Đề tài Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục

Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 1 TIỂU LUẬN Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2 1/ Đặt vấn đề: Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này. Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau: 1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị. 2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức. 3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại. 4. Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán. 5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có. 6. Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa. Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó nhưng rất thú vị. Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế, chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 3 vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình” . Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phương pháp mà học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành công bởi chính thầy cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán do Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ chức, dưới sự chỉ đạo trực tiếp của thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo thí và qua tạp chí Toán tuổi thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình những kinh nghiệm mà trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với những bài toán tìm cực trị đại số, khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách, tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn. Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của người làm toán. Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh có rất nhiều nhưng nội dung thì trùng nhau. Các sách của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 4 thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu và thực hiện. 4. NỘI DUNG CHÍNH I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần Phần 1: Lý thuyết Phần 2: Các bài tập minh họa Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng. 1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai. 2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng. 3) Các bài tập áp dụng. II) Nội dung cụ thể. PHẦN I: LÍ THUYẾT a) Một số tính chất của bất đẳng thức Cho a, b, c là các số thực Tính chất 1 a b b a   Tính chất 2 a b a = b b a    Tính chất 3 Tính chất bắc cầu a b a c . b c     Tính chất 4 a b a c b c  + + Tính chất 5 a b a c b+ d c d     + Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau. Tính chất 6 ac bc a b c 0      Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 5 Tính chất 7 ac bc a b c 0      Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm a b 0 ac bd c d 0       Tổng quát: 1 1 2 2 * 1 2 n 1 2 n n n a b 0 a b 0 a a ...a b b ...b 0, n N ... a b 0              Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau. Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức n n ** a b 0 a b , n N      n n ** a b a b (n N , n 2)     Tính chất 10 *n na b 0 a b, n N , n 2       Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số m nm n 0* a a a 1      *       m nm n 0 a a 0 a 1 Tính chất 12 b a 1 1 ab 0 a b     b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối  a 0, a R    a = a nếu a 0  a = -a nếu a 0  - a a a  Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 6  a+ b a + b . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 . c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị. +) Bất đẳng thức Côsi Dạng cơ bản: Cho a, b 0 , khi đó ta có bất đẳng thức a+ b 2 ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Dạng tổng quát: Cho các số không âm 1 2 3 na ,a ,a ,..., a . Ta có bất đẳng thức n1 2 3 n 1 2 3 na + a + a +...+ a n. a a a ...a với n N,n 2  . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 na = a = a = ... = a . +) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng cơ bản: Với a, b, c, d là các số thực tuỳ ý ta luôn có     2 2 2 2 2ac+ bd a + b c + d . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= c d . Dạng tổng quát: Cho hai bộ số    1 2 3 n 1 2 3 na ,a ,a ,..., a , b ,b ,b ,..., b , khi đó ta có     2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 1 2 3 na b +a b +a b +...+a b a +a +a +...+a b + b + b +...+ b Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 31 2 n 1 2 3 n aa a a= = = ... = b b b b (Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa). Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 7 PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ A. Dạng sai lầm thứ nhất: Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) Bài 1. Cho x, y là hai số dương thoả mãn 1x + 1 . y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x yM = 32. + 2007. . y x Lời giải “có vấn đề”. Từ x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có x y+ 2 y x  . Từ x, y > 0 và 1x + 1 y  ta có 2 1 1 y1 x+ 4 x . 4. y y x          Do vậy x y x y yM = 32. + 2007. = 32. + +1975. 32.2 1975.4 7964 y x y x x         . Dấu “=” xảy ra  x = y . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y. Nhưng với x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu? Phân tích sai lầm: Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì x y+ 2 y x  . Dấu “=” xảy ra  x = y, còn y 4, x  Dấu “=” xảy ra  y = 4x. Mặt khác có thể thấy x = y thì mâu thuẫn với giả thiết 1x + 1 . y  Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 8 Như vậy nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên là trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị nhưng các dấu “=” không đồng thời xảy ra . Lời giải đúng Từ giả thiết ta có 2 1 1 y1 x+ 4 x . 4. y y x          Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có x y x y y x yM = 32. + 2007. = 32. + 2. + 2005. 2. 32. .2. 2005.4 8036 y x y x x y x         Dấu “=” xảy ra  1x = ; y = 2 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8036, giá trị này đạt được khi 1x = ; y = 2 2 . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x+ 3 y biết 2 22 x + 3 y 5 Lời giải sai: Gọi 2 2B = 2 x + 3 y , ta có B 5. Xét 2 2A+ B = 2 x+ 3 y+ 2 x + 3 y    2 2= 2 x + x + 3 y + y 2 21 1 5 5= 2 x+ + 3 y+ - (1) 2 2 4 4              Ta lại có B 5 nên -B 5  (2) Cộng (1) với (2) ta được 25A 4   Min 25 1A x = y . 4 2      Nhưng với 1 5x = y A 2 2    , vậy sai lầm ở đâu? Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ với 1x = y = - 2 , chỉ xảy ra dấu “=” ở (1), còn dấu “=” ở (2) không xảy ra. Thật vậy với 1x = y = - 2 thì 5B 5 4   . Do đó -B 5  . Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:      22 2 2A = 2 . 2 x + 3 . 3 x 2 3 2 x + 3 y 5 .5 2 5    Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 9 2 x 2 y 3A 25 = x = y 2 3    . Do 2A 2 5 nên 5 A 5   . Min x = y A 5 x = y 1. 2 x+ 3y 5          Max x = y A 5 x = y 1. 2 x+ 3 y = 5       Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức        2 2 2F x, y = x+ y + x+ 1 + y- x . “Lời giải đẹp”: Ta thấy      2 2 2x+ y ; x+1 ; y- x không đồng thời bằng 0 nên  F x, y 0  F x, y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi  2a = x+1 và    2 2b = x+ y + y- x đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Có  2a = x+1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = -1. Khi đó    2 2 2b = x+ y + y- x = 2 y + 2, nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của  F x, y là 2 khi x = -1 y = 0    . Phải chăng lời giải trên là đúng? Phân tích sai lầm: Lời giải mắc sai lầm ở bước lập luận:  F x, y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi  2a = x+ 1 và    2 2b = x+ y + y- x đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Lập luận này chỉ đúng khi các giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại cùng một giá trị của các biến. Rõ ràng ở đây a đạt giá trị nhỏ nhất khi x = -1, còn b đạt giá trị nhỏ nhất khi x + y = x – y = 0, tức là khi x = y = 0. Lời giải đúng: Biến đổi   2 2 2 21 2 2F x, y = 3 x + 2 x+ 1 + 2 y = 3 x+ + 2 y + x, y 3 3 3        Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 10 Đẳng thức xảy ra 1x = - , y = 0. 3  Vậy giá trị nhỏ nhất của  F x, y là 2 3 , giá trị này đạt được khi 1x = - , y = 0. 3 Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2D = -5 x - 2 xy- 2 y + 14 x+ 10 y-1 . Lời giải “băn khoăn”: Ta có 2 2D = -5 x - 2 xy- 2 y + 14 x+ 10 y-1      2 2 2 2= - x + 2 xy+ y - 4 x -14 x - y -10 y -1     2 2 27 1 4 5= - x + y - 2 x - - y- 5 + 2 4       Suy ra 145D 4  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x+ y = 0 x = - y 7 72 x- = 0 x = 2 4 y-5 = 0 y = 5             Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất. Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục chưa? Phân tích sai lầm: Từ biến đổi đến     2 2 27 145D = - x+ y - 2 x- - y- 5 + 2 4       thì mới chỉ suy ra 145D 4  , còn việc kết luận giá trị lớn nhất của D không tồn tại là chưa chính xác, không có căn cứ xác đáng. Lời giải đúng: Cách 1: Ta có      2 2 2 2D = - x + y - 6 x- 6 y+ 2 xy+ 9 - 4 x -8 x+ 4 - y - 4 y+ 4 16      2 2 2- x+ y- 3 - 4 x-1 - y- 2 16  Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 11 Suy ra D 16 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x+ y- 3 = 0 x = 1 x-1 = 0 y = 2 y- 2 = 0       Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2. Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang tính thuyết phục hơn. Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng 2 2P(x, y) = ax + bxy+ cy + dx+ ey+ h (a, b, c 0) Cách giải: Biến đổi ( , )P x y về một trong hai dạng sau: Dạng 1: 2 2P(x, y) = m.F (x, y) + n.H (x) + g (1) Dạng 2: 2 2P(x, y) = m.F (x, y) + n.K (y) + g (2) Trong đó H(x), K(y) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn F(x, y) là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y. Nếu m 0, n 0  thì ta có min P(x, y) = g . Giá trị này đạt được khi và chỉ khi F(x, y) = 0 H(x) = 0    hoặc F(x, y) = 0 K(y) = 0    .  Nếu m 0, n 0  thì ta có max P(x, y) = g . Giá trị này đạt được khi và chỉ khi F(x, y) = 0 H(x) = 0    hoặc F(x, y) = 0 K(y) = 0    . Để biến đổi được như vậy, ta coi một biến là biến chính rồi tìm cách biến đổi để áp dụng các hằng đẳng thức    2 22 2 2 2a + 2 ab+ b = a+ b ; a - 2 ab+ b = a- b ở đây ta chọn biến y là biến chính. Cụ thể: Ta có 2 2D = -5 x - 2 x y - 2 y + 1 4 x + 1 0 y - 1       2 2 2 2x - 5 x - 5= -2 . y + x - 5 y + + - 5 x + 1 4 x - 1 4 2         22 9 x - 1x - 52 y + - 1 6 1 6 2 2         Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 12 Suy ra D 16 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x- 5 x = 1y+ = 0 2 y = 2x-1 = 0      Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2. B. Dạng sai lầm thứ hai Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT f m (hay f m ), hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thoả mãn giả thiết. Bài 1. Cho x, y, z thoả mãn 2 2 2x + y + z 27 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y+ z + x y+ yz+ zx . Lời giải sai Với mọi x, y, z ta có:      2 2 2x- y 0; y- z 0; z- x 0   2 2 2 2 2 2x + y 2 xy; y + z 2 yz; z + x 2 zx       2 2 22 x + y + z 2 x y+ yz+ zx  27 xy+ yz+ zx (1)  +)      2 2 2x - 1 0; y- 1 0; z- 1 0   2 2 2x + 1 2 x; y + 1 2 y; z + 1 2 z       2 2 2x + y + z 3 2 x+ y+ z 15 x+ y+ z (2)     Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 4 2 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 42. Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục như thế nào? Phân tích sai lầm Lời giải này đã quên một bước vô cùng quan trọng của một bài toán cực trị khi sử dụng BĐT, đó là xác định điều kiện xảy ra đẳng thức. Ta thấy P = 42  (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức  2 2 2 x = y = z 3 x + y + z = 2 7 x = y = z = 1      Hệ trên vô nghiệm nên bất đẳng thức P ≤ 42 không thể trở thành đẳng thức. Lời giải đúng: Xét hiệu    22 2 23 x + y + z - x+ y+ z Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 13    2 2 2= 2 x + y + z - 2 xy+ yz+ zx      2 2 2= x- y + y- z + z- x 0 (*) . Từ (*)    2 2 2 2x+ y+ z 3 x + y + z 3.27   x+ y+ z 9 (1)  (đẳng thức xảy ra  x = y = z = 3). Từ (*) 2 2 22(xy+ yz+ zx) 2(x + y + z )  2 2 2xy+ yz+ zx x + y + z 27 (2)   Từ (1) và (2) x+ y+ z+ xy+ yz+ zx 36  . Đẳng thức xảy ra  x = y = z = 3. Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 36, giá trị này đạt được  x = y = z = 3. Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + x . Lời giải sai: Ta có 21 1 1 1 1A = x+ x = x+ x + - = x + 4 4 2 4 4               Vậy 1min A 4   . Lời giải rất “hồn nhiên” và “ngắn gọn” nhưng lập luận đã chặt chẽ chưa? Kết quả có chính xác không? Theo bạn “kẽ hở” ở chỗ nào? Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh 1A , 4   chưa chỉ ra trường hợp xảy ra 1A , 4   . Xảy ra dấu đẳng thức  1x = - , 2 vô lí. Lời giải đúng: Để tồn tại x phải có x 0 . Do đó A = x+ x 0 . Min A 0 x 0.   Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   x+ a x+ b A = x , với x 0 , a và b là các hằng số dương cho trước. Lời giải sai: Ta có x + a 2 a x (1) và x+ b 2 bx (2) Do đó   x+ a x+ b 2 ax .2 bxA = = 4 ab x x  Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 14 M in A = 4 ab x = a = b . Lời giải “thuyết phục” đấy chứ, có cần phải giải lại không? Phân tích sai lầm: Chỉ xảy ra A = 4 ab khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức, tức là x = a và x = b. Như vậy đòi hỏi phải có a = b. Nếu a  b thì không có được A = 4 ab . Lời giải đúng: Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số:       2x+ a x+ b x + ax+ bx+ ab abA = = = x+ + a+ b . x x x       Ta có abx+ 2 ab x  (BĐT Côsi) nên  2A 2 ab + a+ b = a + b Min  2A = a + b  abx = x = ab .x x 0      Bài 4. Cho a, b, c là các số dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b cP = 1 + 1 + 1 + . 5 b 5 c 5 a                   Một bạn học sinh đã giải như sau: Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a a b b c c1+ 2 (1); 1+ 2 (2); 1+ 2 (3) 5b 5b 5c 5c 5a 5a    Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta được a b c 8 5P 8 . . = 5 b 5 c 5 a 25  . Do đó P nhỏ nhất bằng 8 5 . 25 Các bạn có đồng tình với cách giải này không? Phân tích sai lầm: Để ý không tồn tại a, b, c để 8 5P = 25 . Đây là sai lầm thường mắc khi dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Một nguyên nhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc không hiểu đúng nghĩa Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 15 của dấu “≥” và dấu “≤”. Không phải khi nào viết “≥” cũng có thể xảy ra dấu “=”. Ví dụ ta viết 10 ≥ 2 là đúng nhưng không thể có 10 = 2. Lời giải đúng: Biến đổi a b c 1 a b c 1 a b c 1P = 1+ 1+ 1+ = 1+ + + + + + + (1) 5b 5c 5a 5 b c a 25 c a b 125                         Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 3 a b c a b c+ + 3. . . 3 (2) b c a b c a   và 3 a b c a b c+ + 3. . . 3 (3) c a b c a b   Từ (1), (2), (3) ta có 1 1 1 216P 1 .3 .3 5 25 125 125      . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các dấu đẳng thức ở (2) và (3) đồng thời xảy ra, tức là a = b = c. Vậy Min 216P 125   a = b = c > 0. Bài 5. Cho a, b là hai số dương và x, y, z là các số dương tuỳ ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:            2 2 2x y zM = + + . ay+ bz az+ by az+ bx ax+ bz ax+ by ay+ bx Lời giải của một học sinh: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia có      2 2 2 2 2ay+ bz a + b y + z và     2 2 2 2 2az+ by a + b z + y Vậy        2 2 2 2 2 2 x x ay+ bz az+ by a + b y + z  . Tương tự ta có       2 2 2 2 2 2 y x az+ bx ax+ bz a + b z + x  và       2 2 2 2 2 2 z z ax+ by ay+ bx a + b x + y  . Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y zM + + a + b y + z z + x x + y        . Mặt khác chứng minh được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z 3+ + y + z z + x x + y 2  Suy ra  2 2 3M . 2 a + b  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 16 Vậy giá trị nhỏ nhất của M