Đề tài Một số nội dung của lí thuyết xác suất trong chương trình toán trung học phổ thông

5 mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Thời đại ngày nay là thời đại công nghệ thông tin hiện đại cùng với sự phát triển nh− vũ bo của các ngành khoa học kỹ thuật vì vậy sự nghiệp giáo dục cần phải đáp ứng những đòi hỏi của cách mạng khoa học công nghệ. Đóng góp cho sự phát triển đó có một phần không nhỏ của toán học. Toán học nảy sinh từ thực tiễn và ứng dụng rộng ri trong thực tiễn nhất là toán ứng dụng, trong các loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống kê. Nó đ−ợc bắt đầu từ những th− từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại ng−ời pháp là Pa-xcan(1623-1662) và Phec-ma(1601-1665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc pháp Đờmê-rê đặt ra cho Pa-xcan. Năm 1812 nhà toán học pháp La- plaxơ đ dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối t−ợng quan trọng nhất của tri thức loài ng−ời”. Đặc biệt là vào năm 1933 Kolmogrov đ đ−a ra một hệ tiên đề để xây dựng xác suất thống kê thành một khoa học chính xác và trừu t−ợng. Kể từ đó xác suất thống kê trở thành ngành toán học đa diện gồm cả chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng. Ngày nay lí thuyết xác suất đ trở thành ngành toán học đ−ợc ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học x hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, ... Không những thế nó còn đóng góp cho sự hình thành và phát triển thế giới quan khoa học vì vậy xác suất thống kê đ đ−ợc đ−a vào dạy cho học sinh THPT ở lớp 10, lớp 11. Việc hiểu và vận dụng những kiến thức đ−ợc trang bị trong tr−ờng Đại học vào công tác giảng dạy sau khi ra tr−ờng là một trong những yêu cầu và là nhiệm vụ của ng−ời sinh viên khi đang ngồi trên ghế tr−ờng đại học. Ngoài việc đ−ợc học những kiến thức do giảng viên cung cấp, bản thân mỗi sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên cứu để thấy đ−ợc mối liên hệ giữa kiến thức ở bậc học đại học và những kiến thức đ−ợc giảng dạy sau này ở tr−ờng phổ thông. Từ các tính chất, định lý đ−ợc học trong tr−ờng phổ thông tổng quát lên còn đúng hay không? hay các tính chất, định lý đ−ợc học ở tr−ờng đại học đặc biệt hoá sẽ cho ta cái gì? Việc liên hệ giữa kiến thức ở tr−ờng THPT với kiến thức ở tr−ờng đại học để phục vụ cho công tác giảng 6 dạy sau này là việc làm cần thiết của mỗi sinh viên. Do đó tôi quyết định chọn đề tài “Một số nội dung của lí thuyết xác suất trong ch−ơng trình Toán THPT". 2. Mục đích nghiên cứu - Mục tiêu khoa học công nghệ: + Hệ thống hoá một số nội dung của lý thuyết xác suất thống kê ở tr−ờng đại học. + Xây dựng, chọn lọc và tìm mối liên hệ giữa nội dung xác suất thống kê trong tr−ờng đại học với tr−ờng THPT. - Sản phẩm khoa học công nghệ: Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán tr−ờng THPT và sinh viên toán tr−ờng Đại học Hùng V−ơng . 3. Đối t−ợng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu một số nội dung lí thuyết của xác suất thống kê và sự thể hiện của nó trong ch−ơng trình toán THPT. - Nghiên cứu một số bài tập cơ bản và nâng cao . 4. Ph−ơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo về xác suất thống kê . - Ph−ơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy của giáo viên h−ớng dẫn và các giảng viên bộ môn toán khoa Toán - Công nghệ. - Ph−ơng pháp tổng kết kinh nghiệm 5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán THPT nhất là với sinh viên s− phạm toán thấy đ−ợc mối liên hệ giữa kiến thức ở ch−ơng trình Đại học với kiến thức ở tr−ờng Phổ thông phục vụ cho công tác giảng dạy sau này. Với bản thân việc nghiên cứu giúp em bổ sung hoàn thiện những kiến thức đ học về xác suất thống kê đ học đồng thời nâng cao khả năng kiến thức nghiệp vụ s− phạm trong quá trình học tập. 7 6. Bố cục của khoá luận Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài gồm có 3 ch−ơng: Ch−ơng I: Biến cố và xác suất của biến cố 1.1. Biến cố 1.1.1. Một số khái niệm mở đầu 1.1.2. Các phép toán về biến cố 1.2. Xác suất của biến cố 1.2.1. Nhắc lại một số kiến thức về tổ hợp 1.2.2. Các định nghĩa về xác suất 1.2.3. Tính chất của xác suất 1.2.4. Xác suất có điều kiện 1.2.5. Liên hệ giữa xác suất và sự độc lập của các biến cố 1.2.6. Các quy tắc tính xác suất Ch−ơng II: Biến ngẫu nhiên 2.1. Biến ngẫu nhiên 2.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên 2.1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2.2. Các số đặc tr−ng của biến ngẫu nhiên 2.2.1. Kỳ vọng 2.2.2. Ph−ơng sai 2.2.3. Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng và ph−ơng sai 2.2.4. Một số số đặc tr−ng khác 2.3. Các bất đẳng thức moment 2.3.1 Định nghĩa moment 2.3.2. Các bất đẳng thức moment Ch−ơng III: Bài tập 3.1. Xác suất cơ bản 3.2.Các qui tắc tính xác suất 3.3. Đánh giá xác suất, số lần 3.4. Xác suất điều kiện 3.5. Xác suất mở rộng 3.6. Bất đẳng thức xác suất 3.7. Biến ngẫu nhiên rời rạc 8 Ch−ơng I biến cố và xác suất của biến cố 1.1. biến cố 1.1.1. Một số khái niệm mở đầu 1.1.1.1. Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên đ−ợc hiểu là thực hiện một nhóm điều kiện nào đó để quan sát một hiện t−ợng nào đó có thể xảy ra hay không xảy ra. Các kết quả của phép thử đ−ợc gọi là các kết quả có thể. Tập hợp tất cả các kết quả có thể trong phép thử ngẫu nhiên là không gian các biến cố sơ cấp ứng với mỗi phép thử ngẫu nhiên đó. Mỗi kết quả có thể gọi là một biến cố sơ cấp. Nhận xét: ở tr−ờng THPT, không gian các biến cố sơ cấp chính là không gian mẫu, kí hiệu là: Ω. 1.1.1.2. Biến cố a, Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi phép thử ngẫu nhiên đ−ợc thực hiện. Kí hiệu: A, B, C.... b, Biến cố chắc chắn: Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử đ−ợc thực hiện. Kí hiệu: Ω. c, Biến cố không thể có: Biến cố không thể có là biến cố nhất định không xảy ra khi phép thử đ−ợc thực hiện. Kí hiệu: ỉ. d, Mối quan hệ giữa các biến cố: - Biến cố thuận lợi: Biến cố A đ−ợc gọi là thuận lợi (thích hợp) đối với biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra. Kí hiệu: A ⊂ B. - Biến cố bằng nhau: Hai biến cố A và B đ−ợc gọi là bằng nhau nếu biến cố A là thuận lợi đối với biến cố B và biến cố B là thuận lợi đối với biến cố A: A = B ⇔ A B B A ⊂  ⊂ 9 1.1.2. Các phép toán về biến cố 1.1.2.1. Các phép toán về biến cố a, Phép giao: Giao của n biến cố A1, A2, ..., An là một biến cố nó xảy ra khi 1 2 nA , A , ..., A đồng thời xảy ra. Kí hiệu: n i i 1 A = ∩ Đặc biệt: Khi n = 2, giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi A và B cùng xảy ra. Kí hiệu: AB hoặc A∩B b, Phép hợp: Hợp của n biến cố A1, A2,..., An là một biến cố nó xảy ra khi ít nhất một trong n biến cố A1, A2, ..., An xảy ra. Kí hiệu: n i i 1 A = ∪ Đặc biệt: Khi n=2, hợp của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi A hoặc B xảy ra. Kí hiệu: A ∪ B c, Hiệu của hai biến cố: Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi A xảy ra và B không xảy ra. Kí hiệu: A \ B d, Biến cố xung khắc: Hai biến cố A, B đ−ợc gọi là xung khắc nếu A, B không cùng xảy ra khi phép thử đ−ợc thực hiện. Hay A ∩ B = ỉ e, Biến cố đối lập: A, B là hai biến cố xung khắc và hợp của hai biến cố A và B là biến cố chắc chắn thì A đ−ợc gọi là biến cố đối lập của biến cố B. A, B đối lập A B A B ∩ = ∅ ⇔  ∪ = Ω Ký hiệu biến cố đối lập của biến cố A là Ac hoặc A 1.1.2.2. Một số tính chất của phép toán về biến cố a, (Ac)c = A. b, A∩Ac = ỉ. c, A∩B = B∩A. d, (A∩B)∩C = A∩ (B∩C). e, A ∪ B = B ∪ A. f, ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). g, A ∪ Ac = Ω. h, A ∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A ∪ C). 10 i, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪ (A ∩ C). j, A ⊂ B ⇒Bc ⊂ Ac. k, A ∪ B = A ∪ (B ∩ Ac). l, ( n i i 1 A = ∩ )c = n i 1= ∪ ( Ai)c. m, ( n i i 1 A = ∪ )c = 1 n i= ∩ (Ai)c. Đặc biệt Khi n = 2 ta có : (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc. 1.2. Xác suất của biến cố 1.2.1. Nhắc lại một số kiến thức về tổ hợp 1.2.1.1. Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Một dy tất cả n phần tử của X sắp xếp theo một thứ tự nhất định, gọi là một hoán vị của X. Số các hoán vị của X là : Pn = n!. 1. 2.1.2. Chỉnh hợp lặp : Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi dy có độ dài k các phần tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định, gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của X. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là : knF = nk. 1.2.1.3. Chỉnh hợp không lặp: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi dy gồm k phần tử khác nhau của X ( k ≤ n ) sắp xếp theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử của X. (Ta qui −ớc gọi chỉnh hợp không lặp là chỉnh hợp). Số chỉnh hợp (không lặp ) chập k của n phần tử là: knA = n! (n k)!− . 1.2.1.4. Tổ hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử và số tự nhiên k ( k ≤ n ). Ta gọi mỗi tập con gồm k phần tử của X là một tổ hợp chập k của n phần tử của X. Số tổ hợp chập k của n phần tử của X là: knC = n! k!(n k)!− . 11 1.2.2. Các định nghĩa về xác suất 1.2.2.1. Định nghĩa 1: Xác suất là một con số không âm biểu thị khả năng xuất hiện khách quan của biến cố đó. Kí hiệu: P(A). 1.2.2.2. Định nghĩa 2 (theo quan điểm thống kê): Giả sử A là biến cố liên quan tới phép thử ngẫu nhiên đang xét. Khi đó nếu ta tiến hành n lần phép thử, biến cố A xuất hiện m lần thì ng−ời ta gọi tỉ số m n là tần suất xuất hiện biến cố A. Với mỗi biến cố ngẫu nhiên A, số p gọi là xác suất của biến cố A khi và chỉ khi các tần suất xuất hiện biến cố A sai khác p không đáng kể, nó càng gần p khi số lần thử nghiệm càng lớn. 1.2.2.3. Định nghĩa 3 (theo quan điểm hình học): Giả sử một điểm rơi ngẫu nhiên vào một miền D, A là miền con của D. Khi đó xác suất để điểm rơi vào miền A là: “ Số đo” đ−ợc hiểu: D là đoạn thẳng thì số đo là độ dài D là hình phẳng thì số đo là diện tích D là hình không gian thì số đo là thể tích 1.2.2.4. Định nghĩa 4 (theo quan điểm cổ điển): Nếu A là biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một không gian biến cố sơ cấp gồm n(Ω ) biến cố cùng khả năng xuất hiện thì tỉ số P(A) = n(A) n( )Ω đ−ợc gọi là xác suất của A. Nhận xét - Trong ch−ơng trình THPT không gian biến cố sơ cấp chính là không gian mẫu Ω , n(Ω ) = Ω và n(A) = AΩ . Khi đó xác suất của A đ−ợc xác định bởi: P(A) = AΩ Ω P(A) = số đo A số đo D 12 - Định nghĩa cổ điển về xác suất có −u điểm cho phép ta tìm đ−ợc một cách chính xác giá trị của xác suất. - Định nghĩa cổ điển về xác suất có hạn chế chỉ áp dụng đ−ợc khi số kết cục trong phép thử là hữu hạn. - Định nghĩa hình học về xác suất có thể xem sự mở rộng t−ơng ứng của định nghĩa cổ điển về xác suất, khắc phục hạn chế định nghĩa cổ điển về xác suất. - Định nghĩa thống kê về xác suất có −u điểm lớn nó không đòi hỏi những điều kiện áp dụng nh− đối với định nghĩa cổ điển, nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố. - Định nghĩa thống kê về xác suất có hạn chế chỉ áp dụng đ−ợc đối với các hiện t−ợng ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính ổn định và ta phải tiến hành trên thực tế một số đủ lớn các phép thử . Song trong thực tế nhiều bài toán rất khó hoặc không thể tiến hành nhiều phép thử để dựa vào đó mà tính xác suất của một biến cố. Để khắc phục hạn chế của các định nghĩa về xác suất ng−ời ta sử dụng định nghĩa xác suất theo tiên đề của Kolmogorov. 1.2.2.5. Định nghĩa 5: Định nghĩa theo hệ tiên đề của Kolmogorov. a, Hệ tiên đề * Có tập Ω ≠ ỉ gọi là không gian biến cố sơ cấp. Mỗi ω ∈ Ω đ−ợc gọi là biến cố sơ cấp. * Có một б - đại số A các tập con của Ω. Mỗi A ∈A đ−ợc gọi là một biến cố ngẫu nhiên. * Với mỗi A ∈A có một số thực P(A) ≥ 0 gọi là xác suất của A. * P(Ω) = 1. * Nếu { }iA ;i 1≥ là họ vô hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi một xung khắc thì: P ( i i 1 A ∞ = ∑ ) = i i 1 P(A ) ∞ = ∑ (tiên đề б - cộng tính) Bộ ba (Ω, A , P) đ−ợc gọi là không gian xác suất Kolmogorov. 13 b, Mô hình rời rạc của lý thuyết xác suất Giả sử Ω = (ω 1, ω 2, ..., ω n) là tập hợp bất kỳ có không quá đếm đ−ợc các phần tử, lấy A là tập gồm mọi tập con của Ω Lấy một dy số không âm p1, p2, ..., pn thoả mn: p1 + p2 + ... + pn = 1 Đặt P(A )= i i I p ∈ ∑ (1) Khi đó (Ω, A , P) thoả mn các tiên đề của hệ tiên đề Kolmogorov Không xác suất đó đ−ợc gọi là mô hình rời rạc của lý thuyết xác suất c, Mối liên quan giữa định nghĩa cổ điển của xác suất và định nghĩa tiên đề của xác suất Đặc biệt, giả sử Ω = (ω 1, ω 2, ..., ω n) là tập hữu hạn Lấy A là tập gồm mọi tập con của Ω, A∈ A đ−ợc gọi là biến cố Đặt p1 = p2 = ... = pn = 1 n (2) Khi đó theo (1), P(A) = i i I p ∈ ∑ = n(A) 1 n = n(A) n (3) Đây chính là định nghĩa cổ điển của xác suất Hơn nữa từ (2) và (3) suy ra : P(ω 1) = P(ω 2) = ... = P(ω n) = 1 n Điều đó nói rằng các kết quả của phép thử là đồng khả năng xuất hiện. Nh− vậy định nghĩa cổ điển của xác suất là tr−ờng hợp riêng của định nghĩa tiên đề của xác suất 1.2.3. Tính chất của xác suất 1.2.3.1. Mệnh đề 1 Cho không gian xác suất (Ω, A , P) ta có: i, P(ỉ) = 0. ii, Nếu A1, A2, ..., An là họ hữu hạn các biến cố ngẫu nhiên đôi một xung khắc thì: P ( n i i 1 A = ∑ ) = n i i 1 P(A ) = ∑ 14 Đặc biệt Khi n = 2: A, B là hai biến cố xung khắc thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Khi n = 3: A, B, C là ba biến cố đôi một xung khắc thì: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) Đây chính là qui tắc cộng xác suất trong ch−ơng trình THPT 1.2.3.2. Mệnh đề 2 Cho không gian xác suất (Ω, A , P): i, Ai là họ biến cố bất kì thì: P ( n i i 1 A = ∪ ) = n i i 1 P(A ) = ∑ - i j 1 i, j n P(A A ) ≤ ≤ ∩∑ + ...+ (-1)n-1 P( n i i 1 A = ∩ ). ii, Nếu A⊂ B thì P(A) ≤ P(B). iii, 0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀ A ∈ A ; P(Ω) = 1, P(ỉ) = 0, và P( Α ) = 1 - P(A) Trong tính chất i, với n = 2 ta có : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB). (*) Ta có thể chứng minh trực tiếp tính chất (*) Thật vậy với A,B ∈ A ⇒ A ∪ B∈ A ⇒A ∪ B = A ∪ B Α Suy ra: P(A ∪ B) = P(A) + P(B Α ). Mà: B = B ∩Ω = B ∩ ( A ∪ Α ) = BA ∪ B Α . Suy ra: P(B) = P(BA) + P(B Α ) ⇒ P(B Α ) = P(B) - P(AB) ⇒ P(A∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB). Đặc biệt Khi A, B xung khắc, tức AB = ỉ ⇒P(AB) = 0. Suy ra: P(A∪ B) = P(A) + P(B). 1.2.3.3. Mệnh đề 3 Trong không gian xác suất (Ω, A , P) cho họ biến cố ngẫu nhiên { }nA ;n 1≥ thoả mn điều kiện: i, 1 2 nA A ... A ...⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ii, k k 1 A ∞ = ∩ = ỉ Khi đó: P(An) → 0 ( n →∞ ), ( tính liên tục của xác suất). 15 1.2.4. Xác suất có điều kiện 1.2.4.1. Định nghĩa - Xét không gian xác suất (Ω, A , P). Giả sử B là biến cố ngẫu nhiên có P(B)> 0, A∈ A. Đại l−ợng: P(A/B) = P(A B) P(B) ∩ đ−ợc gọi là xác suất của A với điều kiện B - Nhóm đầy đủ các biến cố: Tập các biến cố: A1, A2, ..., An đ−ợc gọi là nhóm (hệ) đầy đủ các biến cố nếu chúng thoả mn đồng thời hai điều kiện: +) Ai ∩ Aj = ỉ ( i≠j, i, j = 1,n ) +) n i i 1 A = ∪ = Ω ( Từ định nghĩa ta luôn có A, A là nhóm đầy đủ các biến cố). 1.2.4.2. Nhận xét - Trong định nghĩa cổ điển, ta có: P(A/B) = n(A B) n(B) ∩ nghĩa là xác suất điều kiện P(A/B) có thể xem nh− xác suất của A xét trong không gian B. Đặc biệt + A⊂ B ⇒ P(A/B) = P(A B) P(B) ∩ = P(A) P(B) . + B ⊂ A ⇒ P(A/B) = P(A B) P(B) ∩ = P(B) P(B) = 1. Mệnh đề 1 ( Công thức nhân xác suất ) Giả sử {A1, A2, ..., An}là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho: P(A1A2...An) > 0, khi đó: P(A1A2...An) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2)... P(An/ A1A2...An-1). Mệnh đề 2 ( Công thức xác suất toàn phần ) Giả sử {B1, B2, ..., Bn} là họ đầy đủ các biến cố ngẫu nhiên có xác suất d−ơng. Khi đó: Với mọi A ∈ A , ta có: P(A) = n i i i 1 P(B )P(A / B ) = ∑ 16 Mệnh đề 3 ( Công thức Bayes ) Nếu A là biến cố có xác suất d−ơng, { Bi, i = 1,n } là hệ đầy đủ các biến cố có xác suất d−ơng thì với mỗi j (j =1,n ), ta có: P(Bj /A) = j j n i i i 1 P(B )P(A / B ) P(B )P(A / B ) = ∑ 1.2.5. Liên hệ giữa xác suất và sự độc lập của các biến cố 1.2.5.1. Định nghĩa: Xét không gian xác suất (Ω, A , P). Giả sử B là lớp nào đó các biến cố ngẫu nhiên (B ⊂ A). Ta nói lớp B độc lập nếu xác suất của một giao hữu hạn bất kỳ các biến cố trong B bằng tích các xác suất của các biến cố đó. 1.2.5.2. Nhận xét - Các biến cố A1, A2, ..., An đ−ợc gọi là độc lập từng đôi nếu: P(AiAj) = P(Ai)P(Aj) , ∀ i,j = 1,n ; i ≠ j - Để xét tính độc lập của các biến cố nhiều khi ng−ời ta không căn cứ vào biểu thức định nghĩa mà căn cứ vào điều kiện thực tế của bài toán. - Trong ch−ơng trình THPT sự độc lập của hai biến cố đ−ợc định nghĩa: Hai biến cố A và B đ−ợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra của biến cố này không làm ảnh h−ởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Thực chất nội dung chính là A, B là hai biến cố độc lập với nhau nếu: P(A / B) P(A) P(B/ A) P(B) =  = Mệnh đề 1: Nếu {A1, A2, ..., An} là họ biến cố độc lập, {j1, j2, ..., jn} là một hoán vị bất kỳ của (1, 2, ..., n). Khi đó họ {A’j1, A ’ j 2, ..., A ’ jn } ở đây A ’ ji = Aji hoặc A c ji cũng là họ độc lập. 17 Đặc biệt: Khi n=2 nếu {A, B} độc lập thì {A, B }; {A , B}; { A , B } cũng độc lập Khi n=3 nếu {A, B, C} độc lập thì {A , B, C}; {A, B , C}; {A, B, C }; { A , B , C}; {A, B , C }; { A , B, C }cũng độc lập Mệnh đề 2: Giả sử {ζ i, i=1,n } là họ các đại số con độc lập của A , B = б(ζi), i= 1,n là họ các б - đại số cảm sinh t−ơng ứng, khi đó họ {B i , i = 1,n } là độc lập. 1.2.6. Các quy tắc tính xác suất 1.2.6.1. Quy tắc cộng (Định lý cộng xác suất): Xác suất của hợp các biến cố xung khắc từng đôi A1, A2, ..., An bằng tổng xác suất của các biến cố đó: P ( n i i 1 A = ∪ ) = n i i 1 P(A ) = ∑ . Đặc biệt: Khi n=2 A, B là hai biến cố xung khắc (ΩA ∩ΩB = ỉ) thì: P(A∪ B) = P(A) + P(B). Khi n=3 A, B, C là ba biến cố độc lập toàn phần thì: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) +P(C) Ta luôn có: A, A xung khắc nên: P(Ω) = P(A ∪ A ) = P(A) + P( A ) ⇔ P( A ) = 1 - P(A) 1.2.6.2. Quy tắc nhân ( Định lý nhân xác suất) Xác suất của giao n biến cố độc lập toàn phần bằng tích các xác suất thành phần: P( n i i 1 P = ∩ ) = n i i 1 P(A ) = ∏ . Đặc biệt: Khi n=2 A, B là hai biến cố độc lập thì: P(A∩B) = P(A)P(B). Khi n=3: A, B, C là ba biến cố độc lập thì : P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C). Đây chính là qui tắc nhân xác suất trong ch−ơng trình THPT 18 1.2.6.3. Hệ quả của định lý cộng và nhân xác suất a, Hệ quả 1: Xác suất của hợp n biến cố không xung khắc đ−ợc xác định bằng công thức: P ( n i i 1 A = ∪ ) = n i i P(A )∑ - i j i j P(A A ) 〈 ∑ + ... + (-1)n-1P(A1A2...An). b, Hệ quả 2: Xác suất của giao n biến cố đ−ợc xác định bằng công thức: P( n i i 1 A = ∩ ) = n i i 1 P(A ) = ∑ - i j i j P(A A ) 〈 ∪∑ + ... + (-1)n-1P(A1 ∪A2∪ ... ∪ An) c, Hệ quả 3: Xác suất của hợp n biến cố không xung khắc và độc lập toàn phần với nhau bằng một trừ đi tích xác suất của các biến cố đối lập với các biến cố đó: P ( n i i 1 A = ∪ ) = 1 - n i i 1 P(A ) = ∏ . Đặc biệt: Khi n = 2: +) A, B là hai biến cố không xung khắc khi đó xác suất của hợp hai biến cố bằng tổng xác suất của hai biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB). +) A, B là hai biến cố, xác suất của biến cố giao đ−ợc xác định: P(AB) = P(A) + P(B) - P(A∪B). +) A, B là hai biến cố độc lập toàn phần với nhau. Khi đó: P(A∪B) = 1 - P( A )P( B ). Khi n =3: +) A, B, C là ba biến cố không xung khắc khi đó xác suất của hợp ba biến cố đ−ợc xác định: P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) 19 +) A, B, C là ba biến cố, xác suất của biến cố giao đ−ợc xá