Đề tài Tính hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron trong Titan dioxit (TiO2)

LỜI CÁM ƠN Sau một thời gian thực hiện nghiên cứu đề tài này, đến nay tôi đã thực hiện xong. Trong quá trình thực hiện đề tài tôi đã gặp không ít vấn đề khó khăn. Nhưng nhờ sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô, bạn bè nên tôi cũng đã khắc phục được. Tôi xin có lời cám ơn chân thành đến những người đã hỗ trợ tôi thực hiện đề tài: 1. Xin cám ơn các thầy cô trong bộ môn Vật lý hạt nhân-Khoa vật lý-Trường Đại học khoa học tự nhiên đã cung cấp cho em những kiến thức chuyên môn bổ ích trong suốt thời gian học cao học. 2. Xin cám ơn đến PGS.TS Châu Văn Tạo, thầy là người định hướng tôi thực hiện đề tài, thầy luôn luôn theo dõi quá trình thực hiện đề tài của tôi và có những ý kiến hết sức bổ ích và rất kịp thời để tôi có thể thực hiện thành công đề tài. 3. Xin cám ơn đến ThS. Trịnh Hoa Lăng, người hướng dẫn trực tiếp đề tài cho tôi, người đã cung cấp cho tôi những tài liệu bổ ích liên quan đến đề tài, người luôn luôn hỗ trợ tôi trong những lúc đề tài gặp khó khăn nhất. 4. Xin cám ơn đến bạn Lê Hoàng Chiến, người đã hết sức nhiệt tình hỗ trợ tôi trong việc viết chương trình tính toán. 5. Xin cám ơn đến các thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và có những những ý kiến đóng góp bổ ích để luận văn được hoàn thiện hơn. 6. Xin cám ơn chân thành đến gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài. MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC ĐƠN VỊ Các kí hiệu e+ : positron e- : electron thứ i G: hàm gamma : đa thức Laguerre suy rộng : toán tử động năng : toán tử động năng của electron thứ i : toán tử động năng của positron V: thế năng tổng của hệ Ve: thế năng của hệ electron Vee: thế tương tác electron – electron Vp: thế năng của positron Ve-p: thế tương tác electron – positron VNN: thế năng tương tác giữa các hạt nhân λO: điện tích hiệu dụng của hạt nhân oxy đối với electron λpO: điện tích hiệu dụng của hạt nhân oxi đối với positron λTi : điện tích hiệu dụng của hạt nhân titan đối với electron λpTi: điện tích hiệu dụng của hạt nhân titan đối với positron : hàm delta Dirac : hàm sóng đơn hạt : tia gamma : hàm sóng của hệ electron positron : hàm sóng của electron thứ i : hàm sóng electron thứ i của oxi : hàm sóng electron thứ i của kẽm : hàm sóng của positron : hệ số Jastrow electron – electron : hệ số Jastrow electron – positron :hàm sóng tương quan electron- electron : hàm sóng tương quan electron – positron : toán tử Grad : toán tử Div : toán tử Laplacian Các đơn vị Đại lượng Kí hiệu Trong hệ SI Trong hệ nguyên tử (a.u) Hằng số Plank Điện tích nguyên tố Khối lượng electron Bán kính Bohr Năng lượng Hartree e me a0 EH 1,05457108´10-34 (Js) 1,60217653´10-19 (C) 9,1093826´10-31 (kg) 5,291772108´10-11 (m) 4,35974417´10-18 (J) (27,2113845 (eV)) 1 1 1 1 1 DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 1.1: Hàm sóng trực chuẩn của electron trong các phân lớp 19 Bảng 4.1: Giá trị năng lượng theo tham số λO 54 Bảng 4.2: Giá trị năng lượng theo tham số λTi 55 Bảng 4.3: Giá trị năng lượng theo tham số β 56 Bảng 4.4: Giá trị năng lượng theo tham số α 57 Bảng 4.5: Giá trị năng lượng theo tham số λpTi 58 Bảng 4.6: Giá trị năng lượng theo tham số λpO 59 Bảng 4.7: Giá trị năng lượng theo tham số β’ 60 Bảng 4.8: Giá trị năng lượng theo tham số α’ 61 Bảng 4.9: Giá trị các tham số tối ưu 62 Bảng 4.10: Các hệ số trong hàm được làm khớp 64 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, CÁC ĐỒ THỊ Trang Các hình vẽ Hình 1.1: Giản đồ Feynman đối với sự hủy positron-electron 12 Hình 1.2: Sơ đồ thuật toán biến phân Monte Carlo lượng tử 33 Hình 3.1: Mô hình phân tử TiO2 40 Hình 3.2: Sự phân bố electron trong nguyên tử titan 41 Hình 3.3: Sự phân bố electron trong nguyên tử oxy 41 Hình 3.4: Positron trong mô hình phân tử TiO2 42 Các đồ thị Hình 4.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λO. 55 Hình 4.2: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λTi 56 Hình 4.3: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số β 57 Hình 4.4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số α 58 Hình 4.5: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λpTi 59 Hình 4.6: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λpO 60 Hình 4.7: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số β’ 61 Hình 4.8: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số α’ 62 Hình 4.9: Đồ thị biễu diễn hàm tương quan cặp g(n) theo n 63 Hình 4.10: Đồ thị biễu diễn hàm tương quan cặp g(r) theo r 63 Hình 4.11: Đồ thị hàm tương quan cặp g(r). 64 LỜI MỞ ĐẦU Vật lý positron là một lĩnh vực khá mới mẻ trong ngành vật lý hạt nhân và đang được các nhà khoa học chú tâm nghiên cứu. Cho đến nay phạm vi ứng dụng của nó rất rộng lớn như: phát hiện chỗ khuyết tật trong vật liệu bằng phương pháp đo phổ thời gian sống, CT (Computed Tomography) trong công nghiệp để phát hiện lỗ hỏng vật liệu. Trong y khoa, positron được ứng dụng vào công nghệ máy PET (Positron Emission Tomography) dùng cắt lớp và tái tạo hình ảnh… Các phương pháp thí nghiệm dựa trên phổ hủy positron cho ta những thông tin rất có giá trị trong nghiên cứu về cấu trúc của vật liệu, đặc biệt là những khuyết tật trong vật rắn. Chính vì vậy chúng ta cần xây dựng một mô hình tổng quát của hệ positron-electron trong vật liệu chứa thế tương tác hấp dẫn giữa positron-electron. Sự tương tác hấp dẫn giữa positron và electron dẫn đến hệ số tăng cường trong quá trình hủy sẽ được xác định thông qua hàm tương quan cặp hay hàm mật độ tương tác. Từ hệ số tăng cường ta sẽ thu được thời gian sống của positron trong vật liệu. Từ thời gian sống tính toán được có thể so sánh với các kết quả thực nghiệm để từ đó có thể xây dựng mô hình bán thực nghiệm nhằm nghiên cứu tính chất cấu trúc của vật liệu ở cấp độ cao hơn. Titan dioxit (TiO2) là một hợp chất có ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực (thuốc nhuộm trắng trong sơn, giấy, kem đánh răng và nhựa. Sơn được làm từ Titan diôxit phản chiếu tốt bức xạ hồng ngoại nên được dùng rộng rãi trong ngành thiên văn học và các loại sơn bên ngoài. Nó cũng được dùng trong xi măng, đá quí…), từ những lý do trên chúng tôi đã thực hiện luận văn với đề tài: “Tính hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron trong Titan dioxit (TiO2)”. Trong đề tài này, phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử sẽ được áp dụng để tìm ra một hàm sóng tối ưu cho hệ electron-positron trong phân tử Titan dioxit, từ đó mật độ cùng với hệ số tăng cường và tốc độ hủy positron trong phân tử Titan dioxit được xác định. Nội dung đề tài gồm 4 chương: Chương 1: Lý thuyết tổng quan Chương 2: Phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử Chương 3: Hàm sóng và mô hình tính toán Monte Carlo cho TiO2 Chương 4: Kết quả tính toán CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Tính chất cơ bản của positron Positron là phản hạt của electron có spin nội tại là ½ nên nó là một fermion, nó có cùng độ lớn điện tích của electron nhưng trái dấu. Poitron tồn tại trong một trường vật chất sau khoảng thời gian (thời gian sống) nó sẽ bị hủy với một electron để phát ra gamma. Thời gian sống càng ngắn khi mật độ electron trong vật chất càng lớn (trong vật chất đậm đặc thì thời gian sống của nó nhỏ hơn 500 ps [6]). Sự hủy cặp positron-electron có thể phát ra một, hai hay ba tia gamma. Hình 1.1: Giản đồ Feynman đối với sự hủy positron - electron Hình (1.1a) biểu diễn sự hủy nhưng không bức xạ kết quả là năng lượng giải phóng làm kích thích hạt nhân. Hình (1.1b), (1.1c), (1.1d) biểu diễn sự hủy poitron-electron sinh ra một gamma, hai gamma và ba gamma. Tuy nhiên khả năng hủy cặp sinh ra 2 gamma là lớn nhất và tiết diện phản ứng được dẫn ra bởi Dirac (1930) [12]: (1.1) Trong đó là bán kính cổ điển của electron; với v là tốc độ tương đối của positron đối với electron, c là vận tốc ánh sáng. Tuy nhiên poitron hủy với năng lượng thấp nên v≪c phương trình trên có thể viết lại: (1.2) Hai gamma phát ra hầu như là cộng tuyến với nhau và mỗi gamma có năng lượng cỡ 511 keV. Các positron từ các nguồn phát ra có năng lượng từ vài keV đến vài MeV khi đi vào môi trường vật chất thì chúng va chạm với các electron tự do, các nút mạng tinh thể, các phonon dao động mạng làm cho các positron mất dần năng lượng và trở thành positron nhiệt, quá trình này được gọi là quá trình nhiệt hóa positron. Khi positron nhiệt gặp một electron thì chúng hủy cặp và quá trình hủy sẽ giải phóng năng lượng khoảng 2moc2 hoặc chúng kết hợp với nhau để tạo nên một trạng thái giả bền được gọi là positronium (Ps) mà sự hủy của positron khi đó tùy thuộc vào những trạng thái của positronium và sự tương tác của positronium với môi trường xung quanh. Positronium là trạng thái giả bền trung hòa của electron-positron. Nó giống như hyđrô nhưng có khối lượng rút gọn là m/2 khối lượng của chúng, năng lượng liên kết của positronium ở trạng thái cơ bản xấp xỉ 6.8 eV. Trạng thái lượng tử thường được kí hiệu đầy đủ là 2S+1Lm, trong đó: -s≤≤+s, Positronium có thể tồn tại hai trạng thái spin, S = 0, 1. Trạng thái singlet (S = 0), electron và positron có spin phản song và được gọi là para-positronium (para-Ps). Trạng thái triplet (S = 1), electron và positron có spin song song và được gọi là ortho- positronium (ortho-Ps). Trạng thái spin ảnh hưởng quan trọng đến cấu trúc mức năng lượng của positronium. Như vậy: Para-Ps chỉ có một trạng thái: 1So Ortho-Ps có ba trạng thái: 3S-1, 3So, 3S1 Do đó xác suất hình thành ortho và para lần lượt là ¾ và ¼ . Trạng thái của hệ electron-positron được mô tả bởi hàm sóng và hàm sóng này thỏa mãn phương trình Schrodinger: Trong đó H là Hamilton của hệ, E là năng lượng của hệ. 1.2 Hàm sóng của hệ 1.2.1 Orbital nguyên tử loại hidro [2][3]. Nguyên tử hidro (và những ion loại hidro như ) có một electron duy nhất chuyển động trong trường lực của hạt nhân với một điện tích dương +e (hay Ze) Hàm sóng mô tả trạng thái của electron trong nguyên tử được gọi là orbital nguyên tử hay AO (Atomic Orbital). Các AO này là nghiệm mà ta có thể thu được chính xác từ việc giải phương trình Schrodinger trong tọa độ cầu: (1.3) Với Chú ý: Các đại lượng trong các công thức được tính theo đơn vị nguyên tử, . Trong trường xuyên tâm, hàm sóng mô tả trạng thái của hạt là tích của hàm cầu chứa các biến tọa độ góc và hàm phụ thuộc vào bán kính r: (1.4) Thay (1.4) vào (1.3) ta sẽ thu được hai phương trình riêng biệt như sau: (1.5) (1.6) Vì hàm cầu là trị riêng của toán tử bình phương momen động lượng , không phụ thuộc vào thế năng của từng bài toán nên dạng của hàm cầu hoàn toàn giống nhau trong mọi bài toán về trường xuyên tâm. Ngược lại, phương trình (1.6) có chứa biểu thức thế và dạng của thế phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Vì vậy, nghiệm của phương trình (1.6) sẽ có dạng khác nhau trong các bài toán có thế khác nhau. Khi ta giải phương trình (1.6) ta sẽ thu được các trị năng lượng E của hạt và các hàm bán kính. Chính vì thế, đối với mọi bài toán về trường xuyên tâm ta chỉ cần giải phương trình (1.6), từ đó nhân với hàm cầu ta sẽ thu được hàm sóng mô tả trạng thái của hệ. Đối với các nguyên tử loại hidro, thế năng của electron có dạng , nghiệm của phương trình xuyên tâm thu được: (1.7) Với C được xác định nhờ vào sự chuẩn hóa: (1.8) là đa thức Laguerre và (1.9) Vì các hạt vi mô như electron, positron có spin nên hàm sóng có thêm hàm với có hai giá trị: . Orbital toàn phần này thường được gọi là orbital-spin nguyên tử (ASO: atomic spin orbital) . Nếu bỏ qua tương tác spin-orbital ta có thể viết được gọi là các hàm spin nhưng thực ra chỉ là những kí hiệu sử dụng để phân biệt các orbital toàn phần. Các orbital phân bố theo quy tắc Hund: trong cùng một phân lớp, ứng với cùng một mức năng lượng xác định, các electron sẽ được phân bố thế nào để tổng spin của chúng là cực đại [2]. Vì mỗi khi hai electron được ghép vào một orbital không gian thì spin của chúng phải ngược dấu nhau () và triệt tiêu lẫn nhau nên quy tắc Hund cũng có nghĩa là trong cùng một phân lớp, các electron sẽ phân bố thế nào để số electron độc thân là tối đa (các electron độc thân phải có spin cùng dấu) và ưu tiên phân bố các electron trên các AO có số lượng tử từ m lớn trước.Chẳng hạn như: m 2 1 0 -1 -2 Ti: 1s22s22p63s2 3p63d24s2 m 1 0 -1 O: 1s22s22p4 Chú ý rằng: vì năng lượng của lớp 3d cao hơn năng lượng của lớp 4s nên các electron trong phân lớp 3d lấp đầy lớp 4s. Vì có năng lượng tương đối cao (kém bền) nên các electron trong phân lớp d cũng có khả năng tham gia hình thành các liên kết hóa học. Do đó chúng cũng được coi là các electron hóa trị. Ta biết rằng, trong nguyên tử nhiều electron, ngoài những tương tác giữa các electron và hạt nhân còn có những tương tác giữa các electron với nhau. Toàn bộ hệ electron như vậy tạo thành một cấu trúc thống nhất. Do đó về nguyên tắc, trong nguyên tử không có trạng thái cá thể của từng electron mà có những trạng thái chung của toàn bộ nguyên tử. Những trạng thái này được mô tả bởi những hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ của tất cả các electron. Tuy nhiên việc giải phương trình Schrodinger với rất nhiều biến số như vậy hầu như không thể thực hiện được và chính vì vậy người ta phải sử dụng các phương pháp gần đúng hàm sóng dựa trên những mô hình gần đúng thích hợp. 1.2.1.1 Mô hình về các hạt độc lập hay mô hình trường xuyên tâm Mỗi electron chuyển động độc lập với các electron khác. Điều này cho phép ta nói đến trạng thái riêng của từng electron, nghĩa là nói đến những trạng thái hay những hàm đơn electron (các AO). Trường thế tác dụng lên electron cần xét, tạo bởi hạt nhân và các electron khác là trường xuyên tâm. Ta thấy rằng, phương pháp gần đúng này cho phép đưa việc giải phương trình Schrodinger cho hệ N electron về việc giải N phương trình Schrodinger cho hệ đơn electron giống như trường hợp nguyên tử hidro. Hàm sóng của hệ là tích của các hàm đơn electron. 1.2.1.2 Thuyết orbital phân tử (MO-molecular orbital) Thuyết MO dựa trên luận điểm cho rằng trong phân tử tính cá thể (độc lập) của các nguyên tử không còn tồn tại. Phân tử gồm một số có giới hạn các hạt nhân nguyên tử và các electron. Các electron mà chủ yếu là các electron hóa trị phân bố trên các orbital chung của phân tử (các MO). Đối với phân tử, trên cơ sở của nguyên lý chồng chất sóng, các MO thường được thành lập từ sự tổ hợp tuyến tính các AO và được gọi là phương pháp LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals). Như vậy hàm sóng của đơn electron trong một nguyên tử trong mạng tinh thể sẽ có dạng: (1.10)Trong đó là hàm sóng đơn electron và tổng được lấy trên tất cả các nguyên tử trong mạng, là tọa độ vector của hạt nhân thứ k. Nhưng theo mô hình xấp xỉ thì ta có thể chỉ xét các nguyên tử lân cận nhất. là hằng số chuẩn hóa. Vì các electron hóa trị đóng góp phần căn bản vào sự hình thành liên kết nên trong trường hợp chung người ta chỉ xét các electron hóa trị của các nguyên tử. Như vậy, đối với phân tử TiO2, ta chỉ cần xét các hàm sóng của các electron ở phân lớp 3d2, 4s2 của nguyên tử titan và hai electron hóa trị trong phân lớp 2p4 của hai nguyên tử oxy rồi sau đó tổ hợp tuyến tính các hàm sóng này lại ta sẽ được hàm sóng của hệ. 1.2.2 Gần đúng các orbital nguyên tử. 1.2.2.1 Hàm sóng Slater. Hàm sóng Slater được Slater (1930) và Zener (1930) [14] xây dựng cho hệ nhiều electron có tính đến hiệu ứng màn chắn điện tích hạt nhân. Dạng của hàm sóng: (1.11) Với s: là hằng số che chắn điện tích hạt nhân Z tác dụng lên electron cần xét là số điện tích hiệu dụng. Nr là hằng số chuẩn hóa được xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm bán kính: (1.12) Tuy nhiên hàm Slater là hàm không trực giao nên ta có thể dùng phương pháp Gram-Schmidt để tạo ra bộ hàm sóng trực giao với nhau: (1.13) Thực hiện phương pháp này ta có các hàm sóng trực chuẩn cho trong bảng 1.1 [9]: Bảng 1.1: Hàm sóng trực chuẩn của electron trong các phân lớp. Lớp Hàm trong tọa độ cầu Hàm trong tọa độ Descarses 1s 2s 2pz 2px 2py 3s 3pz 3px 3py 3dxz 3dyz 3dxy 4s 1.2.2.2 Hàm sóng Gauss [14]. Hàm sóng Gauss được giới thiệu bởi Boys (1950) và McWeeny (1950). Hàm sóng có dạng: (1.14) Với hệ số chuẩn hóa: (1.15) c là một hằng số dương. 1.3 Phương trình Schrodinger Để thu được những kết quả trong nghiên cứu hệ vi mô, hầu hết cách tiếp cận trong vật lý là giải phương trình Schrodinger độc lập thời gian, phi tương đối tính (1.16) Trong đó là Hamilton của hệ bao gồm M hạt nhân và N electron. (1.17) Với các đại lượng được tính theo đơn vị nguyên tử tức là Trong đó: là toán tử động năng của electron thứ i. là toán tử động năng của hạt nhân A. rij là khoảng cách giữa electron thứ i và electron thứ j riA là khoảng cách giữa electron thứ i và hạt nhân A. RAB là khoảng cách giữa hai hạt nhân thứ A và B. là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử thứ A và B. Trong (1.17), hai số hạng đầu tiên mô tả động năng của electron và hạt nhân, ba số hạng còn lại biểu diễn tương tác giữa hạt nhân và electron và thế đẩy giữa electron-electron và hạt nhân-hạt nhân. Tuy nhiên việc giải phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt vô cùng phức tạp. Do đó các nhà vật lý đã đưa ra nhiều mô hình xấp xỉ Hamilton nhằm tìm lời giải tương đối chính xác. 1.3.1 Gần đúng Oppenheimer Bởi vì khối lượng của hạt nhân rất lớn so với khối lượng electron nên có thể xem hạt nhân đứng yên và electron di chuyển trong trường hạt nhân cố định, điều này dẫn tới động năng của hạt nhân bằng không và thế năng giữa chúng được xem như là một hằng số. Vì vậy phương trình (1.17) có thể được viết lại Đối với electron: (1.18) Với là thế năng tương tác giữa hạt nhân-electron. là thế năng tương tác giữa electron-electron. Nghiệm của phương trình Schrodinger với toán tử là hàm sóng và năng lượng .Năng lượng tổng là tổng của và năng lượng đẩy hạt nhân-hạt nhân . (1.19) (1.20) Trong đó: (1.21) Khi hệ trong trạng thái , giá trị trung bình của năng lượng được cho bởi (1.22) Trong đó: 1.3.2 Gần đúng Hartree-Fock Gần đúng Hartree-Fock cũng là một phương pháp giải gần đúng phương trình Schrodinger đối với các nguyên tử có nhiều electron mà Hartree (1928) và Fock (1930) đã đưa ra để có thể giải thích được các số liệu thực nghiệm của quang phổ nguyên tử. Trong phép gần đúng này thì hàm sóng thử được thiết lập nhờ các hàm sóng cơ sở của các electron riêng biệt phụ thuộc cả vào các biến số không gian lẫn các biến số spin. Hàm sóng hệ N-electron là phản đối xứng và tập hợp các hàm sóng này là hệ các hàm trực chuẩn. Khi đó hàm sóng phản đối xứng được chọn dưới dạng định thức Slater (1.23) Với là tọa độ không gian và spin của electron Giá trị trung bình của toán tử Hamilton với hàm sóng được cho bởi: (1.24) (1.25) Với lần lượt là động năng của electron và thế tương tác electron-hạt nhân (1.26) (1.27) Trong đó: Các tích phân này là thực, và . được gọi là tích phân Coulomb, được gọi là tích phân chuyển đổi. Chúng ta có tính chất . Khi cực tiểu hóa hàm năng lượng với điều kiện chuẩn hóa là dẫn đến phương trình đạo hàm Hartree-Fock: (1.28) Với hệ số nhân Lagrangian là trị riêng của toán tử . Toán tử Fock là một toán tử đối với một electron được định nghĩa (1.29) Với là thế Hartree-Fock (HF), chính là thế đẩy trung bình giữa electron thứ i với N-1 electron còn lại, và nó được cho bởi: (1.30) (1.31) Toán tử Coulomb chỉ thế năng đối với một electron ở vị trí do các electron còn lại gây ra. Số hạng thứ hai trong phương trình (1.30) không giống như cổ điển nữa mà nó có được do ảnh hưởng của spin: (1.32) Các phương trình phải được giải trong “trường tự hợp có nghĩa là trường mà mỗi electron trong hệ chuyển động do hạt nhân cùng với tất cả các electron còn lại trong hệ gây ra. 1.3.3 Lý thuyết hàm mật độ (L