Khóa luận Khảo sát các thông số ảnh hưởng đến thuật toán Music và mô phỏng thuật toán bằng Matlab

Lời cảm ơn Để hoàn thành được khóa luận này em xin chân thành gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu nhà Trường, ban chủ nhiệm Khoa Vật lý, các thầy cô giáo trong Khoa, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Vật lý Vô tuyến đã truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích trong quá trình làm khóa luận cũng như học tập và rèn luyện tại Trường . Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Lê Quang Thảo đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo giúp đỡ em rất tận tình trong quá trình làm khóa luận để em có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn Đàm Trung Thông đã góp ý cho khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn. Con xin cảm ơn tới gia đình và người thân đã động viên, sát cánh bên con trong suốt quá trình học tập, rèn luyện xa nhà. Do điều kiện thời gian và trình độ có hạn nên trong khóa luận này không thể không có sai sót.Em rất mong được sự góp ý từ Thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Bùi Thái Hưng MỤC LỤC : MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG I 3 KHÁI QUÁT VỀ ANTEN THÔNG MINH. 3 1.1. Mở đầu: 3 1.2 Anten mảng thích nghi: 8 CHƯƠNG II 11 MỘT SỐ THUẬT TOÁN ƯỚC LƯỢNG HƯỚNG SÓNG TỚI 11 2.1. Thuật toán ước lượng phổ: 11 2.2. Thuật toán khả năng lớn nhất MLM (maximum likehood method): 11 2.3 Thuật toán MUSIC: 12 2.4. So sánh các thuật toán: 12 2.5.Ứng dụng thuật toán MUSIC xác định DOA: 13 CHƯƠNG III 18 KHẢO SÁT CÁC THÔNG SỐ ẢNH HƯỞNG ĐẾN THUẬT TOÁN MUSIC Và MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN BẰNG MATLAB 18 3.1. Xây dựng chương trình để giải quyết thuật toán MUSIC bằng ngôn ngữ MATLAB: 18 3.2. Sự ảnh hưởng của các tham số đến kết quả của thuật toán MUSIC: 25 CHƯƠNG 4 : ………………………………………………………………….38 KẾT LUẬN…………………....………………………………………………38 Tài liệu tham khảo……………………………………………………..40 PHỤ LỤC…………………………………………………………….…..41 DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT DOA Direction of Arrival- Hướng tới MUSIC Multiple Signal Classification algorithm - Thuật toán phân loại đa tín hiệu CDMA Code Divison Multiple Accsess – Đa truy nhập phân chia theo mã MLM Maximum likehoot method: Thuật toán khả năng lớn nhất DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ĐỒ THỊ Hình 1.1. Xác định vị trí ứng dụng anten………………………….….....7 Hình 1.2. Mảng anten tuyến tính …………………………………….....9 Hình 1.3. Một mô hình anten thích nghi……………………………….. 9 Hình 2.1a. Thuật toán ước lượng phổ…………………………………....13 Hình 2.1b. Thuật toán khả năng lớn nhất………………………………...13 Hình 2.1c. Thuật toán MUSIC…………………………………………..13 Hình 2.2. K sóng tới dàn M phần tử …………………………………....14 Hình 2.3. Sơ đồ khối xác định hướng sóng tới……………………… ....18 Hình 3.1. Sơ đồ mô phỏng thuật toán MUSIC…………………………..20 Hình 3.2. Kết quả của thuật toán với góc tới 60 độ a/Khi d/ =0.5 b/Khi d/ =0.6…………... 27 Hình3.3. Kết quả trong trường hợp D = 7, Ne = 8………………………29 Hình 3.4. Kết quả trong trường hợp D = 7 và Ne = 9………………..….29 Hình 3.5. Phổ giả của thuật toán Music với các nguồn tương quan trễ ở các góc
…………….….32 Hình 3.6. Phổ giả của thuật toán Music các góc
……32 Hình 3.7. Góc 70 độ và 90 độ…………………………………………... 33 Hình 3.8. Ảnh hưởng khi các nguồn tương quan trễ nhau ………………35 Hình 3.9. Ảnh hưởng khi các nguồn tương quan trùng nhau……………36 Hình 3.10. Khi chỉ có các tín hiệu trùng lặp nhau………………………...37 MỞ ĐẦU Ngày nay, khi lĩnh vực thông tin truyền thông ngày càng phát triển, các loại anten được thiết kế để xử lý tín hiệu một cách chính xác nhất được sử dụng ngày càng phổ biến đem lại những ích lợi trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như thông tin di động, truyền hình. Việc sử dụng sự biến thiên của sóng điện từ để truyền tin thông qua sự phát và thu của anten cho tính linh động, tính bảo mật và kinh tế cao, tuy nhiên việc truyền tin này có hiệu suất kém hơn dùng cáp để truyền. Chính vì lý do đó mà các công nghệ về anten luôn được đầu tư nghiên cứu nhằm tăng hiệu suất lên một mức cao hơn … Một trong những hướng phát triển của kĩ thuật xử lý tín hiệu trong anten được đầu tư và nghiên cứu là việc xác định hướng các sóng tới …. Có nhiều thuật toán được đề ra để xử lý phát hiện ra sóng tới như thuật toán ước lượng phổ, thuật toán khả năng lớn nhất, thuật toán MUSIC…Trong đó thuật toán được dùng phổ biến nhất hiện nay chính là thuật toán MUSIC với những ưu điểm vượt trội như : Độ chính xác cao, phân giải được các nguồn tốt và tốc độ tính toán nhanh Tuy nhiên, trong điều kiện hoàn cảnh khác nhau sẽ gây ảnh hưởng nhất định đến kết quả của thuật toán MUSIC. Bài khóa luận tốt nghiệp này nghiên cứu về sự ảnh hưởng của các thông số hay thay đổi thường gặp trong thực tế qua đó có thể giúp cho việc thiết kế, xử lý hệ thống anten hiệu quả hơn, phù hợp cho việc áp dụng trong các ứng dụng thực tế với điều kiện hoàn cảnh biến đổi hơn. Phương pháp được sử dụng trong bài luận văn này là lập trình matlab mô phỏng hệ thống xử lý tìm hướng sóng đến MUSIC bao gồm giả lập các nguồn sóng tới, sau đó thay đổi các thông số cần nghiên cứu và xem xét sự thay đổi tương ứng kết quả của thuật toán để từ đó tìm ra được những qui luật biến đổi cũng như sự phụ thuộc của kết quả thuật toán khi thay đổi các thông số. CHƯƠNG I KHÁI QUÁT VỀ ANTEN THÔNG MINH 1.1. Mở đầu Sóng điện từ truyền trong không gian tới điểm thu (anten), ngoài các thông tin biến đổi theo thời gian còn mang các thông tin về đặc tính không gian, vì thế ta có thể coi đó là dạng tín hiệu không gian – thời gian. Khi sử dụng một anten thu đơn giản, ví dụ một anten thẳng thì bản thân tín hiệu nhận được ở đầu ra anten sẽ không phản ánh được đặc tính không gian của sóng tới. Còn khi sử dụng một hệ anten gồm nhiều phần tử sắp xếp trong không gian thì việc xử lý các tín hiệu nhận được từ mỗi phần tử sẽ cho phép khai thác được cả lượng tin tức mang đặc tính không gian của sóng đó. Hệ anten, trong đó có kết hợp sử dụng các phương thức xử lý tín hiệu sẽ làm tăng khả năng của hệ thống trong việc thu nhận thông tin, và ở mức độ cao hơn có thể đáp ứng một cách linh hoạt những biến động có thể xảy ra để duy trì các mục tiêu đã đặt ra cho hệ thống. Ta gọi đó là hệ anten có xử lý tín hiệu, hay ở mức độ cao hơn là anten thông minh (smart antenna). Ngày nay, thuật ngữ anten thông minh được sử dụng khá rộng rãi để chỉ các hệ anten có xử lý tín hiệu do các phương thức và các thuật toán xử lý tín hiệu đã đạt tới trình độ cao và đạt được hiệu quả rõ rệt. Anten thông minh (Smart Antennas) bao gồm nhiều phần tử anten. Tín hiệu đến các phần tử này được tính toán và xử lý giúp anten xác định được hướng của nguồn tín hiệu, tập trung bức xạ theo hướng mong muốn và tự điều chỉnh theo sự thay đổi của môi trường tín hiệu. Quá trình tính toán này đòi hỏi thực hiện theo thời gian thực, để anten thông minh có thể bám theo nguồn tín hiệu khi nó chuyển động. Vì vậy, anten thông minh còn được gọi bằng một tên khác là “Anten thích nghi” (Adaptive Antennas). Với tính chất như vậy, anten thông minh có khả năng giảm thiểu ảnh hưởng của hiện tượng đa đường và can nhiễu. Anten thông minh là một trong những xu hướng được quan tâm nhiều trong những năm gần đây. Với ứng dụng trong các hệ thống thông tin vô tuyến, nó có thể cải thiện chất lượng tín hiệu, tăng dung lượng, mở rộng phạm vi hoạt động của hệ thống. Với ứng dụng trong các hệ thống rađa, định vị, anten thông minh cho phép nâng cao khả năng phát hiện mục tiêu, nâng cao độ chính xác, xác định tọa độ và tạo thêm những khả năng mới mà các hệ thống bình thường không có được. a) Nguyên lý hoạt động Công nghệ anten thông minh giống như việc định hướng âm thanh của con người. Con người có hai cái tai để nghe (thu tín hiệu), miệng để nói (phát tín hiệu) và bộ não để suy nghĩ - định hướng (xử lý, phân tích tín hiệu) .  Con người  Anten thông minh   Phát tín hiệu  Miệng  Anten phát   Nhận tín hiệu  Tai  Anten thu   Xử lý thông tin và định hướng  Bộ não  Bộ phận xử lý và các thuật toán định hướng ( DOA)   Bảng 1.1: Tương quan giữa con người và công nghệ anten thông minh Hãy tưởng tượng bạn đang đứng ở một cánh đồng và nhắm mắt lại. Một người ở đằng xa nói với bạn, để nghe rõ nhất người đó nói gì thì bạn phải quay về phía người đó. Bạn có thể xác định vị trí của người nói nhờ vào sự khác nhau về trễ của âm thanh mà hai tai của bạn nghe thấy, bộ não sẽ phân tích sự khác nhau này và chỉ cho bạn chính xác hướng của nguồn âm phát ra. Như vậy bạn có thể quay đúng về hướng để bạn và người nói chuyện cùng có thể nghe rõ nhất. Lời nói của bạn phát ra đúng với hướng của nguồn âm thanh mà bạn nghe được . Một anten thông minh bao gồm nhiều phần tử anten. Cũng giống như cách phân tích của bộ não về sự khác nhau giữa âm thanh thu được ở hai tai, những tín hiệu phát ra từ những máy di động đến anten thành phần được phân tích giúp xác định hướng của nguồn tín hiệu. Trên thực tế thì các anten thành phần được phân bố tĩnh. Việc xác định được hướng của nguồn tín hiệu là kết quả của việc tính toán tín hiệu nhận được từ những anten thành phần, và không có phần nào của anten phải quay đổi hướng cả. Anten thông minh sử dụng các thuật toán thông minh để tối ưu hóa công suất và chính xác hóa vị trí của nguồn phát, nhờ đó giúp cho những gói tin có thể truyền đến nguồn tín hiệu trong một búp sóng hẹp theo đúng hướng từ nguồn tín hiệu phát ra đến nơi nhận, việc này giúp cho năng lượng sóng truyền đi theo một hướng tập trung, nhờ đó giảm thiểu năng lượng ở máy phát mà nơi thu vẫn có thể nhận được tín hiệu rõ ràng. Công việc tính toán phức tạp và đòi hỏi thời gian đáp ứng nhanh dẫn đến việc phải gia tăng đáng kể công việc xử lý ở tại trạm phát sóng. Lợi ích của việc sử dụng anten thông minh: anten thông minh đóng góp hai lợi ích chính đối với đường truyền vô tuyến là tối ưu hoá công suất, giảm nhiễu đường truyền. Bởi vì anten thông minh đặc biệt hiệu quả trong việc tăng công suất tín hiệu thu được và giảm công suất phát đến ngưỡng nhỏ nhất. Bên cạnh đó, nó được sử dụng giúp tăng dung lượng đường truyền. Việc giảm đáng kể công suất phát ra chính là giảm sự can nhiễu trong một vùng phủ sóng của trạm phát (làm tăng mức tín hiệu trên tạp âm - SNIR). b) Ứng dụng của anten thông minh +Anten thông minh trong mạng GSM Đã có một số loại anten thông minh được sản xuất cho thị trường mạng di động sử dụng công nghệ GSM. Chúng giúp tối ưu công suất thu phát, giảm nhiễu. Nhưng cho đến nay việc sử dụng anten thông minh trong mạng GSM vẫn còn rất hạn chế. Đây không phải bởi lý do công nghệ mà bởi công nghệ GSM sử dụng đa truy nhập theo thời gian (TDMA) và quản lý vị trí tần số. Điều này có nghĩa là mỗi kênh vô tuyến có một khe thời gian và một băng tần. Không có sự can nhiễu giữa những người dùng trong một ô (cell) trạm phát. Giống như hai người nói chuyện với nhau trong một căn phòng vắng không có tiếng ồn của những cuộc hội thoại khác. Điều này có nghĩa là lợi ích của Anten thông minh trong mạng GSM là rất hạn chế. +Anten thông minh trong mạng 3G Bởi anten thông minh giúp tăng công suất thu và giảm nhiễu nên điều này đặc biệt có ý nghĩa đối với các mạng di động 3G sử dụng công nghệ CDMA. CDMA (Code Division Multiple Access) chia phổ tần bằng cách xác định mỗi kênh vô tuyến trong một trạm thu phát và thuê bao bằng một mã số. Thuê bao chỉ được nhận ra bằng mã của mình. Tín hiệu thu và phát từ những máy di động khác (với những mã khác) đối với một máy điện thoại di động chính là nhiễu. Cho nên, càng nhiều điện thoại trong một vùng phủ sóng của trạm thu phát thì nhiễu càng nhiều. Điều đó làm giảm số điện thoại di động mà trạm thu phát có thể phục vụ được. Tất cả các tiêu chuẩn điện thoại 3G (UMTS, CDMA2000 và TD-SCDMA...) đều sử dụng công nghệ CDMA. Đối với những hệ thống CDMA, anten thông minh giúp giảm nhiễu trong một ô bởi vì nó tăng công suất phát để duy trì tất cả các kênh vô tuyến từ trạm phát tới mọi thuê bao. Điều này đặc biệt quan trọng khi nhu cầu tốc độ số liệu cao ngày càng tăng. Một kênh vô tuyến tốc độ cao cần mức công suất cao gấp 10 lần một kênh thoại trong mạng GSM. Tăng mức công suất để duy trì một kênh vô tuyến cũng có nghĩa là giảm khả năng phục vụ các thuê bao còn lại trong ô cũng như từ các ô liền kề. Anten thông minh giảm sự can nhiễu bằng 2 cách: - Búp sóng của anten hướng chính xác đến thuê bao, do vậy công suất phát chỉ phát đúng đến hướng cần thiết. - Khả năng điều khiển tín hiệu định hướng, anten thông minh tránh phát tín hiệu về phía nguồn can nhiễu. Búp sóng của anten thông minh giống như một bông hoa với những cánh hoa có độ dài khác nhau, mỗi cánh hoa là một búp sóng phục vụ một thuê bao. Những búp sóng này sẽ bám theo đúng hướng của thuê bao khi di chuyển. + Ứng dụng của anten thông minh trong việc xác định vị trí Bằng cách xác định được hướng sóng tới từ anten phát tới ít nhất 2 hệ anten thu ta có thể xác định được vị trí của anten phát từ giao điểm của 2 hướng đó. Hình dưới mô tả việc xác định nguồn phát qua việc xác định được hướng sóng tới từ nguồn phát tới 3 trạm thu có sử dụng anten thông minh có sử dụng phương pháp xác định hướng sóng tới DOA.
 Anten thông minh là một tập hợp các anten thành phần được điều khiển để có thể bức xạ ra các búp sóng hẹp với mức công suất phù hợp với yêu cầu nên nó nâng cao được công suất thu, giảm nhiễu nội bộ giữa các kênh vô tuyến trong cùng một trạm phát. Với những đặc điểm và nguyên lý hoạt động của anten thông minh, việc sử dụng anten thông minh trong mạng 2G (GSM) không mang lại hiệu quả cao. Đối với mạng di động 3G (CDMA), khi thiết kế, xây dựng cần xem xét khả năng triển khai anten thông minh ngay để giảm số trạm phát, tăng dung lượng thuê bao, chất lượng dịch vụ. 1.2 Anten mảng thích nghi a) Định nghĩa anten mảng thích nghi Anten thông minh thông thường được chia làm 3 loại: anten định dạng búp sóng băng hẹp, anten thích nghi và anten thích nghi băng rộng. Trong đó anten định dạng búp sóng băng hẹp là các hệ anten có xử lý tín hiệu với thuật toán không phức tạp, trong khi anten thích nghi xử dụng các phương thức cũng như thuật toán phức tạp hơn. Một mảng anten là một dãy các anten được đặt theo một trật tự xác định tại những điểm cố định trong không gian. Một mảng thích nghi là một hệ thống anten có thể biến đổi những mẫu tín hiệu bằng điều khiển phản hồi trong hệ thống anten điều khiển. Các phần tử của anten có thể được sắp đặt ở những vị trí bất kì trong không gian, trên thực tế loại anten thường được sử dụng là anten mảng thích nghi phẳng, là loại anten mà tâm các phần tử của anten được sắp xếp nằm trên cùng một mặt phẳng. Có 2 loại anten mảng phẳng được biết đến rộng rãi là anten mảng tròn và anten tuyến tính. Trong mảng tuyến tính, tâm các phần tử anten được sắp xếp theo một đường thẳng, các phần tử của anten thường được đặt cách nhau một khoảng khác 0.

 b) Cấu trúc của anten thích nghi
 Hình trên mô tả một trong các mô hình của anten thích nghi, trong đó có 3 khối cơ bản là khối mảng anten, khối bộ xử lý thích nghi và khối định dạng búp sóng. Mảng anten là một hệ thống bao gồm một dàn các anten phần tử, thường là bao gồm M phần tử được sắp xếp tuyến tính. Bộ xử lý thích nghi xử lý với thời gian thực, nó tiếp nhận các thong tin liên tục từ đầu vào của dàn rồi tự động điều khiển các trọng số Wi của bộ định đạng búp sóng nhằm điều khiển liên tục đồ thị phương hướng của dàn sao cho thỏa mãn yêu cầu đề ra với các chỉ tiêu nhất định. Các trọng số được điều chỉnh để đạt bộ trọng số tối ưu theo một tiêu chuẩn nào đó, phù hợp với thuật toán được lựa chọn. Trong hệ anten xử lý tín hiệu thích nghi, thông thường ta sử dụng phép định dạng búp sóng của dàn anten sao cho đồ thị phương hướng có cực đại của búp sóng hướng theo phía nguồn tín hiệu có ích, còn các hướng không hoặc hướng cực tiểu hướng theo các nguồn nhiễu để triệt tiêu hoặc giảm thiểu nhiễu. Trong trường hợp này, việc xác định được hướng nguồn tín hiệu có ích hay hướng nguồn nhiễu là rất quan trọng, nó là điều kiện thiết yếu để có thể định dạng được búp sóng như mong muốn. Để tìm ra hướng các tín hiệu này, bộ xử lý tín hiệu thích nghi phải bao hàm một số thuật toán để tìm ra hướng sóng đến, thuật toán được dùng phổ biến với độ chính xác cao đó là thuật toán MUSIC (Multiple Signal Classification algorithm). Thuật toán này do Schmidt đề xuất năm 1979, đạt được độ phân giải cao khi phát hiện và phân loại nhiều sóng đến đồng thời. CHƯƠNG II MỘT SỐ THUẬT TOÁN ƯỚC LƯỢNG HƯỚNG SÓNG TỚI Một trong những công việc xử lý tín hiệu quan trọng nhất trong anten thông minh chính là việc xác định được hướng của búp sóng tới. Quá trình nghiên cứu và phát triển anten thông minh đã đưa ra được một số loại thuật toán ước lượng hướng sóng tới như thuật toán ước lượng phổ, thuật toán khả năng lớn nhất và đặc biệt được ứng dụng rộng rãi với độ chính xác cao là thuật toán MUSIC. 2.1. Thuật toán ước lượng phổ Trên cơ sở nếu ta ước lượng được ma trận tự tương quan đầu vào và biết các véctơ hướng a(φ), thì ta có thể xác định được công suất đầu ra theo hàm của góc sóng tới ( là giá trị góc φ ứng với giá trị của hàm phổ công suất này.
Trong đó: A(φ) là véctơ hướng hay còn gọi là véctơ dõi theo R
là mà trận tự tương quan hay ma trận hiệp phương sai của tổng các tín hiệu thu được U(t) tại mảng anten thu. P(φ) là hàm phổ công suất trung bình theo góc tới L là cỡ của dãy tín hiệu hay số mẫu quan sát 2.2. Thuật toán khả năng lớn nhất MLM (maximum likehood method) Thuật toán này tối đa hóa hàm loglikehood để ước lượng DOA từ một bộ mẫu chuỗi cho trước. Hàm likehood được cho bởi hàm mật độ xác xuất của dữ liệu từ các thông tin về DOA: F(x) =
Trong đó :
là năng lượng tạp âm. I : là ma trận đơn vị kích thước K x K. A(φ) : là véctơ hướng . X(t
) : tín hiệu nhận được tại đầu ra của phần tử thứ i. S(t
) : tín hiệu đầu ra tại phần tử thứ i. Khi các biến không tương quan, thuật toán MLM cho kết quả khá tốt 2.3 Thuật toán MUSIC MUSIC là thuật toán sử dụng các phép toán mà trận để tìm ra DOA bằng cách phân loại các nguồn tín hiệu đi tới từng phần tử anten theo góc độ không gian. Thuật toán này cho phép xác định số lượng nguồn phát, cường độ của tín hiệu và công suất nhiễu. 2.4. So sánh các thuật toán Kết quả mô phỏng khả năng ước lượng hướng sóng tới ( DOA) trong trường hợp các góc tới bằng 30
và 60
của ba thuật toán trên được trình bày ở hình dưới :
Từ kết quả trên ta có thể thấy được thuật toán DOA cho kết quả chính xác vượt trội so với 2 thuật toán ước lượng phổ và khả năng lớn nhất cả về độ chính xác lẫn độ phân giải 2.5.Ứng dụng thuật toán MUSIC xác định DOA Giả sử ta có K nguồn phát phát đi K sóng, cùng tần số với các góc phương vị tương ứng là φ
, φ
, …, φ
, … φ
tới dàn anten thông minh gồm M phần tử với K < M (hình 2.2).
Gọi U(t) là tổng các tín hiệu nhận được ở đầu ra của M máy thu Rx
….Rx
đặt trên M phần tử dàn, bao gồm cả nhiễu, và coi phần tử thứ nhất là chuẩn, ta có : U(t)=
(2-1) Viết biểu thức trên dưới dạng ma trận ta được: U(t)=A(φ).S(t)+N(t) (2-2) Trong đó : -U(t) là véctơ M chiều biểu thị đáp ứng đầu ra của M cổng máy thu : U(t)=[u
(t),u
(t),….u
(t),…u
(t)] (2-3) -A(φ) là ma trận các véc tơ chỉ phương (direction vector hoặc steering vector), kích thước M x K mang thông tin về góc pha của các tín hiệu tới. A(φ)=[a(φ
),a(φ
),…,a(φ
),…a(φ
)] (2-4) Với : a(φ
)=[1,e,…, e
,…, e
] (2-5) -S(t) là véctơ của K tín hiệu tới : S(t)=[s
(t)s
(t) …S
(t)]
(2-6) Với s
(t) là tín hiệu tới thứ k -N(t) là véctơ nhiễu nhận được trên M cổng máy thu. N(t)=[n
(t),n
(t),…,n
(t),…,n
(t)]
(2-7) Ma trận hiệp phương sai R
của véctơ tín hiệu thu U(t) được tính bởi : R
=E{U(t).U
(t)} =
(2-8) Với U
(t) là phép biến đổi Hermitlien của U(t) L là số mẫu quan sát. Kết hợp (2-3) và (2-8) ta có : R
= E{(A.S + N)(A.S + N)
} (2-9) = A.E{S.S
}A
+ E{N.N
} (2-10)