Đề tài Khảo sát năng lượng tương quan positron – Electron trong phân tử đồng oxit

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ HẠT NHÂN  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHẢO SÁT NĂNG LƯỢNG TƯƠNG QUAN POSITRON – ELECTRON TRONG PHÂN TỬ ĐỒNG OXIT CBHD: ThS. Trịnh Hoa Lăng SVTT: Phạm Thị Phú TP. HỒ CHÍ MINH – 2010 LÔØI CAÛM ÔN Sau khi hoaøn thaønh khoùa luaän toát nghieäp vôùi ñeà taøi "khaûo saùt naêng löôïng töông quan electron - positron trong phaân töû ñoàng oxit". Toâi xin chaân thaønh göûi lôøi caûm ôn ñeán: Thaày Trònh Hoa Laêng ngöôøi ñaõ chæ höôùng, cung caáp taøi lieäu tham khaûo vaø söûa chöõa sai soùt cho toâi trong suoát quaù trình thöïc hieän ñeà taøi. Toaøn theå caùc thaày coâ khoa vaät lyù tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Tp. Hoà Chí Minh, ñaõ truyeàn ñaït cho toâi nhöõng kieán thöùc quyù baùu trong suoát boán naêm hoïc taïi tröôøng. Ngöôøi thaân vaø taát caû caùc baïn ñaõ ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh khoùa luaän. Moät laàn nöõa toâi xin caûm ôn taát caû moïi ngöôøi vaø xin nhaän nôi toâi loøng bieát ôn saâu saéc nhaát. Thaønh phoá Hoà Chí Minh thaùng 5 -2010 Sinh vieân thöïc hieän: Phaïm Thò Phuù - K32. DANH MUÏC CAÙC KYÙ HIEÄU, CAÙC CHÖÕ VIEÁT TAÉT  Caùc kyù hieäu. n: soá löôïng töû chính. l: soá löôïng töû quyõ ñaïo. a0: baùn kính Bohr. me: khoái löôïng electron.  : soá PI. EL: naêng löôïng cuïc boä. Z: ñieän tích hieäu duïng.  : haèng soá Planck. : maät ñoä. H: Hamilton. : toaùn töû Gradien. 2: toaùn töû Laplace. : delta Dirac. T : haøm soùng thöû. : haøm soùng cuûa heä. J: haøm Jastrow. N: soá haït electron. T: ñoäng naêng. E: naêng löôïng. pe cE  : naêng löôïng töông quan electron – positron. V: theá naêng.  Caùc chöõ vieát taét. Ps: positronium. e+A: hệ liên kết positron - nguyên tử. : gamma. I: theá ion cuûa nguyeân töû CuO: phaân töû ñoàng oxit a.u: Ñôn vò nguyeân töû (atomic unit). e – p: electron – positron. VMC: Variational Monte Carlo. CAÙC ÑÔN VÒ Caùc ñôn vò tính toaùn trong nguyeân töû Ñaïi löôïng Kyù hieäu Trong heä SI Trong heä ñôn vò nguyeân Baùn kính Bohr a0 5,291 772 108x10-11 m 1 Khoái löôïng electron me 9,109 3826x10 -31 kg 1 Ñieän tích electron. E 1,602 176 53x10-19 C 1 Haèng soá Planck  1,054 571 68x10-34 J s 1 Naêng löôïng tính theo Hartree 1 Hartree 4,359 744 17x10-18 J (27,211 3845 eV) 1 Haèng soá Rydberg Ry 1,0973731568525x 107/m. (13,9056923 eV) 0,5 LỜI MỞ ĐẦU Positron laø phaûn haït cuûa electron ñöôïc khaùm phaù lyù thuyeát bôûi Paul Dirac naêm 1928, sau ñoù ñöôïc Carl D. Andersen quan saùt thöïc nghieäm naêm 1932. Vaø ngaøy 15 thaùng 3 naêm 1933, sau khi taïp chí khoa hoïc Myõ chuyeân ñeà vaät lyù xuaát baûn baøi "electron mang ñieän döông" bôûi Carl D. Andersen cuûa vieän coâng ngheä California, lòch söû thöïc nghieäm positron baét ñaàu. Trong thöïc nghieäm huyû positron, döïa vaøo ñaëc tính huyû electron - positron maø positron coù phạm vi öùng duïng raát lôùn nhö: Söû duïng positron ñeå phaùt hieän khuyeát taät trong vaät lieäu baèng phöông phaùp ño phoå thôøi gian soáng, CT (Computed Tomography) trong coâng nghieäp ñeå phaùt hieän loã hoång vaät lieäu. Trong y học, positron ñöôïc öùng duïng vaøo coâng ngheä maùy PET (Positron Emission Tomography) duøng phổ biến trong chuẩn đoán và theo dõi bệnh ung thư. Caùc keát quaû thöïc nghieäm ñöôïc ño giaùn tieáp thoâng qua thôøi gian soáng cuûa positron hoaëc xung löôïng huyû caëp electron – positron trong moâi tröôøng khaûo saùt. Vaø nhöõng keát quaû thöïc nghieäm naøy seõ ñöôïc giaûi thích chính xaùc hôn neáu chuùng ta xeùt ñeán töông taùc electron - positron. Töø nhöõng naêm 50, ñaõ coù raát nhieàu nhaø khoa hoïc aùp duïng caùc lyù thuyeát löôïng töû ñeå giaûi thích söï huyû positron trong moâi tröôøng chaát raén nhöng haàu nhö raát phöùc taïp vaø khoâng ñaït keát quaû mong muoán. Ngaøy nay, phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo ñang ñöôïc aùp duïng roäng raõi cho caùc heä löôïng töû nhö nguyeân töû, phaân töû, vaät lyù chaát raén. Phöông phaùp naøy tính toaùn ñôn giaûn vaø giaûi quyeát toát caùc vaán ñeà cuûa theá giôùi vi moâ. Vì vaäy trong phaïm vi khoaù luaän naøy, toâi aùp duïng phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo trong moâ hình Born - Oppenheimer ñeå khaûo saùt naêng löôïng töông quan electron - positron trong phaân töû ñoàng oxit . Noäi dung khoùa luaän goàm boán chöông: Chöông 1: Toång quan veà heä positron - electron. Chöông 2: Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo löôïng töû. Chöông 3: Aùp duïng phöông phaùp VMC cho phaân töû ñoàng oxit khi coù positron. Chöông 4: Caùc keát quaû tính toaùn. CHÖÔNG 1 TOÅNG QUAN VEÀ HEÄ ELECTRON - POSITRON Electron laø moät trong nhöõng haït cô baûn caáu thaønh neân vaät chaát, coù phaûn haït laø positron. Positron mang ñieän döông coù cuøng khoái löôïng, cuøng spin, momen töø vaø ñoä lôùn ñieän tích vôùi electron. Neáu positron gaëp electron, chuùng coù xaùc suaát huyû caëp phaàn lôùn taïo ra hai tia gamma naêng löôïng 511 Kev. 1.1.Cô cheá lieân keát positron vôùi vaät chaát Caùc nghieân cöùu gaàn ñaây ñaõ chæ ra raèng moät soá nguyeân töû vaø ion nguyeân töû coù theå lieân keát vôùi moät positron nhö laø liti, heli, natri, canxi, magie, ñoàng, keõm, baïc Soá nguyeân töû naøy ñöôïc tìm thaáy ngaøy caøng nhieàu. Vaø caáu truùc cuûa caùc heä naøy ñöôïc xaùc ñònh laø lôùn ñeå positron coù theå thaéng löïc ñaåy cuûa haït nhaân vaø lieân keát vôùi caùc electron hoaù trò. Moät soá heä nhö laø e+Be bao goàm moät positron chuyeån ñoäng quanh nguyeân töû beri phaân cöïc. Trong khi trong caùc heä khaùc e+Na, e+Cu, e+Ocoù theå ñöôïc moâ taû toát nhaát baèng moät positronium chuyeån ñoäng quanh loõi mang ñieän Na+, Cu+, O+ Ngoaøi ra moät vaøi heä coù khaû naêng coù hai positron ñaõ ñöôïc tìm thaáy. 1.1.1.Positron lieân keát vôùi nguyeân töû Töông taùc giöõa nguyeân töû vaø positron laø ñaåy nhau taïi moïi ñieåm. Ñieàu naøy theå hieän söï khoù khaên trong lieân keát cuûa nguyeân töû vôùi positron. Song ñaùm maây ñieän tích electron cuûa nguyeân töû gaàn positron coù theå töï ñieàu chænh laøm cho töông taùc giöõa positron vaø nguyeân töû laø töông taùc huùt. Khi ñoù ñaùm maây electron khi naøy bò phaân cöïc. Vaø neáu theá huùt phaân cöïc lôùn hôn theá ñaåy cuûa haït nhaân ñoái vôùi positron thì traïng thaùi lieân keát toàn taïi. Hình 1.1. Moâ hình positron lieân keát vôùi nguyeân töû, ñaùm maây ñieän tích cuaû electron ôû gaàn positron thay ñoåi Khi thế ion của nguyên tử I < 0,250 Hartree ( naêng löôïng lieân keát cuûa positronium) thì positron chæ lieân keát vôùi nguyeân töû khi naêng löôïng lieân keát cuûa positron vôùi nguyeân töû lôùn hôn e+ 0,250 - I, ngöôïc laïi heä positron- nguyeân töû seõ taùch thaønh positronium vaø ion döông ( traïng thaùi nguyeân töû khi maát moät electron ) 1.1.2.Lieân keát cuûa positronium vôùi loõi nguyeân töû Caùc electron hoaù trò trong nguyeân töû lieân keát loûng leûo vôùi haït nhaân. Vaø khi thế ion của nguyên tử I < 0.250 Hartree thì moät trong caùc electron hoaù trò naøy seõ bò huùt vaøo positron, taïo thaønh moät positronium ( kí hieäu PS ). Positronium bao goàm moät electron vaø moät positron lieân keát vôùi nhau, noù töông töï nhö nguyeân töû hydro veà maët ñieän tích trong ñoù positron ñöôïc xem nhö proton. Positronium coù khoái löôïng ruùt goïn baèng nöûa khoái löôïng cuûa electron, coù baùn kính baèng hai laàn baùn kính cuûa nguyeân töû hidro. Do positron vaø electron ñeàu coù spin baèng ½ vaø moâ men quyõ ñaïo l=0 neân khi chuùng keát hôïp vôùi nhau coù theå hình thaønh hai traïng thaùi:  Traïng thaùi spin ñoái song coù momen goùc l = 0 vaø spin toaøn phaàn s = 0 ñöôïc goïi laø traïng thaùi singplet, hình thaønh paraPositronium (p-Ps) coù moät traïng thaùi laø 1S0.  Traïng thaùi spin song song coù l = 0 vaø s = 1, ñöôïc goïi laø traïng thaùi triplet, hình thaønh orthoPositronium coù ba traïng thaùi: 3S-1, 3S0, 3S1. Do vaäy, xaùc suaát hình thaønh orthopositronium laø ¾ coøn xaùc suaát hình thaønh para positronium laø ¼. Hình 1.2. Moâ hình positron lieân keát vôùi nguyeân töû, Ps bò phaân cöïc do loõi mang ñieän tích döông. Positronium bò phaân cöïc do töông taùc Culong cuûa loõi nguyeân töû vaø coù theå daãn tôùi söï lieân keát cuûa PS vôùi loõi nguyeân töû. Ñeå Positronium lieân keát vôùi nguyeân töû thì naêng löôïng lieân keát cuûa positron vôùi nguyeân töû phaûi nhoû hôn 0,250 - I. 1.2.Söï huyû positron Positron laø phaûn haït cuûa electron, neân theo thuyeát phaûn haït trong cô hoïc löôïng töû thì khi positron gaëp electron seõ huyû caëp vôùi xaùc suaát naøo ñoù. Khi positron ñi vaøo moâi tröôøng vaät chaát seõ e- e+ va chaïm vôùi caùc electron, ion nuùt maïng vaø caùc phonon dao ñoäng maïng. Quaù trình va chaïm xaûy ra lieân tieáp laøm cho caùc positron nhanh choùng maát naêng löôïng vaø trôû thaønh positron nhieät. Quaù trình naøy ñöôïc goïi laø quaù trình nhieät hoaù positron. Thôøi gian nhieät hoaù phuï thuoäc vaøo naêng löôïng ban ñaàu cuûa positron. Theo Bergersen, Hautojarvi: positron coù naêng löôïng khoaûng 2 Mev coù thôøi gian nhieät hoaù nhoû hôn 20 ps. Trong khi thôøi gian soáng cuûa positron trong kim loaïi laø khoaûng 200ps. Neân positron bò nhieät hoaù tröôùc khi huyû caëp. Hình 2 : Quaù trình huyû positron. Khi positron nhieät gaëp electron trong moâi tröôøng vaät chaát thì chuùng coù theå huyû caëp ngay laäp töùc, hoaëc chuùng keát hôïp vôùi electron hoaù trò cuûa nguyeân töû trong moâi tröôøng vaät chaát taïo thaønh PS. Neáu traïng thaùi spin cuûa caëp huyû laø traïng thaùi singlet ( s = 0 ) thì quaù trình huyû chuû yeáu laø huyû 2 . Coøn traïng thaùi spin cuûa caëp huyû laø traïng thaùi triplet thì söï huyû chuû yeáu laø huyû 3 . Neáu coù maët cuûa moät haït thöù ba laø electron hoaëc haït nhaân nguyeân töû cuûa moâi tröôøng thì coù theå xaûy ra quaù trình huyû 1 ( theo ñònh luaät baûo toaøn ñoäng löôïng ). Trong ñoù tröôøng hôïp huûy caëp sinh hai gamma laø chuû yeáu coøn tröôøng hôïp sinh ra ba gamma vaø moät gamma coù xaùc suaát raát nhoû neân coù theå boû qua. Huyû 2110 Khueách taùn Nhieät hoaù e+ s1210 e+ Nguoàn e+ CHÖÔNG 2 PHÖÔNG PHAÙP bieán phaân MONTE CARLO LÖÔÏNG TÖÛ Muïc ñích: trình baøy toång quan veà phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo, caùch aùp duïng phöông phaùp naøy cho heä löôïng töû, moâ hình haøm Hamilton vaø haøm soùng thöû cho heä e - p. Caùc noäi dung chính:  Nguyeân lyù bieán phaân.  Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo.  Quy trình thuaät toaùn Monte Carlo löôïng töû.  AÙp duïng phöông phaùp VMC cho heä löôïng töû.  Xaáp xæ Hamilton.  Haøm soùng thöû. 2.1.Nguyeân lyù bieán phaân Vieäc tìm lôøi giaûi gaàn ñuùng cho phöông trình Schodinger cuûa heä nhieàu haït xuaát phaùt töø nguyeân lyù bieán phaân, ñöôïc phaùt bieåu nhö sau: Giaù trò trung bình cuûa Hamilton Hˆ ñöôïc tính vôùi haøm soùng thöû t khoâng bao giôø thaáp hôn giaù trò naêng löôïng traïng thaùi cô baûn 0 cuûa Hamilton Hˆ ñöôïc tính vôùi haøm soùng traïng thaùi cô baûn 0. Töø nguyeân lyù bieán phaân ta thaáy, luoân coù khaû naêng tìm ñöôïc moät giôùi haïn treân ñoái vôùi naêng löôïng traïng thaùi cô baûn. Vaø noù laø moät phöông phaùp xaáp xæ toát nhaát trong vieäc tìm kieám caùc naêng löôïng traïng thaùi cô baûn. Giaû söû haøm soùng thöû t laø haøm soùng traïng thaùi cô baûn cuûa Hamilton thì khi ñoù giaù trò trung bình cuûa Hamilton laø:       drrr drrHr E TT TT )()( )()( * * (2.1) Vaø khai trieån haøm soùng thöû T laø söï keát hôïp tuyeán tính caùc haøm rieâng cuûa haøm hamilton coù daïng:  n nnT rcr )()(  (2.2) Thay (2.2) vaøo (2.1) ta ñöôïc       nm nmnm nm nmnm drrraa drrHraa E , ** , ** )()( )()(   (2.3)    n n n nn a Ea E 2 2 (2.4) Trong ñoù nE laø trò rieâng cuûa haøm rieâng n vaø nE vôùi moïi n suy ra: 0 E (2.5) Phöông phaùp VMC tröïc tieáp aùp duïng nguyeân lyù naøy. Trong ñoù choïn haøm soùng thöû phuï thoäc vaøo caùc tham soá bieán phaân, roài thay ñoåi caùc tham soá bieán phaân naøy ñeå cöïc tieåu hoaù naêng löôïng trung bình. Neáu haøm soùng thöû ñöôïc choïn laø toát, coù ñuû baäc töï do bieán phaân thì keát quaû ñaït ñöôïc coù ñoä chính xaùc raát cao. 2.2.Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo (VMC) Trong vaät lyù chaát raén, phöông phaùp VMC thöôøng moâ taû moâ hình heä höõu haïn nhö moâ taû moät oâ moâ phoûng hôn laø moâ hình heä voâ haïn. Ôû ñaây chuùng ta choïn moâ hình haøm Hamilton vaø haøm soùng thöû phuø hôïp cho heä nhieàu haït, aùp duïng nguyeân taéc bieán phaân leân giaù trò trung bình cuûa haøm hamilton:       drrr drrHr H TT TT )()( )()( * * (2.6) Ñeå tìm naêng löôïng trung bình, ta phaûi thöïc hieän caùc pheùp tính tích phaân treân (2.6). Tuy nhieân vieäc tính tích phaân naøy laø raát phöùc taïp maø ta khoâng theå tính toaùn baèng giaûi tích toaùn hoïc. Caùc phöông phaùp tích phaân coå ñieån nhö phöông phaùp Gauss-Legendre khoâng coøn phuø hôïp cho heä nhieàu haït. Hieän nay thuaät toaùn lyù töôûng ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy laø phöông phaùp VMC. Phöông phaùp VMC goàm coù 3 böôùc cô baûn: Böôùc 1: Xaây döïng haøm soùng thöû ),(  rT cho heä goàm N haït ôû vò trí r = ( r1, r2,...,rN ) vaø phuï thuoäc vaøo boä tham soá  = (1, 2,..., N ) Böôùc 2: Xaùc ñònh giaù trò trung bình cuûa haøm Hamilton    drrrr drrHr H TT TT )())(( )( )( * *   (2.7) Böôùc 3: Thay ñoåi khoaûng chaïy nhoû nhaát cuûa caùc tham soá bieán phaân trong thuaät toaùn roài quay trôû laïi böôùc moät. Sau khi thöïc hieän moät loaït caùc böôùc chaïy tham soá  , ta ghi nhaän giaù trò naêng löôïng vaø phöông sai töông öùng. Veõ ñoà thò bieåu dieãn söï phuï thuoäc cuûa naêng löôïng, sai soá töông ñoái vaøo caùc tham soá. Sau ñoù tìm giaù trò cöïc tieåu cuûa naêng löôïng vaø sai soá töông ñoái trong daûi caùc tham soá bieán phaân. Keát quaû thu ñöôïc phuï thuoäc vaøo daïng xaáp xæ haøm soùng vaø moâ hình haøm Hamilton. Do ñoù vieäc löïa choïn haøm soùng thöû vaø moâ hình hamilton cho oâ moâ phoûng laø raát quan troïng, quyeát ñònh möùc ñoä thaønh coâng cuûa vieäc moâ taû ñaëc tröng cuûa heä voâ haïn. 2.3. Quy trình thuaät toaùn monte carlo löôïng töû Hình 2.1. Sô ñoà quy trình thuaät toaùn Monte Carlo löôïng töû [4]. Thieát laäp nhöõng tham soá cuûa heä Thöïc hieän böôùc dòch chuyeån Chaáp nhaän hoaëc loaïi boû böôùc dòch chuyeån Thöïc hieän böôùc dòch chuyeån Chaáp nhaän hoaëc loaïi boû böôùc dòch chuyeån Tích luõy vaø tính trung bình caùc ñaïi löôïng Nhöõng ñaëc tröng cuûa heä Thieát laäp traïng thaùi caân baèng Thöïc hieän tính toaùn Quy trình thuaät toaùn Monte Carlo löôïng töû goàm hai böôùc chính:  Thieát laäp traïng thaùi caân baèng Metropolis: Thieát laäp caùc electron ban ñaàu ôû caùc vò trí ngaãu nhieân ñoàng nhaát trong oâ moâ phoûng. Sau ñoù dòch chuyeån, moãi böôùc dòch chuyeån seõ taïo ra caùc böôùc ngaãu nhieân maø chaáp nhaän hay loaïi boû tuaân theo thuaät toaùn Metropolis söû duïng haøm soùng thöû cho heä nhieàu haït. Thöïc hieän moät soá böôùc dòch chuyeån ñuû lôùn ñeå ñaûm baûo heä ñaõ ñaït ñöôïc traïng thaùi caân baèng vaø nhöõng electron ñöôïc phaân boá ngaãu nhieân theo phaân boá   2RT . Ñoái vôùi haàu heát nhöõng tính toaùn ñaõ thöïc hieän thì caàn söû duïng 25% cuûa toång soá böôùc dòch chuyeån Monte Carlo cuûa moãi moät electron ñeå taïo ra nhöõng vò trí caân baèng.  Thöïc hieän tính toaùn Monte Carlo: Khi heä ñaït ñöôïc traïng thaùi caân baèng thì caùc ñaïi löôïng quan taâm nhö naêng löôïng cuûa heä ñöôïc tích luyõ. Moãi moät laàn dòch chuyeån ñöôïc taïo ra thì caùc ñaïi löôïng quan taâm ñöôïc tính vaø ñöôïc coäng doàn vaøo quaù trình toång. Khi taïo ra ñuû nhöõng böôùc dòch chuyeån, giaù trò trung bình ñöôïc tính. 2.4.AÙp duïng phöông phaùp VMC cho heä löôïng töû. Ñeå aùp duïng phöông phaùp naøy, ñaàu tieân ta xaây döïng moâ hình cho heä löôïng töû, sau ñoù ta löïa choïn haøm soùng thöû phuø hôïp vôùi moâ hình ñoù. Tieáp ñeán ta tính xaùc suaát phaân boá haøm soùng:   drr r r t T 2 2 )( )( )(p   (2.8) Naêng löôïng trung bình ñöôïc tính theo coâng thöùc:     drrr drrHr E TT TT )()( )()( * *   (2.9) Khi söû duïng haøm soùng thö,û ta ñònh nghóa moät ñaïi löôïng môùi laø naêng löôïng cuïc boä EL: EL(r) = )( )( r rH T T    (2.10)    drr drEr E T LT 2 2 )( )(   (2.11) neân:  drrErpE L )()( (2.12) Phöông trình (2.12) laø böôùc giaûi quyeát ñaàu tieân cuûa phöông phaùp VMC cho heä löôïng töû. Sau khi laøm goïn haøm naêng löôïng )(EL r ta thöïc hieän treân maùy tính caùc böôùc sau: Caùc böôùc thöïc hieän chöông trình tính toaùn VMC Ñaàu tieân coá ñònh soá böôùc Monte Carlo vaø soá böôùc nhieät hoaù. Choïn giaù trò khôûi taïo cho r, caùc tham soá bieán phaân vaø tính 2 )(rT . Xaùc ñònh kích thöôùc böôùc nhaûy ñeå di chuyeån haït töø r ñeán vò trí môùi. Khôûi taïo cuûa EL vaø phöông sai töông öùng. Baét ñaàu tính toaùn Monte Carlo vôùi moät soá chu trình cho tröôùc Böôùc 1: Gieo soá ngaãu nhieân cho vector vò trí r. Böôùc 2: Thöïc hieän böôùc thöû Monte Carlo. Böôùc 3: Di chuyeån vò trí thöû: r’ = r +, vôùi  laø moät soá ngaãu nhieân gieo trong khoaûng [0, 1]. Böôùc 4: Laäp tæ soá p(r)/p(r’), neáu:  )'( )( rp rp thì thieát laäp böôùc nhaûy môùi ngöôïc laïi ta döøng taïi vò trí naøy. Böôùc 5: Neáu böôùc nhaûy ñöôïc thieát laäp ta gaùn: r = r’. Böôùc 6: Tính giaù EL vaø phöông sai öùng vôùi giaù trò cuûa r naøy. Khi pheùp thöû Monte-Carlo keát thuùc, ta tính giaù trò trung bình cuûa EL vaø ñoä leäch chuaån töông öùng. 2.5.Xaáp xæ Hamilton Trong heä e -p, caùc haït ñeàu mang ñieän neân chuùng töông taùc vôùi nhau theo nhieàu cô cheá: löïc Coulomb, töông taùc spin-quó ñaïo, töông taùc töø. Ñeå moâ taû caùc töông taùc phöùc taïp ñoù ta söû duïng tröôøng theá töông taùc caëp )( ji rrU  vôùi i  j, khi ñoù haøm Hamilton coù daïng:    ji ji N i ii N i rrUrV m H )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 (2.13) Ñeå ñôn giaûn ta söû duïng heä qui chieáu nguyeân töû, trong ñoù : 1m vaø haøm Hamilton ñöôïc vieát laïi nhö sau: )( 2 1 )( 2 1 111 2 ji N i N i N i i rrUrVH    (2.14) Trong phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo, ngöôøi ta thöôøng söû duïng xaáp xæ Born – Oppenheimer [8] thì Hamilton cho heä nhieàu haït goàm caùc electron, positron vaø caùc ion coù daïng:               n nm m mn mn i pii ij j ji n np n n i ni n p N i i dd eZZ rr e rr e dr eZ dr eZ H 222 22 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1ˆ (2.15) ri, rp laàn löôït laø veùc tô toïa ñoä cuûa electron thöù i vaø positron. dn, dm laø veùc tô toïa ñoä cuûa ion thöù n vaø m. Zn, Zm laø ñieän tích cuûa ion thöù n vaø m. Soá haïng ñaàu tieân trong (2.15) laø toång ñoäng naêng cuûa N electron, soá haïng thöù hai laø ñoäng naêng cuûa positron; soá haïng thöù ba laø theá naêng töông taùc giöõa electron vaø ion, soá haïng thöù tö laø theá naêng töông taùc giöõa positron vaø ion; soá haïng thöù naêm laø theá naêng töông taùc giöõa electron – electron, soá haïng thöù saùu laø theá naêng töông taùc iöõa positron – electron vaø soá haïng cuoái cuøng laø theá naêng töông taùc giöõa ion – ion. 2.6.Haøm soùng thöû Heä e - p laø heä caùc haït fermion khoâng ñoàng nhaát, trong ñoù coù söï töông taùc giöõa caùc haït vôùi nhau. Löïc töông taùc giöõa electron vaø haït nhaân nguyeân töû tæ leä nghòch vôùi khoaûng caùch. Neân trong tinh theå ta chæ xeùt caùc nguyeân töû laân caän vôùi nguyeân töû chöùa electron maø ta ñang khaûo saùt. Khi ñoù haøm soùng toaøn phaàn cuûa heä electron-positron coù daïng nhö sau: