Khóa luận Một số tính chất hàm lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ? ? ?F ? ?? TRẦN NGỌC ĐỨC TOÀN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Cán bộ hướng dẫn TS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Huế, tháng 5 năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của TS Trương Văn Thương. Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy cô đã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Trần Ngọc Đức Toàn ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 1 KIẾN THỨC MỞ ĐẦU - HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI. 4 1.1 Kiến thức mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM LỒI. 13 2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI 39 3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Tổng quan về lớp các hàm loga-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Hàm gamma và bất đẳng thức về hàm gamma . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Hàm zeta và bất đẳng thức về hàm zeta . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5 Tích phân elliptic - Tích phân elliptic hoàn chỉnh dạng thứ nhất RK - Các bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng trong toán học, nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán học như giải tích hàm, hình học, toán kinh tế, giải tích lồi, tối ưu phi tuyến. . .Một cách tổng quát, có hai tính chất cơ bản của các hàm lồi làm cho chúng được sử dụng rộng rãi trong toán học lý thuyết và toán ứng dụng, đó là: tính chất đạt giá trị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểu địa phương nào cũng là cực tiểu trên tập xác định. Hơn nữa, một hàm lồi thực sự thì điểm cực tiểu nếu có là duy nhất. Có sự tác động qua lại giữa giải tích và hình học trong việc nghiên cứu các hàm lồi. Hiện nay, người ta còn nghiên cứu một số lớp hàm liên quan như hàm loga-lồi, hàm lồi nhân tính, hàm siêu điều hòa và các hàm lồi theo nghĩa nhóm con của nhóm tuyến tính. Có thể nói, nghiên cứu về tập lồi và các hàm lồi là một đề tài thú vị, nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các vấn đề liên quan đến hàm lồi không ngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, nhiều kết quả của hàm lồi được ứng dụng trong toán học và trong thực tế. Khóa luận hướng đến việc trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, khảo sát các ứng dụng của hàm lồi trong việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, tìm hiểu một số kết quả mới về một số hàm lồi đặc biệt như hàm gamma, hàm zeta Riemann và tích phân elliptic, từ đó làm rõ thêm về đề tài thú vị này. Nội dung của khóa luận chia làm ba chương: Chương một đưa ra một số thuật ngữ và ký hiệu sẽ được dùng trong suốt khóa luận, nhắc lại một số kiến thức mở đầu để độc giả có thể theo dõi dễ dàng hơn trong phần sau. Định nghĩa và tính chất của tập lồi, định nghĩa của hàm lồi, hàm loga-lồi và ý nghĩa hình học của tính lồi cũng được giới thiệu. Chương hai trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, từ các phép toán đối với các hàm lồi đến tính liên tục, khả vi cấp một và cấp hai, giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm lồi. Phần cuối của chương được dành để nói về các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi, đồng thời giới thiệu một số bất đẳng thức mới về các hàm lồi. Chương ba khảo sát một số ứng dụng của hàm lồi như việc tìm giá trị nhỏ nhất 2 - lớn nhất, khảo sát lớp hàm loga-lồi. Thông qua việc tìm hiểu các hàm loga-lồi đặc biệt, ta cũng sẽ tìm hiểu và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến lớp hàm này. 3 Chương 1 KIẾN THỨC MỞ ĐẦU - HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI. Trong chương này, chúng tôi nêu ra một số ký hiệu sẽ được dùng trong khóa luận, trình bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết làm cơ sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương sau. Các vấn đề về sự tương đương giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn, hàm số liên tục, hàm số khả vi, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất và các bất đẳng thức liên quan đến tích phân, định lý giới hạn dưới dấu tích phân cũng được nhắc lại. Ta cũng sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa và các tính chất của tập lồi. Phần cuối chương một chúng tôi tập trung mô tả các định nghĩa về hàm lồi trên một tập, hàm loga-lồi cũng như đề cập đến ý nghĩa hình học về tính lồi của một hàm trên một khoảng của tập số thực. 1.1 Kiến thức mở đầu. Trong mục 1.1 này, tác giả chỉ xin đưa ra một số thuật ngữ, khái niệm, tính chất sẽ được sử dụng trong suốt khóa luận. Các khái niệm không gian tuyến tính, chuẩn, sự hội tụ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính, số chiều, không gian Banach, sự đồng phôi, không gian topo, độ đo. . . độc giả có thể tìm thấy ở trong [2] và [1] hoặc trong bất kỳ giáo trình giải tích hàm nào. Trong khóa luận này, ta sẽ ký hiệu X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Chuẩn của một phần tử x ∈ X sẽ được ký hiệu là ‖x‖. Ta cũng sẽ ký hiệu I ⊂ R là một khoảng của tập số thực, B(x0, ) là hình cầu mở tâm x0 bán kính , L(X,Y ) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . 4 Các tập số cũng được ký hiệu như thường lệ: N : Tập hợp các số tự nhiên. N∗ : Tập hợp các số nguyên dương. Z : Tập hợp các số nguyên. Q : Tập hợp các số hữu tỉ. R : Tập hợp các số thực. R+ : Tập hợp các số thực không âm. R> : Tập hợp các số thực dương. C : Tập hợp các số phức. Để người đọc theo dõi khóa luận một cách thuận tiện, tôi xin đưa ra một số khái niệm, định lý và tính chất sau. Bạn đọc có thể dễ dàng tìm thấy hoặc xem chứng minh một cách đầy đủ trong nhiều tài liệu giải tích hiện nay. 1.1.1. Sự đồng phôi giữa các không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.1.1. [2] Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Một ánh xạ A : X → Y được gọi là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y nếu A là song ánh tuyến tính, A liên tục và toán tử ngược A−1 cũng liên tục. Khi đó người ta nói hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y là đồng phôi tuyến tính với nhau. Định nghĩa 1.1.2. [2] Cho (X, ‖.‖1) và (X, ‖.‖2) là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Ta gọi hai chuẩn này là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id : (X, ‖.‖1) → (X, ‖.‖2) là phép đồng phôi tuyến tính. Ta có định lý: Định lý 1.1.1. [2] Tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến tính với nhau. Do đó, tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến tính với Rn. 1.1.2. Ánh xạ liên tục. Định nghĩa 1.1.3. Cho X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là một tập mở trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó, f được gọi là liên tục tại x0 nếu với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ U, ‖x− x0‖ < δ thì ‖f(x)− f(x0)‖ < . Nếu f liên tục tại mọi x0 ∈ U thì ta nói ánh xạ f liên tục trên U . 5 Định nghĩa 1.1.4. [6] Cho U ⊂ X là một tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn X. Một hàm f : U → R được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mỗi x ∈ U , có một lân cận B(x, ) của x và một số Kx để bất đẳng thức |f(y)− f(z)| ≤ Kx ‖y − z‖ (1.1.1) đúng với mọi y, z ∈ B(x, ). Nếu bất đẳng thức (1.1.1) đúng với mọi phần tử của tập V ⊆ U và K độc lập với x, ta nói f Lipschitz trên V . Nhận xét 1.1.2. Từ (1.1.1) ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U thì hàm f liên tục trên U . 1.1.3. Ánh xạ khả vi. Định nghĩa 1.1.5. [6] Cho X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mở trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là khả vi tại x0 nếu có một ánh xạ tuyến tính A : X → Y sao cho với h đủ gần điểm 0 ta có f(x0 + h) = f(x0) + Ah + ‖h‖ (x0, h), trong đó (x0, h) → 0 khi ‖h‖ → 0. Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại điểm x0 và được ký hiệu là f ′(x0). Nếu ánh xạ f khả vi tại mọi x ∈ U thì ta nói hàm f khả vi trên U . Nhận xét 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.5 ta rút ra các nhận xét sau: 1. f ′(x0) là một ánh xạ tuyến tính. 2. Một cách tương đương, f khả vi tại x0 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A sao cho lim ‖h‖→0 ‖f(x0 + h)− f(x0)− Ah‖ ‖h‖ = 0. Định nghĩa 1.1.6. [6] Cho X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mở trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là có đạo hàm tại x0 theo hướng h nếu tồn tại giới hạn lim t→0 f(x0 + th)− f(x0) t . Đạo hàm của hàm f tại x0 theo hướng h được ký hiệu là Df(x0, h). Nhận xét 1.1.4. Cho f : U → R là hàm khả vi trên một tập mở U của không gian tuyến tính định chuẩn X. Khi đó, với mọi x ∈ U ta luôn có Df(x, h) = f ′(x)(h). 6 Thật vậy, cố định h ∈ X,h 6= 0. Do f khả vi tại x ∈ U nên ta có f(x + th)− f(x) = f ′(x)(th) + ◦(||th||), trong đó ◦(||th||) → 0 khi ||th|| → 0. Do đó f(x + th)− f(x) t = f ′(x)(h) + ◦(||th||) t . Chuyển qua giới hạn, cho t → 0 ta được Df(x, h) = f ′(x)(h). Đặc biệt, khi X ≡ Rn và h trùng với vectơ đơn vị ei = (0, . . . , 1 . . . , 0) thì Df(x0, ei) được gọi là đạo hàm riêng thứ i của ánh xạ f và ta viết ∂f ∂xi (x0) = f ′ i(x0) = Df(x0, ei). Ta có định lý Định lý 1.1.5. [6] Cho U là tập mở của không gian định chuẩn Rn. Nếu ánh xạ f : U −→ Rm (x1, . . . , xn) 7−→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)) khả vi tại x ∈ U thì tất cả các đạo hàm riêng của hàm f đều tồn tại và [f ′(x)] =   ∂f1 ∂x1 (x) . . . ∂f1 ∂xn (x) ... ... ∂fm ∂x1 (x) . . . ∂fm ∂xn (x)   Định lý 1.1.6. [6] Cho U là một tập mở của không gian tuyến tính định chuẩn Rn. Ánh xạ f : U → Rm có các đạo hàm riêng theo hướng liên tục trên U . Khi đó f ′(x) tồn tại và được xác định như trong Định lý 1.1.5. Bây giờ, cho U là tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Nếu hàm f : U → R có đạo hàm trên U thì ta có ánh xạ đạo hàm f ′. Nếu ánh xạ đạo hàm f ′ có đạo hàm tại x ∈ U thì ta cũng nói hàm f có đạo hàm cấp hai tại x và ký hiệu là f ′′(x). Với h ∈ X ta có f ′′(x)(h) là ánh xạ tuyến tính đi từ X → R. Ta suy ra [f ′′(x)(h)](k) là một phần tử của R (k ∈ X). Ta có [f ′′(x)(h)](k) tuyến tính theo cả h và k. Vì vậy, ta xem f ′′(x) là một ánh xạ song tuyến tính từ X ×X vào R và [f ′′(x)(h)](k) sẽ được ký hiệu là f ′′(x)(h, k) (h, k ∈ X). 7 Định nghĩa 1.1.7. [6] Cho X là một không gian tuyến tính thực. Một ánh xạ song tuyến tính B : X × X → R được gọi là đối xứng nếu B(h, k) = B(k, h) ∀ h, k ∈ X. B được gọi là xác định không âm (xác định dương) nếu với mọi h ∈ X khác 0, ta có B(h, h) ≥ 0 (B(h, h) > 0). Ta có định lý Định lý 1.1.7. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và U là một tập mở trong X, f : X → Y là ánh xạ khả vi liên tục trên U . Khi đó f ′′(x) là đối xứng tại những điểm mà f ′′ tồn tại. Để thuận tiện trong chứng minh ở chương sau, trong phần này ta cũng sẽ giới thiệu khai triển Taylor với phần dư Lagrange thể hiện trong định lý dưới đây: Định lý 1.1.8. [5] Giả sử f : [a; b] → R có đạo hàm liên tục tới cấp n trên [a; b] và có đạo hàm cấp n + 1 trên (a; b). Khi đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(b) = n∑ k=0 f (k)(a) k! (b− a)k + f (n+1)(c) (n + 1)! (b− a)n+1. 1.1.4. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu. Định nghĩa 1.1.8. Cho U là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X. Hàm f : U → R được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0 ∈ U nếu có một hình cầu mở B(x0, ) ⊂ U để f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) với mọi x ∈ B(x0, ). Nếu f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) với mọi x ∈ U thì f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) trên U . 1.1.5. Bất đẳng thức Ho¨lder - giới hạn dưới dấu tích phân. Định lý 1.1.9. [2] (Bất đẳng thức Ho¨lder). Cho E là một tập khác trống và (E,F, µ) là một không gian độ đo. Giả sử f, g là các hàm số thực đo được trên E. Khi đó∫ E |f.g|dµ ≤ (∫ E |f |pdµ )1/p (∫ E |g|qdµ )1/q với p, q ∈ R>, 1/p + 1/q = 1. Bây giờ, nếu f và g là các hàm số thực dương, với λ ∈ (0, 1), áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder ta có ∫ E fλ.g1−λdµ ≤ (∫ E fdµ )λ(∫ E gdµ )1−λ . 8 Nếu λ ∈ {0, 1} và ∫E fdµ > 0, ∫E gdµ > 0 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng. Ta có hệ quả: Hệ quả 1.1.10. Cho E là một tập khác trống và (E,F, µ) là một không gian độ đo. Giả sử f, g là các hàm số thực dương đo được trên E, ∫ E fdµ > 0, ∫ E gdµ > 0. Khi đó với λ ∈ [0; 1] ta có ∫ E fλ.g1−λdµ ≤ (∫ E fdµ )λ(∫ E gdµ )1−λ . Hệ quả trên vẫn đúng nếu f, g là các hàm số thực dương hầu khắp nơi trên E. Định lý 1.1.11. [1] (Levi) Cho E là một tập khác trống và (E,F, µ) là một không gian độ đo. Nếu dãy hàm (fn) trong đó 0 ≤ fn là các hàm số thực đo được trên E đơn điệu tăng và dần về hàm f thì lim n→∞ ∫ E fndµ = ∫ E fdµ. Từ Định lý 1.1.11 ta có hệ quả sau: Hệ quả 1.1.12. [1] Cho E là một tập khác trống và (E,F, µ) là một không gian độ đo. Nếu fn là các hàm số thực không âm đo được trên E với mọi n ∈ N∗ thì∫ E ∞∑ n=1 fndµ = ∞∑ n=1 ∫ E fndµ. 1.1.6. Tập lồi và các tính chất của tập lồi. Định nghĩa 1.1.9. [6] Một tập U của một không gian tuyến tính thực X được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng [x, y] = {λx + (1− λ)y|λ ∈ [0, 1]} nối bất kỳ hai điểm x, y ∈ U . Đặc biệt, nếu X ≡ R thì tập lồi là một khoảng, một đoạn nay nửa khoảng. Nếu α1, . . . , αn là các số thực không âm, n∑ i=1 αixi = 1 thì x = n∑ i=1 αixi được gọi là một tổ hợp lồi của x1, . . . , xn. Định lý 1.1.13. [6] Một tập U ⊂ X là tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp lồi của các điểm của U đều nằm trong U . 9 Định lý 1.1.14. [6] Nếu {Ui}, i ∈ J là một họ các tập lồi thì U = ∩i∈JUi là một tập lồi. Định nghĩa 1.1.10. Cho U là một tập con của X. Khi đó, bao lồi của U ký hiệu là co(U), là giao của tất cả các tập lồi chứa U . Bao lồi của U là một tập lồi. Định lý 1.1.15. [6] Cho U là một tập con của X. Khi đó bao lồi của U là tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của U . Định nghĩa 1.1.11. [6] Một điểm x0 của tập lồi U được gọi là điểm cực biên nếu x0 không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong U . Tức là không tồn tại hai điểm x1, x2 ∈ U và λ ∈ (0; 1) để x0 = λx1 + (1− λ)x2. Ta có định lý: Định lý 1.1.16. [6] Cho U ⊆ Rn là một tập lồi, compact. Khi đó U là bao lồi của tất cả các điểm cực biên của nó. 1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi. Các hàm lồi được định nghĩa trên các tập lồi. Định nghĩa 1.2.1. [9] Cho I là một khoảng chứa trong R và hàm f : I → R. 1. f được gọi là hàm lồi nếu f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) (1.2.1) với mọi x, y ∈ I và với mọi λ ∈ [0; 1]. 2. f được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu (1.2.1) là bất đẳng thức ngặt với các điểm x, y phân biệt và λ ∈ (0; 1). 3. Nếu −f là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thực sự). 4. Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm thì ta nói f là hàm affine. Thực ra, tại λ = 0 và λ = 1 thì (1.2.1) luôn đúng nên để cho tiện, đôi khi ta chỉ cần xét λ ∈ (0; 1). Trong trường hợp tổng quát, với U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Một hàm f : U → R được gọi là lồi nếu f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) 10 với mọi x, y ∈ U và với mọi λ ∈ [0; 1]. Các khái niệm hàm lồi thực sự, hàm lõm, lõm thực sự cũng được định nghĩa tương tự như trong Định nghĩa 1.2.1. Định nghĩa 1.2.2. Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → (0,∞). Khi đó 1. f được gọi là hàm loga-lồi nếu ln f là hàm lồi. Nói cách khác f(λx + (1− λ)y) ≤ f(x)λf(y)1−λ ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1]. 2. f được gọi là hàm loga-lõm nếu ln f là hàm lõm. Nói cách khác f(λx + (1− λ)y) ≥ f(x)λf(y)1−λ ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1]. Trong phần cuối của chương 2 ta sẽ chỉ ra rằng hàm loga-lồi cũng là một hàm lồi. Ví dụ 1.2.1. Các hàm sau đây là hàm lồi: 1. f : R → R, f(x) = ax + b với a, b là các số thực bất kỳ. Thật vậy, với bất kỳ a, b ∈ R, x, y ∈ R, λ ∈ [0, 1], ta có f(λx + (1− λ)y) = a(λx+ (1− λ)y) + b = λ(ax + b) + (1− λ)(ay + b) thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi. 2. Ánh xạ chuẩn ‖.‖ : X → R với X là một không gian tuyến tính định chuẩn thực. Thật vậy, với x, y ∈ X, λ ∈ [0; 1] ta có ‖λx + (1− λy)‖ ≤ ‖λx‖+ ‖(1− λ)y‖ ≤ λ ‖x‖+ (1− λ) ‖y‖ thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi. 3. Hàm khoảng cách dU : Rn → R, dU (x) = d(x, U) = inf z∈U ‖x− z‖ với U là tập lồi không rỗng của Rn. Thật vậy, dU là hàm lồi do với x, y ∈ Rn, λ ∈ [0; 1] ta có dU(λx + (1− λ)y) = inf z∈U ‖λx + (1− λ)y − z‖ = inf z∈U ‖λ(x− z) + (1− λ)(y − z)‖ ≤ inf z∈U ‖λ(x− z)‖+ inf z∈U ‖(1− λ)(y − z)‖ ≤ λ inf z∈U ‖x− z‖+ (1− λ) inf z∈U ‖y − z‖ = λdU(x) + (1− λ)du(y). 11 Các tính chất của hàm lồi và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai trong chương 2 sẽ cho ta nhiều công cụ hơn để chứng minh một hàm nào đó là hàm lồi. Bây giờ, cho f : I → R là một hàm lồi trên một khoảng I ⊂ R. Với u, v ∈ I phân biệt và x ∈ [u; v]. Khi đó tồn tại một số λ ∈ [0; 1] để x = λu + (1− λ)v. Ta có x− u v − u = λu + (1− λ)v − u v − u = (1− λ)(v − u) v − u = 1− λ. (1.2.2) (u,f(u)) (v,f(v)) xO y (x,f(x)) Do đó, f(x) ≤ λf(u) + (1− λ)f(v) = f(u) + (1− λ)(f(v)− f(u)) = f(u) + f(v)− f(u) v − u (x− u) (theo (1.2.2)). Ta có f(u)+ f(v)− f(u) v − u (x−u) = 0 chính là đường thẳng đi qua hai điểm (u, f(u)) và (v, f(v)). Nói cách khác, các điểm trên đồ thị của hàm f |[u;v] nằm dưới dây cung nối hai điểm (u, f(u)) và (v, f(v)), với mọi u, v ∈ I, u < v. Đây chính là ý nghĩa hình học về tính lồi của hàm f . 12 Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM LỒI. Trong chương này, chúng ta sẽ bắt đầu với một số tính chất đặc trưng cơ bản của hàm lồi. Đầu tiên là các phép toán liên quan đến hàm lồi như tổng của hai hàm lồi, tích của hàm số với một số thực dương, các phép toán lấy giới hạn cũng như hợp của hai hàm lồi. Tiếp đến, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất đặc biệt của hàm lồi như tính liên tục, tính khả vi và các định lý liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lồi. Phần cuối của chương này được dành để nói về một số bất đẳng thức của hàm lồi cũng như thiết lập một vài bất đẳng thức mới về chủ đề này. 2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi. Định lý 2.1.1. (Các phép toán với các hàm lồi) Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Khi đó 1. Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f + g cũng là hàm lồi trên U . Nếu f hoặc g là hàm lồi thực sự thì tổng f + g cũng là hàm lồi thực sự. 2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U và µ là một số thực dương thì µf là một hàm lồi (lồi thực sự) trên U . 3. Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự) trên U và V là tập con lồi của U . Khi đó hạn chế f |V của hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên V . Chứng minh định lý này khá đơn giản. Ta sẽ không chứng minh định lý này. Nhận xét 2.1.2. Từ Định lý 2.1.1 ta có nhận xét sau: 13 1. Cho ϕ là hàm lồi (lồi thực sự) trên R thì hàm f(x1, . . . , xn) = n∑ k=1 ϕ(xk) là hàm lồi (lồi thực sự) trên Rn. 2. Một hàm nhiều biến có thể là hàm lồi theo mỗi biến khi cố định các biến còn lại nhưng không phải là hàm lồi. Chẳng hạn như hàm f(x, y) = xy, (x, y) ∈ R2. Định lý 2.1.3. [9] Cho I, J ⊂ R là các tập lồi. Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự) trên I và g là một hàm lồi không giảm (hàm lồi tăng) trên tập lồi J , f(I) ⊂ J thì g ◦ f là một hàm lồi (lồi thực sự). Chứng minh. Với x, y ∈ I, λ ∈ [0; 1] ta có g(f(λx + (1− λ)y)) ≤ g(λf(x) + (1− λ)f(y)) (do g là hàm lồi không giảm) ≤ λg(f(x)) + (1− λ)g(f(y)) = λ(g ◦ f)(x) + (1− λ)(g ◦ f)(y). hay g ◦ f là hàm lồi. Nếu f là hàm lồi thực sự, g là hàm lồi tăng thì với x 6= y, λ ∈ (0; 1), thực hiện như trên ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay g ◦ f là hàm