Đồ án Tính toán và mô phỏng uốn tấm NanoComposite nền polymer cốt Graphene

LỜI CẢM ƠN Chúng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong viện cơ khí – Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình chỉ dạy chúng em trong suốt 5 năm qua. Chúng em cũng xin cảm ơn các thầy cô trong bộ môn Cơ học vật liệu đã giúp đỡ chúng em trong thời gian hoàn thành đồ án tốt nghiệp. Đặc biệt chúng em tỏ lòng cảm ơn đến thầy Lê Minh Quý đã trực tiếp tận tình hướng dẫn chỉ bảo chúng em hoàn thành đồ án này. LỜI NÓI ĐẦU Trong quá trình phát triển, con người luôn có những phát minh phục vụ cuộc sống của mình. Việc tìm ra vật liệu mới thay thế vật liệu truyền thống là một bước tiến của khoa học mà công nghệ na nô được nhắc tới như là một điển hình. Tất cả các máy, kết cấu và dụng cụ có thể được thiết kế từ kích thước nguyên tử. Những tấm graphene có độ bền phá kỷ lục có thể là ý tưởng để thiết kế những dụng cụ có cấu trúc na nô và kết cấu na nô-composite. Kể từ khi “chất liệu nghi vấn” graphene – các tấm carbon chỉ dày một nguyên tử - được khám phá ra vào năm 2004 do hai nhà khoa học người Nga là Konstantin Novoselov và Andre Geim. Nó đã tỏ ra là một chất dẫn điện cực kì tốt; một chất bán dẫn có thể dùng để chế tạo transistor; và là một vật liệu rất bền. James Hone, Jeffrey Kysar, Changgu Lee và Xiaoding Wei ở trường đại học Columbia đã chứng minh cho thấy nó là chất liệu bền nhất từ trước đến nay[1]. Do khó khăn trong nghiên cứu thực nghiệm, mô phỏng số được coi là công cụ đắc lực mô hình hóa và xác định đặc trưng cơ học của Graphene và Composite từ nó. Với đề tài: “Tính toán và mô phỏng uốn tấm nanocomposite nền polymer cốt graphene”. Đồ án sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và phần mềm Marc để mô hình hóa và xác định đặc trưng cơ học của graphene và tính toán bài toán uốn tấm nanocomposite nền polymer cốt graphene. Nội dung chính của đồ án được trình bày như sau: Chương 1 :trình bày về lịch sử phát triển và ứng dụng, cấu trúc và các đặc tính của graphene. Cơ sở lựa chọn loaị vật liệu composite của graphene để nghiên cứu Chương 2 :mô hình hóa tấm graphene bằng phương pháp phần tử hữu hạn và tính mô đun đàn hồi của tấm graphene. Chương 3 : Mô hình phần tử hữu hạn của bài toán Chương 4 : Kết quả cho bài toán uốn Chương 5 : Kết Luận Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 LỜI NÓI ĐẦU 2 Kí hiệu sử dụng trong đồ án 7 CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG 9 1.1 Định nghĩa 9 1.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng của Graphene 10 1.3 Cấu trúc của Graphene. 11 1.4 Các đặc tính của Graphene. 12 1.4.1 Đặc tính về cơ học. 12 1.4.2 Đặc tính về điện 13 1.4.3 Đặc tính về nhiệt 13 1.5 Cơ sở lựa chọn đề tài 14 CHƯƠNG 2:MÔ HÌNH PTHH VÀ MODUN ĐÀN HỒI CỦA GRAPHENE 16 2.1 Mô hình phần tử hữu hạn cho tấm Graphene 16 2.2 Mô đun đàn hồi của phần tử dầm. 17 2.2.1 Hàm thế năng 17 2.2.2 Quan hệ giữa các thông số của mặt cắt ngang và lực 18 2.3 Sơ lược về phương pháp cơ học kết cấu đối với hệ khung không gian. 21 2.3.1 Bài toán kéo – nén 22 2.3.2 Bài toán uốn 23 2.3.3 Bài toán xoắn 25 2.3.4 Bài toán kéo, uốn, xoắn đồng thời 26 2.4 Tính toán cơ tính của tấm graphene. 27 2.4.1 Kéo theo phương armchair. 27 2.4.2 Kéo theo phương zigzac. 28 CHƯƠNG 3 : MÔ HÌNH PTHH CỦA BÀI TOÁN 29 3.1 Đặc trưng vật liêu. 29 3.2 Mô tả bài toán. 29 3.3 Xây dựng mô hình. 29 CHƯƠNG 4 : KẾT QUẢ TÍNH TOÁN. 32 4.1 Lý thuyết tấm Kirchoff 32 4.2 Kết quả bài toán theo phương pháp giải tích. 34 4.3 Kết quả bài toán theo phần mềm Marc. 35 4.3.1 Mô hình 100% nhựa Epoxy. 36 4.3.2 Mô hình Vs=2.5%. 37 4.3.3 Mô hình Vs= 5%. 38 4.3.4 Mô hình Vs= 10%. 39 4.3.5 Mô hình Vs= 15%. 40 4.3.6 Mô hình Vs= 20%. 41 4.4 Sự phụ thuộc độ võng tấm vào số lớp Graphene trên nền Epoxy. 42 CHƯƠNG 5 : KẾT LUẬN 44 Tài liệu tham khảo 45 Kí hiệu sử dụng trong đồ án Kí hiệu  Ý nghĩa   E  Mô đun đàn hồi   Ed  Mô đun đàn hồi của phần tử dầm   Vs  % thể tích graphene trong composite   Gd  Mô đun trượt của phần tử dầm   L  Chiều dài của phần tử dầm   d  Đường kính của phần tử dầm   A0  Diện tích mặt cắt ngang của phần tử dầm   L0  Chiều dài ban đầu của Graphene   h  Chiều dày tấm Composite   b  Chiều rộng của tấm Composite   P  Lực phân bố đều tác dụng lên Composite   Jx  Mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm theo trục x   Jy  Mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm theo trục y   J  Mô men quán tính độc cực mặt cắt ngang của dầm   J0  Mô men quán tính độc cực mặt cắt ngang của ống na nô các bon   kr  Hệ số dãn dài trong hàm thế năng   kθ  Hệ số uốn trong hàm thế năng   kτ  Hệ số chống xoắn trong hàm thế năng   D  Độ cứng uốn của Tấm Composite   Mx  Mô men uốn   Mz  Mô men xoắn   Nz  Lực dọc trục   F  Lực kéo tác dụng lên tấm Graphene   Ptl  Giá tri lớn nhất của lực kéo trong giai đoạn đàn hồi của mẫu thử   A  Diện tích mặt cắt ngang của Graphene   u  Chuyển vị   Kí hiệu sử dụng trong đồ án (tiếp) Kí hiệu  Ý nghĩa   Ur  Năng lượng liên kết khi kéo trong hàm thế năng   Uθ  Năng lượng liên kết khi uốn trong hàm thế năng   UФ  Năng lượng liên kết khi xoắn trong hàm thế năng   Uω  Năng lượng liên kết khi xoắn không cùng mặt phẳng   Uvdw  Năng lượng tương tác do lực Van der Waals   W  Độ võng của tấm Composite   ΔL  Biến dạng dài của tấm   Δr  Độ giãn dài trong hàm thế năng   Δθ  Góc uốn trong hàm thế năng   ΔФ  Góc xoắn trong hàm thế năng   α  Góc xoay của dầm   β  Góc xoắn của điểm cuối dầm   γ  Góc trượt (Độ trượt tương đối)   ε  Biến dạng   θ  Góc xoay tỉ đối mặt cắt ngang của ống khi chịu mô men xoắn   σ  Ứng suất   σtl  Giới hạn tỉ lệ của vật liệu   σb  Ứng suất bền   τ  Ứng suất tiếp   υ  Hệ số Poát xông   φ  Góc xoay của mặt cắt ngang   CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU CHUNG 1.1 Định nghĩa Graphene là một dạng thù hình của các bon với kết cấu na nô. Graphene là tấm phẳng dày bằng một lớp nguyên tử của các nguyên tử cácbon với liên kết sp2 tạo thành dàn tinh thể hình tổ ong. Tên gọi của nó được ghép từ "graphit" (than chì) và hậu tố "-en" (tiếng Anh là "-ene"); trong đó chính than chì là do nhiều tấm graphen ghép lại [1]. / Hình 1.1 Tấm Graphene 1.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng của Graphene Graphene – các tấm carbon chỉ dày một nguyên tử - được khám phá ra vào năm 2004 do hai nhà khoa học người Nga là Konstantin Novoselov và Andre Geim . Với sự khám phá đó năm 2010 giải Nobel Vật Lý đã được trao cho hai nhà khoa học này[2]. Graphen có nhiều tính chất chưa từng gặp ở các vật liệu khác, và các số đo tính năng của nó gây chấn động trong giới vật lý, hóa học và đặc biệt, điện tử học. Về tính chất vật lý, graphen là loại vật liệu rất cứng, cứng hơn cả kim cương, độ bền cao hơn thép trên 200 lần, những ở dạng đơn lớp lại dẻo như một miếng nhựa, có thể bẻ cong, gấp hoặc cuộn lại thành ống. Nó trong suốt cho phép tối thiểu 90% ánh sáng đi qua, điện trở thấp hơn chất dẫn điện trong suốt tiêu chuẩn là indi-thiếc oxit nên mở ra một ứng dụng rộng rãi trong việc sản xuất màn hình cảm ứng chất lượng cao, pin mặt trời, thiết bị lưu trữ năng lượng và dần dần có thể thay thế silicon trong lĩnh vực sản xuất chip máy tính tốc độ cao[2]. Nó dẫn điện tử nhanh hơn bất cứ vật liệu nào đã biết, giống như chuyển động của một hạt không trọng lượng của thuyết tương đối (massless relativistic particle) là photon. Từ đó nó trở thành vật liệu để thực hiện trong phòng thí nghiệm nhằm kiểm tra lại những dự đoán của cơ học lượng tử tương đối tính mà trước đây người ta cho rằng chỉ có thể quan sát thấy trong các máy gia tốc hạt  Trong lĩnh vực sản xuất các thiết bị vi điện tử, nhờ tính chất độc đáo của mình, các transistor graphen đã tạo ra những linh kiện rất đa dạng và ưu việt, đáp ứng nhu cầu của nhiều thiết bị mà nếu không phải nhà chuyên môn, người ta khó hình dung. Những mạch tích hợp (IC) dùng graphen đã thu nhỏ được kích thước đến tối đa mà vẫn bảo đảm (và nâng cao) tính năng các thiết bị vi điện tử - một hướng tiểu hình hóa (micronisation) thiết bị đang diễn ra. Ngành Sinh học gần đây cũng “nhòm ngó” đến graphen. Người ta đang thiết kế những thiết bị điện tử trên cơ sở những linh kiện chế tạo từ graphen để phân tích ADN và bộ gen người và các động thực vật với hy vọng sẽ có năng suất cao hơn và chính xác hơn. Viện Hàn lâm khoa học Trung quốc cũng phát hiện những tấm ôxit graphene có tính sát khuẩn cao và có khả năng dùng làm dụng cụ đựng thực phẩm có tác dụng bảo quản lâu dài. Chính những thành công trong nghiên cứu ứng dụng, người ta triển khai rất nhanh chóng các kết quả vào thực tế. Ngành công nghiệp graphene đã khai thác các phương pháp tổng hợp vật liệu này trên quy mô công nghiệp (ở đây, phương pháp hóa học có vai trò quan trọng) và giá thành sản xuất ngày càng giảm [2]. 1.3 Cấu trúc của Graphene. Về cơ bản graphene là tấm phẳng dày bằng một lớp nguyên tử của các nguyên tử cácbon (0.147nm) với liên kết sp2 tạo thành dàn tinh thể hình tổ ong (lục giác đều), độ dài liên kết 0.142nm . Graphene có hai phương chính là phương zigzag và phương zrmchair[3]. / Hình 1.2 Cấu trúc của graphene Phương y ( phương zigzag); Phương x (phương armchair) Các đặc tính của Graphene. 1.4.1 Đặc tính về cơ học. Graphen là chất cực kỳ cứng, hơn cả kim cương, độ bền cao hơn thép trên 200 lần, những ở dạng đơn lớp lại dẻo như một miếng nhựa, có thể bẻ cong, gấp hoặc cuộn lại thành ống. Mô đun kéo và độ bền của Graphene nằm trong khoảng 2.3-2.6 TPa và 11-200 GPa [3]. Trong hình 1.4, graphene thể hiện tính vượt trội về độ bền so với sợi các bon, thép. / Hình 1.3 Biểu đồ so sánh độ bền của một số vật liệu 1.4.2 Đặc tính về điện Graphene có các tính chất về điện giống như kim loại và chất bán dẫn. các điện tử mang điện tích di chuyển rất nhanh và thường hoạt động như thể chúng có khối lượng nhỏ hơn nhiều so với khi ở trong các kim loại thường hay siêu dẫn. Với đặc tính trên graphene có tính dẫn điện cao hơn các loại vật liệu khác. 1.4.3 Đặc tính về nhiệt Graphene có độ dẫn nhiệt và tản nhiệt cực tốt, thể hiện một đặc tính gọi là ballistic conduction. Graphene được dự đoán có thể truyền nhiệt lên tới 6000 W/mK ; so sánh với đồng là kim loại dẫn nhiệt tốt là 385 W/mK. Nhiệt độ ổn định của Graphene có thể ước lượng lên tới 28000C trong chân không và 7500C trong không khí. Không những thế các nhà khoa học của ĐH Illinois (Mỹ) cho thấy: đặc tính nhiệt điện (thermoelectric) của lớp tổ ong này có thể là lời giải mới cho kỹ thuật tản nhiệt chip. Chỉ 1 lớp nguyên tử C rất khó quan sát. Song nhờ kỹ thuật quan sát dựa trên đầu dò (tip) của kính hiển vi lực nguyên tử (atomic force microscope – AFM), họ ghi nhận được mức biến thiên nhiệt ở độ phân giải nhỏ đến từng nguyên tử. Và theo quan sát thì graphene có mức tản nhiệt cao hơn mức sinh nhiệt [4]. 1.5 Cơ sở lựa chọn đề tài Kể từ khi ra đời graphene, nó đã tỏ ra là một chất dẫn điện cực kì tốt, một chất bán dẫn có thể dùng để chế tạo transistor, và là một vật liệu rất bền. Với các đặc tính về điện tử, nhiệt điện đã và đang được các nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu để chế tạo ra những thiết bị bán dẫn mới, chíp điện tử siêu nhỏ… Việc ứng dụng các đặc tính cơ học của graphene để tạo ra những vật kiệu siêu bền cơ vẫn là một bài toán khó đối với các nhà khoa học bởi lẽ hai lý do sau : Việc chế tạo graphene phẳng đã rất khó khăn chưa nói đến việc phải định hình chúng để tạo ra các kết cấu cơ học, việc chế tạo các tâm kích thước nanomet trở thành những kết cấu lớn là một điều không tưởng và giá thành của nó rất cao so với những vật liêu truyền thống. Thế nhưng với sự phát triển của khoa học gần đây các nhà nghiên cứu trên thế giới đã phát hiện ra việc chế tạo graphene không phải là một điều khó khăn và sắp tới sẽ phát triển ngành công nghiệp chế tạo graphene. ‘‘Các nhà nghiên cứu ở Mĩ vừa nhận thấy việc chiếu một camera flash vào graphite oxide đủ để tạo ra graphene – những tấm carbon dày một nguyên tử lần đầu tiên được khám phá ra vào năm 2004 có những tính chất cơ và điện độc nhất vô nhị. Quá trình mới này còn có thể sử dụng để những khuôn graphene phức tạp có thể tích hợp vào các mạch điện tử gốc carbon nhanh và linh hoạt’’ Mới đây Các nhà khoa học công nghệ Sydney (UTS) cho hay, họ tạo ra được vật liệu hỗn hợp từ than chì mỏng như một tờ giấy nhưng bền gấp 10 lần thép. Công trình này được công bố trên tờ Journal of Applied Physics. GS Guoxiu Wang, thành viên trong nhóm nghiên cứu giới thiệu về mẫu cấu trúc nano của giấy graphene, một vật liệu có thể làm thay đổi ngành công nghiệp chế tạo ô tô, ngành hàng không và công nghiệp điện cũng như quang học. Giấy graphene là một vật liệu được xử lý, định dạng và tái cấu trúc từ trạng thái nguyên thủy của than chì. Các nhà khoa học ở UTS đã thành công khi nghiền than chì thô, tinh lọc bằng hóa chất để định dạng và tái cấu trúc của nó thành cấu trúc nano và như thế có thể dàn mỏng thành giấy. Kim cương và graphene đều là những vật liệu hình thành từ carbon. Sự khác nhau duy nhất giữa chúng là, kim cương bao gồm những tinh thể ba chiều, còn graphene gồm những tinh thể hai chiều. / Hinh 1.4 : Giấy graphene Qua hàng loạt quy trình xử lý, các nhà khoa học thu được một vật liệu mà nếu so với thép, chúng nhẹ hơn 6 lần, tỉ trọng thấp hơn 5-6 lần, cứng hơn gấp 2 lần và độ co dãn tốt hơn 10 lần, khả năng chịu uốn gấp 13 lần. Ali Reza Ranjbartoreh, người đứng đầu nhóm nghiên cứu cho rằng:Việc tạo ra giấy graphene sẽ mang lại lợi ích lâu dài cho ngành công nghiệp xe hơi và hàng không, cho phép các nhà sản xuất tạo ra những chiếc xe ô tô và máy bay nhẹ hơn, độ bền cao, tiêu thụ ít nhiên liệu, ít ô nhiễm, chi phí vận hành rẻ và góp phần giữ gìn môi trường sinh thái [4]. Với những nghiên cứu đột phá của các nhà khoa học trên thế giới chúng ta thấy việc nghiên cứu các đặc tính cơ học của vật liệu nanocomposite với cốt là các tấm graphene là điều sớm muộn. Với sự hỗ trợ của máy tính và phầm mềm Marc bọn em đã lựa chọn đề tài nghiên cứu các đặc trưng cơ học của graphene và nanocomposite của nó với polymer. Đồ án trình bày bài toán uốn tấm nanocomposite và sự phụ thuộc của độ võng tấm khi chịu uốn vào tỉ lệ graphene có trong tấm nanocoposite từ đó đưa ra các nhận định về loại vật liệu mới này. CHƯƠNG 2 MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ TÍNH MODUN ĐÀN HỒI CỦA TÂM GRAPHENE 2.1 Mô hình phần tử hữu hạn cho tấm Graphene Như đã nói ở trên, các nguyên tử các bon của graphene liên kết với nhau theo mối liên kết đồng hóa trị tạo thành lưới lục giác. Các liên kết này có đặc trưng liên kết là chiều dài liên kết và góc liên kết trong không gian. Chuyển vị của mỗi nguyên tử riêng biệt dưới tác dụng của ngoại lực bị ràng buộc bởi các liên kết. Do đó, tổng biến dạng của graphene là kết quả tương tác giữa các liên kết. Bằng cách coi các liên kết như phần tử liên kết mang tải trọng, và nguyên tử như khớp của phần tử liên kết, Graphene có thể được mô phỏng như kết cấu khung không gian. Với việc coi Graphene như kết cấu khung không gian, các ứng xử cơ học có thể được phân tích sử dụng phương pháp cơ học kết cấu cổ điển. Trong đồ án này, mô hình phần tử hữu hạn 3 chiều được đưa ra để xác định các đặc tính cơ học của Graphen. Mô hình phần tử hữu hạn 3 chiều được xây dựng bởi phần mềm MARC và phần tử được sử dụng để thay cho liên kết là phần tử dầm 52. Mỗi phần tử có 6 bậc tự do tại mỗi nút: tịnh tiến dọc trục Ox, Oy, Oz; quay quanh trục Ox, Oy, Oz, với Oxyz là hệ tọa độ đặt tại nút. Phần tử được sử dụng là phần tử 2 nút. Hình 2.1 miêu tả các lục giác, là thể liên tục của phần tử của kết cấu na nô, được mô phỏng như phần tử kết cấu của khung không gian. Nói cách khác, toàn bộ lưới Graphen được mô phỏng. Mô hình cần có sự tương ứng giữa chiều dài liên kết
với chiều dài phần tử L cũng như bề dày tấm t với độ dày phần tử. Bằng cách thừa nhận diện tích mặt cắt ngang của phần tử thì t tương ứng với đường kính d của phần tử. Đặc điểm về hình học và mô đun của các phần tử dầm sử dụng để thay thế cho các liên kết sẽ được tính toán qua mối liên kết giữa các nguyên tử và phương pháp cơ học môi trường liên tục. / Hình 2.1 Mô hình tấm Graphene trong kết cấu không gian 2.2 Mô đun đàn hồi của phần tử dầm. 2.2.1 Hàm thế năng Để tính mô đun đàn hồi của phần tử dầm, liên kết giữa phân tử và cơ học liên tục được sử dụng. / Hình 2.2 Tương tác giữa các nguyên tử Dưới quan điểm của cơ học phân tử, Graphen được coi như phân tử lớn chứa các nguyên tử các bon. Nhân nguyên tử được coi như chất điểm và chuyển động của chúng được quy định bởi trường lực tạo bởi tương tác electron – nhân, nhân – nhân. Trường lực được biểu diễn dưới dạng thế năng trong không gian, và chỉ phụ thuộc duy nhất vào vị trí tương đối của các nguyên tử cấu thành nên phân tử. Tổng thế năng không gian, khi bỏ qua tương tác tĩnh điện, sẽ là tổng năng lượng để liên kết hay là tương tác giữa các liên kết và tương tác giữa các liên kết - không liên kết. Theo [5]
(2.1) Trong đó:
,
,
,
,
lần lượt là năng lượng liên kết khi kéo, năng lượng liên kết uốn, năng lượng liên kết xoắn trong góc nhị diện, năng lượng liên kết xoắn không cùng mặt phẳng, năng lượng tương tác do lực Van der Waals. Trong một hệ liên kết đồng hóa trị, tổng năng lượng liên kết trong không gian chủ yếu phụ thuộc vào 4 thành phần đầu. Với giả định biến dạng nhỏ, việc xấp xỉ điều hòa có thể được dùng để biểu diễn liên kết. Để cho bài toán đơn giản và tiện lợi, ta chấp nhận dạng dao động điều hòa đơn giản nhất và kết hợp góc xoắn nhị diện và xoắn lệch trong một phương trình tương đương đơn giản [5]:
(2.2)
(2.3)
(2.4) Trong đó: kr, kθ, kτ là hệ số giãn dài, hệ số góc uốn, hệ số chống xoắn
là dộ giãn dài, sự thay đổi góc uốn và góc xoắn. 2.2.2 Quan hệ giữa các thông số của mặt cắt ngang và lực Trong Graphene, các nguyên tử các bon liên kết với nhau bằng mối liên kết đồng hóa trị dưới dạng lưới hexa trên tấm Graphene. Mỗi liên kết này có đặc điểm liên kết là chiều dài liên kết và góc liên kết trong không gian 3 chiều. Khi Graphene chịu tác dụng của ngoại lực, chuyển vị của mỗi nguyên tử riêng biệt bị ràng buộc bởi những liên kết này. Tổng biến dạng của Graphene là của tương tác giữa các liên kết. Bằng việc coi mỗi liên kết đồng hóa trị như một phần tử liên kết giữa các nguyên tử các bon, Graphene có thể được mô hình hóa như một kết cấu khung không gian. Mỗi nguyên tử các bon được coi như một khớp của phần tử liên kết. / Hình 2.3 Kéo (a), uốn (b) và xoắn (c) thuần túy phần tử Dưới đây chúng ta thiết lập quan hệ giữa các thông số của mặt cắt ngang trong cơ học kết cấu và lực trong cơ học phân tử. Để đơn giản, mặt cắt của các liên kết coi như đồng nhất và giống nhau. Theo đó có thể thừa nhận Jx = Jy và chỉ có 3 thông số độ cứng EdA, EdJx, GdJ cần xác định. Vì biến dạng của khung không gian là kết quả của sự thay đổi năng lượng biến dạng, nên 3 thông số độ cứng được xác định trên cơ sở các năng lượng tương đương. Chú ý rằng mỗi hàm năng lượng trong cơ học phân tử được biểu diễn trong một tương tác riêng biệt và không có sự sự liên quan nào giữa các liên kết, năng lượng biến dạng của phần tử cần được xem xét dưới dạng các lực riêng biệt. Theo lý thuyết cơ học kết cấu cổ điển, năng lượng biến dạng của dầm có chiều dài L chịu kéo thuần túy dọc trục với lực độ lớn Nz là (công thức (13),[6]):
(2.5) Trong đó:
là biến dạng dài dọc trục. Năng lượng biến dạng của dầm khi chịu uốn thuần túy với mô men Mx là [5]:
(2.6) Trong đó: α biểu thị góc xoay của điểm cuối của dầm. Năng lượng biến dạng của dầm khi chịu xoắn thuần túy với mô men Mz là [5]:
(2.7) với
là góc xoắn của điểm cuối dầm. So sánh hai phương trình tương ứng từ (2.1) đến (2.7) ta thấy: cả Ur và UA đều biểu diễn năng lượng kéo, cả
và
đều biểu diễn năng lượng uốn, và cả
và
đều biểu diễn năng lượng xoắn. Như vậy là hoàn toàn hợp lí khi thừa nhận rằng góc quay
tương ứng với tổng sự thay đổi của góc liên kết
,
tương ứng
, và
tương ứn