Đề tài So sánh tốc độ hội tụ của sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tr hidro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA SVTH: PHẠM THỊ MAI TP. HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 1 LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS. Nguyễn Văn Hoa, đã định hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu trong khóa luận này; động viên và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận. Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận. Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật toán trong ngôn ngữ lập trình. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm nay. Em xin cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 và những người thân đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận. Em xin cảm ơn ba mẹ luôn bên cạnh và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em hoàn tất khóa luận. Sinh viên thực hiện Phạm Thị Mai Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 2 Mục lục MỞ ĐẦU .................................................................................................. 3 NỘI DUNG .................................................................................................. 7 Chương 1 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro.............. 7 1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro........................................ 7 1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro ................................. 12 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính..................................................................................... 16 1.4 Nhận xét ................................................................................................ 17 Chương 2 Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ............................................................18 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn ...................................................................... 18 2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử..................................................................... 20 2.3 Nhận xét ..................................................................................................25 Chương 3 Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ...................................................................................26 3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp ........................................................... 26 3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp.......................................................................... 26 3.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ vòng lặp ................................................................................................ 28 3.4 Nhận xét ................................................................................................ 30 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................... 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 32 PHỤ LỤC .....................................................................................................34 Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều .................................................. 34 Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 37 Phụ lục 3 Toán tử thế năng ........................................................................... 40 Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của Hˆ ..................................................... 46 Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn ............. 48 Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran ........... 52 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 3 MỞ ĐẦU 1) Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn. Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Và phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường, Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như: Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,để tự động hóa quá trình tính toán. Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ. Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu. 2) Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 4 dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng. Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn. Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 5 Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức còn hạn chế, nội dụng bài nghiên cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro. 3) Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là: Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm Kết hợp phương pháp toán tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro. Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho những bài toán có phức tạp hơn. 4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn này. Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. 5) Cấu trúc của luận văn Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3 phần chính: Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc. Phần nội dung: gồm 4 chương Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 6 HYDRO Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro và dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính. Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử. Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Nêu mục đích của sơ đồ lặp. Thiết lập sơ đồ vòng lặp. Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro. Nhận xét kết quả thu được. Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát triển sắp tới của đề tài. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 7 NỘI DUNG 1 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro [2],[4] 1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro Thế năng của một hạt khối lượng mo chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r). Do đó hamilton của hạt có dạng: 2 2ˆ ( ) 2 O H U r m      (1.1) Trong nguyên tử hiđrô, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc vào khoảng cách 1 2r r giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác 1 2( )U r r rút về bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực U(r). Trong trường hợp nguyên tử hiđrô .e p e p m m m m    . Vì p em m nên em  . Nếu bỏ qua kích thước của prôtôn, nguyên tử hiđrô sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên. Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là: 2 ( ) ZeU r r   (CGS) (1.2) Trong đó: Ze là điện tích của hạt nhân. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 8 U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với nguyên tử hiđrô phương trình Schrodinger là phương trình dừng. Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:  2 2 ( ) 0em E U r      (1.3) Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng ,2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1sin sin sin 1 1 1sin sin sin r r r r r r r r r                                                   (1.4) Thay (1.4) vào (1.3) ta được:  2 ,2 2 2 21 1( ) ( ) 0emr E U r r r r r                 (1.5) Do 2 , 2 Lˆ      nên ta viết lại (1.5) như sau:   2 2 2 2 2 2 ˆ 21 ( ) ( ) 0emLr E U r r r r r               (1.6) Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 9 gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử 2Lˆ và ˆzL với Hˆ . Trong trường hợp này Hˆ có dạng: 2 2 2 2 2 ˆ1ˆ ( ) ( ) 2 2 e LH r U r r r r m r             (1.7) Ta thấy 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ 0HL L H  ; 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ 0Z ZHL L H  (1.8) Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc ,  nên giao hoán với các toán tử lấy vi phân theo r. Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình phương mômen 2Lˆ và hình chiếu mômen ˆZL . Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm của phương trình dưới dạng ,( , , ) ( ). ( , )nlm n l mr R r Y     (1.9) Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng 2ˆ ( 1)lm lmLY l l Y  ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm ( )nlR r của hàm sóng ( , , )nlm r   :   2 2 2 2 2 2 121 ( ) 0 2 e e l lmd dR Zer E R r r dr dr r m r                (1.10) 1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hiđrô Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử hiđrô 4 2 2 22n me ZE E n      (CGS) (1.11) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 10 Trong hệ không thứ nguyên 1m e   thì: 2 22n ZE E n     (1.12) Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hiđrô. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất 1 13,6E eV  . Khi n càng tăng thì các mức nE liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n  thì 0nE  . Một số mức năng lượng kích thích 2 33, 4 ; 1,5 ;...E eV E eV    Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với năng lượng 2 4 22 m Z e   và kết thúc ứng với năng lượng 0. Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,... , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng  1L l l   (1.13) Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng      , , ,nlm nl lmr R r Y     gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị , 1,..., 1,0,1,..., 1,m l l l l      . Tất cả có  2 1l  giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z zL m  Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 11 Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng En là   1 2 0 2 1 n l l n     (1.14) Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản 1E không suy biến, mức kích thích thứ nhất 2E suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai 3E suy biến bậc 9... Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 22n . 1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hiđrô Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hiđrô có dạng:      , , ,nlm nl lmr R r Y     Với 2 2 2 o o Zr và a na me     (1.15) a0: là bán kính Bohr thứ nhất Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần  , ,nl m r   của các hệ giống hydro ứng với các giá trị n=1, 2, 3, n l m  , ,nl m r   1 0 0 3 / 20 0 1 ( / ) exp( / 2 )Z a Zr a   Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 12 2 2 2 0 1 1 0 0 1 3 / 2 0 0 0 1 ( / ) (1 / 2 ) exp( / 2 ) 2 2 Z a Zr a Zr a    3 / 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 2 ) cos 4 2 Z a Zr a Zr a    3 / 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 2 ) sin exp( ) 8 Z a Zr a Zr a i     3 3 3 3 3 3 0 1 1 2 2 2 0 0 1 0 1 2 3/ 2 2 2 2 0 0 0 0 1 ( / ) (1 2 /3 2 / 27 )exp( /3 ) 3 3 Z a Zr a Z r a Zr a     3/ 2 0 0 0 0 2 2 ( / ) (1 / 6 )( )exp( / 3 ) cos 27 Z a Zr a Zr a Zr a      3/2 0 0 0 0 2 ( / ) (1 / 6 )( / )exp( /3 )sin 27 iZ a Zr a Zr a Zr a e     3 / 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 )(3cos 1) 81 6 Z a Z r a Zr a     3/ 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 )sin cos 81 iZ a Z r a Zr a e     3 / 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( / ) ( / ) exp( / 3 ) sin 162 iZ a Z r a Zr a e    1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro[12] Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng: 2 2 0 Δψ( ) ( ) ( ) 2 4 Zer r E r m r           (1.16) Trong đó ,m e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện tích. Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa SVTH: Phạm Thị Mai Trang 13 Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt 0x a x , 0y a y , 0z a z với 2 20 04 /a me  là bán kính Bohr. Khi đó phương trình (1.17) có dạng không thứ nguyên: 1 Δ ψ( ) ( ) 2 Z r r r          (1.17) Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là 0a và 2 20 /ma  . Ta có thể viết dưới dạng tường minh như sau: ˆ ( , , ) ( , , )H x y z x y z   (1.18) Với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1ˆ 2 ZH x y z x y z                (1.19) Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:  1 1, 2 2 a a                                (1.20) với , ,x y z  , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau Dễ dàng thấy rằng  , 1a a       (1.21) (Phụ lục1trang 46) C