Đề tài Một số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập N

Phßng GD - §T huyÖn Thanh Oai Tr­êng THCS Cao Viªn ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẬP N Tác giả: VŨ THỊ LAN Giáo viên : Trường THCS Cao Viên Thanh Oai - Hà Nội n¨m häc 2009 -2010 Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp – Tù do – H¹nh phóc -----------o0o----------- SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ và tên: VŨ THỊ LAN Ngày tháng năm sinh: 06/04/1980 Năm vào ngành: 2002 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Cao Viên Trình độ chuyên môn: Đại học toán Hệ đào tạo: Chính quy Bộ môn giảng dạy: M«n to¸n Ngo¹i ng÷: Anh v¨n Tr×nh ®é chÝnh trÞ: S¬ cÊp Khen th­ëng: Gi¸o viªn giái cÊp c¬ së n¨m häc 2002 - 2003 Gi¸o viªn giái cÊp c¬ së n¨m häc 2003 - 2004 Gi¸o viªn giái cÊp c¬ së n¨m häc 2006 - 2007 Gi¸o viªn giái cÊp c¬ së n¨m häc 2007 - 2008 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm cÊp tØnh n¨m häc 2003 - 2004 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm cÊp thµnh phè n¨m häc 2007 - 2008 PHẦN THỨ NHẤT MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: a. Cơ sở lí luận: Toán học là một môn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, nó là một môn học không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả trong cuộc sống hàng ngày. Một nhà toán học đã nói: “Toán học được xem như là một khoa học chứng minh”. Trong các môn học phổ thông toán học được coi như là một môn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy được năng lực bản thân, góp phần tạo điều kiện để các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao phát triển để các em có hứng thú say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn đặt ra cho mình. Tuy nhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học, làm cho các em trở nên yêu thích toán hơn từ đó các em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời đại mới. b. Cơ sở thực tiễn: Là một giáo viên dược phân công giảng dạy lớp 6A, 6C với nhiều đối tượng học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm của mỗi người giáo viên. Qua giảng dạy chương trình toán lớp 6 tôi nhận thấy đề tài về phép chia hết là một đề tài thật lý thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở môn số học lớp 6. Việc giải bài toán chia hết là một dạng toán hay, với mong muốn cung cấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về chia hết, giúp các em làm bài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy, do đó trong năm học này tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải các bài toán về chia hết trong tập N” để thực hiện trong chương trình toán lớp 6. 2. Mục đích nghiên cứu: - Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán về phép chia hết. - Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán về phép chia hết. - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nhiệm vụ khái quát: Nêu những phương pháp giải bài toán chia hết theo chương trình mới. - Nhiêm vụ cụ thể: - Tìm hiểu thực trạng học sinh. - Những phương pháp thực hiện. - Những chuyển biến sau khi áp dụng. - Bài học kinh nghiệm. 4. Đối tượng nghiên cứu. - Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về phép chia hết trong tập N, trong SGK toán 6 tập 1, qua định hướng đổi mới phương pháp dạy toán 6. - Đối tượng khảo sát: HS lớp 6A, 6C trường THCS Cao Viên. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo. - Phương pháp kiểm tra, thực hành. - Phương pháp phát vấn, đàm thoại nghiên cứu vấn đề. - Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và của đồng nghiệp khi dạy phần “phép chia hết”. PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG I. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. I.1. Đặc điểm tình hình lớp: Lớp 6A, 6C có số lượng học sinh không đồng đều về mặt nhận thức gây khó khăn cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp. Nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở bị hạn chế và ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức và sự phát triển tư duy của các em. Đa số các em hay thoả mãn trong học tập, các em cho rằng chỉ cần học thuộc lòng các kiến thức trong SGK là đủ. Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới, hầu hết các em đều hấp tấp khi giải các bài tập dạng này. VD: Lời giải của em Lê Thị Thu - Lớp 6A (Bài 85 trang 36 – SGK NXBGD – 2002) Áp dụng tính chất chia hết xét xem tổng (560 + 18 + 3) có chia hết cho 7 không? HS giải: Ta có 560 chia hết cho 7 18 không chia hết cho 7 3 không chia hết cho 7 nên (560 + 18 + 3) không chia hết cho 7. Lời giải đúng: Ta có 560 7 (18 + 3) 7 Suy ra (560 + 18 + 3) 7 (Học sinh mắc sai lầm do chưa hiểu rõ tính chất chia hết: Nếu trong một tổng có 2 số hạng không chia hết cho 1 số thì chưa thể kết luận được tổng đó có chia hết cho số đó hay không) Qua một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản và thu được kết quả như sau: + Lớp 6A: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 50%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 30%. + Lớp 6C: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 85%, số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm khoảng 10%. I.2. Nguyên nhân: Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự giác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học còn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức toán học, không tự ôn luyện thường xuyên một cách hệ thống, không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách nâng cao, sách tham khảo, còn hiện tượng dấu dốt không chịu học hỏi bạn bè, thầy cô. Đứng trước thực trạng trên tôi thấy cần phải làm thế nào để khắc phục tình trạng trên nhằm nâng cao chất lượng học sinh, làm cho học sinh thích học toán hơn. Vậy tôi thiết nghĩ đề tài của tôi nghiên cứu về vấn đề này là bước đi đúng đắn với tình trạng và sức học của học sinh hiện nay. II. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. Để đạt được hiệu quả khi giải các bài toán nói chung và giải các bài toán về chia hết nói riêng, tôi đã rèn cho học sinh ghi nhớ khái niệm, công thức, định nghĩa, quy tắc để áp dụng giải một số bài toán dạng này. II.1. TRƯỚC TIÊN HỌC SINH PHẢI NẮM VỮNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH CHẤT, DẤU HIỆU CHIA HẾT. 1. Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b0), nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b = x. 2. Tính chất của quan hệ chia hết. + Số 0 chia hết cho moị số b 0. + Số a chia hết cho a với mọi a 0. + Nếu a chia hết cho bvà b chia hết cho c thì a chia hết cho c. + Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b. + Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) =1 thì a chia hết cho b.c + Nếu a .b chia hết cho m và (b, m) = 1 thì a chia hết cho m. + Nếu a.b chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n + Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho m thì (ab) chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m và b không chia hết cho m thì (ab) không chia hết cho m. + Nếu a chia hết cho m thì chia hết cho m (nN). +Nếu a chia hết cho b thì chia hết (nN). 3. Các dấu hiệu chia hết. a. Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 chữ số tận cùng của số đó là số chẵn. b. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của số đó bằng 0 hoặc 5. c. Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9). Môt số chia hết cho 3 (hoặc 9) tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9). Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia 3 (hoặc 9) dư bấy nhiêu và ngược lại. d. Dấu hiệu chia hết cho 4(hoặc 25). Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25). e. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc125). Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125). f. Dấu hiệu chia hết cho 11. Một số chia hết cho 11 hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11. Sau khi học sinh đã nắm chắc được lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là vô cùng quan trọng, do vậy người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán như nhà toán học Pôlia đã nói “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh”. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng lại ở những bài tập SGK mà tôi muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển hình và một số phương pháp giải các bài tập đó. II.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT 1. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết. Để chứng minh số a chia hết cho số b (b0) ta biểu diễn a dưới dạng tích, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). Bài 1: Cho nN, chứng minh rằng (5n)chia hết cho 125 Giải : Ta có : (5n) = 5. n= Vậy (5n)chia hết cho 125. Bài 2: Chứng minh số chia hết cho 143. Giải: Ta có: = 1001.= 7.11.13. =143.(7) 143. Vậy chia hết cho 143. Bài 3: Chứng minh rằng: chia hết cho 6. Giải: Ta có 2. Phưong pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết. * Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu. - Để chứng minh a chia hết cho b 0 ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b. - Để chứng minh a không chia hết cho b 0 ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh có một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b. Bài 1: Chứng minh rằng: Tổng của 3 số lẻ liên tiếp chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6. Giải: Gọi 3 số lẻ liên tiếp là: 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (nN) Tổng của 3 số đó là: a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n+ 9 = 6n + 6 + 3 Suy ra a chia hết cho 3 (vì 3 số hạng của a đều chia hết cho 3). Mặt khác: 6n 6 và 6 6 nhưng 3 không chia hết cho 6 Do đó a không chia hết cho 6. Vậy tổng của 3 số lẻ liên tiếp chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6. Bài 2: Tìm số tự nhiên n sao cho: a. n + 2 chia hết cho n – 1. b. 2n + 7 chia hết cho n+1. Giải: Căn cứ vào tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có thể rút ra phương pháp chung để giải dạng này dựa vào nhận xét sau: Nếu A B thì (mA + nB) hoặc (mA - nB) B (m, n) a) Vì (n + 2) (n – 1) suy ra [(n+ 2) – (n – 1)}] (n – 1) Hay 3(n – 1) Do đó (n – 1) Ư(3) = {1 ; 3} + Nếu n – 1 = 1 thì n = 2 + Nếu n – 1 = 3 thì n = 4 Vậy với n = 2; 4 thì (n+2) (n – 1) b) Vì (2n + 7) (n + 1) suy ra [( 2n + 7) – 2(n + 1)] (n + 1) hay 5 (n + 1) Do đó (n+ 1) Ư(5) = {1 ; 5} + Nếu n+ 1 = 1 thì n = 0 + Nếu n + 1 = 5 thì n = 4 Vậy với n = 0; 4 thì (2n + 7) (n + 1) Bài 3: Chứng minh tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. Giải: Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: n; n + 1; n + 2 Tổng của 3 số tự nhiên đó là: n + (n + 1) + (n + 2) = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + 3 chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng). Từ bài tập này giáo viên có thể đưa ra tình huống: Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n không? Qua đó gợi cho học sinh trí tò mò đưa ra tình huống có vấn đề cần giải quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh qua bài tập sau: Bài 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không? Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: n; n + 1; n + 2; n + 3 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = (n + n + n + n) + (1+ 2 +3) = 4n + 6 Ta có: 4n chia hết cho 4 6 không chia hết cho 4 Suy ra (4n + 6) không chia hết cho 4 Vậy tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc chia hết cho n. * Dùng tính chất chia hết của một tích. a. Để chứng minh số a chia hết cho số b (b0) ta có thể biểu diễn số b dưới dạng 1 tích b = m.n + Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh am và a n lúc đó a m.n tức là ab + Nếu (m, n) 1 thì ta biểu diễn số a thành tích a = aarồi chứng minh am; an thì aa m.n tức là a b Bài 5: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là: 2n, 2n + 2. Tích của 2 số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1). Vì n và n+ 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n+ 1) 2. Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n+1) (4.2) Hay 4n.(n+1) 8. Suy ra 2n.(2n + 2) 8. Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 Bài 6: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị của nó. Giải: Gọi số phải tìm là = 10a + b (1 9) Theo đề bài ta có 10a + b = 9b hay 10a = 8b Suy ra 5a = 4b (1) Suy ra 4b5 mà (4, 5) = 1 nên b 5 Vì (1 9) nên b = 5 Thay b = 5 vào (1) ta được a = 4. Vậy số phải tìm là 45. * Vận dụng dấu hiệu chia hết liên quan đến các số nguyên tố, các số nguyên tố cùng nhau. + Nếu tích ab m mà (b, m) =1 thì am. + Nếu a m; a n và (m, n) =1 thì a mn. + N ếu a p (p là số nguyên tố) thì a p. Bài 7: Cho a, b là các số tự nhiên, n 0, biết a 7. Chứng minh rằng: (a+ 98b) 49 Giải : Ta có a 7; mà 7 là số nguyên tố nên a 7. Suy ra a 7hay a 49 Mặt khác: 98b 49 nên (a+ 98b) 49 (tính chất chia hết của một tổng). 3. Phương pháp 3: Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9; 11;… hoặc có thể xét chữ số tận cùng khi chứng minh chia hết cho 2, cho5, cho 10. Bài 1: Cho nN .Chứng minh A = (3+7) 10 Giải: Ta có : có tận cùng là 1 (3+7) =.3+ 7 = Vậy A 10 Bài 2: Tìm các chữ x và y để 2; 3; 5 Giải : Để 2 và 5 thì y = 0 (1) 3 thì (4+1+x+5+y) 3 (10 + x + y) 3 Hay x + y = 2; 5 ; 8 (2) Từ (1) và (2) suy ra x = 2; 5 ; 8 Vậy với x = 2; 5; 8 và y = 0 thì 2; 3; 8 4. Phương pháp 4: Dùng định lý về phép chia có dư. Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p (có thể có số dư là một trong các số từ 0 đến p-1) Bài 1: Chứng minh rằng : a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4. Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: n; n+ 1; n+ 2 Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là: n(n + 1)(n + 2). Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư sau: 0; 1; 2 + Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 + Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên). n + 2 = 3k + 1+ 2 = (3k + 3) chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3. + Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên) n + 1 = 3k + 2+ 1 = (3k + 3) chia hết cho 3 n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3. Vậy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b) Chứng minh tương tự ta có: n(n + 1)(n +2)(n+ 3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Sau khi giải xong bài tập này giáo viên cho học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát. Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. Chú ý: Phương pháp này sử dụng khi chứng minh 1 biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có 1 chữ số. Khi chứng minh 1 biểu thức chia hết cho các số tự nhiên có 2 chữ số trở nên ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp đối với số dư. 5. Phương pháp 5: Vận dụng nguyên lý Đirichlê. Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh, chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có tháng sinh giống nhau. Giải: Một năm có 12 tháng, ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng đấy, nếu mỗi tháng có không quá 3 học sinh được sinh ra trong tháng đó thì số học sinh không quá 3.12 = 36 Mà lớp có 40 học sinh, như vậy còn thừa 4 học sinh. Vậy tồn tại 1 tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh. Bài 2: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kỳ tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 5. Giải: Một số bất kỳ chia cho 5 chỉ có 1 trong 5 số dư: 0; 1; 2; 3; 4; Vì có 6 số tự nhiên bất kỳ nên tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 5. Vậy hiệu của 2 số đó chia hết cho 5. *) Sau khi học sinh đã nắm vững được một số phương pháp trên, giáo viên có thể đưa ra một số dạng bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh khắc sâu kiến thức một cách có hệ thống. II.3. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT. 1. D¹ng1: T×m c¸c ch÷ sè ch­a biÕt cña mét sè. Bµi 1: T×m c¸c ch÷ sè a vµ b sao cho chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 3. * §Ó t×m ®­îc a vµ b häc sinh ph¶i thÊy ®­îc 2 dÊu hiÖu c¬ b¶n ®ã lµ sè ®ã chia hÕt cho 5 vµ cho 3 vµ sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3, 5 để tìm a, b. V× chia hÕt cho 5 nªn ch÷ sè tËn cïng b = 0 hoÆc b = 5 (1) V× chia hÕt cho 3 nªn suy ra (1 + 9 + a + b) 3 (10 + a + b) 3 a + b = 2; 5; 8 (2) Từ (1) vµ (2) suy ra a = 2; 5; 8 vµ b = 0 hoặc a = 0; 3 vµ b = 5 Vậy với a = 2; 5; 8 vµ b = 0 hoặc a = 0; 3 vµ b = 5 thì chia hết cho 5 Bµi 2: Ch÷ sè a lµ bao nhiªu ®Ó võa chia hÕt cho 3 võa chia hÕt cho 8. (Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng dấu hiệu chia hết cho 3; 8 để làm) V× 8 8 (100a + 96)8 mµ 96 8 Suy ra 100a8 do ®ã a lµ sè ch½n a Î{2, 4, 6, 8} (1). V× 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6) 3 (5a + 15) 3 Mµ 153 nªn 5a 3 Mặt khác: (5, 3) = 1 suy ra a 3 vËy a Î{ 3, 6, 9} (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra a = 6 KL: VËy sè ph¶i t×m lµ 6666696. Bµi 3: T×m ch÷ sè a ®Ó 11. HD: Tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ lµ 2 + a. Tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n lµ 2a. * NÕu 2a ³ a + 2 a ³ 2 th× 2a - (a + 2) = a -2 £ 9 - 2 = 7 Mµ (a - 2) 11 nªn a - 2 = 0 a = 2 * NÕu 2a £ a + 2 a 2 th× (a + 2) - 2a = 2 - a Suy ra 2 - a = 1 hoặc 2 - a = 2 không chia hết cho 11 Kết luận: VËy a = 2 thì 11 Bµi 4: T×m c¸c ch÷ sè a, b ®Ó sè chia hÕt cho 8 vµ cho 9. * C¸ch 1: +) NÕu chia hÕt cho 8 th× dựa vµo dÊu hiÖu chia hÕt cho 8 ta cã 8 hay = 400 + 10a + b = 8p (p Î N) (*) MÆt kh¸c nÕu 9 th× (1 + 2 + 3 + 4 + a + b) 9 Hay (1 + a + b) 9 1 + a + b = 9q (qÎ N) ( **) V× a vµ b lµ c¸c ch÷ sè nªn a + b £ 18 Tõ (**) suy ra 9q £ 19 (q>1) VËy q = 2 Trõ (*) víi (**) ta cã 390 + 9a = 8p - 9q Hay p = 49 + a + q + V× pÎ N nªn Î N hay a + q – 2 8 +) NÕu q = 2 th× a = 0 hoÆc a = 8 Tõ (**) ta cã b = 9q - a - 10 do ®ã b = 8 hoÆc b = 0 KL: VËy cã sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 123480; 123408. * C¸ch 2: Ta có: = 123400 + = 72.1713 + 64 + V× chia hÕt cho 8 vµ cho 9 nªn chia hÕt cho 72 VËy 64 + chia hÕt cho 72. V× £ 99 nên 64 < 64 + £ 163 nªn 64 + b»ng 72 hoÆc 144. + NÕu 64 + = 72 th× = 08 + NÕu 64 + = 144 th× = 80 KL: VËy c¸c sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 123480; 123408. Bµi 5: T×m c¸c sè a, b sao cho: a) a - b = 4 vµ chia hÕt cho 3 b) a - b = 6 vµ + chia hÕt cho 9 Gi¶i: a) a - b = 4 vµ chia hÕt cho 3 Ta cã: 3 (7 + a + 5 + b + 1) 3 Hay (a +b + 13) 3 suy ra (a +b ) chia 3 d­ 2 (1) Ta cã a -b = 4 nªn 4 £ a £ 9 ; 0 £ b £ 5 Suy ra 4£ a+b £ 14 (2) MÆt kh¸c a - b lµ sè ch½n nªn a + b lµ sè ch½n (3) Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra a + b Î {8; 14} Víi a + b = 8; a - b = 4 ta ®­îc a = 6; b = 2. Víi a + b = 14; a - b = 4 ta ®­îc a = 9; b = 5. VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ a = 6; b = 2 vµ a = 9; b = 5 b) + 9 (4 + a + 7 + 1 + b + 5) 9 hay (a + b + 8) 9 Suy ra (a + b) chia cho 9 d­ 1 Do a + b ³ a – b = 6 nªn a + b = 10 tõ ®ã t×m ®­îc a = 8; b = 2. * Bµi tËp t­¬ng tù : Bµi 1: T×m c¸c sè x, y sao cho 72 HD: 72 72. 2769 + 32 + 72 32 + 72 V× 32 £ 32 + £ 32 + 99 = 131 nªn 32 + = 72 « = 40 VËy x = 4, y = 0. Bµi 2: T×m ch÷ sè x ®Ó chia hÕt cho 3 nh­ng kh«ng chia hÕt cho 9. HD: V× chia hÕt cho 3 « (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hÕt cho 3 Hay (x + 25) chia hÕt cho 3 V× 1£ x £ 9 nªn 24 £ 23 + x £ 32 Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 23 ®Õn 32 cã sè 24, 30 chia hÕt cho 3 mµ kh«ng chia hÕt cho 9. Bµi 3: Ph¶i viÕt Ýt nhÊt mÊy sè 1994 liªn tiÕp nhau ®Ó ®­îc mét sè chia hÕt cho 3. HD: Tæng c¸c ch÷ sè cña 1994 lµ 23 khi chia cho 3 th× d­ 2. NÕu viÕt k lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau th× tæng c¸c ch÷ sè cña sè nhËn ®­îc cã cïng sè d­ víi 2k khi chia cho 3. §Ó sè nhËn ®­îc chia hÕt cho 3 th× 2k ph¶i chia hÕt cho 3, nªn sè nhá nhÊt lµ 3, tøc lµ Ýt nhÊt ph¶i viÕt 3 lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau. Bµi 4: T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh¸c kh«ng, biÕt r»ng tÝch nµy chia hÕt cho 125. TÝch nµy nhá nhÊt b»ng bao nhiªu? HD: TÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8 th× tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp còng chia hÕt cho 125 nªn 3 ch÷ sè tËn cïng lµ 000. Trong tÝch cña 4 sè tù nhiªn tiÕp kh«ng thÓ cã 2 sè chia hÕt cho 5 nªn ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 125. TÝch nhá nhÊt lµ: 125.126.127.128 2. D¹ng 2: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biÓu thøc