Khóa luận Các phương pháp tấn công RSA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ------------------ Bùi Tuấn Anh CÁC PHƯƠNG PHÁP TẤN CÔNG RSA KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành : Công Nghệ Thông Tin HÀ NỘI – 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ------------------ Bùi Tuấn Anh CÁC PHƯƠNG PHÁP TẤN CÔNG RSA KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành : Công Nghệ Thông Tin Cán bộ hướng dẫn: TS. Hồ Văn Canh HÀ NỘI – 2009 LỜI CÁM ƠN Để thực hiện hoàn thành luận văn “ Các phương pháp tấn công RSA” em đã nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của nhiều tập thể và cá nhân Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ban lãnh đạo cùng quý thầy cô trong khoa Công nghệ thông tin - Trường Đại học Công nghệ, Đại học quốc gia Hà Nội đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt thời gian học tập và thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Hồ Văn Canh, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Xin trân trọng gửi đến gia đình, bạn bè và người thân những tình cảm tốt đẹp nhất đã giúp đỡ động viên em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện và hoàn thành luận văn. Hà Nội, ngày 15/05/2009 Sinh viên Bùi Tuấn Anh TÓM TẮT NỘI DUNG Hệ mật RSA được phát minh bởi Ron Rivest, Adi Shamir, và Len Adleman, công bố lần đầu vào tháng 8 năm 1977. Hệ mật sử dụng trong lĩnh vực đảm bảo tính riêng tư và cung cấp cơ chế xác thực của dữ liệu số. Ngày nay, RSA đã được phát triển ứng dụng rộng rãi trong thương mại điện tử và đặc biệt nó là hạt nhân của hệ thống thanh toán điện tử. Ngay từ khi được công bố lần đầu, hệ RSA đã được phân tích hệ số an toàn bởi nhiều nhà nghiên cứu. Mặc dù đã trải qua nhiều năm nghiên cứu và đã có một số cuộc tấn công ấn tượng nhưng không mang lại kết quả là phá huỷ. Đa phần họ mới chỉ ra được những mối nguy hiểm tiềm ẩn của RSA mà khi sử dụng RSA người dùng cần cải thiện. Thực tế vấn đề thám mã đối với hệ mật RSA hiện tại đang được các nhà nghiên cứu tập trung khai thác các sơ hở của RSA như: tấn công vào số mũ công khai hoặc số mũ bí mật thấp, tấn công vào các tham số nguyên tố p, q bé hoặc cách xa nhau lớn, hoặc tập trung vào việc phân tích nhân tử số n(modul của RSA). Luận văn của em sẽ trình bày các phương pháp tấn công RSA trong vòng 20 năm trở lại đây và lựa chọn môt phương pháp tấn công phổ biến để demo. Mục lục MỞ ĐẦU Hệ mật mã khoá công khai RSA được sử dụng phổ biến trong lĩnh vực đảm bảo tính riêng tư và cung cấp cơ chế xác thực của dữ liệu số. Ngày nay RSA được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong thương mại điện tử, được sử dụng trong việc tạo khoá và xác thực của mail, trong truy cập từ xa, và đặc biệt nó là hạt nhân của hệ thống thanh toán điện tử. RSA được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực nơi mà an ninh an toàn thông tin được đòi hỏi. Chính vì lý do được sử dụng rộng rãi trong thương mại điện tử cũng như có độ an toàn cao mà đã có rất nhiều sự nhòm ngó cũng như các cuộc tấn công nhằm phá vỡ sự an toàn của hệ mật RSA. Ngay từ khi được công bố lần đầu, hệ RSA đã được phân tích hệ số an toàn bởi nhiều nhà nghiên cứu. Mặc dù trải qua nhiều năm nghiên cứu và đã có một số cuộc tấn công ấn tượng nhưng không mang lại kết quả là phá huỷ. Đa phần họ mới chỉ ra được những mối nguy hiểm tiềm ẩn của RSA. Để phục vụ cho việc phân tích các tính chật của hệ mật RSA, em đã trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến toán học, mật mã và thám mã , trình bày tổng quan về hệ mã hoá khoá công khai, các bài toán liên quan đến hệ mã hoá khoá công khai Trên cơ sở hiểu các khái niệm cơ bản, các cơ sở toán học, để có cái nhìn tổng quan về vấn đề thám mã đối với hệ mật RSA trong những năm qua, em đã tổng kết lại các phương pháp tấn công vào hệ mật RSA và kết quả thu được trong những năm qua. Trong chương này em đã trình bày chi tiết các thuật toán tấn công vào hệ mật RSA như: các tấn công cơ bản - modul chung, mù, tấn công vào số mũ công khai hoặc số mũ bí mật thấp, tấn công dựa trên thời gian hay dựa vào các lỗi ngẫu nhiên. Ngoài ra, em cũng trình bày các thuật toán tấn công RSA bằng nhân tử hoá số N với số N lớn như thuật toán Pollard, tuy nhiên các thuật toán được giới thiệu ở đây mới chỉ giải quyết cho modul N của RSA có độ dài hạn chế, còn mudul N có độ dài lớn thì cho đến nay chưa có phương pháp khả thi nào được công bố. Chương 1 - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm toán học 1.1.1 Số nguyên tố và nguyên tố cùng nhau Số nguyên tố là số nguyên dương chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 17, … Hệ mật mã thường sử dụng các số nguyên tố ít nhất là lớn hơn 10150. Hai số m và n được gọi là nguyên tố cùng nhau, nếu ước số chung lớn nhất của chúng bằng Ký hiệu: gcd (m, n) = 1. Ví dụ: 9 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau. 1.1.2 Đồng dư thức Cho a và b là các số nguyên n là số nguyên dương. Khi đó a được gọi là đồng dư với b theo modulo n, ký hiệu là a b (mod n), nếu a, b chia cho n có cùng số dư. n được gọi là modulo của đồng dư. Kí hiệu: a b (mod n) Ví dụ: 5 7 mod 2 vì: 5 mod 2 = 1 và 7 mod 2 = 1 Tính chất của đồng dư: Cho a, a1, b, b1, c Z. Ta có các tính chất sau: a b mod n nếu và chỉ nếu a và b có cùng số dư khi chia cho n Tính phản xạ: a a mod n Tính đối xứng: Nếu a b mod n thì b a mod n Tính giao hoán: Nếu a b mod n và b c mod n thì a c mod n Nếu a a1 mod n, b b1 mod n thì a + b (a1+b1) mod n và ab a1 b1 mod n Lớp tương đương: Lớp tương đương của số nguyên a là tập hợp các số nguyên đồng dư với a theo modulo n. Cho n cố định đồng dư với n trong không gian Z vào các lớp tương đương. Nếu a = qn + r, trong đó 0 r n thì a r mod n. Vì vậy mỗi số nguyên a là đồng dư theo modulo n với duy nhất một số nguyên trong khoảng từ 0 đến n-1 và được gọi là thặng dư nhỏ nhất của a theo modulo n. Cũng vì vậy, a và r cùng thuộc một lớp tương đương. Do đó r có thể đơn giản được sử dụng để thể hiện lớp tương đương. 1.1.3 Không gian Zn và Zn* Không gian Zn (các số nguyên theo modulo n) Không gian các số nguyên theo modulo n: Zn là tập hợp các số nguyên không âm nhỏ hơn n. Tức là: Zn = {0, 1, 2, … n-1}. Tất cả các phép toán trong Zn đều được thực hiện theo modulo n. Ví dụ: Z11 = {0, 1, 2, 3, …, 10} Trong Z11: 6 + 7 = 2, bởi vì 6 + 7 = 13 2 (mod 11). Không gian Zn* Là tập hợp các số nguyên p Zn, nguyên tố cùng n. Tức là: Zn* = { p Zn | gcd (n, p) = 1}, Ф(n) là số phần tử của Zn* Nếu n là một số nguyên tố thì: Zn* = { p Zn | 1 p n – 1} Ví dụ: Z2 = {0, 1} thì Z2* = {1} vì gcd (1, 2) = 1. 1.1.4 Phần tử nghịch đảo Định nghĩa: Cho a Zn. Nghịch đảo của a theo modulo n là số nguyên x Zn sao cho ax 1(mod n). Nếu x tồn tại thì đó là giá trị duy nhất, và a được gọi là khả nghịch. Nghịch đảo của a ký hiệu là a-1. Tính chất: Cho a, b Zn. Phép chia a cho b theo modulo n là tích của a và b theo modulo n, và chỉ được xác định khi b có nghịch đảo theo modulo n. Cho a Zn, a là khả nghịch khi và chỉ khi gcd (a, n) = 1. Giả sử d = gcd (a, n). Phương trình đồng dư ax = b mod n có nghiệm x nếu và chỉ nếu d chia hết cho b, trong trường hợp các nghiệm d nằm trong khoảng 0 đến n – 1 thì các nghiệm đồng dư theo modulo n/d. Ví dụ: 4-1 = 7 (mod 9) vì 4.7 1 (mod 9) 1.1.5 Khái niệm nhóm, nhóm con, nhóm Cyclic Nhóm là bộ các phần tử (G, *) thỏa mãn các tính chất sau: Tính chất kết hợp: ( x * y ) * z = x * s ( y * z ) Tính chất tồn tại phần tử trung gian e G: e * x = x * e = x , x G Tính chất tồn tại phần tử nghịch đảo x’ G: x’ * x = x * x’ = e Nhóm con là bộ các phần tử (S, *) là nhóm thỏa mãn các tính chất sau: S G, phần tử trung gian e S x, y S è x * y S Nhóm Cyclic: Là nhóm mà mọi phần tử x của nó được sinh ra từ một phần tử đặc biệt g G. Phần tử này được gọi là phần tử nguyên thủy, tức là: Với x G: n N mà gn = x. Ví dụ: (Z+, *) là một nhóm cyclic có phần tử sinh là 1 1.1.6 Hàm Ф Euler Định nghĩa: Cho n 1. Ф (n) được định nghĩa là các số nguyên trong khoảng từ [1, n] nguyên tố cùng nhau với n. Hàm Ф được gọi là hàm phi Euler. Tính chất: Nếu p là số nguyên tố thì Ф (n) = p - 1. Hàm phi Euler là hàm có tính nhân: Nếu (m, n) = 1 thì Ф (m*n) = Ф (m) Ф (n). Nếu n = p1e1p2e2…pkek là thừa số nguyên tố của n thì :Ф(n) = n… 1.1.7 Các phép toán cơ bản trong không gian modulo Cho n là số nguyên dương. Như trước, các phần tử trong Zn được thể hiện bởi các số nguyên {0, 1, 2,…, n - 1}. Nhận xét rằng: nếu a, b Zn thì: (a + b) mod n = Vì vậy, phép cộng modulo (và phép trừ modulo) có thể được thực hiện mà không cần thực hiện các phép chia dài. Phép nhân modulo của a và b được thực hiện bằng phép nhân thông thường a với b như các số nguyên bình thường, sau đó lấy phần dư của kết quả sau khi chia cho n. Phép tính nghịch đảo trong Zn có thể được thực hiện nhờ sử dụng thuật toán Euclidean mở rộng như mô tả sau: Nếu b=0 thì đặt d: =a; x: =1; y: =0; return (d; x; y) ; Đặt x2 :=1; x1 :=0 ; y2 : =0 ; y1 : =1 ; Khi b>0 thực hiện: q: = [a/b]; r = a-qb; x: = x2-px1; y: = y2 - py1 ; a : =b; r: =b; x1:=x2; x1:=x; y2:=y1; y1:=y ; d:=a ; x:=x2 ; y:=y2 ; return(d, x, y) ; 1.1.8 Độ phức tạp tính toán Lý thuyết thuật toán và các hàm tính được ra đời từ những năm 30 của thế kỉ 20 đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu các vấn đề “tính được”, “giải được” trong toán học. Tuy nhiên từ cái “tính được” đến việc tính toán thực tế là một khoảng cách rất lớn. Có rất nhiều vấn đề được chứng minh là có thể “tính được” nhưng không tính được trong thực tế cho dù có sự hỗ trợ của máy tính. Vào những năm 1960, lý thuyết độ phức tạp tính toán được hình thành và phát triển một cách nhanh chóng, cung cấp nhiều hiểu biết sâu sắc về bản chất phức tạp của các thuật toán và các bài toán, từ những bài toán thuần túy lý thuyết đến những bài toán thường gặp trong thực tế. Độ phức tạp tính toán (về không gian hay thời gian) của một tiến trình tính toán là số ô nhớ được dùng hay số các phép toán sơ cấp được thực hiện trong tiến trình tính toán đó. Dữ liệu đầu vào đối với một thuật toán thường được biểu diễn qua các từ trong một bảng ký tự nào đó. Độ dài của một từ là số ký tự trong từ đó. Cho một thuật toán A trên bảng ký tự Z (tức là có các đầu vào là các từ trong Z). Độ phức tạp tính toán của thuật toán A được hiểu như một hàm số fa(n) sao cho với mỗi số n thì fa(n) là số ô nhớ, hay số phép toán sơ cấp tối đa mà A cần để thực hiện tiến trình tính toán của mình trên các dữ liệu vào có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng n. Ta nói: thuật toán A có độ phức tạp thời gian đa thức, nếu có một đa thức P(n) sao cho với mọi n đủ lớn ta có: fa(n) p(n), trong đó fa(n) là độ phức tạp tính toán theo thời gian của A. Bài toán P được gọi là “giải được” nếu tồn tại thuật toán để giải nó, tức là thuật toán làm việc có kết thúc trên mọi dữ liệu đầu vào của bài toán. Bài toán P được gọi là “giải được trong thời gian đa thức” nếu có thuật toán giải nó với độ phức tạp thời gian đa thức. 1.1.9 Hàm một phía và hàm một phía có cửa sập Hàm một phía: Một hàm một phía là hàm mà dễ dàng tính toán ra quan hệ một chiều nhưng rất khó để tính ngược lại. Ví như : Biết giả thiết x thì có thể dễ dàng tính ra f(x), nhưng nếu biết f(x) thì rất khó tính ra được x. Trong trường hợp này “khó” có nghĩa là để tính ra được kết quả thì phải mất rất nhiều thời gian để tính toán. Ví dụ: Tính y = f(x) = αx mod p là dễ nhưng tính ngược lại x = logα y là bài toán “khó” (bài toán logarit rời rạc) Hàm một phía có cửa sập: F(x) được gọi là hàm một phía có cửa sập nếu tính xuôi y = f (x) thì dễ nhưng tính ngược x = f - 1(y) thì khó tuy nhiên nếu có “cửa sập” thì vấn đề tính ngược trở nên dễ dàng. Cửa sập ở đây là một điều kiện nào đó giúp chúng ta dễ dàng tính ngược. Ví dụ: y = f (x) = xb mod n tính xuôi thì dễ nhưng tính ngược x = ya mod n thì khó vì phải biết a với a * b 1 (mod (Ф (n)) trong đó Ф(n) = (p-1)(q-1). Nhưng nếu biết cửa sập p, q thì việc tính n = p * q và tính a trở nên dễ dàng. Hộp thư là một ví dụ khác về hàm một phía có cửa sập. Bất kỳ ai cũng có thể bỏ thư vào thùng. Bỏ thư vào thùng là một hành động công cộng. Mở thùng thư không phải là hành động công cộng. Nó là khó khăn, bạn sẽ cần đến mỏ hàn để phá hoặc những công cụ khác. Tuy nhiên, nếu bạn có “cửa sập” (trong trường hợp này là chìa khóa của hòm thư) thì công việc mở hòm thư thật dễ dàng. 1.2 Vấn đề mã hóa 1.2.1 Giới thiệu về mã hóa Chúng ta biết rằng thông tin truyền đi trên mạng rất dễ bị trộm cắp. Để đảm bảo việc truyền tin an toàn, người ta thường mã hóa thông tin trước khi truyền đi. Việc mã hóa cần theo quy tắc nhất định gọi là hệ mật mã. Hiện nay có hai loại mật mã: hệ mật mã khóa bí mật và hệ mật mã khóa công khai. Hệ mật mã khóa bí mật (còn gọi là hệ mật mã đối xứng hay hệ mật mã cổ điển) dễ hiểu, dễ thực thi nhưng độ an toàn không cao. Vì giới hạn tính toán chỉ thực hiện trong phạm vi bảng chữ cái sử dụng văn bản cần mã hóa (ví dụ Z26 nếu dùng các chữ cái tiếng anh, Z256 nếu dùng chữ cái ASCII…). Với các hệ mã khóa bí mật, nếu biết khóa lập mã hay thuật toán lập mã, người ta có thể tìm thấy ngay được bản rõ. Ngược lại, các hệ mật mã khóa công khai (còn gọi là hệ mật mã phi đối xứng) cho biết khóa lập mã K và hàm lập mã ek, thì cũng rất khó tìm được cách giải mã. Và việc thám mã là rất khó khăn do độ phức tạp tính toán lớn. 1.2.2 Hệ mã hóa Hệ mã hóa là hệ bao gồm 5 thành phần (P, C, K, E, D) thỏa mã các tính chất sau: P (Plaitext): là tập hợp hữu hạn các bản rõ có thể: C (Ciphertext): là một tập hữu hạn các bản mã có thể. K (Key): là một tập hữu hạn các khóa có thể. E (Encrytion): là tập các hàm lập mã. D (Decrytion): là tập các hàm giải mã. Chúng ta đã biết một thông báo thường được xem là bản rõ. Người gửi sẽ có nhiệm vụ mã hóa bản rõ đó, kết quả thu được gọi là bản mã. Và bản mã này sẽ được gửi đi trên đường truyền tới người nhận. Người nhận giải mã bản mã để tìm hiểu nội dung của bản rõ. Với mỗi k K, có một hàm lập mã ek E, ek : P àC , và một hàm giải mã dk D, dk : C à P sao cho: dx(ek(x)) = x, xP 1.2.3 Những tính năng của hệ mã hóa Cung cấp một mức cao về tính toán bảo mật, toàn vẹn, chống chối bỏ và xác thực. Tính bảo mật: Bảo đảm bí mật cho các thông báo và dữ liệu bằng việc che giấu thông tin nhờ các kỹ thuật mã hóa. Tính toàn vẹn: Bảo đảm với các bên rằng bản tin không bị thay đổi trên đường truyền tin. Chống chối bỏ: Có thể xác nhận rằng tài liệu đã đến từ ai đó, ngay cả khi họ cố gắng từ chối nó. Tính xác thực: Cung cấp hai dịch vụ: Nhận dạng nguồn gốc của một thông báo, đảm bảo rằng nó là đúng sự thực. Kiểm tra định danh của người đang đăng nhập hệ thống, tiếp tục kiểm tra đặc điểm của họ trong trường hợp ai đó cố gắng kết nối và giả danh là người sử dụng hợp pháp. Chương 2 - TỔNG QUAN VỀ MÃ HOÁ CÔNG KHAI VÀ MÃ THÁM 2.1 Mã hoá khoá công khai Hệ mã hóa khóa bất đối xứng( hệ mã hoá khoá công khai) là Hệ mã hóa có khóa lập mã và khóa giải mã khác nhau (ke ¹ kd), biết được khóa này cũng “khó” tính được khóa kia. Hệ mã hóa này còn được gọi là Hệ mã hoá khóa công khai, vì: Khoá lập mã cho công khai, gọi là khoá công khai (Public key). Khóa giải mã giữ bí mật, còn gọi là khóa riêng (Private key) hay khóa bí mật. Một người bất kỳ có thể dùng khoá công khai để mã hoá bản tin, nhưng chỉ người nào có đúng khoá giải mã thì mới có khả năng đọc được bản rõ. Hệ mã hóa khoá công khai hay Hệ mã hó bất đối xứng do Diffie và Hellman phát minh vào những năm 1970. 2.1.1 Đặc điểm của Hệ mã khoá công khai Ưu điểm: 1). Hệ mã hóa khóa công khai có ưu điểm chủ yếu sau: Thuật toán được viết một lần, công khai cho nhiều lần dùng, cho nhiều người dùng, họ chỉ cần giữ bí mật khóa riêng của mình. 2). Khi biết các tham số ban đầu của hệ mã hóa, việc tính ra cặp khoá công khai và bí mật phải là “dễ”, tức là trong thời gian đa thức. Người gửi có bản rõ P và khoá công khai, thì “dễ” tạo ra bản mã C. Người nhận có bản mã C và khoá bí mật, thì “dễ” giải được thành bản rõ P. 3). Người mã hoá dùng khóa công khai, người giải mã giữ khóa bí mật. Khả năng lộ khóa bí mật khó hơn vì chỉ có một người giữ gìn. Nếu thám mã biết khoá công khai, cố gắng tìm khoá bí mật, thì chúng phải đương đầu với bài toán “khó”. 4). Nếu thám mã biết khoá công khai và bản mã C, thì việc tìm ra bản rõ P cũng là bài toán “khó”, số phép thử là vô cùng lớn, không khả thi. Hạn chế: Hệ mã hóa khóa công khai: mã hóa và giải mã chậm hơn hệ mã hóa khóa đối xứng. 2.1.2 Nơi sử dụng Hệ mã hóa khoá công khai Hệ mã hóa khóa công khai thường được sử dụng chủ yếu trên các mạng công khai như Internet, khi mà việc trao chuyển khoá bí mật tương đối khó khăn. Đặc trưng nổi bật của hệ mã hoá công khai là khoá công khai (public key) và bản mã (ciphertext) đều có thể gửi đi trên một kênh truyền tin không an toàn. Có biết cả khóa công khai và bản mã, thì thám mã cũng không dễ khám phá được bản rõ. Nhưng vì có tốc độ mã hóa và giải mã chậm, nên hệ mã hóa khóa công khai chỉ dùng để mã hóa những bản tin ngắn, ví dụ như mã hóa khóa bí mật gửi đi. Hệ mã hóa khóa công khai thường được sử dụng cho cặp người dùng thỏa thuận khóa bí mật của Hệ mã hóa khóa riêng. 2.2 Các bài toán liên quan đến hệ mã hoá khoá công khai Sự ra đời của khái niệm hệ mã bất đối xứng là một tiến bộ có tính chất bước ngoặt trong lịch sử mật mã nói chung, gắn liền với sự phát triển của khoa học tính toán hiện đại. Mã hóa bất đối xứng là một dạng mật mã hóa cho phép người sử dụng trao đổi các thông tin mật mà không cần phải trao đổi các khóa chung bí mật trước đó. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng một cặp khóa có quan hệ toán học với nhau là khóa công khai và khóa cá nhân (hay khóa bí mật). Trong mã bất đối xứng, khóa cá nhân phải được giữ bí mật trong khi khóa công khai được phổ biến công khai. Trong 2 khóa, một dùng để mã hóa và khóa còn lại dùng để giải mã. Điều quan trọng đối với hệ thống là không thể tìm ra khóa bí mật nếu chỉ biết khóa công khai. Hệ thống mã bất đối xứng có thể sử dụng với các mục đích như: Mã hóa: giữ bí mật thông tin và chỉ có người có khóa bí mật mới giải mã được. Tạo chữ ký số: cho phép kiểm tra một văn bản có phải đã được tạo với một khóa bí mật nào đó hay không. Thỏa thuận khóa: cho phép thiết lập khóa dùng để trao đổi thông tin mật giữa 2 bên. Các kỹ thuật mã bất đối xứng đòi hỏi khối lượng tính toán nhiều hơn các kỹ thuật mã hóa khóa đối xứng nhưng những lợi điểm mà chúng mang lại khiến cho chúng được áp dụng trong nhiều ứng dụng. Các hệ mã bất đối xứng dựa trên tính chất của các bài toán cơ bản như: 2.2.1 Bài toán phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố Cho số nguyên dương n , tìm tất cả các ước số nguyên tố của nó, hay là tìm dạng phân tích chính tắc của n =, trong đó pi là các số nguyên tố từng cặp khác nhau và các ai ³ 1. Bài toán này có liên hệ mật thiết với các bài toán thử tính nguyên tố hay thử tính hợp số của một số nguyên, nhưng với những gì mà ta biết đến nay, nó dường như khó hơn nhiều so với hai bài toán thử tính nguyên tố và tính hợp số. 2.2.2 Bài toán RSA (Rivest-Shamir-Adleman) Cho số nguyên dương n là tích của hai số nguyên tố lẻ khác nhau, một số nguyên dương e sao cho gcd(e,f (n)) =1, và một số nguyên c ; tìm một số nguyên m sao cho . Điều kiện gcd(e,f (n)) =1 bảo đảm cho việc với mỗi số nguyên c Î {0,1,...,n -1} có đúng một số m Î {0,1,...,n -1} sao cho . Dễ thấy rằng nếu biết hai thừa số nguyên tố của n, tức là biết n =p.q thì sẽ biết f (n) = (p -1)(q -1), và từ đó, do gcd(e,f (n)) =1 sẽ tìm được d =e -1modf (n), và do đó sẽ tìm được m =c d modn. Như vậy, bài toán RSA có thể qui dẫn trong thời gian đa thức về bài toán phân tích số nguyên. 2.2.3 Bài toán thặng dư bậc hai Cho một số nguyên lẻ n là hợp số, và một số nguyên a ÎJn , tập tất cả các số a có ký hiệu Jacobi. Hãy quyết định xem a có là thặng dư bậc hai theo modn hay không? Trong lý thuyết mật mã, bài toán này cũng thường được xét với trường hợp n là số nguyên Blum, tức n là tích của hai số nguyên tố p và q , n =p.q. Ta chú ý rằng trong trường hợp này, nếu a ÎJn , thì a là thặng dư bậc hai theo modn, điều này có thể thử được dễ dàng vì nó tương đương với điều kiện a (p