Đề tài Lý thuyết xếp hàng và ứng dụng

LÝ THUYẾT XẾP HÀNG VÀ ỨNG DỤNG I.TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT SẮP HÀNG GIỚI THIỆU Lý thuyết xếp hàng đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trên thế giới trong nhiều lĩnh vực nghành nghề khác nhau như bưu chính viễn thông, hàng không, đường sắt, kiểm soát lưu lượng giao thông, đánh giá hiệu năng hệ thống máy tính, y tế và chăm sóc sức khỏe, không lưu, bán vé… Trong nhiều hệ thống phục vụ, các khách hàng (costumer) phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để được phục vụ và đôi khi bị từ chối phục vụ. Lý thuyết quá trình sắp hàng (queueing process) xác định và tìm các phương án tối ưu để hệ thống phục vụ tốt nhất. Trong nửa đầu của thế kỷ 20 lý thuyết sắp hàng đã được ứng dụng để nghiên cứu thời gian đợi trong các hệ thống điện thoại. Ngày nay lý thuyết sắp hàng còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như trong mạng máy tính, trong việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thông và trong các hệ phục vụ khác… Ngoài ra lý thuyết sắp hàng cũng còn là cơ sở toán học để nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều bài toán kinh tế như đầu tư, kiểm kê, rủi ro của bảo hiểm, thị trường chứng khoán ... Chuỗi Markov là quá trình sắp hàng với thời gian rời rạc đã được xem xét trong giáo trình xác suất thống kê. Quá trình sinh tử cũng là quá trình sắp hàng, trong đó sinh biểu thị sự đến và tử biểu thị sự rời hàng của hệ thống. Đối với lý thuyết sắp hàng ta quan tâm đến các số đo hiệu năng, đó là các giá trị trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình của hàng, độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống, thời gian đợi trung bình của hàng (trễ của hàng) và thời gian đợi trung bình của hệ thống (trễ của hệ thống). Để tính các đại lượng này ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình tích phân dạng Wiener-Hopf hoặc phương pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng. Từ đó suy ra các công thức tính các phân bố ổn định cho các loại hàng M/M/k, M/M/k/N; Công thức tổng quát tính các giá trị trung bình này cho các hàng G/G/1 và công thức cụ thể cho các hàng đặc biệt M/M/1, M/D/1 và M/Ek/1.. Hướng ứng dụng vào viễn thông: Một trong những bài toán quan trọng của lý thuyết chuyển mạch là vấn đề xung đột thông tin, nghẽn mạch hoặc rớt cuộc gọi. Lý thuyết sắp hàng sẽ xác lập phương án tối ưu để khắc phục những vấn đề trên. Ngoài ra lý thuyết sắp hàng cũng được ứng dụng rộng rãi trong các hệ phục vụ khác. II. NỘI DUNG 2.1. KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI QUÁ TRÌNH SẮP HÀNG 2.1.1. Khái niệm quá trình sắp hàng Mô hình tổng quát của lý thuyết sắp hàng là khách hàng đến ở một thời điểm ngẫu nhiên nào đó và yêu cầu được phục vụ theo một loại nào đó. Giả thiết thời gian phục vụ có thể ngẫu nhiên
 Đặt tn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến của khách hàng thứ n và thứ n+1. Ta giả định rằng tất cả các tn (n ≥ 1) là độc lập và có cùng phân bố. Vì vậy việc đến của các khách hàng tạo thành 1 hàng kế tiếp nhau với tốc độ đến là
. Ta gọi quá trình {tn, n=1,2,…} là quá trình đến. Khách hàng đến hệ thống yêu cầu các server của hệ thống phục vụ. Ta giả sử rằng khách hàng thứ n cần một thời gian phục vụ là (n ≥ 1), tất cả các
độc lập và có cùng phân bố. Quá trình
được gọi là quá trình phục vụ. Ta cũng giả thiết rằng các thời gian đến trung gian độc lập với thời gian phục vụ. Quá trình sắp hàng được phân loại dựa vào các tiêu chí sau: 1) Phân bố của quá trình đến (input process)
2) Phân bố của thời gian phục vụ (service distribution)
3) Nguyên tắc phục vụ: Các khách hàng đến được sắp xếp vào hàng đợi đến lượt được phục vụ. Để đơn giản ta giả thiết chỉ có một hàng. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp có thể mở rộng cho nhiều hàng cùng hoạt động song song. Nếu độ dài hàng có đặt ngưỡng thì các đơn vị đến hàng khi hàng đầy vượt ngưỡng sẽ bị loại. Các khách hàng được chọn để phục vụ theo nguyên tắc "đến trước phục vụ trước" (FIFO), nghĩa là phục vụ cho khách nào đứng đầu hàng. 4) Cơ cấu phục vụ: Một phương tiện phục vụ bao gồm một hay nhiều Server. Các Server có thể kết nối thành chuỗi vì thế mỗi yêu cầu phục vụ được phục vụ theo nhiều cách hoặc lần lượt hoặc song song. 2.1.2.Các yếu tố cơ bản của hệ thống hàng đợi Hệ thống hàng đợi tổng quát được minh hoạ như trên hình sau. Hình I.2.1. Hệ thống hàng đợi Các yếu tố cơ bản của hệ thống hàng đợi bao gồm: a. Bố trí vật lí của hệ thống Hệ thống hàng đợi có một số dạng bố trí vật lí (phisical layout) như minh hoạ trên hình I.2.2 Single Channel – Single Server (Một kênh phục vụ, một loại dịch vụ) Single Channel – Multi Server (Một kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ) Multi Channel – Single Server (Nhiều kênh phục vụ, một loại dịch vụ) Multi Channel – Multi Server (Nhiều kênh phục vụ, nhiều loại dịch vụ) Hình I.2.2. Các dạng hệ thống hàng đợi Trên hình I.2.2, các kênh phục vụ được hiểu là những thiết bị kĩ thuật hoặc con người hoặc những tổ hợp các thiết bị kĩ thuật và con người được tổ chức quản lí một cách thích hợp nhằm phục vụ các yêu cầu / các tín hiệu đến hệ thống. Chẳng hạn, ở các trạm điện thoại tự động, kênh phục vụ là các đường dây liên lạc cùng các thiết bị kĩ thuật khác phục vụ cho việc đàm thoại. b. Nguyên tắc phục vụ Nguyên tắc phục vụ (hay nội quy) của hệ thống là cách thức nhận các yêu cầu vào các kênh phục vụ. Nguyên tắc phục vụ cho biết trường hợp nào thì yêu cầu được nhận vào phục vụ và cách thức phân bố các yêu cầu vào các kênh như thế nào. Đồng thời nguyên tắc phục vụ cũng cho biết trong trường hợp nào yêu cầu bị từ chối hoặc phải chờ và giới hạn của thời gian chờ. Một số nguyên tắc phục vụ thường được áp dụng trong các hệ thống hàng đợi là FIFO (First in first out), LIFO (Last in first out), FCFS (First come first serve), có ưu tiên, không ưu tiên,... c. Các phân phối xác suất của các dòng tín hiệu, dòng phục vụ Số tín hiệu đến trong một khoảng thời gian cũng như thời gian phục vụ từng tín hiệu nói chung là những biến ngẫu nhiên, và do đó, chúng tuân theo các quy luật phân phối xác suất. Các quy luật phân phối xác suất này được thiết lập căn cứ các số liệu thực nghiệm thu thập từ các quan sát, thí nghiệm, hay từ cơ sở dữ liệu sẵn có. Đối với dòng tín hiệu đầu vào, thông thường chúng ta giả sử rằng số tín hiệu đến trong vòng một khoảng thời gian nào đó được ấn định trước (1 phút, 3 phút, 5 phút, 30 phút,...) tuân theo luật phân phối Poisson P((). Ở đây, tham số ( đặc trưng cho số tín hiệu đến (trung bình) trong khoảng thời gian trên. Ví dụ, số khách vào siêu thị (trung bình) là 100 người trong 1 giờ. Có nghĩa là, số khách vào siêu thị là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với ( = 100. Hoặc, với số cuộc gọi (trung bình) đến tổng đài trong vòng 1 phút là 3 (tín hiệu) thì có X ~ P(3). Một cách chính xác hơn, trong những trường hợp trên, ta có dòng tín hiệu đến là dòng Poisson dừng (còn gọi là dòng tối giản) với các tính chất trên sau: Tính không hậu quả: Một dòng tín hiệu có tính không hậu quả nếu xác suất xuất hiện một số tín hiệu nào đó trong một khoảng thời gian nhất định không phụ thuộc vào việc đã có bao nhiêu tín hiệu đã xuất hiện và xuất hiện như thế nào trước khoảng thời gian đó. Tính đơn nhất: Dòng tín hiệu có tính đơn nhất nếu xét trong khoảng thời gian khá bé thì sự kiện “có nhiều hơn một tín hiệu xuất hiện” hầu như không xảy ra. Về mặt thời gian ta có thể xem dòng tín hiệu có tính đơn nhất nếu thời điểm xuất hiện các tín hiệu không trùng nhau. Tính dừng: Dòng tín hiệu có tính dừng nếu xác suất xuất hiện một số tín hiệu nào đó trong khoảng thời gian ( chỉ phụ thuộc vào độ dài của ( chứ không phụ thuộc vào điểm khởi đầu của (. 2.1.3. Phân tích hàng đợi: Có các phương pháp phân tích hàng đợi như sau Phân tích giải tích Quá trình mô phỏng Cả hai phương pháp trên Phương pháp giải tích để giải mô hình hàng đợi gồm các bước sau: Bước 1: Phân tích hệ thống, chủ yếu là phân tích bản chất của dòng yêu cầu / tín hiệu đến và các trạng thái của hệ thống. Bước 2: Thiết lập hệ phương trình trạng thái cho các xác suất trạng thái (xác suất để hệ thống ở một trạng thái nào đó tại thời điểm t). Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm các xác suất trạng thái. Từ đó thiết lập các mối quan hệ giữa các chỉ tiêu cần phân tích. Bước 4: Tính toán, phân tích các chỉ tiêu, trên cơ sở đó đưa ra các nhận xét và các quyết định. Phương pháp giải tích thường sử dụng các giả thiết rất chặt chẽ của Toán học về các đặc trưng của hệ thống, vì vậy nó có một số hạn chế nhất định khi giải các bài toán thực tế. Trong khi đó, phương pháp mô phỏng / mô phỏng ngẫu nhiên để giải mô hình hàng đợi được áp dụng cho các bài toán dịch vụ đám đông không giải được bằng công cụ giải tích, nhất là những bài toán liên quan đến hệ thống lớn, bất ổn định, hàm chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên, không tuân theo các giả thiết quá chặt chẽ của Toán học. Trong nhiều trường hợp phương pháp mô phỏng cho ta tiết kiệm được thời gian và chi phí nghiên cứu. Tuy phương pháp mô phỏng chỉ tạo ra các phương án đủ tốt để đánh giá hoạt động của hệ thống chứ không đưa ra được kĩ thuật tìm lời giải tốt nhất, nó tỏ ra rất thành công khi giải quyết nhiều bài toán hàng đợi nảy sinh từ thực tiễn. Các bước cần tiến hành khi áp dụng phương pháp mô phỏng bao gồm: Bước 1: Xác định bài toán hay hệ thống hàng đợi cần mô phỏng và mô hình mô phỏng. Bước 2: Đo và thu thập số liệu cần thiết cần thiết để khảo sát thống kê các số đặc trưng / các yếu tố cơ bản của mô hình. Bước 3: Chạy mô phỏng kiểm chứng (test simulation) mô hình và so sánh kết quả kiểm chứng với các kết quả đã biết được trong thực tế. Phân tích kết quả chạy mô phỏng kiểm chứng, nếu cần thì phải sửa lại phương án đã được đánh giá qua chạy mô phỏng. Bước 4: Chạy mô phỏng để kiểm chứng phương án cuối cùng và kiểm tra tính đúng đắn của mọi kết luận về hệ thống thực tế được rút ra sau khi chạy mô phỏng. Triển khai hoạt động của hệ thống hàng đợi dựa trên phương án tìm được. Từ những phân tích trên đây có thể thấy Lí thuyết xếp hàng còn gọi là Lí thuyết hệ phục vụ công cộng hay Lí thuyết hệ dịch vụ đám đông là lĩnh vực rất quan trọng của Toán ứng dụng / Vận trù học. Nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực hệ thống dịch vụ, kĩ thuật, … đã được giải quyết thành công nhờ áp dụng phương pháp mô phỏng mô hình hàng đợi. Kết quả phân tích (về phía khách hàng) • Thời gian xếp hàng (trễ hàng đợi) • Tổng trễ (bao gồm trễ hàng đợi và trễ phục vụ ) • Số lượng khách hàng trong hàng đợi • Số lượng khách hàng trong hệ thống (gồm khách hàng chờ và khách hàng đang được phục vụ ) • Xác suất nghẽn mạng (khi kích thước bộ đệm hữu hạn) • Xác suất chờ để phục vụ Kết quả phân tích (về phía hệ người phục vụ) • Khả năng sử dụng server • Khả năng sử dụng bộ đệm • Lợi ích thu được (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế) • Lợi ích bị mất (thông số dịch vụ và các xem xét về kinh tế) Ta Phân tích hàng đợi sau: /
tốc độ đến trung bình , thời gian đến trung bình 1/μ tốc độ phục vụ trung bình, thời gian phục vụ trung bình 1/μ Với kích thước của bộ đệm là vô hạn, quy tắc phục vụ là FIFO / - Sự kiện A: có 1 sự đến trong
t - Sự kiện B: không có sự đến nào trong
t - Sự kiện C: có nhiều hơn 1 sự đến trong
t Giả sử rằng
t→ 0 . Như vậy ta sẽ có:
Số lượng sự kiện đến tuân theo phân bố Poisson Định nghĩa luật phân bố Poisson / Đồng thời, khoảng thời gian đến (được tính giữa hai sự đến liên tiếp) tuân theo luật phân bố mũ. / - Sự kiện A: có 1 sự kiện đi trong
t - Sự kiện B: không có sự kiện đi nào trong
t - Sự kiện C: có nhiều hơn 1 sự kiện đi trong
t Giả sử rằng
t →0 Như vậy ta sẽ có: / • D là sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đến AND với sự kiện của 1 hoặc nhiều sự đi trong khoảng t. Giả sử Pr{D}=0 • Định nghĩa
là xác xuất mà hệ thống có N khách hàng tại thời điểm t Từ đó ta có / • Ở điều kiện ổn định, khi t→∞, ta có: / Tức là xác xuất hệ thống rơi vào một trạng thái nào đó không phụ thuộc thời gian nữa... • Xét trong một khoảng thời gian đủ lớn, số lượng khách hàng lưu trong hệ thống được tính theo công thức: / • Số lượng khách hàng lưu trong hàng đợi được tính bằng: / •Thời gian một khách hàng lưu lại trong hệ thống bao gồm: -Thời gian chờ xếp hàng -Thời gian phục vụ Giả thiết: -Hệ thống ở trạng thái ổn định tức
-Quy tắc phục vụ là FIFO Tổng thời gian lưu trong hệ thống: / Tổng thời gian chờ trong hàng đợi: // Sự kiện một khách hàng đến phải đợi chính là khi trong hệ thống có ít nhất 1 khách hàng: / Đây cũng chính là xác suất hệ thống ở trạng thái bận
2.1.4. Phân loại Kendall Kendall (1951) đã đưa ra ký hiệu A/B/C/K/N/D để mô tả các tham số cơ bản của hệ thống sắp hàng, Thông thường được viết gọn lại dưới dạng A/B/C/K. Ví dụ: M/M/k, G/M/k/N. Trong đó. A  Biểu diễn dạng của phân bố thời gian đến trung gian   B  Dạng phân bố thời gian phục vụ   C  Số Server   K  Số lượng vị trí trong hàng đợi   N  Số lượng khách hàng   D  Nguyên tắc phục vụ: FIFO, LCFS, SIRO, PNPN..   A và B có thể mang bất kỳ kiểu phân bố sau đây: Ký hiệu  Dạng phân bố   M  Phân bố theo cấp số nhân (Markovian)  
 Phân bố Erlang-k   G  Phân bố được xét dưới dạng tổng quát   D  Hằng số ( Deterministic).   Cụ thể như sau: * Nếu luật phân bố được xét dưới dạng tổng quát thì A hoặc B lấy ký hiệu G (General). Đôi khi người ta còn ký hiệu GI (general independence). * Nếu quá trình đến là quá trình Poisson, nghĩa là thời gian đến trung gian có phân bố mũ thì A được ký hiệu M (Markovian). Tương tự nếu thời gian phục vụ có phân bố mũ thì B cũng được ký hiệu M . * Nếu thời gian đến trung gian hoặc thời gian phục vụ có phân bố Erlang-k thì A , B được ký hiệu
. * Nếu thời gian đến trung gian hoặc thời gian phục vụ là hằng số thì A hoặc B được ký hiệu D (Deterministic). Khi một vài thiết bị phục vụ có dung lượng hữu hạn thì hệ thống chỉ có thể chứa đến khách hàng. Nếu ở trong hàng đã có khách hàng chưa được phục vụ thì khách hàng mới đến sẽ bị từ chối hoặc bị mất. Trong trường hợp này hệ thống được ký hiệu A/B/k /N. 2.1.5. Các số đo hiệu năng Đó là các giá trị trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình của hàng, độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống, thời gian đợi trung bình của hàng (trễ của hàng) và thời gian đợi trung bình của hệ thống (trễ của hệ thống) 1) Tỉ lệ tới trung bình (λ) Tỉ lệ tới trung bình chỉ ra "số kì vọng các khách hàng tới theo đơn vị thời gian ", được biểu diễn bởi "λ"(lambda). Thời gian tới trung bình có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau. Thời gian tới trung bình = 1 / Tỉ lệ tới trung bình = 1 / λ Chẳng hạn, nếu có 4 lần tới được trông đợi trong một phút, Tỉ lệ tới trung bình (λ) = 4 lần khách hàng tới trong một phút Thời gian tới trung bình = 1/4 phút cho mỗi lần khách hàng tới = 15 giây cho mỗi lần khách hàng tới Tức là, về trung bình khách hàng tới cứ sau mỗi 15 giây 2) Tỉ lệ phục vụ trung bình (μ) Tỉ lệ phục vụ trung bình nghĩa là "số lượng trông đợi các khách hàng được hoàn thành phục vụ theo đơn vị thời gian ", được biểu diễn bởi "μ". Thời gian phục vụ trung bình có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau. Thời gian phục vụ trung bình = 1 / Tỉ lệ phục vụ trung bình = 1 /μ Chẳng hạn, nếu dịch vụ cho 5 khách hàng có thể được hoàn tất trong mỗi phút, Tỉ lệ phục vụ trung bình (λ) = 5 khách hàng một phút Thời gian phục vụ trung bình = 1/5 phút cho mỗi khách hàng = 12 giây cho mỗi khách hàng Tức là,về trung bình phải mất 12 giây để phục vụ một khách hàng. Nếu μ>λ hay 1/μ < 1/λ là đúng trong hệ thống xếp hàng, thì hệ thống này được gọi là trong "điều kiện trạng thái vững vàng ". 3) Cường độ lưu thông (ρ) Cường độ lưu thông biểu diễn cho "phân số trông đợi về thời gian các nguồn phục vụ riêng lẻ bận rộn",được kí hiệu bởi "ρ"(rho). Điều này có thể thu được bằng việc dùng biểu thức sau. Cường độ lưu thông (ρ) = Tỉ lệ tới trung bình / Tỉ lệ phục vụ trung bình = λ/μ = 1/μ/ 1/λ = Thời gian phục vụ trung bình / Thời gian khoảng tới trung bình < 1 Chẳng hạn, nếu có bốn khoảng tới khách hàng trông đợi trong mỗi phút, và việc phục vụ cho 5 khách hàng có thể được hoàn thành trong một phút, Cường độ lưu thông (ρ) = 4/5 =0.8→80% hay 12(sec) / 15(sec) = 0.8→80% Điều này nghĩa là từng nguồn phục vụ đều bận đến 80% thời gian. Cường độ lưu thông nên nhỏ hơn 100%. Bởi vì khi nó bằng hay lớn hơn 100%, thì bao giờ cũng có khách hàngchờ đợi trong hàng đợi. Do đó, trong trường hợp như vậy, những biện pháp nào đó (như phân bổ thêmnguồn phục vụ phụ) nên được tính tới để làm cho nó nhỏ hơn 100%. 4)Độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống (Số khách hàng trung bình trong hệ thống) (L) Số khách hàng trung bình trong hệ thống là "số trông đợi về các khách hàng trong hệ thống xếp hàng, kể cả đang đợi phục vụ và hiện đang được phục vụ ", được kí hiệu là L. Chúng ta có thể tính số này từ cường độ lưu thông ρ bằng việc dùng phương trình sau. Số khách hàng trung bình trong hệ thống (L) = cường độ lưu thông / (1- cường độ lưu thông)=ρ/ (1-ρ) Chẳng hạn, nếu 4 khách hàng xuất hiện trong một phút và 5 khách hàng có thể nhận được phục vụ trong một phút,Số trung bình các khách hàng trong hệ thống (L) = 0.8 / (1-0.8) = 4 Điều này chỉ ra rằng về trung bình 4 khách hàng đang trong hệ thống xếp hàng, chờ nhận được phục vụ. 5) Thời gian đợi (chờ) trung bình trong hệ thống (W) Thời gian cần dùng trung bình cho khách hàng trong hệ thống là "thời gian chờ đợi được trông đợi trong hệthống (kể cả thời gian phục vụ)", được kí hiệu bởi W. Số này có thể được tính từ số trung bình các khách hàngtrong hệ thống (L) và tỉ lệ tới trung bình (λ) (hay thời gian khoảng tới trung bình (1/λ)), bằng việc dùngđẳng thức sau: Thời gian cần dùng trung bình cho khách hàng trong hệ thống (W) = số khách hàng trung bình trong hệ thống×(1/tỉ lệ tới trung bình) = L×1/λ = số khách hàng trung bình trong hệ thống × thời gian khoảng tới trung bình Chẳng hạn, nếu 4 khách hàng xuất hiện trong một phút và 5 khách hàng có thể nhận được phục vụ trong một phút,Thời gian cần dùng trung bình cho khách hàng trong hệ thống (W) = 4×1/4 = 1 phútĐiều này nghĩa là thời gian giữa việc khách hàng tới và việc hoàn thành dịch vụ là trung bình một phút.Tồn tại đẳng thức khác cho việc tính thời gian cần dùng trung bình cho khách hàng trong hệ thống (W). Đẳngthức sau tính W như tổng của thời gian phục vụ trung bình (1/μ) và thời gian trung bình cho khách hàng tronghàng đợi (Wq). (Thời gian trung bình cho khách hàng trong hàng đợi (Wq) sẽ được giới thiệu muộn hơn.) Thời gian cần dùng trung bình cho khách hàng trong hệ thống (W) = thời gian trung bình cho khách hàng trong hàng đợi + thời gian phục vụ trung bình = Wq+ 1/μ 6) Độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống (Số khách hàng trung bình trong hàng đợi) (Lq) Số khách hàng trung bình trong hàng đợi là "chiều dài hàng đợi dự kiến (loại ra các khách hàng đang được phục vụ)", được kí hiệu bởi Lq. Điều này được tính bằng phương trình sau, dùng số khách hàng trung bình trong hệ thống (L) và cường độ lưuthông (ρ). Số trung bình các khách hàng trong hàng đợi (Lq) = số trung bình các khách hàng trong hệ thống (L) × cường độ lưu thông (ρ) = (cường độ lưu thông)
/ (1 - cường độ lưu thông) =ρ
/ (1-ρ) Chẳng hạn, nếu 4 khách hàng xuất hiện trong một phút và 5 khách hàng có thể nhận được phục vụ trong một phút,số trung bình các khách hàng trong hàng đợi (Lq) = 4×0.8 = 3.2 hoặc
/ (1 - 0.8) = 3.2 Điều này chỉ ra rằng về trung bình 3.2 khách hàng là trong hàng đợi, chờ được phục vụ. 7) Thời gian đợi trung bình của hàng (Thời gian trung bình của khách hàng trong hàng đợi) (Wq) Thời gian trung bình của khách hàng trong hàng đợi là "thời gian đợi dự kiến trong hàng đợi (trừ thời gian phục vụ)", được kí hiệu bởi Wq. Điều này có thể được tính từ số trung bình các khách hàng trong hàng đợi (Lq) và tỉ lệ tới trung bình (λ) (haythời gian khoảng tới trung bình (1/λ)), bằng việc dùng phương trình sau. Thời gian trung bình của khách hàng trong hàng đợi (Wq) = số trung bình các khách hàng trong hàng đợi × (1/tỉ lệ tới t