Giải bài toán phân cực bằng ma trận jones

GIẢI BÀI TOÁN PHÂN CỰC BẰNG MA TRẬN JONES Học viên: Nguyễn Thị Kim Cương Nguyễn Công Tấn Ngô Hồ Quang Vũ 1.Ánh sáng phân cực 2.Ánh sáng phân cực elip 3.Ma trận Jones 4.Kính phân cực 5.Bản dịch pha 6.Bài tập áp dụng NỘI DUNG ÁNH SÁNG PHÂN CỰC  Một sóng phẳng tần số góc ω lan truyền với vận tốc c theo hướng Oz, khi đó vector điện trường E: yy xx c z tiKE c z tiHE expRe expRe x i c z tijKeiHtzyxE exp,,,  Với XY Viết dưới dạng ma trận xi y x c z ti Ke H E E exp ÁNH SÁNG PHÂN CỰC  Gọi θ là góc hợp bởi mặt phẳng dao động và trục x. sin cos AK AHKhi đó Vậy cột Maxwell hay vector Jones: )sin.(cossin cos .sin cos i A eA A i ÁNH SÁNG PHÂN CỰC ELIP  Các thành phần điện trường tAE tAE y x cossin coscos Các dao động đến từ bản đồng bộ pha xác định bởi: tAy tAx cossin coscos  Khử t ta được: 2 2 2 2 2 2 22 2 222 2 sin cos2 sin sincossin cos2 cos K y HK xy H x A y A xy A x ÁNH SÁNG PHÂN CỰC ELIP  Nhận xét: - H = 0: phân cực dọc - K= 0 : phân cực ngang. - Nếu Δ = 0 độ phân cực là tuyến tính. - Δ = -π => bản “nửa sóng”. - Nếu Δ = π/2 , ánh sáng phân cực tròn. - Trong trường hợp tổng quát, ánh sáng phân cực ellipse. 2 2 2 2 2 sin cos2 K y HK xy H x H K x y H K x y 4 Dụng cụ quang học Ánh sáng  dụng cụ quang học phân cực  tính phân cực ánh sáng thay đổi. Ma trận Jones Giả sử Chùm sáng tới có vectơ Jones Ei , Chùm sáng ló ra được biểu diễn bằng vectơ Jones Et . Etx = j11 Eix + j12 Eiy Ety = j21 Eix + j22 Eiy Ma trận Jones MA TRẬN JONES Suy ra Ý nghĩa của các yếu tố trong ma trận Jones Etx = j11 Eix + j12 Eiy Ety = j21 Eix + j22 Eiy Nếu sóng tới bị phân cực dọc theo trục x: Eiy = 0 thì: Nếu sóng tới bị phân cực dọc theo trục y: Eix = 0 thì: MA TRẬN JONES J12 , J22 được xác định dựa vào mối liên hệ giữa biên độ và pha của thành phần dao động Et của tia ló đối với thành phần Eiy của tia tới J11 , J21 được xác định dựa vào mối liên hệ về biên độ và pha của thành phần dao động Et của tia ló đối với thành phần Eix của tia tới 0 ≤ px,y ≤ 1 - Ánh sáng phân cực truyền qua hoàn toàn px,y = 1 - Ánh sáng phân cực bi chặn hoàn toàn px,y = 0. KÍNH PHÂN CỰC Chùm tia ló ra khỏi kính phân cực: KÍNH PHÂN CỰC LÝ TƯỞNG ╬ Kính phân cực có trục truyền qua trùng với trục x (kính phân cực ngang) Cho ánh sáng phân cực theo trục x qua hoàn toàn và chặn ánh sáng phân cực theo trục y : px =1, py = 0 Ma trận Jones biểu thị cho kính phân cực dọc: px =0, py = 1 ╬ Kính phân cực có trục truyền qua lập 1 góc ө với trục x Ánh sáng qua kính phân cực chỉ còn lại thành phần dọc theo trục truyền qua của kính: Ex cosө + Ey sinө Chiếu thành phần này lên trục x và y: E’x = (Ex cosө + Ey sinө)cosө E’y = (Ex cosө + Ey sinө)sinө E’x = (cos 2ө)Ex + (sinөcosө)Ey E’y = (cosөsinө)Ex + (sin 2ө)Ey Ma trận Jones KÍNH PHÂN CỰC LÝ TƯỞNG Cách khác để xác định ma trận Jones Biểu diễn ánh sáng phân cực trước kính phân cực sang hệ trục tọa độ mới x’y’z’ ( 2 hệ trục tọa độ có trục z trùng z’, hệ tọa độ mới quay 1 góc ө quanh trục z’ so với hệ cũ, trục truyền qua của kính phân cực trùng với trục x’ của hệ trục mới). E’x = (cosө)Ex + (sinө)Ey E’y = (-sinө)Ex + (cosө)Ey Ma trận của phép biến đổi từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác bằng cách quay 1 góc ө : Ánh sáng khi đến kính phân cực (trong hệ trục tọa độ mới) có vec tơ Jones: E’i = R(ө)Ei K ÍN H P H Â N C Ự C L Ý T Ư Ở N G ╬ Kính phân cực có trục truyền qua lập 1 góc ө với trục x Trong hệ tọa độ OX’Y’, sau khi truyền qua kính phân cực thì chùm sáng ló ra có vec tơ Jones: E’t = JPH E’i Biểu diễn vec tơ Jones của chùm sáng ló ra trong hệ trục OXY, ta quay hệ toa độ trở lại vị trí ban đầu ( với góc –ө) : Et = R(-ө) E’t Ma trận Jones : JP (ө) = R(-ө) JPH R(ө) K ÍN H P H Â N C Ự C L Ý T Ư Ở N G ╬ Kính phân cực có trục truyền qua lập 1 góc ө với trục x ╬ Sự phân cực của ánh sáng khi truyền qua tinh thể lưỡng chiết Khi ánh sáng truyền trong các tinh thể đơn trục thì có tính lưỡng chiết: -Tia thường truyền với vận tốc v0 = c/ n0, mặt sóng là mặt cầu. - Tia bất thường truyền với vận tốc ve =c/ne, mặt sóng là 1 ellipsoid. Khi chùm tia sáng tới vuông góc với trục quang của tinh thể thì tia thường và bất thường đi theo quỹ đạo giống hệt nhau chúng dao động trong những mp vuông góc với nhau Sự lệch pha phụ thuộc vào mức độ lưỡng chiết, và có vecto cường độ tổng hợp bằng tổng hợp các thành phần của chúng. BẢN DỊCH PHA Quang trục o e y x z Quang trục M N Được chế tạo từ tinh thể đơn trục lưỡng chiết,có chiều dày d.Khi dùng nó, chiếu ánh sáng vuông góc với quang trục. Input Output : Ma trận Jones biểu thị tác dụng của bản dịch pha: d thay đổi làm thay đổi hiệu pha giữa 2 thành phần thường và dị thường ne < no (tinh thể đơn trục âm): trục quang (trục x) là trục nhanh và trục y là trục chậm của bản dịch pha. ne > no (tinh thể đơn trục dương): trục quang (trục x) là trục chậm và trục y là trục nhanh của bản dịch pha. BẢN DỊCH PHA i i e e x 0 01 BẢN ¼ SÓNG CÓ TRỤC NHANH TRÙNG VỚI TRỤC X - Làm chuyển đổi ánh sáng phân cực thẳng thành phân cực ellip. - Trường hợp ánh sáng tới phân cực 450 thì nó có tác dụng biến ánh sáng này thành phân cực tròn φx = -π/4 φ=π/2 Ma trận Jones: - Bản ¼ sóng có bề dày được chọn sao cho: (n0 – ne )d = λ/4 BẢN ¼ SÓNG CÓ TRỤC NHANH QUAY GÓC Φ SO VỚI TRỤC X Ma trận Jones: J= R(-Φ) J1/4 R(Φ) ╬ Bản ½ sóng có trục chậm thẳng đứng Ma trận Jones: ╬ Bản ½ sóng có trục chậm nằm ngang BẢN ½ SÓNG Dùng để đảo chiều phân cực thẳng hoặc đổi hướng phân cực tròn φ=π φx = - π/2 φ=π φx = π/2 (n0– ne )d = λ/2 BẢN ½ SÓNG J1/2 (Φ) = R(-Φ)J1/2 R(Φ) Ma trận Jones ╬ Bản ½ sóng có trục quay 1 góc Φ so với trục X MA TRẬN JONNES CHO TRƯỜNG HỢP HỆ NHIỀU YẾU TỐ QUANG Nếu ánh sáng truyền liên tiếp qua n yếu tố quang học, được đặc trưng tương ứng bởi các ma trận J1 ,J2 ,.,Jn thì Et = (Jn . Jn-1 . J2 .J1 )Ei Et = J Ei J = J n.Jn-1 . J 2.J1 Problem 4 trang 228: một tia sáng tới phân cực elip truyền qua hệ quang học gồm một bảng ¼ bước sóng và bảng phân cực thẳng. Biết tia sáng ló bị triệt tiêu khi góc hợp bởi “trục nhanh” của bảng ¼ và mặt phẳng truyền qua của bảng phân cực với phương ngang lần lượt bằng 30 và 60 độ. Tính góc định hướng và tỉ số hai trục của elip. 1 2 1 2 11 111 2 1 2 sincos)1(sin.cos )1(sin.cossincos 1 ii ii J )exp(.sin cos 1 i M 0 0 2M 1 2 2 2 22 222 2 sinsin.cos sin.coscos 2J Phân tích Ma trận Jones của hệ quang học J=J2.J1= [2x2]= Ma trận Maxwell qua hệ M2=J.M1= 0)exp(.sin.cos. 0)exp(.sin.cos. iDC iBA DC BA )exp(.sin.cos. )exp(.sin.cos. iDC iBA B Ai cos cos.sin.cos.sin (1) )(sin.tan )(cos.tan B A imag B A real θ vàΔ )( )( tan B A real B A imag )exp(.sin cos iDC BA (3) (2) Lập trình - syms deta, delta. - Input các giá trị deta1, deta2. - Nhập - Ma trận Jones của hệ: J=J2*J1 1 2 1 2 11 111 2 1 2 sincos)1(sin.cos )1(sin.cossincos 1 ii ii J 2 2 22 222 2 sinsin.cos sin.coscos 2J ) )( )( tan( Kreal Kimag adelta ) )cos( )( tan(deta delta Kreal a )2,1( )1,1( J J K sqrt(t)))-1sqrt(t))/(+sqrt((1tructysohaiban 22 sin(delta)*deta)*sin(2-1=t 180/pi/2*)cos(delta)*deta)*atan(tan(2alpha - Góc định hướng của elip - Tỷ số hai trục (4) (5) Phần ngược Cho biết các yếu tố của elip và góc delta1. Tìm góc delta2. Phân tích Tỉ số hai trục a=real(M1(2)/M1(1))=real(-A/B) a=tan(deta)*cos(delta)cos(delta)=a/tan(deta) (1) Từ tan(2*alpha)=tan(2*deta)*cos(delta) và (1)  solve((2))deta, delta M2=subs(M2) delta2=solve(M2(1)) Chú ý: (1) suy ra deta không thể nhận giá trị 0. Dùng lệnh for và if để loại các giá trị 0 của deta. tan(2*deta)+tan(2*alpha)*tan(deta)*a=0 (2) Code phần thuận  clc  clear all;  %Nhap cac gia tri cua goc hop boi "truc nhanh" va mat phang truyen qua voi  %phuong ngang  syms delta deta  delta1=input('nhap goc (tinh bang do) giua truc nhanh va phuong ngang ' );  delta2=input('nhap goc (tinh bang do) giua mat phang truyen qua va phuong ngang ' );;  C1=cos(delta1*pi/180);  S1=sin(delta1*pi/180);  C2=cos(delta2*pi/180);  S2=sin(delta2*pi/180);  %Ma tran bang 1/4 buoc song  J1=[C1^2-i*S1^2 C1*S1*(1+i)  C1*S1*(1+i) -i*C1^2+S1^2];  %Ma tran phan cuc thang  J2=[C2^2 C2*S2  C2*S2 S2^2];  %Ma tran he quang hoc  J=J2*J1;  %Ma tran Maxwell  M=[cos(deta)  sin(deta)*exp(i*delta)];  %Tinh ti so A/B  E=-J(1,1)/J(1,2);  %Phan thuc cua E  F=real(E);  %Phan ao cua E  G=imag(E);  %Tinh cac gia tri delta va deta  delta=atan(G/F);  deta=atan(F/cos(delta));  %Goc hop boi truc phu cua elip va phuong ngang  disp('Goc dinh huong elip alpha bang' )  alpha=atan(tan(2*deta)*cos(delta))*180/pi/2  %Ti so do dai hai ban truc a  t=1-sin(2*deta)^2*sin(delta)^2;  disp('Ti so do dai hai ban truc elip bang ')  sqrt((1+sqrt(t))/(1-sqrt(t))) Code phần nghịch  clc  clear all;  syms delta2 deta delta  alpha=input('nhap goc (tinh bang do) giua truc nho va phuong ngang ' );  alpha=alpha*pi/180;  a=input('nhap ti so hai ban truc ' );  delta1=input('nhap goc (tinh bang do) giua mat phang truyen qua va phuong ngang ');  delta1=delta1*pi/180;  C1=cos(delta1);  S1=sin(delta1);  C2=cos(delta2);  S2=sin(delta2);  %Ma tran bang 1/4 buoc song  J1=[C1^2-i*S1^2 C1*S1*(1+i)  C1*S1*(1+i) -i*C1^2+S1^2];  %Ma tran phan cuc thang  J2=[C2^2 C2*S2  C2*S2 S2^2];  %Ma tran he quang hoc  J=J2*J1;  %Ma tran Maxwell ban dau  M1=[cos(deta)  sin(deta)*exp(i*delta)];  %Ma tran Maxwell qua he  M2=J*M1;  k=double(solve(tan(2*deta)+tan(2*alpha)*a*tan(deta)));  l=length(k);  m=1;  for n=1:l  if k(n)~=0  deta(m,1)=double(k(n,1));  m=m+1;  end  end  l=length(deta);  for n=1:l  delta(n,1)=acos(tan(2*alpha)/tan(2*deta(n,1)));  end  for n=1:l  M1=[double(cos(deta(n,1)))  double(sin(deta(n,1))*exp(i*delta(n,1)))];  M2=J*M1;  T=solve(M2(1,1));  j=length(T);  for n=1:j  if T(n,1)~=pi/2&&T(n,1)~=0  delta2=double(real(T(n,1)))*180/pi  end  end  end