Đề tài Hiệu ứng Doppler

Mở đầu N ăm 1842, nhà vật lý người Áo, Johann Christian Doppler (1803-1852) đã mô tả sự biến đổi trong tần số của sóng âm mà người quan sát thu được khi có sự dịch chuyển tương đối giữa người và nguồn. Cụ thể là khi nguồn âm tiến gần đến người quan sát thì tần số sóng người quan sát thu được sẽ tăng lên so với tần số thực của nguồn (là tần số mà người quan sát và nguồn đều đứng yên). Còn khi nguồn âm rời xa người quan sát thì tần số thu được sẽ giảm đi. Ta sẽ dễ dàng thấy được hiện tượng này qua tiếng còi hụ của xe lửa hay xe cứu thương. Khi chúng còn ở xa ta, tiếng còi nghe nhỏ và càng tiến lại gần thì tiếng còi nghe càng lúc càng to và chát. Hiện tượng biến đổi này được gọi là hiệu ứng Doppler. Hiệu ứng này đã được kiểm tra bằng thực nghiệm vào năm 1845 bởi Ballor tại Hà Lan “ Dùng động cơ kéo một số người thổi kèn”. Hiệu ứng Doppler không chỉ đúng với sóng âm thanh mà còn đúng với sóng điện từ ( kể cả sóng cực ngắn và sóng ánh sáng). Cảnh sát dùng rada phát những tia sóng cực ngắn với tần số f nào đó về phía chiếc xe đang chạy. Những sóng cực ngắn này bị phản xạ trở lại máy rada khi nó đập vào chiếc xe với tần số f’ do có sự chuyển động tương đối giữa chiếc xe với máy rada. Máy rada đã chuyển sự chênh lệch giữa f và f’ thành tốc độ của chiếc xe trên bản chỉ thị của máy và cảnh sát nhìn vào đó để biết được chiếc xe có phạm luật hay không. Tốc độ chỉ trên bản chỉ thị của máy rada chính là tốc độ của xe chuyển động thẳng hướng với máy rada. Bất kỳ một sự chệch hướng nào đều làm giảm f’. Nếu sóng rada vuông góc với vận tốc của xe thì nó sẽ không đo được vận tốc của xe ( vì lúc này f’ = f và bảng chỉ của máy sẽ chỉ một vận tốc bằng 0 cho xe). Hiệu ứng Doppler về ánh sáng đã cho phép những nhà thiên văn xác định được tốc độ của các ngôi sao và những dãi Ngân Hà so với trái đất. Fizeau là người đầu tiên trình bày hiệu ứng Doppler cho sóng ánh sáng và dự đoán ứng dụng vào các vạch quang phổ. HIỆU ỨNG DOPPLER TRONG ÂM THANH. S VS = 0 VD V V D Hình 1 Một nguồn âm bất động S phát ra một mặt sóng cầu lan truyền với tốc độ âm thanh V. Một máy dò chuyển động với vận tốc VD tiến về nguồn. Máy dò sẽ thu được một tần số sóng cao hơn tần số được phát ra từ nguồn. Máy dò chuyển động – nguồn bất động. Trong hình trên máy dò D (detector) đang chuyển động với một tốc độ VD tiến về nguồn S đứng yên, phát ra những mặt sóng cầu với bước sóng λ và tần số f. Những sóng này chuyển động với tốc độ của âm thanh V( V=342 m/s), Những mặt sóng thu một bước sóng riêng lẻ. Tần số sóng được tìm thấy bởi D là một tỷ lệ. Nếu D đứng yên thì tỷ lệ đó là f nhưng vì D đang chuyển động vào những sóng nên tỷ lệ thu được lớn hơn và do đó tần số f’ lớn hơn f. Trước hết ta xét trường hợp mà trong đó D bất động (hình 2): Trong thời gian t, những mặt sóng chuyển động về phía phải một khoảng Vt . Số lượng bước sóng trong khoảng Vt đó là số bước sóng bị chắn bởi D trong thời gian t và số lượng đó là Vt/λ. Tỷ lệ mà ở đó D chắn những bước sóng có tần số dao động f được tìm bởi D là: (1) Trong trường hợp này, với D bất động, không có hiệu ứng Doppler: tần số sóng được tìm thấy bởi D là tần số được phát ra bởi S. (a) (b) V Hình 2. Những mặt sóng (a) lan tới và (b) đi qua máy dò D. Chúng chuyển động một khoảng Vt về phía phải trong thời gian t. Ta xét trường hợp mà trong đó máy dò D chuyển động ngược chiều với sóng.( hình 3) Trong thời gian t, những mặt sóng chuyển động về phía phải một khoảng Vt như trước. Nhưng bây giờ D chuyển động về phía bên trái một khoảng VDt. Do đó trong thời gian t này, khoảng dịch chuyển tương đối của những mặt sóng so với máy dò D là: V + VDt. Số lượng bước sóng trong khoảng cách tương đối này là số lượng bước sóng bị chắn bởi D trong thời gian t: Tỷ lệ mà ở D chắn những bước sóng trong trường hợp này là tần số f’ được cho bởi công thức : (2) D VD (b) V (a) VD V D Hình 3. Những mặt sóng lan tới (a) và (b) chuyển qua máy dò D đang chuyển động ngược chiều với sóng trong thời gian t, các sóng truyền đi một khoảng Vt về phía phải và D di chuyển một khoảng VDt về phía trái. Từ (1) tac có: Do đó (2) trở thành: (3) Chú ý rằng trong công thức (3) f’ phải lớn hơn f trừ khi VD = 0. Tương tự, chúng ta có thể xác định được tần số sóng được tìm thấy bởi D nếu D chuyển động ra xa nguồn. Trong trường hợp này, những mặt sóng truyền đi một khoảng Vt – VDt tương đối so với máy dò trong khoảng thời gian t, và f’ được tính bởi công thức: (4) Trong công thức (4) f’ phải nhỏ hơn f trừ khi VD = 0. Ta có thể kết hợp kết quả của hai công thức (3) và (4) như sau: (5) (máy dò chuyển động, nguồn bất động) Chúng ta có thể xác định dấu nào sử dụng trong công thức (5) bằng việc nhớ lại những kết quả vật lý: khi máy dò chuyển động về phía nguồn thì tần số sóng lớn hơn ( tiến tới có nghĩa lớn hơn) thì công thức (5) mang dấu (+), nếu ngược lại thì mang dấu (-). Nguồn chuyển động – máy dò bất động: Nếu cho máy dò đứng yên trong không khí và để cho nguồn S chuyển động về phía D với tốc độ VS (hình 4) chuyển động của S làm thay đổi bước sóng của các sóng âm thanh mà nó phát ra và tần số sóng sẽ được tìm thấy bởi D. Để nhìn thấy sự thay đổi này, cho T(=) là thời gian phát ra giữa hai mặt sóng liên tiếp W1 và W2. Trong thời gian t, mặt sóng W1 truyền đi một khoảng VT. Ở cuối thời gian T, mặt sóng W2 được phát ra. Theo hướng nguồn chuyển động, khoảng cách giữa W1 và W2 là VT – VST. D X S S1 S7 W7 W1 W2 VS (Hình 4) Máy dò bất động, nguồn S chuyển động về phía D với vận tốc VS. Mặt sóng W1 phát ra khi nguồn S1, mặt sóng W7 phát ra khi nguồn tại S7. Vào lúc được mô tả thì nguồn ở S, máy dò tiếp nhận một tần số cao hơn bởi vì nguồn chuyển động đuổi theo những mặt sóng mà chúng phát ra dẫn đến một bước sóng giảm theo hướng chuyển động của nó. Nếu D thu được những sóng đó thì nó thu được tần số f’, được tính bằng công thức: Suy ra: (6) Chú ý: f’ lớn hơn f trừ khi VS = 0. Khi S chuyển động theo hướng ngược lại, bước sóng của những sóng đó là VT + VST. Nếu D thu được những sóng đó tức là nó thu được một tần số f’ được tính bằng công thức: (7) Ta có thể kết hợp công thức (6) và (7) như sau: (8) (nguồn chuyển động, máy dò bất động) Để xác định dấu nào được sử dụng trong công thức (8) ta nhớ lại kết quả vật lý: khi nguồn chuyển động về phía máy dò thì tần số sóng sẽ lớn hơn (tiến tới có nghĩa là lớn hơn). Khi đó dấu được dùng là dấu âm (-), ngược lại là dấu (+). Nguồn và máy dò cùng chuyển động: Ta có thể kết hợp hai công thức (5) và (8) để tạo ra một hiệu ứng Doppler tổng quát. Trong đó cả nguồn và máy dò cùng chuyển động trong không khí. (9) (nguồn và máy dò cùng chuyển động) Trong đó: f’ : tần số của máy dò thu được. f: tần số phát ra từ nguồn. V: vận tốc âm thanh (V= 342 m/s) VD: vận tốc của máy dò. VS : vận tốc của nguồn. Nếu nguồn bất động: VS = 0 è (9) trở về (5): Nếu máy dò bất động: VD = 0 è (9) trở về (8): Dấu (+) và (-) được quy ước giống như ở các phần trên ( tiến tới có nghĩa là lớn hơn). Hiệu ứng Doppler với những tốc độ thấp: Những hiệu ứng Doppler của một máy dò chuyển động ( công thức (5)) và của một nguồn chuyển động( công thức (8)) là khác nhau, mặc dù máy dò và nguồn chuyển động với cùng vận tốc. Tuy nhiên nếu các vận tốc đủ nhỏ (nghĩa là VD << V và VS << V) thì tần số phát sinh trong hai trường hợp này máy dò chuyển động và nguồn chuyển động sẽ giống nhau. Thật vậy, từ (9) ta có: (10) Với : Những tốc độ siêu âm: Nếu một nguồn chuyển động về phía một máy dò đứng yên với một tốc độ bằng tốc độ âm thanh ( VS = V). Từ công thức (8) cho ta biết trước rằng tần số f’ mà máy dò thu được vô cùng lớn. Điều này có nghĩa là nguồn chuyển động quá nhanh đến nỗi nó theo kịp các mặt sóng cầu do nó phát ra như hình (5a) cho thấy. Điều gì xảy ra khi tốc độ của nguồn vượt quá tốc độ âm thanh? Đối với tốc độ siêu âm, công thức (8) không còn được áp dụng. Hình (5b) mô tả những mặt sóng cầu mà tại những vị trí khác nhau của nguồn, bán kính của bất kỳ mặt sóng nào trong hình này là Vt. Trong đó, V là tốc độ của âm thanh, t là thời gian đã trôi qua kể từ lúc nguồn phát ra mặt sóng đó. Chú ý: tất cả những mặt sóng tụ lại dọc theo một cái võ bọc hình chữ V như hình (5b). Ở đó, không gian ba chiều của nó là một hình nón. Dọc theo bề mặt của hình nón này tồn tại một sóng giật ( sóng xung kích), bởi vì sự tụ lại của những mặt sóng đã gây ra một sự tăng giảm áp suất đột ngột của không khí khi bề mặt của nó đi qua bất cứ điểm nào. Từ hình (5b) ta thấy rằng nửa gốc của hình nón ( được gọi là hình nón Mach) được cho bởi công thức: (11) (góc của hình nón Mach) Tỷ lệ được gọi là tỷ lệ của vật chuyển động so với tốc độ âm thanh trong môi trường chung quanh. Khi ta nghe nói một máy bay đặc biệt nào đó bay với tốc độ Mach 2,3 có nghĩa là tốc độ của máy bay gấp 2,3 lần tốc độ của âm thanh trong không khí mà qua đó máy bay đã bay. Sóng giật được phát sinh bởi một máy bay siêu âm hoặc một đầu tên lửa (xem hình 6) tạo ra một luồng âm gọi là “ sự bùng nổ âm thanh”. Một kết quả tương tự (được gọi là bức xạ Cerenkov) xảy ra đối với ánh sáng nhìn thấy khi những điện tử đi qua nước hoặc môi trường trong suốt nào khác với những tốc độ lớn hơn tốc độ của ánh sáng trong môi trường đó. S X VS Hình (5a) Nguồn âm thanh S chuyển động với tốc độ bằng tốc độ âm thanh. Do đó nó chuyển động theo kịp các mặt sóng mà nó phát ra. X S1 V.t W6 S S6 VSt W1 VS Hình (5b) Một nguồn S đang chuyển động ở tốc độ VS lớn hơn tốc độ âm thanh và do đó nó chuyển động nhanh hơn sự lan truyền các mặt sóng do nó phát ra, khi nguồn đang ở vị trí S1 nó phát ra mặt sóng W1, và ở vị trí S10 nó phát ra mặt sóng W10. Tất cả những mặt sóng cầu lan truyền với tốc độ âm thanh và tụ lại dọc theo bề mặt của một hình nón được gọi là hình nón Mach, hình thành một sóng giật. Hình 6. Hiệu ứng Doppler cho ánh sáng Không tính đến hiệu ứng tương đối tính. Chúng ta dễ bị sai lầm khi áp dụng hiệu ứng Doppler cho ánh sáng từ công thức (9), đơn giản bằng cách thay thế vận tốc ánh sáng C cho vận tốc âm thanh V. Ta cần tránh sai lầm này, nguyên nhân là do sóng âm thanh cũng như tất cả các sóng cơ học khác đòi hỏi một môi trường (chẳng hạn không khí) cho sự dẫn truyền của chúng. Nhưng đối với sóng ánh sáng nó có thể truyền trong chân không. Tốc độ của âm thanh luôn luôn phụ thuộc vào môi trường nhưng tốc độ ánh sáng thì không. Tốc độ ánh sáng luôn luôn có cùng giá trị C trong tất cả các hướng và trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Mặc dù phương trình Doppler cho ánh sáng và âm thanh là bắt buộc phải khác nhau. Nhưng với những tốc độ khá nhỏ, chúng cho kết quả gần đúng như nhau. Điều này cũng không có gì lạ bởi vì tất cả những tiên đoán của thuyết tương đối tại các vận tốc nhỏ cho ta kết quả của lý thuyết cổ điển. Do đó, công thức (10) với V được thay thế bằng C vẫn giữ cho ánh sáng U<< C. Trong đó U là tốc độ tương đối giữa nguồn và máy dò. Ta có: (12) (Những sóng ánh sáng có U<<C) Nếu nguồn và máy dò đang tiến gần về nhau thì quy tắc về dấu sẽ cho ta biết trước một tần số tăng nên ta chọn dấu (+). Còn nếu nguồn và máy dò lùi xa nhau thì ta chọn dấu (-). Trong thiên văn học, người ta thường quan sát và đo được chiều dài sóng (bước sóng) thay vì tần số. Do đó trong công thức (12) ta có thể thay và , ta được: Suy ra: Do U<< C è Ta có thể viết lại như sau: Hay : Trong đó là độ dịch chuyển của chiều dài sóng Doppler. Nếu bước sóng giảm () thì tần số sóng tăng ( f’ > f) nghĩa là nguồn và máy dò đang tiến lại gần nhau. Nếu bước sóng tăng () thì tần số sóng giảm (f’ < f) nghĩa là nguồn và máy dò đang lùi ra xa nhau. Trong thiên văn học, khi quan sát các thiên hà người ta thấy có độ dịch chuyển của các vạch phổ cho bởi nguyên tố tương ứng được phân tích qua máy quang phổ thì người ta cho rằng độ dịch chuyển này là do hiệu ứng Doppler gây ra. Độ dịch chuyển của các vạch phổ tỷ lệ với vận tốc U là vận tốc tương đối giữa thiên hà và trái đất. Nếu khoảng cách giữa thiên hà và trái đất tăng lên, các vạch phổ lệch về phía đầu đỏ của quang phổ nhìn thấy. Trường hợp ngược lại nếu khoảng cách giảm về phía đầu xanh. Thuyết tương đối hẹp EINSTEIN Mở đầu: Trong một thời gian dài, cơ học Newton, hay còn gọi là cơ học cổ điển đã chiếm một địa vị thống trị trong sự phát triển khoa học. Trên cơ sở cơ học Newton, đã hình thành những quan niệm về không gian, thời gian và vật chất. Theo những quan niệm đó thì không gian, thời gian và vật chất không phụ thuộc vào chuyển động, cụ thể là khoảng thời gian đều như nhau trong mọi hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động. Tóm lại theo Newton thời gian, không gian tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động, khối lượng của vật chất là bất biến. Đến cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, khoa học và kỹ thuật phát triển rất mạnh, người ta bắt đầu gặp những vật chuyển động nhanh với vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng C trong chân không (C=300000 km/s) khi đó xuất hiện mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học Newton, cụ thể là: không gian, thời gian, khối lượng m đều phụ thuộc vào chuyển động. Những khó khăn đó, cơ học Newton không giải quyết được. Rút ra kết luận: Cơ học Newton chỉ áp dụng được cho các vật chuyển động với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng (V<<C). Như vậy, cần phải xây dựng một môn cơ học tổng quát hơn áp dụng được cho tất cả các vật chuyển động với vận tốc V vào cỡ C và coi trường hợp các vật chuyển động với vận tốc V<<C như một trường hợp giới hạn. Đó là môn cơ học tương đối tính hay còn gọi là thuyết tương đối hẹp ANHSTANH. Các tiên đề ANHSTANH: Để xây dựng nên thuyết tương đối của mình, năm 1905 Anhstanh đã đưa ra hai nguyên lý sau: Nguyên lý tương đối: Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với hệ quán tính. Nó có giá trị bằng C= 3.108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên. Ở đây cần phân biệt với nguyên lý tương đối Galilê (Galileo) trong cơ học cổ điển. Theo nguyên lý này chỉ các định luật cơ học là bất biến khi chuyển từ một hệ quán tính này sang một hệ quán tính khác. Điều đó có nghĩa là phương trình mô tả một định luật cơ học nào đó, biểu diễn qua tọa độ và thời gian, sẽ giữ nguyên dạng trong tất cả các hệ quán tính. Như vậy nguyên lý tương đối Anhstanh đã mở rộng nguyên lý tương đối Galileo từ các hiện tượng cơ học sang các hiện tượng vật lý nói chung: Trong cơ học cổ điển Newton, tương tác được mô tả dựa vào thế năng tương tác giữa một chất điểm nào đó với các chất điểm còn lại tại mỗi thời điểm, chĩ phụ thuộc vào vị trí các chất điểm tại cùng thời điểm đó. Sự thay đổi vị trí của một chất điểm nào đó trong hệ chất điểm, tương tác sẽ ảnh hưởng ngay tức thời đến các chất điểm khác tại cùng thời điểm. Như vậy tương tác được truyền đi tức thời. Nếu chia khoảng cách giữa hai điểm cho thời gian truyền tương tác (= 0 vì là truyền tức thời) ta sẽ thu được vận tốc truyền tương tác. Từ đó suy ra trong cơ học cổ điển vận tốc truyền tương tác lớn vô hạn. Tuy nhiên thực nghiệm đã chứng tò, trong tự nhiên không tồn tại những tương tác tức thời. Nếu tại một chất điểm nào đó của hệ chất điểm có xảy ra một sự thay đổi nào đó thì sự thay đổi này chỉ ảnh hưởng tới một chất điểm khác của hệ sau một khoảng thời gian nào đó (> 0). Như vậy vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn. Theo thuyết tương đối của Anhstanh vận tốc truyền tương tác là như nhau trong tất cả các hệ quán tính. Nó là một hằng số phổ biến. Thực nghiệm chứng tỏ vận tốc không đổi này là cực đại và bằng vận tốc truyền ánh sáng C trong chân không. Trong thực tế hằng ngày chúng ta thường gặp các vận tốc rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng(V<<C) do đó trong cơ học cổ điển ta có thể coi vận tốc truyền tương tác là vô hạn mà vẫn thu được những kết quả đủ chính xác. Như vậy về mặt hình thức có thể chuyển từ thuyết tương đối Anhstanh sang cơ học cổ điển bằng cách cho ở trong các công thức tương đối tính. Động học tương đối tính- phép biến đổi LOREN ( LORENTZ). 1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tương đối Anhstanh. Theo các phép biến đổi Galileo, thời gian diễn biến của một quá trình vật lý trong các hệ quy chiếu quán tính K và K’ đều như nhau: t = t’ khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó trong các hệ K và K’ đều bằng nhau. (các đại lượng có dấu phẩy đều được xét trong hệ K’) Vận tốc tuyệt đối v của chất điểm bằng tổng vectơ các vận tốc tương đối V’ và vận tốc theo V của hệ quán tính K’ đối với hệ K. v = V’ + V (13) Tất cả những kết quả đó đều đúng đối với các chuyển động chậm (v<<c). Nhưng rõ rang là chúng mâu thuẫn với các tiên đề của thuyết tương đối Anhstanh. Thực vậy theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối, khoảng thời gian diễn biến của một quá trình vật lý phụ thuộc vào các hệ quy chiếu. Đặc biệt các hiện tượng xảy ra đồng thời ở trong hệ quán tính khác. Để minh họa chúng ta xét một ví dụ sau: Giả sử có hai hệ quán tính K và K’ với các trục tọa độ tương ứng (x, y, z) và (x’, y’, z’). Hệ K’ chuyển động thẳng đều với vận tốc V so với hệ K theo phương X. z’ x’ K’ O’ y’ A C B O K y z x (hình 7). Từ một điểm A bất kỳ, trên trục X’ có đặt một bóng đèn phát tín hiệu sáng theo hai phía ngược nhau của trục X. Đối với hệ K’ bóng đèn là đứng yên vì cùng chuyển động với hệ K’. Do vận tốc tín hiệu sáng đến B và C ở cách đều A cùng một lúc. Đối với hệ K các tín hiệu sáng tới điểm B và C sẽ xảy ra không đồng thời. Theo nguyên lý tương đối Anhstanh vận tốc truyền của tín hiệu sáng ở trong hệ K’ bằng C. Đối với hệ K điểm B chuyển động đến gặp tín hiệu sáng gửi từ A đến B. Còn điểm C chuyển động ra xa tín hiệu từ A gửi đến C, do đó trong hệ K tín hiệu sáng gửi đến điểm sớm hơn. Định luật cộng vận tốc (13) hệ quả của nguyên lý tương đối Galileo cũng không áp dụng được ở đây. Theo nguyên lý này vận tốc truyền ánh sáng theo chiều dương của trục X bằng C + V, theo chiều âm trục X bằng C – V. Điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối Anhstanh. Phép biến đổi Lorentz. Qua trên ta thấy, phép biến đổi Galileo không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối. Phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác thỏa mãn các yêu cầu thuyết tương đối Anhstanh, do Loren tìm ra được mang tên ông. Xét hai hệ quán tính K và K’ nói trên. Giả sử lúc đầu hai gốc O và O’ trùng nhau, hệ K’chuyển động so với K với vận tốc V theo phương X. Gọi (xyzt) và (x’y’z’t’) là các tọa độ của không gian và thời gian lần lượt xét trong các hệ K và K’. Vì theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà trái lại phụ thuộc vào hệ qui chiếu nên thời gian trôi đi trong hai hệ sẽ khác nhau, nghĩa là . Giả sử tọa độ X’ liên hệ với X và t theo phương trình : X’ = f(X.t) (14) Để tìm dạng phương trình f(X.t) ta viết phương trình chuyển động của các gốc tọa độ O và O’ trong hai hệ K và K’. Đối với hệ K, gốc O’ chuyển động với vận tốc V. X – Vt = 0 (15) (trong đó X là tọa độ của gốc O’ xét với hệ K) Đối với hệ K’ gốc O’ là đứng yên. Tọa đô X’ của nó trong hệ K’ bao giờ cũng bằng không. X’ = 0. Muốn phương trình (14) áp dụng đúng cho hệ K’, thay X’ = 0 vào (14) ta thu được (15) thì f(X.t) chỉ có thể khác (X – Vt ) một số nhân nào đó: X’ = (X – Vt ) (16) Đối với hệ K’ gốc O chuyển động với vận tốc –V. Nhưng đối với hệ K gốc O là đứng yên. Tương tự ta có: X =(X’ + Vt) (17) ( là hệ số nhân) Theo tiên đề thứ nhất của Anhstanh mọi hệ quán tính đều tương đương nhau. Từ (16) có thể suy ra (17) và ngược lại bằng cách thay thế . Ta rút ra : . Theo tiên đề thứ hai, ta có trong hệ K và K’: Nếu X = Ct thì X’ = Ct’. thay vào (16)(17) Ct’ = (Ct – Ct’) Ct = (Ct’ + Vt’) Với ; t = t’. Suy ra: (18) Vậy: Và: Vì hệ K chuyển động dọc theo trục X nên y = y’ và z = z’. Ta thu được công thức biến đổi Lorent: ; y’ = y ; z’ = z ; (19) (19) cho phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ K sang hệ K’ ; y’ = y ; z’ = z ; (20) (20) cho phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ K’ sang hệ K. (19)(20) được gọi là phép biến đổi Loren. Qua đó ta thấy được mối liên hệ