Đề tài Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình, bất phương trình một ẩn quy về bậc hai

MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài: Trong nhà trường THPT, phần lớn học sinh đều mong muốn mình có một kiến thức toán vững chắc. Bởi vì có thể nói Toán học là một trong những công cụ chủ yếu, nền tảng giúp các em học tốt các môn học khác. Nó có khả năng giúp các em phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ như: Tư duy, tính chính xác, suy luận logic chặt chẽ. Xuất phát từ thực tế qua tiếp xúc với các em học sinh trong đợt thực tập này, bản thân em nhận thấy tuy các em tiếp thu nhanh các kiến thức Toán học cụ thể là các kiến thức về đại số. Song quá trình giải toán của các em lại bị mắc phải một số sai lầm, dẫn đến kết quả học toán không cao. Là một sinh viên đang thực tập, mong muốn phần nào giúp các em học sinh nhận ra các lỗi cơ bản thường gặp của mình trong khi giải toán đại số. Em mạnh dạn đi sâu vào nghiên cứu đề tài: “ Mét sè sai lÇm th­êng gÆp khi gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh mét Èn quy vÒ bËc hai” Mục đích nghiên cứu: Nhằm giúp học sinh nhận ra các sai lầm thường gặp của mình trong quá trình giải toán đại số, giúp các em học tốt môn toán và có sự say mê giải toán hơn nữa. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: + Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán đại số. + Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán không vượt quá chương trình lớp 11. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nêu và phân tích một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong khi giải toán đại số. Đề xuất cách sửa sai lầm mà học sinh mắc phải đó. Các phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp quan sát, phỏng vấn về trình độ nhận thức về kỹ năng giải toán của học sinh. + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm, rút kinh nghiệm ở những lớp trước với những khó khăn, thuận lợi khi giải toán. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN: Toán học là một môn khoa học quan trọng nhất trong các bậc phổ thông, nó ảnh hưởng và phục vụ nhiều cho các môn học khác. Vì thế việc phát triển tìm tòi ra các sai lầm của các học sinh lớp 10 trong việc giải toán đại số là cần thiết và quan trọng giúp các em có phương pháp học tốt hơn cho môn Toán nói riêng và các môn khác nói chung. II. NỘI DUNG CHÍNH: Đề tài gồm 02 phần: Sai lầm khi giải phương trình đại số. Sai lầm khi giải bất phương trình đại số. Trong mỗi phần em sẽ đưa ra một sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong giải toán đại số dưới dạng các bài toán ví dụ. Kèm theo đó là các lời giải đúng cho các ví dụ đó. Phân tích nội dung các phần: SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ: Trong khi giải các phương trình học sinh thường hay mắc phải một số sai lầm như quy tắc biến đổi phương trình tương đương. Đặt thừa, hay thiếu các điều kiện của phương trình dẫn đến sai lầm không thể giải được. Bên cạnh đó còn một số sai lầm do hậu quả của việc biến đổi các biểu thức không đúng khi giải những phương trình đại số. Khi làm các phép biến đổi ta dễ vi phạm các tiêu chuẩn của các phép biến đổi tương đương. Do đó khi giải phương trình ta có thể làm xuất hiện nghiệm ngoại lai hoặc làm mất nghiệm. Sau đây là một số ví dụ cụ thể minh họa. DẠNG 1: hoặc Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với thì mẫu thức nên là nghiệm ngoại lai. + Lời giải đúng là: (*) Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: Bài 2: Giải phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với thì căn thức vô nghĩa nên là nghiệm ngoại lai. + Lời giải đúng: (*) Vậy phương trình có 2 nghiệm: và . Kết luận: ; Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: DẠNG 2: Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với: thì căn thức vô nghĩa. Nên: là nghiệm ngoại lai. + Lời giải đúng: (*) Vậy phương trình có 1 nghiệm: Bài 2: Giải phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với thì mà vế phải của (*) 0 nên phương trình (*) không nhận làm nghiệm. + Lời giải đúng: (*) 2.2. Kết luận: 2.3. Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Dạng 3: ; Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Phương trình nhận là nghiệm, nghĩa là cách giải trên đã làm mất đi nghiệm + Lời giải đúng: (*) Bài 2: Giải phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Phương trình có nghiệm nghĩa là cách giải trên đã làm mất đi nghiệm + Lời giải đúng: (*) Kết luận: Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Dạng 4: Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) (***) + Nguyên nhân sai lầm: Phép thế biến đổi từ (**) sang (***) là phép biến đổi hệ quả không phải là phép biến đổi tương đương. + Lời giải đúng: (*) Thử lại vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: Bài 2: Giải phương trình: + Sai lầm thường gặp: + Nguyên nhân sai lầm: Phép thế là phép biến đổi hệ quả không phải là phép biến đổi tương đương nên xuất hiện nghiệm ngoại lai: + Lời giải đúng: Thử lại thấy là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có một nghiệm là: + Nhận xét: Phương trình (1) có thể giải theo cách khác như sau: Đặt: Mặt khác theo hệ phương trình ta có ta có hệ sau: Thử lại thấy là nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm là . Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH. Những sai lầm khi giải bất phương trình thường mắc phải đó là quy tắc biến đổi bất phương trình tương đương. Đặt thừa hay thiếu điều kiện dẫn đến những sai lầm thậm trí sai đến mức không giải tiếp được nữa. Một số sai lầm còn do phép biến đổi biểu thức không đúng. Ta xét một số sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải trong một số ví dụ cụ thể sau: Dạng 1: Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải bất phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với thì và khi nhân cả hai vế với biểu thức này thì dấu của bất phương trình nhận được đổi ngược lại. + Lời giải đúng: (*) Bài 2: Giải bất phương trình: + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với thì và bất phương trình nghiệm đúng. Cách giải trên đã làm mất nghiệm. + Lời giải đúng: (*) 1.2. Kết luận: 1.3. Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Dạng 2: hoặc Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải bất phương trình: (1) + Sai lầm thường gặp: (1) + Lời giải đúng: (1) hoặc Bài 2: Giải phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: ta chưa chú ý đến điều kiện để bình phương hai vế là hai vế phải không âm nên xuất hiện nghiệm là nghiệm ngoại lai. + Lời giải đúng: (*) 2.2. Kết luận: Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải bất phương trình: Bài 2: Giải bất phương trình: Bài 3: Giải bất phương trình: Bài 4: Giải bất phương trình: Dạng 3: Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải bất phương trình: + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với thì nên (*) thỏa mãn. Vậy cách giải trên đã làm mất nghiệm của phương trình. + Lời giải đúng: (*) Bài 2: Giải bất phương trình: + Sai lầm thường gặp: (*) ( em xem lại) + Nguyên nhân sai lầm: Với hoặc thì (*) thỏa mãn. Cách giải trên đã làm mất nghiệm của phương trình. + Lời giải đúng: (*) Vậy nghiệm của bất phương trình là: ; ; Kết luận: Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: Dạng 4: hoặc Ví dụ minh họa: Bài 1: Giải phương trình: + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với thì (*) có nghiệm đúng. Cách giải trên đã làm mất nghiệm. + Lời giải đúng: (*) Bài 2: Giải bất phương trình: (*) + Sai lầm thường gặp: (*) + Nguyên nhân sai lầm: Với hoặc thì (*) có nghiệm đúng. Nên cách giải trên đã làm mất nghiệm. + Lời giải đúng: (*) 4.2. Kết luận: 4.3. Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải bất phương trình: Bài 2: Giải bất phương trình: Bài 3: Giải bất phương trình: KẾT LUẬN Qua đề tài nghiên cứu này, em muốn giúp các em học sinh nhận ra một số sai lầm thường gặp trong khi giải phương trình, bất phương trình. Mà trong bộ môn Toán phương trình và bất phương trình là một phần rất quan trọng. Vì vậy, đề tài: ” Mét sè sai lÇm th­êng gÆp khi gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh mét Èn quy vÒ bËc hai “ là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và thực tiễn sâu sắc. Để học tập tốt môn Toán, bên cạnh việc học lý thuyết. Học sinh cần phải biết vận dụng để làm bài tập. Trong quá trình làm bài tập các em học sinh sẽ gặp nhiều sai lầm. Việc chỉnh sửa cho học sinh những sai lầm là một công việc rất cần thiết của người giáo viên. Qua bài tập nhỏ này, em mong có thể giúp ích được phần nào các em học sinh có kỹ năng giải Toán nói riêng và hứng thú trong học tập bộ môn Toán nói chung. Từ đó các em sẽ rèn luyện được sự cẩn thận, chính xác trong công việc. Do khả năng bản thân và do thời gian có hạn nên bài tập nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được thầy cô giáo và các bạn đóng góp thêm. Em xin trân thành cảm ơn Thầy Đinh Cao Long - Giáo viên dạy môn Toán của trường THPT Xuân Hòa - Phúc Yên. Đã chỉ bảo, hướng dẫn em trong thời gian em thực tập tại trường. Thầy đã có những nhận xét quý báu giúp em hoàn thành bài tập nghiên cứu này! Xuân Hòa, Ngày. tháng. năm 2011 Giáo sinh thực tập Phan Văn Lộc CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số 10 ( Tác giả: Vũ Tuấn ) Phương pháp dạy học môn Toán tập 1, 2 ( Tác giả: Nguyễn Bá Kim ) Sai lầm thường gặp khi giải Toán ( Tác giả: Trần Phương ) Sai lầm phổ biến khi giải Toán ( Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận ) MỤC LỤC Nội Dung Trang Phần mở đầu 1 Nội dung 2 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 2 II. NỘI DUNG CHÍNH 2 A. SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 2 Dạng 1 2 Dạng 2 3 Dạng 3 4 Dạng 4 5 B. SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 7 Dạng 1 7 Dạng 2 8 Dạng 3 9 Dạng 4 10 C. PHẦN KẾT LUẬN 13