều chương trình máy tính đã có thể đảm đương được công việc tính toán này. Nhân tử phóng đại phương sai Một thước đo khác của hiện tượng đa cộng tuyến là nhân tử phóng đại phương sai gắn với biến X
, ký hiệu là VIF(X
). VIF(X
) được thiết lập trên cơ sở của hệ số xác định R
trong hồi quy của biến X
với các biến khác nhau như sau: VIF(X
) =
(1.15) Nhìn vào công thức (1.15) có thể giải thích VIF(X
) bằng tỷ số chung của phương sai thực của β
trong hồi quy gốc của Y đối với các biến X và phương sai của ước lượng β
trong hồi quy mà ở đó X
trực giao với các biến khác. Ta coi tình huống lý tưởng là tình huống mà trong đó các biến độc lập không tương quan với nhau, và VIF so sánh tình huông thực và tình huống lý tưởng. Sự so sánh này không có ích nhiều và nó không cung cấp cho ta biết phải làm gì với tình huống đó. Nó chỉ cho biết rằng các tình huống là không lý tưởng. Đồ thị của mối liên hệ của R
và VIF là:
Như hình vẽ chỉ ra, khi R
tăng từ 0,9 đến 1 thì VIF tăng rất mạnh. Khi R
=1 thì VIF là vô hạn. Có nhiều chương trình máy tính có thể cho biết VIF đối với các biến độc lập trong hồi quy. Độ đo Theil Khía cạnh chủ yếu của VIF chỉ xem xét đến tương quan qua lại giữa các biến giải thích. Một độ đo mà xem xét tương quan của biến giải thích với biến được giải thích là độ đo Theil. Độ đo Theil được định nghĩa như sau: m = R
-
( R
- R
) Trong đó R
là hệ số xác định bội trong hồi quy của Y đối với các biến X
, X
… X
trong mô hình hồi quy: Y = β
+ β
X
+ β
X
+ ……. + β
X
+ U
R
là hệ số xác định bội trong mô hình hồi quy của biến Y đối với các biên X
, X
, … ,X
, X
, … ,X
Đại lượng R
- R
được gọi là “đóng góp tăng thêm vào” vào hệ số xác định bội. Nếu X
, X
… X
không tương quan với nhau thì m = 0 vì những đóng góp tăng thêm đó cộng lại bằng R
. Trong các trường hợp khác m có thể nhận giá trị âm hoặc dương lớn. Để thấy được độ đo này có ý nghĩa, chúng ta xét trường hợp mô hình có 2 biến giải thích X
và X
. Theo ký hiệu đã sử dụng ở chương trước ta có: m = R
- ( R
- r
) – (R
– r
) Tỷ số t liên hệ với tương quan riêng r
, r
Trong phần hồi quy bội ta đã biết: R
= r
+ (1- r
) r
R
= r
+ (1- r
) r
Thay 2 công thức này vào biểu thức xác định m ta được: m = R
- (r
+ (1- r
) r
- r
) - ( r
+ (1- r
) r
- r
) = R
- ((1- r
) r
+ (1- r
) r
) (1.16) Đặt 1- r
= w
; 1- r
= w
và gọi là các trọng số. Công thức (1.16) được viết lại dưới dạng: m = R
- (w
r
+ w
r
) Như vây độ đo Theil bằng hiệu giữa hệ số xác định bội và tổng có trọng số của các hệ số tương quan riêng. Như vậy chúng ta đã biết một số độ đo đa cộng tuyến nhưng tất cả đều có ý nghĩa sử dụng hạn chế. Chúng chỉ cho ta những thông báo rằng sự việc không phải là lý tưởng. Biện pháp khắc phục 1.5.1. Sử dụng thông tin tiên nghiệm Một trong các cách tiếp cận để giải quyết vấn đề đa cộng tuyến là phải tận dụng thông tin tiên nghiệm hoặc thông tin từ nguồn khác để ước lượng các hệ số riêng. Thí dụ : ta muốn ước lượng hàm sản xuất của 1 quá trình sản xuất nào đó có dạng : Qt =AL Trong đó Qt là lượng sản phẩm được sản xuất thời kỳ t; Lt lao động thời kỳ t; Kt vốn thời kỳ t; Ut là nhiễu ; A, (, β là các tham số mà chúng ta cần ước lượng. Lấy ln cả 2 vế (1.16) ta được : LnQt + = LnA + (lnLt + βKtlnUt Đặt LnQt = Qt* ; LnA = A* ; LnLt = Lt* Ta được Qt* = A* + (Lt* + βKt* + Ut (1.17) Giả sử K và L có tương quan rất cao dĩ nhiên điều này sẽ dẫn đến phương sai của các ước lượng của các hệ số co giãn của hàm sản xuất lớn. Giả sử từ 1 nguồn thông tin nào đó mà ta biết được rằng ngành công nghiệp này thuộc ngành có lợi tức theo quy mô không đổi, nghĩa là ( + β = 1. Với thông tin này, cách xử lý của chúng ta sẽ là thay β = 1 - ( vào (1.17) và thu được : Qt* = A* + (Lt* + (1 - () K*tt + Utt (1.18) Từ đó ta được Qt* – Kt* = A* + ((Lt* – Kt*) + Ut Đặt Qt* – Kt* = Yt* và Lt* – Kt* = Zt* ta được: Yt* = A* + ( Zt* + Ut Thông tin tiên nghiệm đã giúp chúng ta giảm số biến độc lập trong mô hình xuống còn 1 biến Zt* Sau khi thu được ước lượng
của ( thì
tính được từ điều kiện
= 1 –
1.5.2. Thu thập số liệu hoặc lấy thêm mẫu mới Vì đa cộng tuyến là đặc trưng của mẫu nên có thể có mẫu khác liên quan đến cùng các biến trong mẫu ban đầu mà đa cộng tuyến có thể không nghiêm trọng nữa. Điều này có thể làm được khi chi phí cho việc lấy mẫu khác có thể chấp nhận được trong thực tế. Đôi khi chỉ cần thu thập thêm số liệu, tăng cỡ mẫu có thể làm giảm tính nghiêm trọng của đa cộng tuyến. 1.5.3. Bỏ biến Khi có hiện tượng đa cộng tuyến nghiêm trọng thì cách “đơn giản nhất” là bỏ biến cộng tuyến ra khỏi phương trình. Khi phải sử dụng biện pháp này thì cách thức tiến hành như sau: Giả sử trong mô hình hồi quy của ta có Y là biến được giải thích còn X2, X3, . …, Xk là các biến giải thích. Chúng ta thấy rằng X2 tương quan chặt chẽ với X3. Khi đó nhiều thông tin về Y chứa ở X2 thì cũng chứa ở X3. Vậy nếu ta bỏ 1 trong 2 biến X2 hoặc X3 khỏi mô hình hồi quy, ta sẽ giải quyết được vấn đề đa cộng tuyến nhưng sẽ mất đi 1 phần thông tin về Y. Bằng phép so sánh R2 và
trong các phép hồi quy khác nhau mà có và không có 1 trong 2 biến chúng ta có thể quyết định nên bỏ biến nào trong biến X2 và X3 khỏi mô hình. Thí dụ R2 đối với hồi quy của Y đối với tất cả các biến X1, X2, X3, …, Xk là 0.94; R2 khi loại biến X2 là 0.87 và R2 khi loại biến X3 là 0.92; như vậy trong trường hợp này ta loại X3.
Chúng ta lưu ý 1 hạn chế của biện pháp này là trong các mô hình kinh tế có những trường hợp đòi hỏi nhất định phải có biến này hoặc biến khác ở trong mô hình. Trong trường hợp như vậy việc loại bỏ 1 biến phải được cân nhắc cẩn thận giữa sai lệch khi bỏ 1 biến cộng tuyến với việc tăng phương sai của các ước lượng hệ số khi biến đó ở trong mô hình. 1.5.4. Sử dụng sai phân cấp 1 Mặc dù biện pháp này có thể giảm tương quan qua lại giữa các biến nhưng chúng cũng có thể được sử dụng như 1 giải pháp cho vấn đề đa cộng tuyến. Thí dụ chúng ta có số liệu chuỗi thời gian biểu thị liên hệ giữa các biến Y và các biến phụ thuộc X2 và X3 theo mô hình sau : Yt = β 1 + β 2 X 2t + β 3X 3t+ U t (1.19) Trong đó t là thời gian. Phương trình trên đúng với t thì cũng đúng với t-1 nghĩa là : Yt-1 = β 2 + β 2 X 2t-1 + β 3X 3t-1 + U t-1 (1.20) Từ (1.19) và (1.20) ta được : Yt – Yt-1 = β 2 (X 2t - X 2t-1 ) + β 3 (X 3t - X 3t-1) + U t - U t-1 (1.21) Đặt yt = Yt – Yt-1 x2t = X 2t - X 2t-1 x3t = X 3t - X 3t-1 Vt = U t - U t-1 Ta được : yt = β 2 x2t + β 3 x3t + Vt (1.22) Mô hình hồi quy dạng (1.22) thường làm giảm tính nghiêm trọng của đa cộng tuyến vì dù X2 và X3 có thể tương quan cao nhưng không có lý do tiên nghiệm nào chắc chắn rằng sai phân của chúng cũng tương quan cao. Tuy nhiên biến đổi sai phân bậc nhất sinh ra 1 số vấn đề chẳng hạn như số hạng sai số Vt trong (1.22) có thể không thỏa mãn giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là các nhiễu không tương quan. Vậy thì biện pháp sửa chữa này có thể lại còn tồi tệ hơn. 1.5.5. Giảm tương quan trong hồi quy đa thức Nét khác nhau của hồi quy đa thức là các biến giải thích xuất hiện với lũy thừa khác nhau trong mô hình hồi quy. Trong thực hành để giảm tương quan trong hồi quy đa thức người ta thường sử dụng dạng độ lệch. Nếu việc sử dụng dạng độ lệch mà vẫn không giảm đa cộng tuyến thì người ta có thể phải xem xét đến kỹ thuật “đa thức trực giao”. 1.5.6. Thay đổi dạng mô hình Mô hình kinh tế lượng có nhiều dạng hàm khác nhau. Thay đổi dạng mô hình cũng có nghĩa là tái cấu trúc mô hình. 1.5.7. Một số biện pháp khác Ngoài các biện pháp đã kể trên người ta còn sử dụng 1 số biện pháp khác nữa như sau: Bỏ qua đa cộng tuyến nếu t > 2 Bỏ qua đa cộng tuyến nếu R2 của mô hình cao hơn R2 của mô hình hồi quy phụ. Bỏ qua đa cộng tuyến nếu hồi quy mô hình được dùng để dự báo chứ không phải kiểm định. Hồi quy thành phần chính Sử dụng các ước lượng từ bên ngoài Nhưng tất cả các biên pháp đã trình bày ở trên có thể làm giải pháp cho vấn đề đa cộng tuyến như thế nào còn phụ thuộc vào bản chất của tập số liệu và tính nghiêm trọng của vấn đề đa cộng tuyến. Chương 2: Bài tập minh họa Dựa trên những cơ sở lý luận ta đã tìm hiểu, sau đây chúng ta cùng đi phân tích một tình huống kinh tế cụ thể để thấy được cách phát hiện và khắc phục hiện tượng đa cộng tuyến như thế nào? Theo một cuộc điều tra về mức sống của các hộ gia đình ở một địa phương, người ta tiến hành thu thập số liệu trên 1 mẫu tiêu biểu với các biến như sau: Chi phí tiêu dùng Y (triệu đồng/ năm) Thu nhập X2 (triệu đồng/ năm) Tiền tích lũy X3 (triệu đồng) Ta có bảng số liệu thu thập được : Y  70  65  90  95  110  115  120  140  155  150   X2  80  100  120  140  160  180  200  220  240  260   X3  810  1009  1273  1425  1633  1876  2052  2201  2435  2686   B1: Lập mô hình hàm hồi quy Ta có mô hình hàm hồi quy tuyến tính thể hiện sự phụ thuộc của chi phí tiêu dùng vào thu nhập và tiền tích lũy: Yi =
+
X2i +
X3i + Ui Mô hình ước lượng của hàm hồi quy:
Từ bảng số liệu, sử dụng phần mềm eviews ta được kết quả sau:
Bảng 1 Từ kết quả ước lượng ta thu được hàm hồi quy mẫu sau:
i = 24,77473 + 0,941537X2 – 0,042435X3 B2. Phát hiện ra sự tồn tại của hiện tượng đa cộng tuy