Hàm rbf và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Trần Đức Thụ HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Chuyên nghành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Đặng Quang Á Thái Nguyên 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT: IMQ: Inverse Multi Quadric MQ: Multi Quadric RBF: Radian Basic Function DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với  = 3 11 Bảng 2.1 : So sánh phƣơng pháp trực tiếp và phƣơng pháp nhanh 26 Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512 33 Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ của việc nội suy bằng RBF và các lƣới đƣợc suy ra 36 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1: Khớp hàm RBF và phục hồi lƣới bằng RBF 15 Hình 2.2: Mô tả các điểm ngoài bề mặt 18 Hình 2.3: Khôi phục một bàn tay 18 Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay 20 Hình 2.5: Phƣơng pháp điều chỉnh nhanh 25 Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF 25 Hình 2.7: Rút gọn tâm 28 Hình 2.8: Xấp xỉ dữ liệu LIDAR 31 Hình 2.9: Mức làm trơn 31 Hình 2.10: Gia công đẳng mặt 32 Hình 2.11: Lấp lỗ và ngoại suy bề mặt 34 Hình 2.12: Biểu diễn các đối tƣợng phức tạp 35 Hình 2.13: Khôi phục hành tinh Eros 35 Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau khi đổi trật tự mảng giá trị và các đối số 43 Hình 3.3: Bề mặt đƣa vào 44 Hình 3.4: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến 45 Hình 3.5: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại bỏ 46 Hình 3.6: Bề mặt sau khi khớp không có sự rút gọn tâm 48 Hình 3.7: Bề mặt sau khi khớp có sự rút gọn tâm 49 Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt trên lƣới 3D 50 Hình 3.9: Lƣới mới đƣợc sinh ra 51 Hình 3.10: Lƣới đa giác đƣợc sinh ra 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF) 3 1.1.1. Nội suy dữ liệu rời rạc 3 1.1.2. Ma trận và hàm xác định dƣơng 5 1.1.3. Hàm cơ sở bán kính 6 1.1.4. Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn 6 1.1.5. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều kiện 7 1.1.6. Ví dụ nội suy bằng RBF 10 1.2. Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D 11 Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D 14 2.1. Các bề mặt ẩn 15 2.2. Khớp một hàm ẩn vào bề mặt 16 2.3. Nội suy hàm cơ sở bán kính 23 2.4. Các phƣơng pháp nhanh 26 2.5. Rút gọn tâm 27 2.6. Xấp xỉ dữ liệu nhiễu bằng RBF 29 2.7. Tính toán bề mặt 30 2.8. Các kết quả 32 2.9. Kết luận 37 Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF 38 3.1. Phần mềm FastRBF làm gì 38 3.2. Ai có thể sử dụng phần mềm FastRBF 38 3.3. Những lợi ích của phần mềm FastRBF 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3.4.Các ứng dụng 39 3.5. Các kết quả đạt đƣợc khi sử dụng phần mềm FastRBF 39 3.5.1. Khớp và tính toán dữ liệu 3D 39 3.5.1.1. Rút gọn tâm RBF 41 3.5.1.2. Tính toán lƣới 3D 42 3.5.2. Khớp dữ liệu bề mặt 3D 43 3.5.2.1. Khớp bề mặt vào dữ liệu lƣới 43 3.5.2.2. Gia công đẳng mặt 51 3.6. Kết luận 53 KẾT LUẬN 54 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con ngƣời đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Máy tính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con ngƣời trong việc xử lý dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác. Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu các phƣơng pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao tác các dữ liệu số hóa của các vật thể trong thực tế. Lĩnh vực này đƣợc phát triển dựa trên nền tảng của hình học họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán học của đại số và giải tích, cũng nhƣ các thành tựu của phần cứng máy tính. Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) đƣợc đề xuất bởi một chuyên gia ngƣời Mỹ tên là William Fetter vào năm 1960. Khi đó ông đang nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing. William Fetter đã dựa trên các hình ảnh 3 chiều của mô hình ngƣời phi công trong buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ƣu cho máy bay Boeing. Đây là phƣơng pháp nghiên cứu rất mới vào thời kỳ đó. Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D là một trong các bài toán cơ bản. Công cụ quan trọng để giải quyết bài toán này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến. Để nội suy hàm số từ một tập điểm đã biết thông thƣờng ngƣời ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và các biến dạng của nó. Từ khoảng hai chục năm nay ngƣời ta đã và đang phát triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF. Phƣơng pháp nội suy này đã đƣợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng đã đƣợc phát triển. Luận văn gồm có ba chƣơng: 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chƣơng 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm RBF. Những tính chất của hàm RBF đƣợc áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc. Đây là những kiến thức cơ sở rất quan trọng. Tìm hiểu về bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D. Chƣơng 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D Chƣơng 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF. Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS. Đặng Quang Á đã tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ Thông tin – Đại học Thái Nguyên và Trƣờng Cao đẳng Công nghiệp Việt Đức (Thái Nguyên) đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009 TÁC GIẢ 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về hàm cơ sở bán kính (RBF), bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D. 1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF): 1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc: Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ liệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu đƣợc những kết quả đó), yêu cầu tìm một quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có. Vì vậy ta mong muốn tìm một hàm “đủ tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có. Có nhiều cách để quyết định thế nào là tốt và một trong các tiêu chuẩn là muốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc đƣợc tại những vị trí đã cho – Đáp ứng tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy. Và nếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lƣới chuẩn thì tiến trình trên gọi là nội suy dữ liệu rời rạc. Chính xác hơn ta có: Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu   jj yx , , nj ,...,1 với jx  Rs, jy  R. Tìm một hàm (liên tục) fP thỏa mãn:   jjf yxP  , j=1,…,n (1.1) Ý tƣởng chung để giải quyết bài toán nội suy là tìm hàm fP dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của hệ hàm cơ sở  n kk B 1 , nghĩa là:       n k kkf xBcxP 1 , x  Rs (1.2) Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định các hệ số  n kk c 1 : yAc  (1.3) Trong đó   jkjk xBA  ; nkj ,...,1,  ;  Tnccc ,...,1 ;  Tnyyy ,...,1 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Bài toán 1.1 sẽ đƣợc đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi và chỉ khi ma trận A không suy biến. Trong trƣờng hợp một chiều, ta luôn xây dựng đƣợc đa thức nội suy bậc n – 1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý. Tuy nhiên khi s ≥ 2, ta có kết quả phủ định sau: Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu   Rs, s ≥ 2 chứa một điểm trong thì trong  không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường hợp không gian một chiều. Trong đó, không gian Haar đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B  C(). Gọi  nBBB ,...,, 21 là một cơ sở của B. Khi đó B được gọi là không gian Haar trên  nếu   0det A với mọi tập các điểm phân biệt  nxxx ,...,, 21  . Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi   jkkj xBA , ; nkj ,...,1,  . Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không gian các đa thức một biến bậc 1n chính là không gian Haar n chiều với tập dữ liệu   jj yx , , nj ,...,1 , jx  R, jy  R. Cơ sở chính tắc của không gian này là  12321 ,...,,,1  nn xBxBxBB . Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trƣớc tập các hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu. Để giải quyết vấn đề không suy biến của ma trận A, ta cần một phƣơng pháp khác để xây dựng hàm nội suy. Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ thuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên liệu tƣơng ứng. Phƣơng pháp này đƣợc đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971 và đƣợc gọi là phƣơng pháp hàm cở sở bán kính. 1.1.2 Ma trận và hàm xác định dƣơng: Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:     n j n k jkkj Acc 1 1 0 (1.4) với  Tnccc ,...,1  Rn. Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi  Tc 0,...,0 thì ma trận A được gọi là xác định dương. Tính chất quan trọng của ma trận xác định dƣơng là nó có tất cả các giá trị riêng đều dƣơng và không suy biến. Nếu hệ hàm cơ sở  n kk B 1 trong khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy xác định dƣơng thì bài toán nội suy đƣợc đặt đúng. Hàm xác định dƣơng đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục : Rs  R là xác định đương khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và thỏa mãn:      n j n k kjkj xxcc 1 1 0 (1.5) với mọi n điểm đôi một khác nhau nxx ,...,1  Rs và  Tnccc ,...,1  Rn. Hàm  gọi là xác định dương chặt nếu dấu bằng của (1.5) xảy ra khi và chỉ khi  Tc 0,...,0 . Từ định nghĩa 1.3 và tính chất của ma trận xác định dƣơng ta thấy, có thể sử dụng các hàm xác định dƣơng chặt  kk xxB  làm hệ hàm cơ sở, và khi đó ta có:       n k kkf xxcxP 1 (1.6) Ma trận nội suy trở thành: 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên     kjjkjk xxxBA  ; nkj ,...,1,  (1.7) Tuy nhiên giải bài toán nội suy sẽ trở nên khó khăn trong không gian nhiều chiều. Do đó, thay vì sử dụng hàm đa biến  x (độ phức tạp sẽ tăng lên theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến  cho tất cả số chiều s. 1.1.3 Hàm cơ sở bán kính: Định nghĩa 1.4 Hàm : Rs  R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm một biến : [0,+)  R thỏa mãn:    rx  (1.8) Với xr  và . là một chuẩn nào đó trong Rs (thường dùng chuẩn Euclidean). Hàm  tương ứng gọi là hàm cơ sở bán kính. Ta nói hàm  là xác định dương (chặt) khi và chỉ khi hàm  là xác định dương (chặt). 1.1.4 Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn: Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tƣơng ứng, dựa trên tính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn. Định nghĩa 1.5 Hàm C  0R được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và chỉ khi      01  tll (1.9) với mọi ,...,1,0l với mọi t. Việc xây dựng hàm bán kính xác định dƣơng thông qua hàm đơn điệu hoàn toàn dựa vào kết quả sau, đƣợc đƣa ra bởi Schoenberg năm 1938. Định lý 1.2 Cho : R+  R là hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn. Khi đó với mọi tập điểm hữu hạn phân biệt từng đôi một  nxxx ,...,, 21  Rs, hàm bán kính    2rx  , xr  là hàm xác định dương. Ví dụ 1.1 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Xét hàm (t) = e–t với  ≥ 0. Ta có: (– 1)l(l)(t) = ()l e–t > 0. Suy ra hàm này là đơn điệu hoàn toàn. Do đó hàm Gaussian (GA) (r)=e– r có thể sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dƣơng của ma trận nội suy. Tƣơng tự, hàm (t) = (t + 2)  , , > 0 cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn. Hàm cơ sở bán kính (r) = (r2 + 2)  , , > 0 đƣợc gọi là hàm Inverse Multiquadric (IMQ) Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có (t) ≥ 0,  (t)  0, … Tuy nhiên nếu có  đơn điệu hoàn toàn (  (t) ≥ 0,   (t)  0, …) ta vẫn có thể sử dụng đƣợc hàm  đảm bảo ma trận không suy biến. Định lý 1.3 Cho   C[0,+) là hàm thỏa mãn  đơn điệu hoàn toàn, khác hằng số. Giả sử thêm rằng (0) ≥ 0. Khi đó ma trận nội suy không suy biến với (x) = (||x||) = (r2). Trong trƣờng hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệu hoàn toàn của , nghĩa là (k), k ≥ 1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các điều kiện nào để sử dụng đƣợc  (theo định nghĩa ma trận nội suy tƣơng ứng không suy biến)?. Vấn đề này đã đƣợc Micchelli (1986) nghiên cứu và đƣa ra những kết quả quan trọng về hàm xác định dƣơng có điều kiện. 1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều kiện: Định nghĩa 1.6 Hàm : Rs  R được gọi là xác định dương có điều kiện bậc m nếu   n j 1   n k 1 cjck(xj – xk) ≥ 0 c  R n thỏa mãn: 2 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên   n j 1 cjp(xj) = 0, pP 1m s (đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có bậc  m – 1). Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c = 0 thì  gọi là xác định dương chặt có điều kiện. Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.6) một đa thức đa biến bậc  1m triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho. Cụ thể, hàm nội suy với độ chính xác đa thức đƣợc cho dƣới dạng:                    n j jj n j jjf mxc xpxxcxP 1 1 ,0  (1.10) với các ký hiệu đa chỉ số:   N 8 0 , || =   8 1i i, và x  = x 1 1  .x 2 2  ..x s s  . Khi thay điều kiện nội suy ta đƣợc hệ phƣơng trình Ac = y. Để xác định hệ số của p(x) ta sử dụng các điều kiện   n j 1 cjx  j = 0, || < m (1.11) Ví dụ 1.2 Xây dựng hàm nội suy trong không gian 2 chiều với tập dữ liệu cho trƣớc {(xj,yj), f(xj,yj)} n j 1 , sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc 2 ta đƣợc: Pf(x,y) =   n j 1 cj((x,y) – (xj,yj)) + p(x,y), (1.12) trong đó p(x,y) là đa thức hai biến bậc 1 triệt tiêu tại các điểm nội suy,   yaxaayxp 321,  (1.13) Cho (1.12) thỏa điều kiện nội suy đƣợc hệ:          n j kkjjkkj yxfyxyxc 1 ,,, ; k = 1, 2, …,n 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Để xác định các hệ số a1,a2,a3 sử dụng (1.11), đƣợc thêm ba điều kiện sau:   n j 1 cj = 0   n j 1 cjxj = 0   n j 1 cjyj = 0 Vậy ta đƣợc hệ n + 3 phƣơng trình n + 3 ẩn. Từ đó có thể tìm đƣợc Pf(x,y). Trong trƣờng hợp tổng quát, bài toán (1.10) sẽ dẫn tới hệ đại số tuyến tính sau:       0TP PA .       d c =       0 y (1.14) Trong đó: A =   n jkjk xx 1,   ; P =  jx , j = 1, 2, …, n; d là ma trận các hệ số của p(x) Việc xây dựng cấu trúc cụ thể của các hàm bán kính xác định dƣơng có điều kiện (x) = (r) dựa trên định lý: Định lý 1.4 Cho  là hàm liên tục và thỏa mãn    k k k dr rd  1 , r  0 là hàm đơn điệu hoàn toàn khác hằng số. Khi đó, hàm (x) = (||x||) = (r2) là hàm xác định dương chặt bậc k. Ví dụ 1.3 1. Hàm (r) = (– 1)   (r +  2 )  ,  > 0,  > 0,   N thỏa mãn:            kk rkr    21...11 . Vì vậy:                  21...11 rr là hàm đơn điệu hoàn toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥   , (– 1)m(m)(r) cũng là hàm đơn điệu 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên hoàn toàn. Vì vậy, hàm bán kính Multiquadric (MQ) tổng quát        221  rr là xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m, m ≥   . 2. Hàm (r)=(– 1)  2/ r /2 ,  > 0,   2N thỏa mãn: (k)(r)=(– 1)  2/ k rk               21 2 ...1 22  vì vậy (–1)  2/  2/ (r) là hàm đơn điệu hoàn toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥  2/ hàm    rmm1 cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn. Vì vậy, hàm Năng lượng      ,1 2/  rr   > 0,   2N là hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m, m ≥  2/ . 3. Hàm Thin plates spline (TPS) (r) = (– 1)k+1r2k lnr, k N Là các hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k+1. Thật vậy: Xét hàm (r) = (– 1)k+1(r)k lnr. Khi đó, đào hàm cấp l, l  k của (r) là: (l)(r) = (–1)k+1k(k – 1)…(k – l +1)rk-l lnr + pl(r), trong đó pl(r) là đa thức bậc k – l. Vì vậy, đạo hàm cấp k sẽ là: (k)(r) = (–1)k+1k! lnr +C, và đạo hàm cấp k + 1 là r k r kk ! )1()( 1)1(   , là hàm đơn điệu hoàn toàn trên (0, ). Do đó, hàm (r) = (–1)k+1r2k lnr = 2 1 (r2) là hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k + 1. 1.1.6 Ví dụ nội suy bằng hàm RBF: Cho hàm mẫu Franke nhƣ sau: 22 )29()29( 4 1 1 4 3    yx ef ;             10 )19( 49 )19( 2 22 4 3 yx ef ;     22 3979 4 1 3 2 1    yx ef ;     22 7949 4 5 1  yxef ; 4321 fffff  ; 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Cho trƣớc tập giá trị  jiij yxfz , ; i, j = 1,…,n, trong đó (xi,yj)  [0,1] 2 là tập điểm nội suy. Để đơn giản, chúng tôi chọn tập điểm nội suy là lƣới đều trên miền [0,1]2 và tập tâm trùng với tập điểm nội suy. Xây dựng hàm nội suy Pj =   n j 1 ck(||u - uk||). Trong đó uk = (x,y)Tập điểm tâm,  đƣợc chọn là hàm IMQ. Cho thỏa mãn điều kiện nội suy ta đƣợc hệ n2 phƣơng trình, n2 ẩn. Kết quả trong một số lƣới đƣợc cho trong bảng 1.1, với các sai số đƣợc định nghĩa nhƣ sau: - Sai số tƣơng đối:      2 1 2 2 11 2 fP n fP n f n j jjf    - Sai số lớn nhất:        fPfP fjjf nj  2,...,1 max Bảng 1.1 Sai số nội suy hàm Frank với  = 3 Lưới IMQ MQ Sai số tƣơng đối Sai số lớn nhất Sai số tƣơng đối Sai số lớn nhất 7 x 7 1.211536e-002 8.600572e-002 1.260168e-002 8.722025e-002 10 x 10 1.685702e-003 1.122684e-002 2.241647e-003 1.548224e-002 13 x 13 4.226489e-004 2.856954e-003 4.470312e-004 2.756763e-003 17 x 17 3.761833e-005 3.703740e-004 4.168475e-005 4.447710e-004 20 x 20 4.346574e-006 7.352464e-005 5.739650e-006 6.316986e-005 1.2. Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D: Ngày nay, nhờ sự phát triển nhƣ vũ bão của khoa học kỹ thuật – công nghệ mà loài ngƣời đã có những bƣớc tiến lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Và một trong số đó là vấn đề khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D. 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Khôi phục đối tƣợng 3D đã trở thành một nhu cầu cần thiết trong các lĩnh vực khác nhau nhƣ: Tạo ảnh trong y học, các ứng dụng mỹ thuật, thiết kế sản phẩm, tạo nguyên mẫu nhanh và trong các phạm vi khác. Việc tạo mô hình 3D bằng phƣơng pháp thủ công tốn nhiều thời gian và do vậy chi phí sẽ đắt đỏ. Vì lý do đó, các kỹ thuật đã và đang tiếp tục đƣợc nghiên cứu, các kỹ thuật này cho phép khôi phục tự động các đối tƣợng 3D. Các kỹ thuật này có thể chia thành 2 phƣơng pháp: phƣơng phá