Đề tài Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VAÄT LYÙ  HUỲNH NGUYỄN THANH TRÚC Ñeà taøi: Giaùo vieân höôùng daãn: TS. NGUYỄN VĂN HOA Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2009 Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 1 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, ngoài những nỗ lực của bản thân, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của quí thầy cô trong khoa Vật Lý trường ĐH Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – thầy đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích, đóng góp những kinh nghiệm quí báu để em thực hiện khóa luận này đồng thời thầy đã truyền cho em lòng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học. Em không thể nào quên công lao của TSKH. Lê Văn Hoàng đã đưa ra những ý kiến, góp ý vô cùng có ý nghĩa giúp em hoàn chỉnh phương pháp trong khóa luận này. Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã hỗ trợ về mặt tinh thần cho Trúc hoàn thành khóa luận này. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn. Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 2 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc MỞ ĐẦU 1. Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn. Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Và phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường, Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:  Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,để tự động hóa quá trình tính toán.  Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ. Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu. 2. Lý do chọn đề tài Qua học phần cơ học lượng tử, em được tiếp cận bài toán nguyên tử hydro với cách giải chính xác thông qua việc xây dựng dạng và tìm trị riêng, hàm riêng của toán tử moment xung lượng, toán tử Legendre; tìm ra hàm cầu và hàm bán kính để xác định Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 3 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc hàm sóng của nguyên tử hydro, cùng với bài toán nguyên tử hydro trong từ trường (hiệu ứng Zeeman) đã được giải quyết khá hoàn chỉnh thông qua lý thuyết nhiễu loạn: Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường ngoài thật yếu thì tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính và tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn. Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thì tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính và tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn. Bài toán này đã được Landau giải quyết. Tuy nhiên với bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình thì đã vượt quá phạm vi áp dụng của lý thuyết nhiễu loạn vì không thể coi tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử với electron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn. Phương pháp toán tử có ưu điểm vượt trội so với phương pháp truyền thống là có thể áp dụng cho trường ngoài có cường độ bất kỳ. Do đó, luận văn tốt nghiệp với đề tài: “MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ” là bước đầu thử nghiệm của phương pháp toán tử, tìm ra một hướng giải quyết cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình. 3. Mục tiêu của đề tài  Bước đầu xây dựng phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, ưu điểm,  Giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ, bước đầu là bài toán nguyên tử hydro. 4. Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn này. Trong suốt quá trình tính toán thực hiện luận văn, để đơn giản em đã chọn hệ đơn vị không thứ nguyên, tức 0 1em e c a     , trong đó 0a là bán kính Born. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 4 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Qua phương pháp toán tử, khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trunh bình, kết quả dự kiến sẽ đạt được:  Tìm ra mối quan hệ giữa mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro với cường độ của từ trường, vẽ đồ thị mô tả sự phụ thuộc này và so sánh kết quả thu được với kết quả thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn trong trường hợp từ trường yếu.  Tìm ra giá trị của từ trường ion hóa nguyên tử hydro. 5. Cấu trúc của luận văn Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt được, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3 phần chính:  Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được.  Phần nội dung: gồm 3 chương  Chương 1: NHỮNG CƠ SỞ LƯỢNG TỬ CỦA BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO. Chương này trình bày những kết quả mà cơ học lượng tử đã đạt được về bài toán nguyên tử hydro, mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường qua lý thuyết nhiễu loạn.  Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Giới thiệu phương pháp toán tử thông qua ví dụ về bài toán dao động tử phi điều hòa, bài toán về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.  Chương 3: MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG. Sử dụng phương pháp toán tử để giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường, thiết lập đồ thị mô tả sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro với cường độ từ trường, từ đó so sánh với đồ thị thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn, tìm ra được giá trị từ trường ion hóa nguyên tử hydro.  Phần kết luận: Tóm tắt lại kết quả đã đạt được của luận văn, hướng phát triển sắp tới của đề tài. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 5 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NGUYÊN TỬ HYDRO 1. Lý thuyết lượng tử về nguyên tử hydro 1.1. Trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài toán nguyên tử hydro Nguyên tử hydro gồm một electron chuyển động trong trường thế của hạt nhân có điện tích Ze . Ta đưa bài toán hai hạt: electron và hạt nhân trong nguyên tử hydro về bài toán một hạt có khối lượng rút gọn  , với: e hn e hn m m m m    (1.1) Trong đó: em là khối lượng của electron hnm là khối lượng của hạt nhân. Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze có dạng: 2 ( ) ZeV r k r   (1.2) Với: Z là số proton trong hạt nhân, trong nguyên tử hydro 1Z e là điện tích nguyên tố. r là khoảng cách từ electron đến hạt nhân. Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, do đó có thể áp dụng các kết quả nhận được trong bài toán về trường thế xuyên tâm. Nghiệm tổng quát của phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian đối với thế xuyên tâm có dạng: ( , , ) ( ) ( , )mnlm nl l nlm r C R r Y      (1.3) Trong đó: ( )R r là hàm bán kính được xác định khi giải phương trình bán kính. mlY là hàm cầu theo hai biến  và  . Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 6 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro có dạng: ˆ ˆ ˆH T U  (1.4) Trong đó: + Tˆ là toán tử động năng, với 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 2 T x y z             (1.5) + Uˆ là toán tử thế năng, với 2 2 2 2 2 ˆ Ze ZeU k k r x y z       (1.6) Phương trình Schrodinger trong bài toán nguyên tử hydro là: ˆ n n nH E  (1.7) Bài toán nguyên tử hydro là một trong ba bài toán giải được nghiệm chính xác (bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa, hạt trong hố thế vuông góc), kết quả của cơ học lượng tử cho ta trị riêng chính xác của phương trình Schrodinger (1.7) trong bài toán nguyên tử hydro là: 2 4 1 2 22n Z eE n      (1.8) Trong hệ không thứ nguyên, ta có: 1 2 1 2n E n   Với: 1, 2, 3, ...n  1.2. Nhận xét về các trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài toán nguyên tử hydro 1/ Biểu thức (1.8) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Theo biểu thức (1.8) thì năng lượng của electron là gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực: ( ) 0nlrR r r khi (1.9) Như vậy, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức cơ bản ( 1)n  là: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 7 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2 4 0 2 13,62 Z eE eV    (1.10) Nếu xét trong hệ không thứ nguyên 0 1em e c a     thì: 0 12E   . 2/ Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên kết 0E  , bắt đầu ứng với năng lượng 2 4 0 2 13,62 Z eE eV     và kết thúc ứng với năng lượng không, lúc này electron thoát khỏi trường thế Coulomb của hạt nhân và trở thành electron tự do. 3/ Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,..., n - 1. Như vậy có tất cả n giá trị của l . l gọi là lượng tử số quĩ đạo và nó xác định độ lớn của moment xung lượng ( 1)L l l   4/ Ba số nguyên n, l , m xác định một hàm riêng ( , , ) ( ) ( , )mnlm n lr R r Y     gọi là ba số lượng tử, n là số lượng tử chính, m gọi là số lượng tử từ ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị , 1,..., 1, 0, 1,..., 1, m l l l l      . Tất cả có (2l+1) giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z zL m Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái nlm khác nhau ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng En-1 là: 1 2 0 (2 1) n l l n     Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức cơ bản 1n không bị suy biến. 5/ Giá trị tuyệt đối của mức năng lượng cơ bản E0 cho biết năng lượng ion hóa nguyên tử hydro. Năng lượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên kết có năng lượng thấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 8 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Như vậy, năng lượng ion hóa nguyên tử hydro trong hệ không thứ nguyên là 1 2i E  . 2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường 2.1. Toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường Toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dạng:  2 22 221 1 . .2 2e e eH p A U p p A A p A Uc c c                        (1.11) Trong đó: p là vector động lượng A  là thế vector. Thế vector A ứng với từ trường đồng nhất B const  có dạng: 1 , 2 A B r       Với: r xi yj zk     Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho từ trường hướng theo trục Oz , vậy : B Bk  Ta thu được biểu thức của thế vector A :  1 1 10 02 2 2 i j k i jA B B B yi xj x yx y z              (1.12) Suy ra:  22 2 24BA x y   . . 2 x y x y z Bp A A p p y p x yp xp BL             Vậy toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dạng:  2 22 2 221ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2 8zeB e BH p L x y Uc c       Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 9 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2.2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn Ở mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro 0ZL  , nên toán tử Hamilton trở thành:  2 22 2 221ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 8e BH p x y Uc     Hay:  2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ2 8B eH x y Ux y z c                Khi nguyên tử hydro được đặt trong từ trường nhỏ thì năng lượng tương tác của electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn. Toán tử Hamilton của electron trong nguyên tử có dạng: 0ˆ ˆ ˆH H V  (1.13) Trong đó: + Toán tử: 2 2 2 2 0 2 2 2 ˆ ˆ 2 H U x y z              (1.14) là toán tử Hamilton cho bài toán nguyên tử hydro khi không có trường ngoài; Với  khối lượng rút gọn trong bài toán hệ hai hạt electron và hạt nhân trong nguyên tử hydro và: e hn e hn m m m m    , vì e hnm m nên em  . Nên toán tử Hamilton cho bài toán nguyên tử hydro khi không có trường ngoài có dạng: 2 0 ˆˆ 2 e pH U m   + Toán tử  2 2 2 22ˆ ˆ ˆ8 e B eV x y m c   là thế nhiễu loạn. Trong hệ tọa độ cầu, thế nhiễu loạn Vˆ được viết lại thành: 2 2 2 2 2 ˆ sin 8 e B eV r m c  Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 10 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2.2.1. Năng lượng bậc không Theo lý thuyết nhiễu loạn, năng lượng bậc không của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu chính là năng lượng ở mức cơ bản 1n  của electron trong nguyên tử hydro khi không có từ trường. Vậy, năng lượng bậc không của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu là: 2 4 (0) 0 2 13,62 em Z eE eV    2.2.2. Bổ chính năng lượng bậc một Theo lý thuyết nhiễu loạn, bổ chính bậc một của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu có dạng:  (1) (0) (0) (0) (0)0 0 0 0 0ˆ ˆ V E V V dV      (0) 0 là hàm sóng của nguyên tử hydro ở mức cơ bản khi không nhiễu loạn 1, 0, 0n l m   có dạng: 0 (0) 00 0 0 3 2 0 1 2( ) ( , ) . . 4 r aR r Y e a       Suy ra: 0 0 2 2 22 (1) 2 2 0 32 2 0 2 22 2 2 2 22 4 3 0 32 2 0 0 02 0 1 2. sin 8 4 1 2 . sin 8 44 r a e V r a e e B eE e r dV m c a a B eB e e r dr d d m c m ca                            Biểu thức bổ chính bậc một của mức năng lượng cơ bản là: 22 2 (1) 0 0 24 e a B eE m c  Vậy, mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính bậc một là: 22 4 2 2 (0) (1) 0 0 0 0 2 22 4 e e m Z e a B eE E E m c      Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 11 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc Trong hệ đơn vị không thứ nguyên 0 1em e c a     , mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bổ chính bậc một có dạng: 2 0 1 2 4 BE    (1.15) Nhận xét: Theo biểu thức về sự phụ thuộc mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn thì mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro có dạng là hàm bậc hai của từ trường B . 2.2.3. Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường Năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro ở biểu thức (1.15) thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn, do đó nó chỉ đúng với những từ trường yếu sao cho độ dịch chuyển mức năng lượng cơ bản nhỏ hơn rất nhiều so với trị số hiệu mức năng lượng cơ bản và mức kích thích thứ nhất, nghĩa là: 22 2 0 0 124 c e a B e E E m c  Một cách gần đúng ta xem từ trường yếu là từ trường có giá trị cB b , sao cho năng lượng tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường vào khoảng mười phần trăm trị số hiệu mức năng lượng cơ bản và mức kích thích thứ nhất. 22 2 2 4 2 4 0 0 12 2 210% 10%4 2 8 e e e a b e m Z e m Z eE E m c       Trong hệ không thứ nguyên 0 1em e c a     , ta có: 2 1 10.1 4 2 8 b      Suy ra 0.3872cB b  được xem là giá trị từ trường yếu ứng với mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro. 2.3. Nhận xét kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường cho bởi lý thuyết nhiễu loạn Bằng phương pháp nhiễu loạn, ta thu được kết quả của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường: Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 12 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc  Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật yếu thì tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính và tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn.  Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thì tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính và tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thế nhiễu loạn. Bài toán này đã được Landau giải quyết hoàn chỉnh. Như vậy, dựa vào lý thuyết nhiễu loạn ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường thật mạnh hoặc thật yếu. Tuy nhiên, phương pháp nhiễu loạn truyền thống gặp phải khó khăn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro đặt trong từ trường trung bình vì không thể coi tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử với electron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn. Bằng phương pháp toán tử với ưu điểm là có thể áp dụng cho bài toán trường ngoài có cường độ bất kỳ, ta có thể giải quyết được khó khăn trên của phương pháp nhiễu loạn truyền thống về bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình. Đề tài: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa Trang: 13 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 1. Hình thức luận toán tử sinh hủy 1.1. Bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều 1.1.1. Toán tử Hamilton trong bài toán dao động tử phi điều hòa Toán tử Hamilton của bài toán dao động tử điều hòa một chiều không có nhiễu loạn có dạng: 2 2 2 2 0 2 1ˆ 2 2 H m x m x     , phương trình Schrodinger tương ứng: 2 2 2 2 (0) (0) (0) 2 1 ( ) ( ) 2 2 n n n m x x E x m x          Kết quả của cơ học lượng tử cho ta năng lượng của dao động điều hòa ứng với mỗi hàm riêng (0) ( )n x bị lượng tử hóa có dạng: (0) 12nE n       với 0, 1, 2, ...n  và các mức năng lượng nà