Hệ thống điều khiển cánh tay robot ( thiết kế bộ điều khiển mở )

1.1 TẬP HỢP RÕ VÀ TẬP HỢP MỜ : 1.1.1 TẬP HỢP RÕ ( CRISP SET ): Khái niệm tập tập hợp : Để làm sáng tỏ nguyên lý cơ bản về logic mờ , chúng ta nhìn lại nguyên lý cơ bản của lý thuyết tập hợp rõ và logic cổ điển của nó . Theo lý thuyết tập rõ thì tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học và không định nghĩa được . Một tập hợp rõ sẽ được xác định bằng cách xác định những phần tử nào là thành viên của tập hợp và những phần tử nào không phải là thành viên của tập hợp . Cho A là một tập hợp trong không gian U , x là phần tử trong không gian U thì ta ký hiệu x(A nếu x là một thành viên của tập hợp rõ A và ký hiệu x(A nếu x không phải là thành viên của tập hợp A . Tập hợp rõ A có thể được biểu diễn bằng giản đồ Venn của nó : giản đồ Venn của một tập hợp rõ là một đường cong kín , trong đó phần nằm bên trong đường cong sẽ đại hiện cho những phần tử là thành viên của tập hợp A và phần bên ngoài đường cong sẽ đại hiện cho những phần tử không phải là thành viên của tập hợp A
Tập hợp rỗng ( null set ) và tập hợp toàn bộ ( whole set ) : Tập hợp rỗng ( null set ) là tập hợp rõ không chứa bất kỳ một phần tử nào cả và được ký hiệu là ( . Khi đó ta có : x ( ( , (x ( U Tập hợp toàn bộ ( whole set) là tập hợp rõ chứa tất cả các phần tử trong không gian U và được ký hiệu là X . Khi đó ta có : x ( X , (x ( U Tập hợp con của tập hợp : Cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U thì A sẽ được gọi là tập hợp con của tập hợp B ( ký hiệu là A ( B ) nếu mọi phần tử là thành viên của tập hợp A đều là thành viên của tập hợp B . Cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U thì A sẽ được cho là bằng tập hợp B ( ký hiệu là A = B ) nếu mọi phần tử là thành viên của tập hợp A đều là thành viên của tập hợp B và ngược lại mọi phần tử là thành viên của tập hợp B cũng là thành viên của tập hợp A , hay nói cách khác A là tập hợp con của tập hợp B và ngược lại B cũng là tập hợp con của tập hợp A .
Các phép toán trên tập hợp rõ : -Phép toán hợp của tập hợp rõ ( Union ) : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U . Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp rõ xác định trong không gian U và được ký hiệu là A(B . Trong đó A(B được xác định bởi công thức sau : A(B = ( x ( x(A hoặc x(B ( Nghĩa là các thành viên của tập hợp A(B sẽ là thành viên viên của tập hợp A hoặc sẽ là thành viên của tập hợp B .
-Phép toán giao của tập hợp rõ ( Intersection ) : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U . Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp rõ xác định trong không gian U và được ký hiệu là A(B . Trong đó A(B được xác định bởi công thức sau : A(B = ( x ( x(A và x(B ( Nghĩa là các thành viên của tập hợp A(B phải là thành viên viên của cả hai tập hợp A và B .
-Phép toán phủ định của tập hợp rõ ( Complement ) : cho tập hợp rõ A xác định trong không gian U . Phủ định của hai tập hợp A là một tập hợp rõ xác định trong không gian U và được ký hiệu là
,
được gọi là bù của tập hợp A . Trong đó
được xác định bởi công thức sau :
= ( x ( x(A ( Nghĩa là các thành viên của tập hợp
sẽ không phải là thành viên của tập hợp A .
-Phép toán hiệu của tập hợp rõ ( Difference ) : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U . Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp rõ xác định trong không gian U và được ký hiệu là A(B . Trong đó A(B được xác định bởi công thức sau : A(B = ( x ( x(A và x(B ( Nghĩa là các thành viên của tập hợp A(B sẽ là thành viên viên của tập hợp A và không phải là thành viên của tập hợp B .
Tính chất của các phép toán trên tập hợp rõ: -Tính giao hoán ( Commutativity ) : A(B = B(A A(B = B(A -Tính kết hợp ( Associativity ) : A( ( B(C ) = ( A(B )(C A( ( B(C ) = ( A(B )(C -Tính phân phối ( Distributivity ) : A(( B(C ) = ( A(B ) ( ( A(C ) A(( B(C ) = ( A(B ) ( ( A(C ) -Tính đồng nhất ( Idempotency ) : A ( A = A A ( A = A -Tính nhận dạng ( Identity ) : A ( ( = ( A ( X = A A ( ( = A A ( X = X -Tính bắc cầu ( Transitivity ) : Nếu A ( B ( C Thì A ( C -Tính xoắn ốc ( Involution ) : Cho
là phủ định của tập hợp rõ A thì phủ định của
sẽ chính là tập hợp A . Biểu diễn dưới dạng biểu thức toán học ta có :
= A -Định luật bù nhau ( Law of the excluded middle ) : hai tập hợp rõ A và
hoàn toàn bù lắp cho nhau . Hợp của hai tập hợp A và
sẽ cho ta tập hợp toàn bộ ( whole set ) A (
= X -Định luật bác bỏ nhau ( Law of the contradiction ) : hai tập hợp rõ A và
hoàn toàn bác bỏ nhau . Hợp của hai tập hợp A và
sẽ cho ta tập hợp rỗng A (
= ( -Định lý De Morgan :

Biểu diễn tập hợp rõ bằng hàm đặc tính ( charateristic function ) của tập hợp : Ngoài cách biểu diễn tập hợp rõ bằng biểu đồ Venn , ta còn có thể biểu diễn tập hợp rõ thông qua hàm đằc tính của nó . Cho A là một tập hợp rõ xác định trong không gian U , hàm đặc tính của tập hợp A được ký hiệu là (A(x) , trong đó (A(x) được xác định bởi công thức
Như vậy , ta có hàm đặc tính của tập hợp rỗng và tập hợp toàn bộ (whole set) là : (( (x) = 0 , (x ( U (X (x) = 1 , (x ( U Kết hợp hàm đặc tính của tập hợp rõ với phép toán trên tập hợp rõ : -Hàm đặc tính của giao hai tập hợp : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U có hàm đặc tính là (A (x) và (B (x) . Hàm đặc tính của tập hợp A(B được xác định theo công thức (A(B (x) = (A (x) ((B (x) = min [(A (x) , (B (x) ] Trong đó ( là toán tử lấy giá trị nhỏ nhất .


-Hàm đặc tính của hợp hai tập hợp : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U có hàm đặc tính là (A (x) và (B (x) . Hàm đặc tính của tập hợp A(B được xác định theo công thức (A((B (x) = (A (x) ( (B (x) = max [(A (x) , (B (x) ] Trong đó ( là toán tử lấy giá trị lớn nhất .


-Hàm đặc tính của phủ định của tập hợp : cho tập hợp rõ A xác định trong không gian U có hàm đặc tính là (A (x) . Hàm đặc tính của tập hợp
được xác định theo công thức
(x) = 1 - (A (x)

-Cho A và B là hai tập hợp rõ xác định trong không gian U , nếu A là tập hợp con của tập hợp B ( A ( B ) thì ta có (A (x) ( (B (x) 1.1.2 TẬP MỜ : Ta thấy rằng lý thuyết tập hợp rõ mô hình hoá các sự việc chỉ ở hai giá trị 0 và 1 , “đúng” và “sai” cho nên lý thuyết tập rõ có ưu điểm là có sự phân loại rất rõ ràng . Chính vì vậy lý thuyết tập hợp rõ sở hữu những suy diễn chính xác . Ưu điểm này của lý thuyết tập hợp rõ đã được ứng dụng trong thực tế và đã tỏ ra rất hữu hiệu trong nhiều lĩnh vực. Tuy nhiên khi mô tả những mô tả của con người về thế giới thực lý thuyết tập hợp rõ lại xuất hiện khuyết điểm . Khi mô tả về thế giới thực , bộ não con người không có sự phân loại chính xác như cách phân loại của lý thuyết tập hợp rõ mà con người sử dụng khả năng suy diễn sắp xỉ của mình đẻ mô tả thế giới thực . Trong nhiều trường hợp thông tin về một sự kiện không đầy đủ hoặc không chắc chắn thì không thể mô hình hóa sự kiện bằng các tập hợp rõ . Do đó để có thể mô tả được những mô tả của con người về thế giới thực , người ta phát triển từ lý thuyết tập hợp rõ một loại tập hợp mới mà độ phụ thuộc của các phần tử vào tập hợp không chỉ gồm hai giá trị 0 hoặc 1 mà là một giá trị bất kỳ nằm trong khoảng từ 0 cho đến 1. Những tập hợp như vậy được gọi là những tập mờ . Tùy theo xác suất hay khả năng mà một phần tử có thể là thành viên của một tập hợp , người ta sẽ gán cho phần tử đó một giá trị nằm trong khoảng giá trị [0,1] gọi là độ phụ thuộc của phần tử đó vào tập hợp . Do đó biểu đồ Venn của những tập mờ sẽ là đường biên không rõ ràng , phần nằm trong đường biên đại diện cho những phần tử chắc chắn thuộc tập mờ phần nằm ngoài đường biên đại diện cho những phần tử chắc chắn không thuộc tập mờ , phần nằm trên đường biên của giản đồ Venn đại diện cho những phần tử chưa chắc chắn thuộc hay không thuộc tập mờ .
Hàm liên thuộc của tập mờ ( membership function ) : Do các phần tử có độ phụ thuộc vào tập mờ là giá trị trong khoảng [0,1] nên hàm đặc tính
không thể xác định độ phụ của phần tử vào tập mờ . Để xác định độ phụ thuộc của phần tử x(U vào tập mờ A xác định trong không gian U , người ta sử dụng hàm số (A(x) gọi là hàm liên thuộc của tập mờ A , trong đó 0 ( (A(x) ( 1 . Biểu diễn tập mờ bằng hàm liên thuộc của nó : Từ định nghĩa hàm liên thuộc của tập mờ , ta thấy rằng có thể sử dụng hàm liên thuộc của tập mờ để biểu diễn tập mờ : -Nếu U là không gian liên tục thì tập mờ F trong không gian U được biểu diễn dưới dạng 
trong đó  không phải là toán tử lấy tích phân mà nó chỉ là ký hiệu cho biết không gian U là một không gian liên tục . Dấu phân số không phải là phép toán chia mà là một toán tử kết nối một phần tử x với giá trị liên thuộc (F(x) , trong đó (F(x) cho biết độ phụ thuộc của x vào tập mờ F . -Nếu U là không gian chứa các phần tử rời rạc thì tập mờ F trong không gian U được biểu diễn dưới dạng 
trong đó  không phải là toán tử tổng mà nó chỉ cho biết không gian U là một không gian rời rạc . Dấu phân số không phải là phép toán chia mà là một toán tử kết nối một phần tử x với giá trị liên thuộc (F(x) , trong đó (F(x) cho biết độ phụ thuộc của x vào tập mờ F . Mặt khác trong không gian rời rạc U , tập mờ F còn được viết dưới dạng 
trong đó + không phải là toán tử cộng mà là toán tử hợp thì đúng hơn. Tập mờ con của tập mờ : Cho hai tập mờ A và B xác định trong không không gian U có hàm liên thuộc là (A(x) và (B(x) . Tập mờ A được gọi là tập con của tập mờ B nếu : (A(x) ( (B(x) , (x ( U Sự bằng nhau của hai tập mờ : Cho hai tập mờ A và B xác định trong không không gian U có hàm liên thuộc là (A(x) và (B(x) . Hai tập mờ A và B được gọi là bằng nhau nếu : (A(x) = (B(x) , (x ( U Độ cao của tập mờ : cho tập mờ A có hàm liên thuộc là (A(x) . Giá trị lớn nhất của (A(x) được gọi là độ cao của tập mờ . Tập mờ chính tắc và tập mờ không chính tắc : một tập mờ được gọi là tập mờ chính tắc nếu độ cao của tập mờ bằng 1 và một tập mờ sẽ được gọi là tập mờ không chính tắc nếu độ cao của tập mờ nhỏ hơn 1.
Ở hình vẽ trên , ta thấy tập A là tập mờ chính tắc ( normal set ) , tập mờ B là tập mờ không chính tắc ( subnormal set ) . Tập mờ lồi và tập mờ không lồi : Cho tập mờ A xác định trong không gian X có hàm liên thuộc là (A(x) . Khi đó tập mờ A được gọi là tập mờ lồi nếu hàm liên thuộc của tập mờ có dạng lồi hay nói cách khác tập mờ sẽ là tập mờ lồi nếu với mọi điểm x1 , x2 , x3 thuộc không gian X sao cho x1 < x2 < x3 , ta luôn có : (A(x2) ( min [ (A(x1) , (A(x3) ]
Ngược lại , tập mờ A sẽ được gọi là tập mờ không lồi nếu tồn tại 3 điểm x1 , x2 , x3 thuộc không gian X sao cho x1 < x2 < x3 và (A(x2) < min [ (A(x1) , (A(x3) ]
Nhân , biên và tập hỗ trợ của hàm liên thuộc : Cho tập mờ A có hàm liên thuộc là (A(x) : - Nhân của (A(x) ( core of (A(x) ) là tập hợp các giá trị rõ sao cho độ liên thuộc của nó đối với tập mờ A bằng 1, hay viết dưới dạng đại số ta có : Core[ (A(x) ] = Core(A) = ( x ( (A(x) = 1 ( -Biên của (A(x) ( boudary of (A(x) ) là tập hợp các giá trị rõ sao cho độ liên thuộc của nó đối với tập mờ A lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 Boundary [ (A(x) ] = Boundary(A) = ( x ( 0 < (A(x) < 1( -Tập hỗ trợ của (A(x) ( Support of (A(x) ) là tập hợp các giá trị rõ sao cho độ liên thuộc của nó đối với tập mờ A lớn hơn 0 Support [ (A(x) ] = Support(A) = ( x ( (A(x) > 0 (
1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ : -Phép toán hợp của tập mờ ( Union ) : cho hai tập mờ A và B xác định trong không gian U có hàm liên thuộc là (A(x) và (B(x) . Hợp của hai tập mờ A và B là một tập mờ xác định trong không gian U và được ký hiệu là A(B . Trong đó hàm liên thuộc của A(B được xác định bởi công thức sau : (A(B (x) = (A(x) ( (B(x) = max [ (A(x) , (B(x) ] trong đó ( là phép toán lấy giá trị lớn nhất .
-Phép toán giao của tập mờ ( Intersection ) : cho hai tập mờ A và B xác định trong không gian U có hàm liên thuộc là (A(x) và (B(x) . Giao của hai tập mờ A và B là một tập mờ xác định trong không gian U và được ký hiệu là A(B . Trong đó hàm liên thuộc của A(B được xác định bởi công thức sau : (A(B (x) = (A(x) ( (B(x) = max [ (A(x) , (B(x) ] trong đó ( là phép toán lấy giá trị nhỏ nhất .
-Phép toán phủ định của tập mờ ( Complement ) : cho tập mờ A xác định trong không gian U . Phủ định của tập mờ A là một tập mờ xác định trong không gian U và được ký hiệu là
,
được gọi là bù của tập hợp A . Trong đó
được xác định bởi công thức sau :
Tính chất của các phép toán trên tập mờ: -Tính giao hoán ( Commutativity ) : A(B = B(A A(B = B(A -Tính kết hợp ( Associativity ) : A( ( B(C ) = ( A(B )(C A( ( B(C ) = ( A(B )(C -Tính phân phối ( Distributivity ) : A(( B(C ) = ( A(B ) ( ( A(C ) A(( B(C ) = ( A(B ) ( ( A(C ) -Tính đồng nhất ( Idempotency ) : A ( A = A A ( A = A -Tính nhận biết ( Identity ) : A ( ( = ( A ( X = A A ( ( = A A ( X = X -Tính bắc cầu ( Transitivity ) : Nếu A ( B ( C Thì A ( C -Tính xoắn ốc ( Involution ) : Cho
là phủ định của tập mờ A thì phủ định của
sẽ chính là tập mờ A . Biểu diễn dưới dạng biểu thức toán học ta có :
= A -Định luật bù nhau ( Law of the excluded middle ) : hai tập hợp mờ A và
có thể không hoàn toàn bù lắp cho nhau . Nghĩa là A (
có thể không bằng X -Định luật bác bỏ nhau ( Law of the contradiction ) : hai tập hợp mờ A và
có thể không hoàn toàn bác bỏ nhau . Nghĩa là A (
có thể không bằng (



-Định lý De Morgan :

Các phép toán khác trên tập mờ : -Phép toán chính tắc (Normalization) : phép toán chính tắc dùng để cải tiến tập mờ thành tập mờ chính tắc bằng cách biến đổi nó thành tập mờ có độ cao bằng 1. Điều này có nghĩa là thực hiện phép toán sau
với xU
-Phép toán tập trung ( Concentration ) : thực hiện phép toán tập trung trên tập mờ A sẽ cải tiến hàm liên thuộc của tập mờ A theo xu hướng làm cho dạng của hàm liên thuộc bị co lại , độ liên thuộc của các phần tử trong tập mờ A sẽ bị giảm
-Phép toán phân tán ( Dilation ) : phép toán phân tán có tác dụng ngược với phép toán tập trung . Thực hiện phép toán tập trung trên tập mờ A sẽ làm cho dạng của hàm liên thuộc tập mờ A bị giãn ra , độ liên thuộc của các phần tử trong tập mờ A sẽ tăng lên
-Phép toán làm rõ(Intensification) : là phép toán gia tăng độ phụ thuộc của các phần tử có độ phụ thuộc lớn hơn 0.5 , giảm độ phụ thuộc của những phần tử có độ phụ thuộc nhỏ hơn 0.5 . Để làm điều này , người ta thực hiện phép tóan sau

-Tích Cartesian(Cartesian product):cho A1,A2,…,An là các tập mờ trong không gian U1,U2,…,Un .Tích Cartesian của các tập mờ A1,A2,…,An là một tập mờ xác định trong không gian tích U1 U2 …Un với hàm lien thuộc được định nghĩa bằng công thức sau
 với x1 U1 , x2 U2 , …, xn Un -Tích đại số(Algebraic product):tích đại số của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là
và được định nghĩa bởi biểu thức
với xU -Tổng đại số(Algebraic sum): tổng đại số của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là
và được định nghĩa bởi biểu thức
với xU -Tổng biên(Bounded sum): tổng biên của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là
và được định nghĩa bởi biểu thức
với xU -Hiệu biên(Bounded difference): hiệu biên của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là
và được định nghĩa bởi biểu thức
với xU -Tích biên(Bounded product): tích biên của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là
và được định nghĩa bởi biểu thức
với xU -Tích drastic(Drastic product): tích drastic của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là
và được định nghĩa bởi biểu thức
với xU 1.3 QUAN HỆ RÕ VÀ QUAN HỆ MỜ : 1.3.1 QUAN HỆ RÕ : Cho hai không gian X và Y , tích Cartesian giữa không gian X và không gian Y sẽ tạo ra một không gian tích X(Y trong đó mỗi phần tử của X(Y là một cặp giá trị (x,y) với x(X và y(Y . Như vậy X(Y có thể được bằng biểu thức đại số như sau : X(Y = ( (x,y) ( x(X , y(Y ( Một tập hợp R xác định trong không gian X(Y sẽ được gọi là quan hệ từ không gian X đến không gian Y . Với các phần tử x(X và y(Y , x và y được cho là quan hệ hoàn chỉnh với nhau ( complete relationship ) bởi quan hệ R nếu (x,y)(R , x và y được cho là không quan hệ với nhau ( no relationship ) bởi quan hệ R nếu (x,y)( R . Để đặc trưng cho mối quan hệ giữa các phần tử x trong không gian X với các phần tử y trong không gian Y thông qua quan hệ R , người ta sử dụng sử dụng một hàm số (R(x,y) gọi là hàm đặc tính của quan hệ R trong đó (R(x,y) được định nghĩa như sau :
Ngoài ra nếu không gian X bao gồm các phần tử x1 , x2 , x3 , ... , xn và không gian Y bao gồm các phần tử y1 , y2 , y3 , ... , ym thì quan hệ R xác định trong không gian X(Y có thể được biểu diễn bằng ma trận n(m và ma trận đó được gọi là ma trận quan hệ


Trong đó rij = 1 nếu ( xi , yj ) ( R rij = 0 nếu ( xi , yj ) ( R Cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X(Y có hàm đặc tính là (R(x,y) và (S(x,y) , nếu cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X(Y có hàm đặc tính là (R(x,y) ( (S(x,y) với mọi phần tử x(X và y(Y thì quan hệ S sẽ bao hàm quan hệ R và ta ký hiệu là R ( S . Cho R là quan hệ rõ xác định trong không gian X(X có hàm đặc tính là (R(x,x), khi đó : -Quan hệ R sẽ có tính phản xạ ( Reflesivity ) nếu : (xi,xi) (R hay (R(xi,xi)=1 -Quan hệ R sẽ có tính đối xứng ( Symmetry ) nếu : If (xi,xj) (R Then (xj,xi) ( R hay (R(xi,xj) = (R(xj,xi) -Quan hệ R có tính bắc cầu ( Transitivity ) nếu : If (xi,xj) (R and (xj,xk) (R Then (xi,xk) (R hay If (R(xi,xj) =1 and (R(xj,xk) =1 Then (R(xi,xk) =1 Nếu quan hệ rõ R có tính phản xạ và tính đối xứng thì quan hệ rõ R được gọi là quan hệ rõ Tolerance ( Crisp Tolerance Relation ) . Nếu quan hệ rõ R có tính phản xạ , tính đối xứng và tính bắc cầu thì quan hệ rõ R được gọi là quan hệ rõ tương đương ( Crisp Equivalence Relation ) . Các phép toán trên quan hệ rõ : -Phép toán hợp của các quan hệ rõ ( Union ) : cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X(Y có hàm đặc tính là cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X(Y có hàm đặc tính là (R(x,y) và (S(x,y), hợp của hai quan hệ rõ R và S là một quan hệ rõ xác định trong không gian X(Y và được ký hiệu là R(S , trong đó hàm đặc tính của R(S được xác định bởi công thức