Đề tài Một số dạng phương trình tích phân tuyến tính

Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 1 MụC LụC Trang Mở đầu……………………………………………….…………………………..3 Ch−ơng 1: KIếN THứC chuẩn bị.……………………………………………...5 1.1. Bổ xung về không gian Banach……………………………………………..5 1.1.1. Không gian định chuẩn…………………………………………………...5 1.1.2. Không gian Banach………………………………………………………10 1.1.3. Không gian Banach khả li………………………………………………..10 1.1.4. Toán tử tuyến tính liên tục………………………………………………. 9 1.2. Không gian Hilbert………………………………………………………...12 1.2.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert……………………………………...12 1.2.2. Bất đẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert……………..12 1.2.3. Khái niệm không gian Hilbert…………………………………………...14 1.2.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn………………………………………...15 1.2.4.1. Vectơ trực giao……………………………………………..………… 15 1.2.4.2. Một số tính chất đơn giản…………………………………..………….16 1.2.4.3. Hệ thống trực giao……………………………………………..………17 1.2.4.4. Hệ thống trực chuẩn…………………………………………...……….17 1.2.4.5. Bất đẳng thức Bessel…………………………………………..……….19 1.2.4.6. Hệ trực chuẩn đầy đủ……………………………………………..……20 1.2.4.7. Các định lý………………………………………………………..……20 1.2.4.8. Cơ sở trực chuẩn…………………………………………………….....23 1.2.5. Phép chiếu…………………………………………………………….….24 1.2.6. Giá trị riêng, vectơ riêng…………………………………………………26 1.2.7. Không gian Hilbert tách đ−ợc……………………………………………28 1.2.8. Định lý biểu diễn Riesz, phiếm hàm tuyến tính và song tuyến tính trên không gian Hilbert……………………………………………………………...31 1.2.9. Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert……………………………...36 1.2.9.1. Toán tử tự liên hợp……………………………………………..........…36 1.2.9.2. Toán tử đối xứng……………………………………………….............36 Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 2 1.2.9.3. Toán tử hoàn toàn liên tục……………………………………………..40 1.2.10. Toán tử tích phân………………………………………………………43 1.2.11. Ph−ơng trình tích phân………………………………………………….46 1.2.12. Bài toán dẫn tới ph−ơng trình tích phân………………………………...47 Ch−ơng 2: MộT Số DạNG PHƯƠNG TRìNH TíCH PHÂN TUYếN TíNH………49 2.1.Ph−ơng trình tích phân với hạch đối xứng………………………………….49 2.1.1. Định nghĩa 2.1…………………………………………………………...49 2.1.2. Xét sự tồn tại nghiệm…………………………………………………….49 2.2. Ph−ơng trình tích phân với hạch thoái hoá………………………………...51 2.2.1. Định nghĩa 2.2…………………..……………………………………….51 2.2.2. Xét sự tồn tại nghiệm…………………………………………………….51 2.2.3. Đinh lý Fredholm ( tr−ờng hợp hạch thoái hoá )………………………...56 2.3.Ph−ơng trình tích phân với hạch không đối xứng…………………………..56 2.3.1. Định nghĩa 2.3……..…………………………………………………….56 2.3.2. Xét sự tồn tại nghiệm…………………………………………………….57 2.3.3. Định lý Fredholm ( trong tr−ờng hợp tổng quát )………………………..61 2.4. Ph−ơng trình Volterra……………………………………………………...61 2.5. Một số cách giải ph−ơng trình tích phân tuyến tính……………………….62 2.5.1. P−ơng pháp đại số………………………………………………………..61 2.5.2. Ph−ơng pháp xấp xỉ……...………………………………………………62 2.5.3. Ph−ơng pháp lặp liên tiếp……….....……………………………………..64 2.5.4. Bài tập áp dụng…………………………………………………………..67 Kết luận……………………………………………………………………..….84 Tài liệu tham khảo……………………………………………………..........….85 Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 3 Mở đầu 1) Lý do chọn đề tài Giải tích hàm là một ngành Toán học đ−ợc xây dựng vào khoảng đầu thế kỷ XX và đến nay hầu nh− đc đ−ợc xem nh− một ngành toán học cổ điển. Trong quá trình phát triển, Giải tích hàm đc tích lũy đ−ợc một nội dung hết sức phong phú. Những ph−ơng pháp và kết quả mẫu mực, tổng quát của Giải tích hàm đc xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ Giải tích và không gian vectơ. Chính điều đó đc mở ra phạm vi nghiên cứu lớn cho ngành Toán học. Ph−ơng trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong giải tích hàm đ−ợc xây dựng từ các bài toán thực tế trong vật lý, hoá học và nhiều khoa học ứng dụng khác. Cụ thể nh− trong nghiên cứu tính đàn hồi, tính dẻo, nhiệt và sự thay đổi khối l−ợng của vật, lý thuyết dao động, lý thuyết xếp bảng, kỹ thuật điện, kinh tế, y học,... Với mong muốn đ−ợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn này và b−ớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đc chọn đề tài “Một số dạng ph−ơng trình tích phân tuyến tính”. 2) Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu B−ớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích hàm đặc biệt về ph−ơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert. Hệ thống lại những cơ sở lý thuyết cần thiết về toán tử trên không gian Hilbert từ đó đ−a ra một số dạng ph−ơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert và sự tồn tại nghiệm của những ph−ơng trình dạng này. Đặc biệt hệ thống ph−ơng pháp giải ph−ơng trình tích phân bao gồm ph−ơng pháp đại số hoá, ph−ơng pháp lặp liên tiếp, ph−ơng pháp xấp xỉ và có bài tập áp dụng. 3) Đối t−ợng nghiên cứu Đối t−ợng chính mà khoá luận nghiên cứu là những ph−ơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert, bên cạnh đó khoá luận còn nghiên cứu về không Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 4 gian Hilbert làm cơ sở cho việc nghiên cứu đối t−ợng chính. 4) Ph−ơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Tr−ớc tiên là đọc các tài liệu liên quan tới nội dung của đề tài. Cụ thể nh− tài liệu viết về nguồn gốc thực tiễn và cơ sở lý thuyết dẫn tới ph−ơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert. Từ đó làm tiền đề cho việc tìm hiểu về ph−ơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert và vận dụng các kiến thức cơ sở trên để đọc hiểu về đối t−ợng chính ta cần nghiên cứu, phân tích, tổng hợp rồi rút ra kết luận - Hỏi ý kiến chuyên gia: Chủ yếu là giáo viên h−ớng dẫn 5) í nghĩa khoa học và thực tiễn Khoỏ luận là tài liệu tham khảo cho thầy cụ giỏo, cỏc bạn sinh viờn khoa toỏn. Về bản thõn bờn cạnh việc ủược tỡm hiểu sõu hơn về phương trỡnh tớch phõn tuyến tớnh trờn khụng gian Hilbert cũn ủược nõng cao kiến thức cơ sở về Giải tớch hàm. 6) Cấu trúc của khóa luận Ngoài lời núi ủầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khoỏ luận là tài liệu dày 85 trang gồm hai chương: Ch−ơng 1 - Kiến thức chuẩn bị Ch−ơng 2 - Một số ph−ơng trình tích phân tuyến tính Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC chuẩn bị 1.1. BỔ SUNG VỀ KHễNG GIAN BANACH 1.1.1 Khụng gian ủịnh chuẩn ∗ Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một khụng gian vectơ trờn trường K (thực hoặc phức), hàm thực ⋅ : X→ ℝ thoả món ba tớnh chất: ( )i x ≥ 0 , 0 0,∀ ∈ Χ = ⇔ = ∀ ∈ Χx x x x ( )ii . ,λ λ=x x ,∀ ∈ Χx λ∀ ∈Κ ( )iii ,+ ≤ +x y x y ,∀ ∈ Χx y Được gọi là một chuẩn trờn Χ , cặp ( Χ , ⋅ ) ủược gọi là khụng gian tuyến tớnh ủịnh chuẩn, hay khụng gian ủịnh chuẩn. ∗ Vớ dụ 1.1.1. Khụng gian vectơ tất cả cỏc hàm số ( )x x t= xỏc ủịnh và ủo ủược trờn ủoạn [ ];a b với bỡnh phương moủun khả tớch trờn [ ];a b , ( )−∞ < < < +∞a b ta kớ hiệu là [ ] 2 ,a bL . [ ] 2 ,a bL = 2( ) ( )  = < +∞     ∫ b a x x t x t dt Khi ủú ( [ ]2 ,a bL , ⋅ ) là khụng gian ủịnh chuẩn, với chuẩn ⋅ xỏc ủịnh bởi x = ( ) 1 22      ∫ b a x t dt , [ ] 2 ,a bx L∈ Thật vậy: ∀ [ ] 2 ,a bx L∈ : ( ) 2 0≥x t , [ ],∀ ∈t a b suy ra ( ) 2 0 b a x t dt ≥∫ hay ( ) 1 22 0 b a x t dt x   = ≥    ∫ ( ) 1 220 0 b a x x t dt   ⇒ = ⇔ =    ∫ Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 6 ( ) ( )2 20 0⇔ = ⇔ =∫ b a x t dt x t hầu khắp nơi trờn [ ],a b ( ) 0⇔ =x t hầu khắp nơi trờn [ ],a b ( ) [ ]0, ,x t t a b x θ⇔ = ∀ ∈ ⇔ = λ∀ ∈Κ , [ ]2 ,a bx L∈ : ( ) 1 22λ λ =     ∫ b a x x t dx = 1 22 2( )λ     ∫ b a x t dt = ( ) 1 222λ     ∫ b a x t dt = ( ) 1 22λ      ∫ b a x t dt = .λ ⋅ x [ ] 2 , , a by x L∀ ∈ : ( )( ) ( ) ( ) ,+ = +x y t x t y t [ ],∀ ∈t a b nờn: ( )( ) 1 22 b a x y x y t dt   + = +    ∫ = ( ) ( )( ) 1 22  +    ∫ b a x t y t dt . từ bất ủẳng thức Holder: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 22 2    ⋅ ≤ ⋅        ∫ ∫ ∫ b b b a a a x t y t dt x t dt y t dt Ta cú: ( ) ( ) ( ) ( )( )222+ = + ≤ +∫ ∫ b b a a x y x t y t dt x t y t dt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 22 2 2 2 2 b b b b a a a a x t dt y t dt x t dt y t dt     ≤ + ⋅ +        ∫ ∫ ∫ ∫ = ( ) ( ) 21 1 2 22 2       +           ∫ ∫ b b a a x t y t dt = ( )2+x y Cho nờn ( )22+ ≤ +x y x y hay: .+ ≤ +x y x y Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 7 ∗ Tớnh Chất )+ ( ),d x y = −x y , ( ), ,∀ ∈ Χ ⋅x y là một mờtric trờn X )+ Trong một khụng gian tuyến tớnh ủịnh chuẩn X ( )i Phộp cộng và phộp nhõn vụ hướng là một ỏnh xạ liờn tục ( )ii Chuẩn ⋅ là một hàm số liờn tục trờn X Chứng minh.( )i : Giả sử hai dóy { } { },n nx y trong khụng gian ủịnh chuẩn X, lần lượt hội tụ tới 0 0,x y thuộc X, tức 0lim ,=nx x 0lim =ny y và { }λn là dóy số trong trường K với lim 0λ λ= ∈Κn . Khi ủú: )+ ( )0 0 0 0 0 0 0+ − + = − + − ≤ − + − →n n n n n nx y x y x x y y x x y y ⇒ lim( ) 0 0+ = +n nx y x y . )+ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0λ λ λ λ λ λ λ λ− = − + − ≤ − + − ≤n n n n n n n nx x x x x x x x 0 0 0 0n n nx x xλ λ λ≤ − + − → (khi → ∞n ) Từ đó có: ( ) 0 0lim n nx xλ λ= . ( )ii : Với mọi , ∈ Χx y ta cú: = − + ≤ − +x x y y x y y ⇒ − ≤ −x y x y (1) = − + ≤ − + = − +y y x x y x x x y x ⇒ − ≤ −y x x y (2) Từ (1) và (2) suy ra: − ≤ −x y x y . Do ủú, với { }nx là một dóy phần tử trong X mà hội tụ tới 0 ∈ Χx thỡ: Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 8 0 0 0− ≤ − →n nx x x x (khi → ∞n ) Suy ra 0lim nx x= , hay ta cú chuẩn ⋅ là một hàm số liờn tục trờn X. 1.1.2. Khụng gian Banach ∗ Định nghĩa 1.1.2. Một khụng gian ủịnh chuẩn X gọi là khụng gian Banach nếu mọi dóy cơ bản của X ủều hội tụ trong X. ∗ Dóy { }nx trong khụng gian ủịnh chuẩn X ủược gọi là dóy cơ bản nếu ε∀ >0 cho trước, 0 ∗∃ ∈ Νn ủể 0,∀ ≥m n n ta ủều cú −n mx x <ε . ∗ Vớ dụ 1.1.2. Khụng gian ℝn với chuẩn 2 1= = ∑ n i i x x , trong ủú ( ) 1,== i i nx x Định lý 1.1.2. Khụng gian ủịnh chuẩn X là khụng gian Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt ủối ủều hội tụ. Chứng minh. Giả sử X là khụng gian Banach, chuỗi 1 ∞ = ∑ n n x hội tụ tuyệt ủối trong X, tức chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ, gọi { }nS là dóy tổng riờng của chuỗi 1 ∞ = ∑ n n x với nS = 1= ∑ n k k x , khi ủú với mọi số tự nhiờn ,n p ta cú: 1 1 0 + + + = + = + − = ≤ →∑ ∑ n p n p n p n k k k n k n S S x x khi ,n p → ∞ Suy ra { }nS là một dóy cơ bản trong khụng gian X, vỡ X là khụng gian Banach nờn dóy này hội tụ, do ủú chuỗi 1 ∞ = ∑ n n x hội tụ. Ngược lại, X là khụng gian ủịnh chuẩn thỏa món mọi chuỗi hội tụ tuyệt ủối ủều hội tụ, ta chỉ ra X là khụng gian Banach. Thật vậy, giả sử { }nx là một dóy cơ bản bất kỡ của khụng gian tuyến tớnh ủịnh chuẩn X, khi ủú với mỗi số tự nhiờn n tồn tại số tự nhiờn nk sao cho ≥ nm k , ≥ nl k thỡ khi ủú 1 2 − ≤l m nx x (3) Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 9 Ta chọn cỏc nk sao cho: 1 2 3 ... ...< < < < <nk k k k thỡ ta sẽ cú dóy con { }nkx của dóy { }nx hội tụ trong X, vỡ từ (3) suy ra 1 1 2+ − < n nk k n x x , ∗∀ ∈ℕn Suy ra chuỗi ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1... ...++ − + − + + − +n nk k k k k k kx x x x x x x (4) cú 1 0 + − → n nk k x x khi → ∞n Do vậy (4) hội tụ tuyệt ủối, theo giả thiết thỡ chuỗi (4) hội tụ. Mặt khỏc, = nn k S x , với mọi n ∈ℕ . Do vậy { } nk x hội tụ trong X, vỡ { }nx là dóy cơ bản suy ra chuỗi { }nx hội trong X. Suy ra ( ),Χ ⋅ là khụng gian Banach. 1.1.3. Khụng gian Banach khả li ∗ Định nghĩa 1.1.3. Khụng gian Banach X ủược gọi là khả li (hay tỏch ủược) nếu tồn tại một dóy { }n nx cỏc phần tử của X trự mật khắp nơi trong X. ∗ Vớ dụ 1.1.3. Khụng gian cỏc hàm số liờn tục trờn [ ]0,1 kớ hiệu là [ ]0,1C , là khụng gian khả li với dóy { } [ ]0,1⊂nx C xỏc ủịnh bởi: 0 1=x , ( ) ,= ∈ℕnnx t t n trự mật khắp nơi trong [ ]0,1C . 1.1.4.Toỏn tử tuyến tớnh liờn tục ∗ Định nghĩa 1.1.4. Cho ( ), . XX và ( ), . YY là hai khụng gian tuyến tớnh ủịnh chuẩn trờn cựng một trường K. Ánh xạ A : X Y→ gọi là toỏn tử tuyến tớnh liờn tục nếu nú vừa tuyến tớnh vừa liờn tục. ∗Chỳ ý. A liờn tục tại ủiểm 0 ∈ Χ ⇔x với mọi dóy { }nx cỏc phần tử của Χ thỏa món 0lim 0− =n Xx x thỡ 0lim 0n yAx Ax− = )+ A liờn tục trờn X khi A liờn tục tại mọi ủiển thuộc X )+ A ủược gọi là tuyến tớnh nếu ,∀ ∈ Χx y :  ( )A x y Ax Ay+ = + Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 10  ( ) x,A x Aλ λ λ= ∀ ∈Κ Định lý 1.1.4. Giả sử cho A : →X Y là một toỏn tử tuyến tớnh từ khụng gian ủịnh chuẩn X vào khụng gian ủịnh chuẩn Y, khi ủú 3 mệnh ủề sau là tương ủương: i A liờn tục ii A liờn tục tại θ ∈ Χ iii A bị chặn ( )0 : Ax ,∃ > ≤ ∀ ∈ ΧM M x x Chứng minh. i ⇒ ii : A liờn tục, tức A liờn tục tại mọi ủiểm thuộc X do vậy A hiển nhiờn liờn tục tại θ ∈ Χ . ii ⇒ i : Giả sử A liờn tục tại θ ∈ Χ , với mỗi x bất kỳ thuộc Χ và dóy { }n nx hội tụ tới ủiểm ∈ Χx , ta chỉ ra lim xnAx A= . Thật vậy, vỡ nx , ∈ Χx , ∗∀ ∈ℕn nờn ( )− ∈ Χnx x và ( )lim 0 →∞ − =n n x x (do tớnh liờn tục của phộp cộng trờn khụng gian ủịnh chuẩn ). Theo giả thiết A liờn tục tại θ ∈ Χ suy ra: ( )lim 0nA x x Aθ− = = lim nAx Ax⇒ = . Nờn A liờn tục tại x , với mọi ∈ Χx nờn A liờn tục. i ⇒ iii : Giả sử A liờn tục, ta chứng minh A bị chặn. Thật vậy, vỡ A liờn tục trờn X nờn A liờn tục tại phần tử θ ∈ Χ , do ủú 0∃∂ > sao cho mọi x ∈ Χ mà ≤ ∂x thỡ ta cú 1Ax ≤ . Bõy giờ với mọi ∈ Χx , 0≠x ủặt ∂= xu x thỡ = ∂u nên: Au 1≤ Thay ∂= xu x ủược: 1A 1 AxA x x x x x ∂ ∂ = ⋅ ≤ ⇔ ≤ ⋅ ∂ (5) Bất ủẳng thức (5) ủỳng cho cả trường hợp θ=x , do ủú A bị chặn. iii ⇒ i : Giả sử A bị chặn, ta chứng minh A liờn tục. Thật vậy, với x là phần Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 11 tử bất kỳ của Χ , { }nx là dóy phần tử trong X hội tụ tới x, tức 0− →nx x khi → ∞n . Do Α bị chặn nờn tồn tại M sao cho ,≤ ∀ ∈ ΧAx M x x Vì ( ) , 1,2,...− ∈ Χ ∀ =nx x n nờn: ( ) 0nn nA x x M x x →∞− ≤ − → Kộo theo ( ) 0nA x x− → khi → ∞n . Do tớnh tuyến tớnh của A suy ra lim nAx Ax= . Vậy A liờn tục tại x , với x là bất kỳ suy ra A liờn tục. ∗ Khụng gian cỏc toỏn tử tuyến tớnh bị chặn Cho X,Y là cỏc khụng gian tuyến tớnh ủịnh chuẩn trờn cựng trường K. Ta ký hiệu L( ),X Y là tập hợp tất cả cỏc toỏn tử tuyến tớnh bị chặn từ X vào Y. Khi ủú với phộp cộng cỏc toỏn tử và phộp nhõn vụ hướng thụng thường: )+ ( ) A , ,+ = + ∀ ∈A B x x Bx A B L( ),X Y , ∈ Χx )+ ( ) ( )A ,λ λ= ∀ ∈A x x A L( ),X Y , ,λ∈ Χ ∈Κx Tập L( ),X Y là một khụng gian vectơ trờn trường Κ và với chuẩn ủược xỏc ủịnh như sau: { } ( ): , , ,= ∀ ∈ ≤ ∀ ∈A Inf M x X Ax M x A L X Y Thỡ L( ),X Y là một khụng gian ủịnh chuẩn, hay cũn cũn gọi là khụng gian cỏc toỏn tử tuyến tớnh bị chặn từ X vào Y. Đặc biệt khi Y = Κ ta viết ∗Χ thay cho L( ),X Y và gọi ∗Χ là khụng gian liờn hợp của khụng gian ủịnh chuẩn X. Mỗi phần tử của ∗Χ ủược gọi là một phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục. Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 12 1.2. KHễNG GIAN HILBERT 1.2.1. Khỏi niệm khụng gian tiền Hilbert ∗ Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một khụng gian vectơ trờn trường K, hàm g : E Eì → ℝ thỏa món: i ( ) ( ), , , , .g x y g y x x y E= ∀ ∈ ii ( ) ( ) ( ), , , , , ,g x y z g x z g y z x y z E+ = + ∀ ∈ . iii ( ) ( ), , , , ,λ λ λ= ∀ ∈ ∈Κg x y g x y x y E . iiii ( ) ( ), 0, , , 0g x x x E g x x x Eθ≥ ∀ ∈ = ⇒ = ∈ . Khi ủú g ủược gọi là một tớch vụ hướng trờn E, thường kớ hiệu là ,⋅ ⋅ ( ), .,.Ε ủược gọi là khụng gian tớch vụ hướng hay khụng gian tiền Hilbert. ∗ Nhận xột: i , , 0θ θ= =x x (θ là vectơ khụng trờn E ). Thật vậy: , 0 , 0 , 0θ = ⋅ = =x x x x x , , 0 0 , 0θ = ⋅ = =x x x x x . ii , , , , , ,λ à λ à+ = + ∀ ∈x y z x y x z x y z E . Thật vậy: , , , ,λ à λ à λ à+ = + = +x y z y z x y x z x = , ,λ à+y x z x = , ,λ à+x y x z 1.2.2. Bất ủẳng thức schwarz, chuẩn trờn khụng gian tiền Hilbert Kớ hiệu ,=x x x , với mọi ∈Εx thỡ ta cú: , , ,x y x y x y≤ ∀ ∈ Ε Bất ủẳng thức trờn ủược gọi là bất ủẳng thức Schwarz. Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 13 Chứng minh. Nếu θ=y thỡ , , 0,θ= = ∀ ∈Εx y x x và 0=y nờn hiển nhiờn bất ủẳng thức ủỳng. Nếu θ≠y , khi ủú 0 , ,α α α≤ + + ∀ ∈Κx y x y : 2 , , , , ,α α α α α+ + = + + +x y x y x x x y y x y y = 2 2 2 , , .α α α+ + + ⋅x y x x y y Vỡ ủẳng thức ủỳng với mọi α ∈Κ nờn ta cú thể chọn 2 , α − = x y y , khi ủú: 2 2 2 2 2 2 2 4 , , , 0 ≤ − − + ⋅ x y x y x y x y y y y Kộo theo 22 20 ,x y x y≤ ⋅ − hay 2 2 2,x y x y≤ ⋅ suy ra: ,x y x y≤ ⋅ Bõy giờ ta xột xem dấu " "= xảy ra khi nào?. Chỳng ta sẽ chứng minh dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi ,x y phụ thuộc tuyến tớnh. Thật vậy, giả sử x và y phụ thuộc tuyến tớnh, tức ,λ λ= ∈Κx y thỡ: ( )( )2, , ,λ λ λ λ= = = =x y y y y y y y y = λ = ⋅y y x y Ngược lại, giả sử dấu " "= xảy ra, tức cú: ,x y = ⋅x y Suy ra 2 , , ,x y x x y y= Từ ủú , , , ,x x y x x x y y= Hay , , , , 0x y y x y y x x− = ủỳng với mọi ∈Εx . Suy ra: , , 0− =x y y y y x Hay ,x y phụ thuộc tuyến tớnh. Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 14 ∗ Cụng thức ,=x x x là một chuẩn trờn khụng gian tớch vụ hướng E. Thật vậy: ∀ ∈Εx , , 0 , 0,≥ ⇒ = ≥ ∀ ∈Εx x x x x x . Và 0 , 0 , 0 θ= ⇔ = ⇔ = ⇒ = ∈Εx x x x x x ,∀ ∈Εx y , ta cú: 2 , , , , ,x y x y x y x x x y y x y y+ = + + = + + + = 2 22Re ,x x y y+ + Vỡ rằng ( ) ( )2 2, Re , Im , Re ,= + ≥x y x y x y x y nờn: 2 2 22 ,x y x x y y+ ≤ + + Mặt khỏc theo bất ủẳng thức Schwarz , ≤ ⋅x y x y ta cú: ( )22 22 2x y x x y y x y+ ≤ + + = + Kộo theo x y x y+ ≤ + Với mọi ,λ ∈Κ ∀ ∈Εx ta cú: 2 , , ,λ λ λ λ λ λ= = ⋅ = = ⋅x x x x x x x x Do vậy ⋅ xỏc ủịnh như trờn là một chuẩn trờn E và ( ),Ε ⋅ là một khụng gian ủịnh chuẩn. ∗ Nhận xột. Mọi khụng gian tớch vụ hướng ủều là khụng gian ủịnh chuẩn và chuẩn xỏc ủịnh như trờn ủược gọi là chuẩn sinh bởi tớch vụ hướng ,⋅ ⋅ . ∗ Đẳng thức hỡnh bỡnh hành ,∀ ∈Εx y : ( )2 2 2 22 + = + + −x y x y x y 1.2.3. Khỏi niệm khụng gian Hilbert ∗ Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi khụng gian Hilbert là khụng gian tớch vụ hướng ủầy ủủ (tức mọi dóy cơ bản ủều hội tụ trong nú). Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 15 1.2.3.2. Một số khụng gian Hilbert )+ Khụng gian tớch vụ hướng cỏc số phức ℂ , với tớch vụ hướng , ' 'z z zz= là khụng gian Hilbert. )+ Khụng gian ,ℂ ℝk k là những khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng ủược xỏc ủịnh lần lượt là:  ' 1 , ' = =∑ k j j j z z z z , ( ) ( )1,..., 1 ', ' ',...,= =kZ kz z z z z .  1 , = =∑ k i i i x y x y , ( ) 1,== i i kx x , ( ) 1,== i i ky y )+ Khụng gian [ ]2 ,a bL cỏc hàm số xỏc ủịnh và ủo ủược trờn [ ],a b và cú bỡnh phương moủun khả tớch trờn [ ],a b là khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng ủược xỏc ủịnh: ( ) ( ), = ∫ b a x y x t y t dt , [ ] 2 , , ∈ a bx y L . )+ Khụng gian 2l (cỏc dóy số thực hoặc phức ( )n nx thỏa món 2 1 ∞ = < ∞∑ n n x ) là khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng ủược xỏc ủịnh như sau: ( ) 1 , ∞ = =∑ n n n x y x y , ( ) ( ) 2,= = ∈n nn nx x y y l . 1.2.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn 1.2.4.1.Vectơ trực giao. Trong khụng gian Hilbert, nhờ tớch vụ hướng, ta cú thể ủịnh nghĩa khỏi niệm trực giao giống như trong khụng gian 3ℝ thụng thường. Ta núi hai vộctơ ,x y của một khụng gian Hilbert Η trực giao với nhau, và kớ hiệu ⊥x y nếu , 0=x y . 1.2.4.2. Một số tớnh chất ủơn giản )+ Nếu ⊥x y thỡ ⊥y x . Ta núi ⊥x x khi và chỉ khi θ=x ,vectơ θ trực giao với mọi vectơ. )+ Nếu 1 2, ,...,⊥ nx y y y thỡ ( )1 1 2 2 ...α α α⊥ + + + n nx y y y . Trường ĐH Hựng Vương Khoa Toỏn – Cụng nghệ 16 )+ Nếu ( ),⊥ → → ∞n nx y y y n thỡ ⊥x y . )+ Nếu tập hợp Μ trự mật trong H thỡ M⊥ gồm một phần tử duy nhất là θ , nghĩa là θ⊥ Μ ⇒ =x x , trong ủú M⊥ là phần bự trực giao của Μ , tức: { }:⊥Μ = ∈ ⊥ Μx H x . Thật vậy, vỡ M trự mật trong H nờn m