Đề tài Khảo sát độ cong Gauss - Độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng - Mặt cực tiểu

Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng - mặt cực tiểu Hoàng Công Phúc Trường ĐHSP Tp.HCM, 2004 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 Các khái niệm cơ bản về đường – mặt trong E3 1. Đường trong En 3 1.1. Cung trong En 3 1.2. Cung song chính quy trong E3 – Độ cong- Độ xoắn 4 2. Mặt trong E3 12 2.1. Mảnh tham số – Các định nghĩa 12 2.2. Ánh xạ Weingarten 14 2.3. Các dạng cơ bản I và II của mặt S – Độ cong 16 pháp dạng. Công thức Meusnier và công thức Euler. 2.4. Những đường đáng chú ý trên mặt S trong E3 18 2.5. Tóm tắt sơ lược về mặt- công thức tính toán 25 CHƯƠNG 2. Khảo sát độ cong trung bình và độ cong Gauss 33 Của mặt - Độ cong trắc địa – Cung trắc địa I. Mặt bậc hai 33 II. Mặt sinh ra bởi các đường tiếp tuyến của một 51 đường cong trong R3 III. Mặt kẻ 52 IV. Mặt tròn xoay 61 CHƯƠNG 3. Mặt cực tiểu 68 1. Mặt Scherk 72 2.Mặt Enneper 75 - Bảng tóm tắt độ cong Gauss – Độ cong Trung bình 80 Độ cong trắc địa của mặt KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO LỜI NÓI ĐẦU Trong vài thập niên gần đây Hình học vi phân phát triển rất mạnh, đối tượng nghiên cứu là hình học trên các đa tạp khả vi mà cơ sở ban đầu của nó là lý thuyết đường, mặt trong E3. Việc nắm vững các kiến thức ở bước này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu hình học vi phân sau này. Khảo sát tính chất nội tại là một trong những vấn đề được quan tâm khi nghiên cứu hình học vi phân trên đa tạp vì vậy khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng là vấn đề không thể thiếu. Đề tài của tôi đặc biệt quan tâm đến vấn đề này. Luận văn gồm 3 chương - Chương 1: Dành cho việc nhắc lại một số phép tính liên quan ở trên đã được chứng minh ở các sách về hình vi phân. Đây là một công cụ không thể thiếu cho việc nghiên cứu các phần sau. - Chương 2: Dành cho việc nghiên cứu độ cong Gauss K, độ cong trung bình H đồng thời tìm các đường tham số hóa của lưới đường tọa độ đóng vai trò là đường trắc địa trên mặt thông dụng được xét như mặt cầu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic một tầng, hai tầng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, mặt kẻ helicoid, Catenoid, xuyến . . . 1 - Chương 3: Trong lớp các mặt đa tạp trên ta quan tâm đặc biệt đến mặt có độ cong trung bình H = 0 mà ta gọi là mặt tối tiểu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với thầy Nguyễn Hà Thanh Tiến sĩ giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã hết sức tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô trong khoa đã nhiệt tình giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học và bạn bè trong lớp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. 2 CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG – MẶT TRONG E3 Chương này dành cho việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về lý thuyết đường và mặt cùng với các kết quả đã có nhằm làm cơ sở cho việc tính toán và khảo sát trong các chương còn lại. §1.ĐƯỜNG TRONG En ( n = 2,3 ) 1.1. Cung trong En 1.1.1. Định nghĩa cung tham số: Mỗi ánh xạ γ : J → En từ một khoảng J ⊂ R vào En gọi là một cung tham số (hay một quỷ đạo) trongEn Hai cung tham số và )( : tt EJ n γ γ 6 → )( : trt EIr n 6 → (I , J là những khoảng trong R; γ và r khả vi ) gọi là tương đương nếu có vi phôi sao cho ro λ = γ )( : tt EJ n λ λ 6 → Dễ thấy đó là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của quan hệ đó gọi là một cung trong En ; mỗi cung tham số của lớp tương đương đó gọi là một tham số hóa của cung ; vi phôi λ gọi là phép biến đổi tham số của cung. 1.1.2. Điểm chính quy và điểm kỳ dị Cho cung xác định bởi Γ )( : tt EJ n γ γ 6 → Điểm to của Γ mà γ’ (t0) ≠ 0 gọi là 1 điểm chính quy của Γ còn nếu γ’ (t0) = 0 gọi là 1 điểm kỳ dị của Γ Cung mà mọi điểm là chính quy gọi là một cung chính quy. 3 1.1.3. Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy. a/- Độ dài cung : Cho cung tham số γ : [ a ,b ] → En xác định trên đoạn thẳng [ a ,b ], giả sử γ liên tục. Với mỗi phép chia a = t0 < t1 <t2 . . .< tm = b , lập tổng ∑ = − m i ii tt 1 1 )()( γγ .Nếu các tổng đó có cận trên với mọi phép chia như vậy thì nói cung tham số có độ dài cung và độ dài cung đó là cận trên ấy. b/- Định lý : Nếu γ : [ a ,b ] → En khả vi lớp C1 thì nó có độ dài cung và độ dài cung ấy là s = dtt b a ∫ )('γ c/- Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy Định nghĩa: Một tham số hóa r :I → En của một cung chính quy Γ gọi là một tham số hóa tự nhiên của nó nếu )(' tr = 1 (còn gọi là tham số hóa độ dài cung ) Chú ý : -Mọi cung chính quy ( kể cả chính quy định hướng) đều có tham số hóa tự nhiên. -Tham số hóa γ : J → En của cung chính quy định hướng là một tham số hóa tự nhiên của khi và chỉ khi γ’ là vectơ tiếp xúc đơn vị T dọc Γ . Γ 1.2.Cung song chính quy trong E3 – Độ cong – độ xoắn. 1.2.1. Độ cong. Độ cong của tại điểm s trong tham số tự nhiên s → r (s) của nó là Γ 4 k(s) = ds DT (s) = ds Dr ' (s). Vậy ta được hàm độ cong (gọi tắt độ cong ) K dọc là Γ ds DT (1) 1.2.2. Các định nghĩa - Điểm của Γ ứng với t trong tham số hóa t 6 γ (t) của nó còn gọi là một điểm song chính quy ( của Γ ) nếu hệ hai vectơ γG ’(t), γG ’’(t) độc lập tuyến tính. Mặt phẳng mật tiếp với Γ tại điểm đó là 2 phẳng đi qua γ (t) với không gian vectơ chỉ phương . )('', →γ)(' tt→γ - Cung Γ trong En gọi là song chính quy nếu mọi điểm của là điểm song chính quy. Γ - Một cung song chính quy là 1 cung chính quy. - Cung chính quy là một cung song chính quy ⇔ độ cong của nó khác 0 tại mọi điểm. Thật vậy trong tsh tự nhiên s → r(s) của Γ , T (s) = r’(s), ds DT . T = 0 nên { r’ , ds Dr ' } độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ds DT ds Dr =' ≠ 0 -Xét trường vectơ ds Dt dọc cung song chính quy Γ trong E'' Đặt N = DT/ds dsDT / thì được trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc Γ . Từ (1) ta viết ds DT = k.N (2). 5 1.2.3. Trường mục tiêu Fénet dọc một cung song chính quy định hướng trong E3 và độ xoắn của nó. a/- Định nghĩa : là một cung song chính quy định hướng trong En thì đã có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc . Nếu n = 3 và E3 đã có hướng thì xác định được trường Vectơ đơn vị B = T N dọc Γ gọi là trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc Γ . Γ Γ ∧ Vậy cho cung song chính quy định hướng Γ trong E3, có trường mục tiêu trực chuẩn { T , N , B } dọc Γ gọi là trường mục tiêu Frénet dọc Γ Khi đó do : B.B = 1 nên ds DB . B = 0 Do BT = 0 nên ds DB . T + B. ds DT = 0 Mà ds DT = K.N và B.N = 0 nên ds DB . T = 0 Vậy ds DB trực giao với T và B ⇒ ds DB cùng phương với N tại mọi điểm Từ đó có hàm số T dọc Γ gọi là (hàm) độ xoắn của Γ để ds DB = - T. N . - Công thức Frénet ds DT = K . N (a) ds DN = - K .T + T B (b) ds DB = - T N (c) 6 Chứng minh công thức (b) Vì N.N = 1 ⇒ ds DN . N = 0 ⇒ ds DN khai triển được theo T và B do T.N = 0 ⇒ T. ds DN = - ds DT . N = - K N.B = 0 ⇒ ds DN . B = -N ds DB = T Vậy ds DN = - KT + T .B b. Lưu ý Lấy một tham số hóa tự nhiên s → r (s) của Γ . Giả sử rằng trong một lân cận mở U của ảnh của trong E3 có trường mục tiêu trực chuẩn { U1,U2 , U3 } mà U1or = T. U2or = N, U3or = B khi đó từ phương trình Γ DUi = Uj ( wij = - wji ) ∑ − 3 1j ijw ⇒ ds rUD oi )( = wij(r) . ( Uj or) i = ∑ = 3 1j 3,1 So sánh với công thức Frénet, ta được K = w12 ( T ) = - w21 ( T ) T = w23 ( T ) = -w32 ( T ) Còn w13 (T ) = - w31 ( T ) = 0 1.2.4. Công thức tính độ cong và độ xoắn. Cho cung song chính quy định hướng Γ trong E3 xác định bởi 1 tham số hóa Lấy một tham số hóa tự nhiên )( : 3 tt EJ γ γ 6 → )( : 3 srs EIr 6 → 7 Của thì có phép đổi tham số λ : J → I để Γ γ = roλ (λ’ > 0 ) Gọi { T , N , B } là trường mục tiêu Frénet dọc Γ . Từ công thức Frénet cho : T = r’ ; ds DT = ds rD ' = KN ; ds DN = - KT + T B, ds DB = - T N Ta có : γ ’ = λ’ ( r’0 λ ) = λ’ (T0 λ ) ( nên rõ ràng 'γ = λ’ ) γ’’ = λ’’ ( Toλ ) + λ’2 ( ds DT oλ ) = λ’’( Toλ ) + λ’2 ( Koλ) ( Noλ ) Từ đó : γ’ ∧ γ’’ = λ’3 ( Ko λ ) (Toλ) ∧ ( Noλ ) = 'γ 3 ( Ko λ ) ( Bo λ ) nên ( Ko λ ) = 3' ''' γ γγ ∧ Tức là K (λ (t) ) mà ta viết tắt : K (t) = 3)(' )('')(' t tt γ γγ ∧ Tính độ xoắn T Do γ’ ∧ γ’’ cùng phương với B0 λ nên để tính (γ’ ∧ γ’’) γ’’’ , chỉ cần xét thành phần chứa B0 λ trong khai triển γ’’’ theo { T0 λ ; Noλ ; Boλ } Từ γ’’ = λ’’ (T0 λ ) + λ’2 ( Ko λ ) (Noλ) ⇒ thành phần chứa Boλ của λ’’’ là λ’3 ( Ko λ ) (T oλ ) (Boλ ) vậy (γ’ ∧ γ’’). γ’’’ = 6'γ ( Ko λ )2 (T oλ ) Do đó T oλ = 2''' ''')'''( γγ γγγ ∧ ∧ 8 Tức là T (t) = 2)('')(' )('''))('')('( tt ttt γγ γγγ ∧ ∧ 1.2.5. Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong E3. Cho hai hàm số K và T ( Khả vi lớp CA , A ≥ 0 ) Trên khoảng J ⊂ R và K có giá trị dương. Khi đó + Có tham số hóa tự nhiên r : J → E3 (khả vi lớp CA+2 ) của một cung song chính quy định hướng trong E3 nhận K và T làm độ cong và độ xoắn . + Nếu có hai tham số hóa r và γ của 2 cung như thế thì có đẳng cấu afin trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình f của E3 mà r = foγ . 1.2.6. Cung trong E2 (cung phẳng ) Cung chính quy định hứơng trong E2 và độ cong của nó. Gọi T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung chính quy định hướng Γ trong E2. Giả sử E2 đã có hướng thì xác định được trường véctơ dọc Γ sao cho { T , N } là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc Γ gọi là trường mục tiêu Frénet dọc Γ ; N gọi là trường véctơ pháp tuyến đơn vị dọc Γ . Với mọi tham số hóa tự nhiên s → r (s) của Γ, trường vectơ ds DT không phụ thuộc tham số đó và do TT = 1 , ds DT = 0 nên ds DT = K N K là một hàm số dọc Γ gọi là độ cong của Γ . Từ T.N = 0 ⇒ ds DT . N + T. ds DT = 0 hay ds DN = - KT 9 Vậy ds DT = K N ds DN = - K T Lưu ý : Γ là cung chính quy định hướng trong E2 ( có hướng) xác định bởi tham số hóa γ : J Ỉ E2. Lấy một tham số hóa tự nhiên T 6 γ (t) r : I Ỉ E2 thì Γ có phép biến đổi tham số λ : J Ỉ I để γ = roλ. S 6 r(s) (λ’ >0 ) Gọi { T , N } là trường mục tiêu Frénet dọc Γ , coi nó là trường mục tiêu dọc cung tham số r và coi độ cong K của Γ là hàm số dọc Γ thì công thức Frénet cho T = r’ , ds DT = ds Dr ' = K N . Ta có γ’ = λ’ ( r’oλ ) = λ’ ( Toλ ) ( nên rõ ràng 'γ = λ’ ) γ’’ = λ’’ ( Toλ ) + λ’2 ( Koλ ) (Noλ ) ⇒ Koλ = 20' )(.'' γ λγ N Giả sử trong toạ độ Descarter vuông góc thuận (x,y ) của E2 γ (t) = ( x (t) , y (t) ). Khi đó 10 → T (λ (t) ) = → T (t) = 22 )(')(' 1 tytx + . ( x’ (t) , y’(t) ) → N (λ (t) ) = →N (t) = 22 )(')(' 1 tytx + ( - y’(t) , x’(t) ) γ’’(t) = ( x’’(t) , y’’(t) ) nên Koλ = 2 322 )''( '''''' yx yxyx + − tức K (t) = 2 322 ))(')('( )(')('')('')(' tytx tytxtytx + − 11 § 2. MẶT TRONG E3 2.1. Mảnh tham số – Các định nghĩa. + Ánh xạ r từ một tập mỡ U trong R2 vào không gian Euchide n chiều En r : U → En ( u , v ) 6 r ( u , v ) Gọi là một mãnh tham số trong En + Với điểm ( uo , v0 ) ∈ U. Cung tham số u 6 r ( u , vo) trong En ( ở đây u thay đổi trong khoảng J C R nào đó , uo ∈J ) gọi là đuờng tọa độ v = vo ( hay đường tọa độ u qua ( uo , vo ) ) ƒ Cung tham số v 6 r ( uo , v ) trong En gọi là đường tọa độ u = uo ( hay đường tọa độ v qua (uo , v0 )). ƒ v 6 r’ ( u , vo ) ≡ r1 ( u , v0 ) là một trường vectơ tiếp xúc dọc đường toạ độ u ƒ v 6 r’ ( uo , v ) ≡ r2 ( uo , v ) là một trường vectơ tiếp xúc dọc đường toạ độ v ƒ ( u , v ) 6 r1 ( u , v) , r2 ( u , v ) là những vectơ dọc r. + Điểm (uo , v0 ) gọi là một điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìm tại (uo , v0 ) tức là nếu r1 (uo , v0 ), r2 (uo , v0 ) độc lập tuyến tính ( 2 vectơ này thuộc . n ovour ET ),( 12 Điểm không chính quy gọi là điểm kỳ dị. Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy. + Tại điểm chính quy (uo , v0 ) của mảnh tham số r, gọi 2 phẳng trong En đi qua r (uo , v0 ), với không gian vectơ chỉ phương là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại (uo , v0 ) . Khi n = 3 , đường thẳng → 1r → 2r qua r (uo , v0 ) thẳng góc với tiếp diện tại (uo , v0 ) gọi làpháp tuyến của r tại (uo , v0 ). + Trong tọa độ afin ( x , y , z ) của E3 , viết r ( u , v ) = ( x (u , v ) , y ( u, v ) , z u , v )) trong đó (u , v ) 6 x (u , v) , y ( u, v ) , z (u , v) là những hàm số trên U ) Phương trình tiếp diện của r tại (uo , v0 ) là 0 ),(),(),( ),() v, (u),( ),(),(),( 2202 1oo11 = −−− ooooo oooo oooooo vuzvuyvux vuzyvux vuzZvuyYvuxX và khi tọa độ đó là Descartes vuông góc thì phương trình pháp tuyến của r tại (uo, vo ) là : ),(),( ),(),( ),( 202 11 ooo oooo oo vuzvuy vuzvuy vuxX − = ),(),( ),(),( ),( 202 11 ooo oooo oo vuxvuz vuxvuz vuyY − = ),(),( ),(),( ),( 202 11 ooo oooo oo vuyvux vuyvux vuzZ − + Hai mảnh tham số trong En r : U → En , r~ ; U~ → En gọi là tương đương nếu có vi phôi λ : U → U để r = ~ r~ o λ 13 Đó là một quan hệ tương đương; mỗi lớp tương đương đó gọi là một mảnh trong En và r gọi là một tham số của mảnh. + Nếu n = 3 và mảnh chính quy thì vectơ đơn vị 21 21 rr rr ∧ ∧ tại điểm ứng với (u,v) trong một tham số hóa r của nó là hoàn toàn xác định ( tức không phụ thuộc vào tham số hóa đã chọn) và phương của nó chính là phương của pháp tuyến của mảnh tại điểm đó. 2.2. Ánh xạ WEINGARTEN 2.2.1. Định nghĩa : S là một mặt trong E3 có hướng xác định bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n trên S . Vì với mọi α ∈ TpS Dαn. n = 0 ( do n2 = 1 ) nên Dαn ∈ TpS ; do đó có ánh xạ hp : TpS → TpS α 6 hp (α ) = - Dαn gọi là ánh xạ Weingarten tại p Cụ thể là lấy cung γ: J → S , γ’ (to) = α thì hp (α ) là vectơ buộc tại p mà = - (to) → )(αph → )'( γon Rõ ràng hp là một tự đồng cấu (tuyến tính) của TpS. Khi p thay đổi ký hiệu chung các hp đó là h . Ánh xạ này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu hình dạng S trong E3 nên đôi khi gọi là ánh xạ dạng. Tính chất: 14 Với mọi p∈ s , ánh xạ hp là một từ đồng cấu đối xứng của TpS tức là với mọi α , β ∈ TpS hpα. β = α hp ( β ) 2.2.2. Định nghĩa. Mỗi giá trị riêng của hp gọi là một độ cong chính tại p của S; Mỗi vectơ riêng của hp xác định một phương gọi là phương chính tại p của S . Định thức của tự đồng cấu hp gọi là độ cong Gauss tại p của S ; 2 phtrace gọi là độ cong trung bình tại p của S. Từ các tính chất của tự đồng cấu tuyến tính đối xứng ta suy ra có một và chỉ một trong hai trường hợp sau: a/- Trường hợp 1. hp có 2 giá trị riêng phân biệt thực, khi đó hai phương chính tại p hoàn toàn xác định và vuông góc với nhau. Gọi hai giá trị riêng đó , 1 ~K 2 ~k thì có hệ vectơ riêng trực chuẩn {e1 , e2} của TpS , hp(e1)= 1 ~k e1 , hp (e2) = 2 ~k e2. Độ cong Gauss tại p là K(P) = 1 ~k . 2 ~k , độ cong trung bình tại p là H (p) = 2 1 ( 1 ~k + 2 ~k ). b/- Trường hợp 2 : hp có đúng giá trị riêng (kép, thực), khi đó mọi phương là phương chính. Từ đó với mọi cơ sở trực chuẩn {e1 , e2} của TpS có hp {e1 , e2} của TpS có 15 hp(e1) = 1 ~k e1, hp(e2) = 2 ~k . e2 , 1 ~k = 2 ~k . Ở đây K (p) = ( 1 ~k )2 , H (p) = 1 ~k . Điểm p như thế gọi là một điểm rốn của S: khi 1 ~k = 2 ~k = 0 p được gọi là điểm dẹt và khi 1 ~k = 2 ~k ≠ 0 p còn được gọi là điểm cầu của S. Điểm p ∈ S gọi là điểm eliptic hay hyperbolic hay parabolic của S tuỳ - K(p) dương, âm hay bằng 0. Lưu ý : Khi đổi hướng của S bằng cách xét –n thay cho n thì hp đổi thành –hp, nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi. 2.3. Các dạng cơ bản I và II của mặt S – Độ cong pháp dạng. Công thức MeuSnier và công thức Euler. 2.3.1 + Các dạng cơ bản I và II của mặt S. Với mỗi p ∈ S. Ip : TpS x TpS → R IIp : TpS x TpS → R ( α , β ) 6 α .β ( α , β ) 6 hp(α ) .β là những dạng song tuyến tính đối xứng trên TpS ; chúng được gọi theo thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p. Người ta ký hiệu Ip (α,α) =Ip (α) , IIp (α,α ) = II (α )và khi p thay đổi dùng ký hiệu I và II. Trong tham số hóa địa phương ( u , v ) # f (u,v) của S xét các hàm số trên U sau : E = F = G = L = = M = = = N = = 16 Lưu ý khi tham số hóa f tương thích với hướng của S thì n = 21 21 ff ff ∧ ∧ 2.3.2. Độ cong pháp dạng – Công thức Euler – Công thức Meusnier S là một mặt có hướng trong E3 γ là 1 cung chính quy nằm trong S , ρ : J → S s 6 ρ (s) là một tham số hóa tự nhiên của γ. Vì ρ’. (noρ ) = 0 tức T ( noρ ) = 0 ( T là trường véctơ tiếp xúc đơn vị dọc ρ ) nên ds DT . ( noρ ) + T . ds nD o )( ρ = 0 hay ds DT ( noρ ) = - T. ds nD o )( ρ = T . h(T) = II ( T) vậy nếu ds DT (So) = 0 thì II ( T (So)) ≡ 0 còn nếu ds DT (So) ≠ 0 ( tức điểm ứng với So là điểm song chính quy của γ ) thì ds DT (So) = K (So). N(So) trong đó K (So) là độ cong γ tại So, N (So) là vectơ pháp tuyến chính đơn vị của γ tại So và ta được K (So) N (S0). n ( ρ (So) ) = II (T(So)) công thức này dẫn đến định nghĩa. Định nghĩa: 17 α là vectơ khác 0 của TpS thì đặt (α ) = K~ )( )( α α I II số đó không đổi khi thay α bằng λ α , λ là số thực khác 0 tùy ý nên nó được gọi là độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi α. Khi đó công thức trên trở thành. K (So) N (S0). n (ρ (So)) = ( T (So) K~ Nó được gọi là công thức Meusnier. - Với mỗi vectơ riêng e của hp , hp (e) = k ~ e, thì k~ e = )( )( eI eII = k ee eek ~ . ..~ = . Từ đó, nếu lấy một cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 } của TpS gồm những vectơ riêng của hp thì k ~ (e1) = 1 ~k , k~ (e2) = k ~ 2 là các độ cong chính của S tại p. Nếu α = cosϕ e1 + Sin ϕ e2 thì. k~ (α ) = II (α ) = hp (α ). α = hp (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 ) . (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 ) = ( k~ ,cosϕ e1 + k~ 2 Sin ϕ e2 ) . (cosϕ e1 + Sin ϕ e2 ) Vậy ta có (α ) = 1 cos2ϕ + 2 sin2ϕ. K~ K~