Đồ án Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn

Một số phương pháp nghiên cứu bài tốn điểm tới hạn Võ Giang Giai Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM , 2004 Phương Pháp Trường Giả Gradient CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TRƯỜNG GIẢ GRADIENT I. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ CƠ SỞ: Trong suốt chương này, nếu không nói gì thêm thì ta luôn hiểu rằng là không gian Banach và phiếm hàm thuộc lớp . X RXf →: 1C Định nghĩa 1: Phiếm hàm f gọi là thoả điều kiện ( )C , nếu : { } ( ){ }( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =⊂∀ +∞→ 0lim : nn n n vdf vf Xv bị chặn thì { } kn v∃ hội tụ .‰ Đặc biệt: Nếu điều kiện trên nghiệm đúng trên 0>≥αf (tương ứng 0<−≤ αf ) thì ta nói rằng thoả mãn điều kiện f ( )+C (tương ứng ( )−C ) .‰ Định lý 2: (a) Nếu f thoả điều kiện ( )−C thì: ( ) ( ) ),,:0,0,,( αδα >⇒>−≥∃>∀ dfrvvfkXvrk 0 δv (1) (b) Giả sử f thoả đồng thời 2 điều kiện sau: (i). ,0, >∀ αk ∃ 0,0 >≥ δr : ( ) ( ) δα >⇒>−<<−∈∀ vdfrvvfkXv ,, (ii). Nếu { }nv∀ bị chặn ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ∈∀<⊂ +∞→ 0lim ,0 : * nn n vdf Nnvf X thì { } kn v∃ hội tụ. Khi đó f nghiệm đúng điều kiện ( )−C . Chứng minh: (a) Giả sử f thoả điều kiện ( )−C nhưng không thoả (1) Trang 3 Phương Pháp Trường Giả Gradient Vì vậy ∃ 0, 00 >αk và { } Xvn ⊂ sao cho: ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ < > α−<<− n 1vdf nv vfk n n 0n0 )( *Nn∈∀ (2) (3) (4) Từ (2) và (4) suy ra ∃ { } kn v hội tụ (Vì thoả điều kiện f ( )−C ) Cùng với (3) ta có *, Nkknv knk ∈∀≥≥ Do đó +∞= +∞→ knk vlim Điều này dẫn đến mâu thuẫn với { } kn v hội tụ. (b) Xét dãy { } ( ){ }nn vfXv ,⊂ bị chặn dưới, ( ) *,0 Nnvf n ∈∀<−≤ α và ( ) 0lim =+∞→ nn vdf (5) ta cần chứng minh { } kn v∃ hội tụ. Quả vậy, giả sử { } không bị chặn, tức là: nv { } kn v∃ sao cho *, Nkkv kn ∈∀≥ Gọi 0<− β là một chặn dưới của ( ){ }nvf thì: ( ) *,, Nkkvvf kk nn ∈∀≥−≤≤− αβ Theo điều kiện (i) 0>∃δ (không phụ thuộc vào k) sao cho: ( ) *, Nkvdf kn ∈∀> δ Dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện (5) Tức là bị chặn { }nv Do đó theo điều kiện (ii)∃ { } kn v hội tụ .‰ Hệ quả 3: Nếu X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì điều kiện ( )−C tương đương với điều kiện: ( ) ( ) δ>⇒>α−δ≥∃>α∀ vdfrv,vfk,Xv:0,0r,0,k Trang 4 Phương Pháp Trường Giả Gradient Chứng minh: Ta đã biết rằng trong không gian hữu hạn chiều: “Mọi dãy bị chặn đều tồn tại ít nhất một dãy con hội tụ”. Vì vậy, nếu là hữu hạn chiều thì kết hợp với định lý 2 ở trên ta có ngay hệ quả 3 .‰ X Định nghĩa 4: Phiếm hàm gọi là riêng, nếu f ∀K là tập compact trong R thì ( )Kf 1− là tập compact trong X .‰ Định lý 5: Nếu f thoả điều kiện ( )C thì sự thu hẹp của trên tập các điểm tới hạn của nó là riêng. f Chứng minh: Gọi ( ){ }0/ =∈=W ompact trong R vdfXv và K là tập c Ta cần chứng minh ( )KfW 1−∩ là tập compact trong X Quả vậy: Xét dãy { } ( )KfWvn 1−∩⊂ ( ){ }⎩⎨ ⎧ ⊂ ⊂⇔ Wv Kvf n n ( ){ } ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =⇒ +∞→ 0lim nn n vdf vf bị chặn trong R Hơn nữa f thoả điều kiện ( )C , nên { } kn v hội tụ về Xv∈ ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == →⇒ +∞→ 0lim k k nk n vdfvdf vfvf Trang 5 ( )( )⎩⎨ ⎧ = ∈⇒ 0vdf Kvf ( ) ⎩⎨ ⎧ ∈ ∈⇔ − Wv Kfv 1 ( )KfWv 1−∩∈⇔ Vậy { } kn v∃ hội tụ về ( )KfWv .‰ 1−∩∈ 1(Vì thuộc lớp C ) f (Vì K là tập Compact) Phương Pháp Trường Giả Gradient Hệ quả 6: Nếu f thoả điều kiện ( )C và ( ){ }0/ =∈= vdfXvW thì là tập đóng trong R. ( )Wf Chứng minh: Xét dãy { } ( )Wfyn ⊂ , yyn → với ( )nn vfy =⇒ { } Wvn ⊂ Như vậy ( ){ } ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+∞→ 0lim nn n vdf vf hặn (Vì { }ny hội tụ) bị c (Vì { } W ) vn ⊂ Mặt khác f thoả điều kiện ( )C , nên ∃ { } kn v hội tụ về Xv∈ ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == →⇒ +∞→ 0lim k k nk n vdfvdf vfvf (Vì thuộc lớp ) f 1C ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = →⇒ 0vdf vfy kn ( )( )⎩⎨ ⎧ = =⇒ 0vdf vfy ( )Wfy∈⇒ Vậy ( là tập đóng trong R .‰ )Wf Định lý 7: Cho là không gian Hilbert, thuộc lớp . X RXf →: 2C Khi đó theo định lý Riesz Xv∈∀ ∃ ! ( ) Xvf ∈∇ : ( )( ) ( ) wvfwvdf ,∇= , Xw∈∀ Xét bài toán Cauchy: ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −∇= vt f dt d 0ϕ ϕϕ (6) ( )Rt ∈0 Khi đó tồn tại khoảng lớn nhất ( )+− ωω , ( +∞≤ω<ω≤∞− +− ) chứa để (6) có duy nhất nghiệm trên (xem ở [4]) .‰ 0t Trang 6 Phương Pháp Trường Giả Gradient Định lý 8: Cho X là không gian Hilbert, thuộc lớp thoả điều kiện , gọi RXf →: 2C ( )C ϕ là nghiệm của (6). Khi đó: (i). Hoặc ( )( ) −∞= +→ tf t ϕωlim (tương ứng ( )( ) +∞=−→ tft ϕωlim ) (ii). Hoặc +∞=+ω (tương ứng −∞=−ω ) và tồn tại Xq∈ , dãy +∞→nt (tương ứng −∞→nt ) sao cho: ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+∞→ 0 lim qdf qtnn ϕ Chứng minh: Đặt ( ) ( )( ) ( )+−∈= ωωϕ ,, ttftg Ta có ( ) ( )( ) 02, ≤∇−= tftg ϕ giảm trên g⇒ ( )+− ωω , ( ) [ )+∞∞−∈=⇒ +→ ,lim ctg t ω . ∗ Nếu −∞=c thì ( )( ) −∞= +→ tf t ϕωlim ∗ Nếu −∞>c ta có ( )ϕϕ f d d t −∇= ( ) ( ) ( )( )∫∇=−⇒ t s drtfst .ϕϕϕ ,với ⎨ ⎧ <≤≤ +ωtsa⎩ a cố định ( )+−∈ ωω , ( )( )∫ ∇≤ t s drrf ϕ ( )( ) 2 1 2 2 1 2 .1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∇⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤ ∫∫ t s t s drrfdr ϕ (Do bất đẳng thức Holder) ( ) ( )( ) 2 1 22 1 . ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∇−≤ ∫+ ω ϕ a drrfst Vì vậy nếu +∞<ω+ thì ( ){ } [ )+∈ ωϕ ,att là dãy Cauchy trong X Do đó ( ) Xvt ∈→ϕ (khi +→ωt ) Điều này chứng tỏ nghiệm phương trình (6) có thể kéo dài về bên phải của +ω (Do định lý về kéo dài nghiệm) Dẫn đến mâu thuẫn với định nghĩa của +ω Trang 7 Phương Pháp Trường Giả Gradient Do đó +∞=+ω Khi đó ( ) ( )( ) [ )∫ ∫+∞ + +∞∈∇=∇ a a drrfdrrf ω ϕϕ ,022 Ta cần chứng minh luôn tìm được dãy ( )( ) 0: →∇+∞→ nn tft ϕ (7) Thật vậy, theo định lý trung bình: [ ] ( )*Nn∈ sao cho ( )( ) ( )( )∫+ + ∇=∇ na na n drrfn tf 2 22 1 ϕϕ nanatn 2,+∈ +∃ ⇒ ( )( ) ( )( )∫+∞ →∇≤∇≤ a n drnfn tf 010 22 ϕϕ (khi ) +∞→n ⇒ ( )( ) 02 →∇ ntf ϕ ⇒ ( )( ) 0→∇ ntf ϕ Tức là (7) đúng. Như vậy ta có ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧Dãy ( )( ){ }ntf ϕ hội tụ ( )( ) 0→∇ ntf ϕ Vì vậy ∃ ( ) Xqt kn ∈→ϕ (Vì f thoả điều kiện ) ( )C ( ) 0=∇⇒ qf (Vì thuộc lớp ) f 2C Trong trường hợp −→ωt phép chứng minh tương tự .‰ Hệ quả 9: Cho X là không gian Hilbert, thuộc lớp bị chặn dưới và thoả điều kiện . Khi đó đạt giá nhỏ nhất trên . RXf →: 2C ( )C f X Chứng minh: Do f bị chặn dưới nên ∃ ( ){ } RcXvvf ∈=∈/inf ⇒ ∃ { } ( ) *,1: Nn n cpfcXp nn ∈∀+<≤⊂ Gọi ϕ là nghiệm của (6) thoả ( ) np=0ϕ Trang 8 Phương Pháp Trường Giả Gradient Khi đó theo định lý 8 ∃ { } ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +<≤≤ = ⊂ n cpfqfc qdf Xq nn n n 1 0 : ( )*Nn∈∀ Do đó ∃ qq kn → (vì f thoả điều kiện ) ( )C ( ) cqf =⇒ (vì ( ) *,11 Nk k c n cqfc k nk ∈∀+≤+<≤ ) Vậy đạt giá trị nhỏ nhất tại f Xq∈ .‰ II. ĐỊNH LÝ MINIMAX: Định nghĩa 10: gọi là vectơ giả gradient của tại Xw∈ f Xv∈ , nếu thoả đồng thời hai điều kiện sau: w (i). ( )vdfw 2≤ (ii). ( )( ) ( ) 2vdfwvdf ≥ .‰ Định nghĩa 11: Cho XSXS →Φ⊂≠ :,φ gọi là trường vectơ giả gradient của trên , nếu thì là vectơ giả gradient của tại .‰ f S Sv∈∀ ( )vΦ f v Định lý 12: Cho ( ){ }0/ =∈= vdfXvW và WXX \~ = thì ta luôn tìm được hàm XX →Φ ~: Lipschitz địa phương trên , đồng thời cũng là một trường vectơ giả gradient của trên . X~ f X~ Chứng minh: Xv ~∈∀ , tacó ( ) ( )( ){ }1,/inf =∈= wXwwvdfvdf nên: ∃ 1~:~ =∈ wXw và ( )( ) ( )vdfwvdf 3 2~ > Khi đó chọn ( ) wvdfw ~ 2 3= ,ta được ( ) ( )( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥ ≤ 2 2 3 2 3 vdfwvdf vdfw (8) Trang 9 Phương Pháp Trường Giả Gradient Hơn nữa liên tục tại v và df ( ) 0>vdf , nên tồn tại quả cầu mở tâm v: vB ( ) ( ) ( ) vBuvfudfvdf ∈∀≤≤ ,6 7 6 5 (9) Ta lại chọn tiếp wwv = hoặc wwv −= để ( )( ) 0~ >wudf Từ (8) và (9) ta có ( ) ( )( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ ≤ 2 2 udfwudf udfw v v , vBu∈∀ (10) Mà Xv vBX ~ ~ ∈ = ∪ là paracompact, nên cùng với (10) suy ra tồn tại phủ làm mịn hữu hạn { } iv B của và X~ Xw iv ~∈ , sao cho: Ii∈ ( ) ( )( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ ≤ 2 2 udfwudf udfw i i v v , iv Bu∈∀ (11) Đặt ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ( ) ( ) ( )( )∑ ∑ξ ξ=Φ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ Χ∈−=ξ i j j iv v ~ i v vw v B\w/wvinfv i i , Xv ~∈ Khi đó Xvv ~, 21 ∈∀ và 0>∀ε , ta luôn ivBXw \~∈∃ ε : ( ) εξε +<− 22 vwv i ( ) ( ) 21222111 vvvwvvvwvv ii −++<−+−≤−≤⇒ εξξ εε ( ) ( ) 0,2121 >∀−+<−⇒ εεξξ vvvv ii ( ) ( ) 2121 vvvv ii −≤−⇒ ξξ (12) Chứng minh tương tự ( ) ( ) 1212 vvvv ii −≤−ξξ (13) Từ (12) và (13) ta có ( ) ( ) 2121 vvvv ii −≤−ξξ (14) Từ (11) và (14) ta dễ dàng kiểm tra được rằng thoả mãn vấn đề đặt ra. Φ Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn .‰ Trang 10 Phương Pháp Trường Giả Gradient Định nghĩa 13: Cho Rc∈ và 0>δ , ta đặt ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <∈= ==∈= =∈= =∈= ≤∈= − − δδ c c c WvdXvU cfWcvfWvW vdfXvW cvfXvcf cvfXvf ,/ / 0/ / / 1 1 ∩ ( ) .‰ Bổ đề 14: Cho XA ⊂≠φ . Ta có (i). RX d →: ( ) ( )Avdvdv ,=6 liên tục đều. (ii). Nếu A đóng thì ( ) Avvd ∈⇔= 0 Chứng minh: (i). AwXvu ∈∀∈∀ ,, .Ta có: ( ) ( ) ( )wvdvudwud ,,, +≤ ,với ( ) vuvud −=, ( ) ( ) ( ) ( )wvdvudwudAud ,,,, +≤≤⇒ ( ) ( ) ( )wvdvudAud ,,, ≤−⇒ ( ) ( ) ( )AvdvudAud ,,, ≤−⇒ (Do tính chất cận dưới) ( ) ( ) ( )vudAvdAud ,,, ≤−⇔ Chứng minh tương tự ( ) ( ) ( )uvdAudAvd ,,, ≤− Vậy ( ) ( ) ( )vudAvdAud ,,, ≤− , Xvu ∈∀ , (ii). Nếu Av∈ thì ( ) ( ) 0,,0 =≤≤ vvdAvd ( ) 0, =⇒ Avd Ngược lại nếu ( ) 0, =Avd thì { } Avn ⊂∃ sao cho: ( ) n vvd n 1,0 <≤ ( ) 0,lim =⇒ +∞→ nn vvd vvn →⇒ Mà A đóng nên Av∈ .‰ Trang 11 Phương Pháp Trường Giả Gradient Bổ đề 15: Cho thoả điều kiện f ( )C thì 0>∀δ , ∃ 0, >εb : ( ) bvdf ≥ , ( ) DUffv cc =∈∀ −+ 2 \\ δ εε Chứng minh: ∗ Nếu WDv \∈ thì chọn 0 3 2 >= wb (Do (8), phần chứng minh của định lý 12), ta có ngay ( ) bvdf ≥ ∗ Nếu WDv ∩∈ . Giả sử bổ đề trên sai, tức là: 0>∃δ và 2 11 \\ δUffv n c n c n ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛∈ −+ ,( ) *Nn∈∀ thoả ( ) n vdf n 1≤ Tức là ( ) ( ) ( )⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ δ≥ +<<− n 1vdf 2 W,vd n 1cvf n 1c n cn n (15) Do đó vv kn ~→∃ (vì f thoả điều kiện ( )C ) Từ đó cùng với (15), cho +∞→k ta được: ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ δ≥ ≤≤ 2 W,v~d cv~fc c Trang 12 ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ δ≥ = ⇒ 2 W,v~d cv~f c ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ δ≥ ∈ ⇒ 2 W,v~d Wv~ c c ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ δ≥ = ⇒ 2 W,v~d 0W,v~d c c (Do bổ đề 14) (Do bổ đề 14) Dẫn đến mâu thuẫn Vậy bổ đề được chứng minh .‰ Phương Pháp Trường Giả Gradient Nhận xét: (i). Qua việc chứng minh này, suy ra được rằng: “Nếu c>0 (tương ứng c<0) thì bổ đề 15 vẫn còn đúng khi thay điều kiện ( )C bởi điều kiện ( )+C (tương ứng ( )−C ) và ε có thể chọn ( )c,0∈ (tương ứng ( )c−,0 )”. (ii). Xét ⎭⎬ ⎫ 8 , 2 0 δb ⎩⎨ ⎧<<< , 32 min 2 1 δδεε b ⎩ ⎧ ∪= −+ −+ εε εε cc cc ffB ffXA \ \ 11 Đặt ⎪ ⎪⎨ = ( ) và ( ) ( )( ) ( )BvdAvd Avdvg , v ,, , += X∈ Ta kiểm tra được: ∗ φ=∩ B A ∗ g xác định trên X (vì ( ) ( ) Xv∈∀BvdAvd >+ , ) 0,, ∗ g thoả điều kiện Lipschitz địa phương trên X (Do bổ đề 14) ∗ ( ) 10 ≤≤ vg , Xv∈∀ ∗ ⎩⎨ ∈ Av,0 1 ( ) ⎧ ∈= Bvvg , Xây dựng tương tự, ta có thêm hàm Lipschitz địa phương trên thoả: h X ( ) Xvvh ∈∀≤≤ ,10 và ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈ ∈ = 4 8 ,0 \,1 δ δ Uv UXv vh . Lưu ý: Các kết quả này sẽ được sử dụng cho các bổ đề và định lý về sau trong chương này .‰ Bổ đề 16: Đặt ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )vvvhvgv ΦΦ=Φ ...~ ξ , Xv∈ với ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ξ ⎧ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <≤ ≥= 10,1 1,1 t t tt Khi là hàm Lipschitz địa phương trên và Φ là hàm số tìm được ở định lý 12 đó Φ~ X ( ) Xvv ∈∀≤Φ ,1~ . Trang 13 Phương Pháp Trường Giả Gradient Chứng minh: và ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = 1 1 ttξ Trang 14 Xv∈∀ , ta có ( ) ( ) 1,0 ≤≤ vhvg Do đó: 10, 1, <≤ ≥ t t ( ) 1<Φ v∗ Nếu thì: ( )vΦ~ ( ) ( ) ( )( ) ( )vvvhvg ΦΦ ... ξ= ( )vΦ≤ .1.1.1 1< ( ) 1>Φ v∗ áu Ne thì: ( )vΦ~ ( ) ( ) ( )( ) ( )vvvhvg ΦΦ ... ξ= ( ) ( ) 1. 1.1.1 =ΦΦ≤ vv Như vậy ( ) Xvv ∈∀≤Φ ,1~ Mặt khác đều là các hàm Lipschitz địa phương trên và Φ,,hg X ξ là hàm Lipschitz trên [ )+∞,0 . Khi đó vv BX ∃∈∀ (, quả cầu mở tâm v) sao cho là các hàm Φ,,hg Lipschitz trên vB , vì vậy: ) ( )( 21 ~~ vΦ−Φ v = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )222211 .... vvvhvgvv ΦΦ−Φ ξ 11 .. vhvg Φξ ≤ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]21111 ... vvvvhvg Φ−ΦΦξ + + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2111 ... vvvhvg Φ−Φ ξξ + 2vΦ + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 + 2211 ... vvvhvhvg ΦΦ− ξ + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22121 .. vvhvgvg Φ− ξ . vΦ ≤ ( ) ( ) vvv MvvLMvv ... 2121 −+ (v ùi lần lượt là các hằng số Lipschitz của vv KMvv ..21 −+Φ−Φ ơ vvv NLK ,, Φ,, gh và 0> là chặn trên của vM ( )2vΦ ) ≤ ( ) ( ) ( ) vuMLKMvv v +Φ−Φ 1 vvv −+ ...2 ≤ ( ) vuMLKMvvN vvvvv −++− .... 21 ≤ ( ) 21.. vvNLKM vvvv −++ , vBvv ∈∀ 21 , Phương Pháp Trường Giả Gradient ⇒ Φ~ Lipschitz trên vB ⇒ Φ~ Lipschitz địa phương trên .‰ Bổ đề 17: X Xét ở ổ đehàm Φ~ b à 16. Khi đó Xv∈∀ , gọi )⋅,(vϕ là nghiệm của bài toán Cauchy: Trang 15 ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = Φ−= v dt d 0, ~ ϕ ϕ ,với ( ) v ϕ +− ωω , ( +∞≤ω≤∞− ω< +− Khi đó: (i). ):khoảng lớn nhất chứa 0 ( )⋅,vϕ xác định trên R ( ) [ ]( )εεϕ +−∉∀∈∀= − ccfvRtvtv ,,,, 1 (ii). (iii). ( )( ) ( ) ,,, 0∀∈∀≤ tXvvftvf ϕ ≥ minh:Chứng ( )+−Nếu ∈∀+∞<+ ωω ω,,, ts , ta có: ( ) ( ) ( )( )∫Φ=− t s drrvtvsv ,~,, ϕϕϕ ( )( )∫ Φ≤ t s drrv,~ ϕ ts −≤ ( ){ } ( )+−∈⇒ ωωϕ ,, ttv là dãy Cauchy trong X ( ) Xvtv ∈→⇒ ~,ϕ (khi +→ωt ) Vì vậy nghiệm bài t å kéo dài về bên phải của oán Cauchy trên có the +ω .Dẫn đến mâu thua iả thi ãn với g ết Do đó .+∞=+ω ứng minh tương tự . Ch −∞=−ω Hơn nữa Φ~ ( )⋅,vϕ Lipschitz địa phương trên X nên là nghiệm duy nhất xác định trên R ∗ Ta có ( ) Avvg ∈∀= ,0 ( ) Avv ∈∀=Φ⇒ ,0~ ( ) [ ]( ) Rtccfvvtv ∈∀+−∉∀⇒ − ,,, 1 εεϕ ∗ = , ( )( )tv dt df ,ϕ ( )( ) ( )⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= tv dt dtvdf ,., ϕϕ Phương Pháp Trường Giả Gradient ( )( ) ( )( )( )tvtvdf ~.,ϕ ,ϕΦ−= ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )tvtvtvhtvgtvdf ,.,.,.,., ΦΦ−= ϕξϕϕϕ ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) (( )tvtvdftvtvhtvg ,.,.,.,., ϕϕϕξϕϕ ΦΦ−= ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 2,.,.,., tvdftvtvhtvg ϕϕξϕϕ Φ−≤ RtXv ∈∀∈∀≤ ,,0 (Vì là trường vectơ giả gradient của trên nên Φ f Χ~ ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 0,,,,., 2 ≠∀≥Φ tvdftvdftvtvdf ϕϕϕϕ ) äy Như va ( )( ) RtXvtvf dt d ∈∀∈∀≤ ,,0,ϕ ( )( ) ( )( ) ,,0,, ≥≤⇒ f Trang 16 0∀∈∀ tXvvftv ϕϕ ( )( ) ( ) 0,,, ≥∀∈∀≤⇒ tXvvftvf ϕ .‰ Định lý 18: Cho thoả điều kiện f ( )C , là tập mở và giả thiết của bổ đề 17. ∪⊂cW : ( )( ) εεεϕ −−+ ⊂ ccc fff 1,\\ ∪Khi đó 0>∃ε . Chứng minh: Trường hợp 1:∗ uNế φ≠cW , ta có: ( ){ } ( )cfWcvfWvWc 1−∩== là tập compact (Do định lý 5) Ta sẽ chứng minh /∈= ∪∪ ⊂>∃ δδ :0 (Giả sử ngược lại thì ∃ ∪∪ \1 n nv ∈ , *Nn∈∀ ( ) n Wvd cn 1, <⇒ { } ( ) nn Wvdw vWw cnnncn 21,: <+<−⊂∃⇒ n wv nn 2<−⇒ (16) là tập compa Mà cW ct nên ∪⊂∈→∃ cn Www k (17) Phương Pháp Trường Giả Gradient ⎪⎩ ⎪⎧ <− 2wv nnNhư vậy ⎨ → ww k k kk n wwwvwv kkkk nnnn −+−≤−⇒ 02 →−+< ww k kn wv kn →⇒ (18) Điều này mâu thuẫn với là tập mở) Do đó để ch a h: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ∈→ ∉⇒ ∪ ∪ wv v k k n n (Do (17) và (18)) ∪ ứng minh định lý này, ta c àn chứng min ( )( ) εδεεϕ −−+ ⊂ ccc fff 1,\\ ∪ là đủ Trang 17 (Do nên ∪∪ ⊂δ (( ) ) (( ) )1,\\\ δεεε ϕϕ ∪−++ ⊂ ccc fff ) 1,\ε ∪−cf ( )( )( ) δεεε ∪\\, −+∈∀ cc ffv −≤ cf 1,vϕ⇔ ( )1α ε−≤ c ⇔ (19) vơ ( ùi ( ) ( )( ) Rttvft ∈= ,,ϕα ) Ta cần chứng i ậym nh (19), quả v : ( ) 8 \\ δ εε ∪−+∀ cc ff và t∈v <∀0 đủ bé, thì ( ) ( ) [ ]tsffsv cc ,0,\\, 2 ∈∀∈ −+ δεε ϕ ∪ Lúc này ta có ( )∉ −εcftv, ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ∈ +ε ϕ cfv ⇒ ( )( )( )⎩⎨ ⎧ +≤ −> ε εϕ cvf ctvf , ⇒ ( )( )⎩⎨ ⎧ +≤ −> εα εα c ct 0 ⇒ ( ) ( ) εαα 20 <t (20) − ⇒ ε2 (∫−> t 0 ,α )dss ( )( ) ( )∫ ⎟⎞⎜⎛−= t dssvdsvdf .,., ϕϕ ⎠⎝ dt0 ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )∫ ΦΦ= t dssvsvdfsv 0 ,.,., ϕϕϕξ Phương Pháp Trường Giả Gradient (Vì ( ) ( ) 8 \\ ( )( ) ( )( ) 1,, ==δεε ∪−+ cc f nên ,ϕ ∈ fsv vhsvg sϕ ϕ ) ≥ ( )( )( ) ( ))(∫ Φt dssvsv 0 2,,ϕξ øng vectơ giả gradient của f rên ) df. ϕ Χ~(Vì Φ là trươ t ( )( )( ) ( )( )∫ Φ≥ t dssvdfsvb 0 .,., ϕϕξ (Do bổ đề 15) ( )( )( ) ( )( )∫ ΦΦ≥ t dssvsvb 0 .,., 2 ϕϕξ ) Trang 18 (Vì Φ là trươ trên øng vectơ giả gradient của f ) Χ~ ( )( )( ) ( )( )∫ ΦΦ≥ t dssvsvb .,., ϕϕξ 02 ( )( )∫Φ= t dssvb 0 .,~ 2 ϕ (Vì ( )( ) ( )( ) 1,, == svh ) vg sϕ ϕ ( )∫= t dssvdtdb 0 ,2 ϕ ( ) vtvb −= , 2 ϕ ( ) 8 4, δε <<− b vt ϕ⇒ v ( ) 8 , δϕ <−⇒ vtv ( ) 2 , δϕ ∪∉⇒ tv (21) ợc lại thì (Vì ngư ( )( ) 2 ,, δϕ <cWtvd Cùng với ( ) δ≥cWvd , δ (Vì ∪∉v ) δ ( ) 8 , δϕ <−≤ tvv ( ) ( )( ) 2 ⇒ cc WtvdWvd ,,,< − ϕ (Do bổ đề 14) đi đến mâu thuẫn) Phương Pháp Trường Giả Gradient Nếu (19) sai thì ( ) εα −> c1 ( ) ( ) ( ) εαααε +≤<<<−⇒ ctc 01 ( )( ) εϕε +≤<−⇒ ctvfc , ( ) εεϕ −+∈⇒ cc fftv \, (22) Từ (21) và (22) ta có ( ) ( ) 2 \\, δ εεϕ ∪−+∈ cc fftv ( )( ) 0, >≥⇒ btvdf ϕ (Do bổ đề 15) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 2,., tvdftvt dt d ϕϕξα Φ−≤⇒ (Do kết quả chứng minh của bổ đề 17) Vì ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <≤ ≥= 10,1 1,1 t t ttξ Nên: ∗ Nếu ( )( ) 1, <Φ tvϕ thì ( ) ( )( ) 22, btvdft dt d −≤−≤ ϕα ∗ Nếu ( )( ) 1, ≥Φ tvϕ thì ( ) ( )( )( )( ) 4 1 , , 2 −≤Φ−≤ tv tvdf t dt d ϕ ϕα (Vì Φ là trường vectơ giả gradient của f trên ) Χ~ Như vậy ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −−≤ 4 1,min 4 1,max 22 bbt dt d α Bất đẳng thức cuối đúng với t<0 đủ bé, nên ta có thể xem: ( ) ( ]δα ,0, 4 1,min 2 ∈∀⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−≤ tbt dt d ( ) ∫∫ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤⇒ δδ α 0 2 0 4 1,min dtbdtt dt d ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−≤−⇒ 4 ,min0 2 δδαδα b ( ) ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧≥−⇒ 4 ,min0 2 δδδαα b Trang 19 Phương Pháp Trường Giả Gradient Cùng với (20) ta có ( ) ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧≥−> 4 ,min02 2 δδδααε b ⇒ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧> 8 , 2 min 2 δδε b Dẫn đến mâu thuẫn Tức là (19) đúng. ∗ Trường hợp 2: Nếu φ=cW thì φδ =∪ : Ta có ( ) Bffff cccc =⊂ −+−+ εεεε \\\ ∪ Do đó ta chỉ cần chứng minh ( ) εϕ −⊂ cfB 1, là đủ ( )( ) Bvcvf ∈∀−≤⇔ ,1, εϕ ( ) εα −≤⇔ c1 (23) [ ]δ,0, ∈∀∈∀ tBv , ta có ( ) ( ) ( ) εααα +≤≤≤ ct 01 Nếu (23) sai thì ( ) εα −> c1 ,nên ( )( )⎩⎨ ⎧ +≤ +≤<− εα εαε c ctc 0 ( )( )( ) ( )⎩⎨ ⎧ <− +≤<−⇒ εαα εϕε 20 , t ctvfc ( ) Btv ∈⇒ ,ϕ ( )( ) 0, >≥⇒ btvdf ϕ Chứng minh tương tự như trường hợp φ≠cW , ta được: ( ) ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧≥− 4 ,min0 2 δδδαα b Cùng với (24) ta có ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧> 4 , 2 min 2 δδε b Dẫn đến mâu thuẫn Tức là (23) đúng (24) Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn .‰ Trang 20 Phương Pháp Trường Giả Gradient Định lý 19 (định lý Deformation): Với giả thiết như định lý 18, ta có kết quả mạnh hơn ( ) εεϕ −+ ⊂ cc ff 1,\ ∪ Chứng minh: ta có 2 trường hợp sau: ∪\ε+∈∀ cfv ∗ Nếu ε−∈ cfv th