Khóa luận Nghiên cứu phát triển hệ thống thử nghiệm cung cấp quang cảnh đường phố Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đinh Nhật Minh NGHIÊN CỨU PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG THỬ NGHIỆM CUNG CẤP QUANG CẢNH ĐƯỜNG PHỐ HÀ NỘI KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành: Công nghệ thông tin HÀ NỘI - 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ Đinh Nhật Minh NGHIÊN CỨU PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG THỬ NGHIỆM CUNG CẤP QUANG CẢNH ĐƯỜNG PHỐ HÀ NỘI KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành: Công nghệ thông tin Cán bộ hướng dẫn: TS. Nguyễn Ngọc Hóa HÀ NỘI - 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Hóa (Bộ môn Công Nghệ Thông Tin - Trường Đại học Công Nghệ) đã chỉ bảo và hướng dẫn tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận này. Em xin gửi lời cảm ơn và biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô đã dạy dỗ em trong suốt 4 năm học tập tại trường Đại học Công Nghệ. Những kiến thức các thầy, cô dạy là vô cùng quý báu và sẽ là hành trang để em vững bước vào đời. Em cũng xin chân thành cảm ơn các anh, chị trong phòng Công nghệ phần mềm – Trung tâm Công nghệ phần mềm – Tập đoàn Điện lực Việt Nam đã tạo điều kiện, giúp đỡ về mặt kỹ thuật và động viên tinh thần cho em trong quá trình làm khoá luận. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên trong lớp K50HTTT hiện nay và các thành viên lớp K50CA trước đây, cùng bạn bè đã ủng hộ và khuyến khích tôi trong quá trình nghiên cứu và làm khoá luận này. Và cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn và lòng biết ơn tới bố, mẹ, anh chị, cảm ơn những người thân yêu của tôi, đã nuôi nấng, dạy dỗ và luôn động viên, làm chỗ dựa tinh thần cho tôi trong cuộc sống cũng như trong học tập và làm việc. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2006 Sinh viên Đinh Nhật Minh Tóm tắt nội dung: Tên đề tài của khóa luận là : Nghiên cứu phát triển hệ thống thử nghiệm cung cấp quang cảnh đường phố Hà Nội. Cung cấp quang cảnh đường phố Hà Nội có nghĩa là cho phép người sử dụng quan sát được các hướng xung quanh tại một điểm, tạo cho người sử dụng cảm giác đang đứng tại vị trí đó, đồng thời cho phép họ di chuyển tới các vị trí khác. Nội dung khóa luận này sẽ giới thiệu về các dịch vụ nổi tiếng trên thế giới trong lĩnh vực tương tự, nêu lên phương pháp và công cụ mà họ sử dụng, từ đó nêu lên tính cần thiết cũng như khả thi của đề tài. Khóa luận sẽ nêu lên bài toán cần thực hiện, phân tích bài toán thành các module nhỏ, đồng thời đưa ra cơ sở lý thuyết, phương hướng thực hiện cho từng module. Cuối cùng sẽ là chương trình demo sản phẩm, các hạn chế và phương hướng phát triển. Mục lục Danh sách các hình vẽ được sử dụng trong khóa luận Hình 1. Hình ảnh quang cảnh đường phố của Google Maps Street View 6 Hình 2. Hình ảnh quang cảnh đường phố của MapJack 7 Hình 3. Giao diện công cụ của MapJack 8 Hình 4. Ba phép chiếu trực giao của một đối tượng 14 Hình 5. Phép chiếu cùng kích thước của một đối tượng lên bề mặt quan sát 15 Hình 6. Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng chiếu 16 Hình 7. Phép chiếu phối cảnh của trên mặt phẳng chiếu. 18 Hình 8. Các quang cảnh phối cảnh của một hình lập phương. 20 Hình 9. Adobe Flash CS3 24 Hình 10. Adobe Flex Builder 3.0 26 Hình 11. Action Script 3.0 Logo 28 Hình 12. Ảnh 360° 29 Hình 13. Ảnh mặt cầu 31 Hình 13. Cách định hướng của Google Maps Street View 32 Hình 14. Ảnh mờ của ảnh mặt cầu 34 Hình 15. Ảnh mờ của 6 mặt khối lập phương 34 Hình 16. Ảnh 6 mặt tại một điểm 41 Hình 17. Kết quả thu được 41 LỜI MỞ ĐẦU Du lịch là nhu cầu khá phổ biến hiện nay tại nhiều quốc gia, trong đó có Việt Nam, nhưng thật khó khăn cho khách hàng trong việc lựa chọn địa điểm du lịch, nếu chỉ thông qua tranh ảnh, các tờ rơi, quảng cáo thì chắc chắn sẽ không được chính xác. Còn gì tiện lợi hơn khi bạn có thể “xem” “tận mắt” những địa điểm mà bạn đang đắn đo, để xem mình thích nơi nào hơn khi mà bạn chẳng phải đến tận nơi, vẫn ngồi nhà, nhâm nhi cốc café hay đang tán gẫu cùng bạn bè về chuyến du lịch sắp tới. Tất cả những gì bạn cần làm là một trình duyệt web và kết nối internet. Như chúng ta đã biết, Google Maps Street View là một dịch vụ khá nổi tiếng trên thế giới hiện nay. Dịch vụ này cho phép người sử dụng “đi lại” trên đường phố tại một nơi nào đó. “Đi lại” ở đây được hiểu theo nghĩa bạn có thể thấy được phong cảnh, đường phố tại nơi bạn chọn, những cảnh này được chụp lại nên tính trung thực rất cao, bạn hoàn toàn có thể yên tâm không phải lo nghĩ rằng phong cảnh nơi sắp đến có làm bạn thất vọng hay không. Tuy nhiên, do hạn chế về mặt quy mô, nên Google Maps Street View mới chỉ thực hiện được trên một số thành phố tại một số quốc gia. Còn tại Việt Nam thì sao? Nếu Google để mắt tới Việt Nam, thì may chăng chỉ có một số thành phố lớn được đưa vào CSDL của Google Maps. Vậy tại sao chúng ta không tự xây dựng một dịch vụ tương tự như vậy trên chính đất nước của mình? Với thực trạng đó, mục tiêu chính của khoá luận tốt nghiệp của tôi được tập trung xoay quanh tìm câu trả lời cho câu hỏi trên. Trong quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và thực hiện khóa luận này, những kết quả bước đầu thu được chứng minh được việc cung cấp dịch vụ quang cảnh đường phố là hoàn toàn có thể thực hiện được với những công nghệ và kỹ thuật hiện nay của Việt Nam. Chương 1. Tìm hiểu về các dịch vụ cung cấp quang cảnh đường phố Như chúng ta đã biết, Google Maps Street View và MapJack là 2 dịch vụ khá nổi tiếng trong lĩnh vực này, để có thể nắm rõ hơn về mục tiêu của khóa luận, trước hết chúng ta hày cùng tìm hiểu đôi nét về 2 dịch vụ này Google Maps Street View Google Maps (thời gian trước còn gọi là Google Local) là một dịch vụ ứng dụng và công nghệ bản đồ trực tuyến trên web miễn phí được cung cấp bởi Google và hỗ trợ nhiều dịch vụ dựa vào bản đồ như Google Ride Finder và một có thể dùng để nhúng vào các trang web của bên thứ ba thông qua Google Maps API (Application Programing Interface). Nó cho phép thấy bản đồ đường xá, đường đi cho xe đạp, cho người đi bộ (những đường đi ngắn hơn 6.2 dặm) và xe hơi, và những địa điểm kinh doanh trong khu vực cũng như khắp nơi trên thế giới. Google Maps trước đây chỉ có ảnh chụp từ vệ tinh, với độ phóng to, thu nhỏ mà vẫn cho hình ảnh khá rõ, qua đó ta có thể biết được tuyến đường này, khu vực này ở đâu, đi từ vị trí này đến vị trí kia bằng cách nào. Cách đây không lâu, Google Maps đưa thêm một tính năng mới với tên: Google Maps Street View. Tính năng này cho phép người sử dụng nhìn cận cảnh đường phố, nhà cửa, tạo cho người sử dụng cảm giác như chính họ đang đi trên con đường đó vậy. Có thể nói đây là một bước đột phá của Google. Hình 1. Hình ảnh quang cảnh đường phố của Google Maps Street View Google Maps Street View cho phép người sử dụng nhìn xung quanh bằng cách sử dụng chuột hoặc các button phía trên bên trái của bản đồ, cũng có thể dùng 2 phím mũi tên sang trái, sang phải để nhìn 2 bên cùng với 2 phím page up và page down để nhìn bên trên và bên dưới. Người sử dụng có thể di chuyển đến địa điểm khác, có các cách sau: Sử dụng 2 phím mũi tên lên và xuống để di chuyển đến điểm liền kề trước hoặc sau trên bản đồ Sử dụng mũi tên có trên màn hình để di chuyển đến điểm liền kề trước hoặc sau trên bản đồ Di chuyển hình người trên bản đồ nhỏ (mini map) tới vị trí cần đến (không giới hạn là chỉ đi đến những điểm ngay kề với vị trí hiện tại) Chế độ zoom của Google Maps Street View khá tốt, cho ảnh có độ nét chấp nhận được khi phóng to. Tương tự như khi nhìn xung quanh, có thể sử dụng chuột giữa (wheel mouse) hoặc 2 button + và – có trên bản đồ. Ngoài ra, trên mini map có thể zoom in hoặc zoom out để hiển thị chi tiết cũng như thu gọn đường phố. MapJack MapJack là một công ty, làm việc giống như Google. Mục đích của MapJack, theo như những gì được nói trên trang chủ của mình là cung cấp một bức tranh toàn cảnh về các thành phố trên toàn thế giới. Nhưng hiện tại MapJack mới chỉ cung cấp quang cảnh cho một số thành phố của Thái Lan. Hình 2. Hình ảnh quang cảnh đường phố của MapJack Các tiện ích của MapJack về cơ bản giống như Google Maps Street View, tuy nhiên cũng có nhưng điểm khác nhau, đó là: Để thay đổi góc nhìn, người sử dụng có thể sử dụng chuột hoặc 2 phím mũi tên sang trái và sang phải Để thay đổi vị trí quan sát, có thể dùng 2 phím mũi tên lên và xuống, hoặc 2 button góc dưới bên trái của bản đồ lớn. Chế độ zoom tương tự như của Google Maps Street View, đó là dùng chuột giữa (wheel mouse) hoặc 2 button zoom in và zoom out góc dưới bên trái của bản đồ lớn. Ngoài ra MapJack còn đưa thêm 2 phím Z và X tương ứng với zoom in và zoom out. Bản đồ nhỏ (mini map) đặt ở vị trí bên dưới bản đồ lớn, kích thước lớn hơn so với mini map của Google Maps Street View, do đó dễ xác định vị trí hơn. Khác với Google Maps Street View sử dụng một đường thẳng làm trục chính, MapJack sử dụng các điểm xanh (Blue Dots) làm trục cho con đường của mình, người dùng có thể thay đổi vị trí đến bất cứ điểm xanh nào mà họ nhìn thấy bằng cách click chuột trái vào điểm đó, trong khi Google Maps Street View chỉ cho phép tiến đên điểm ngay sau đó. MapJack cung cấp thêm các công cụ (tools) tùy chọn cho người sử dụng như độ sắc nét (Sharpness), chất lượng ảnh (Quality), hay đổi độ rộng góc nhìn của mắt (Prjection), ánh sáng (Brightness)… Hình 3. Giao diện công cụ của MapJack Chương 2. Một số lý thuyết về đồ họa 3D Giới thiệu Đồ họa máy tính 3D là công việc tạo ra nghệ thuật đồ họa, nghĩa là tạo ra với sự trợ giúp của máy tính kĩ thuật số và các phần mềm 3D. Nói chung thuật ngữ này có thể hiểu như là tiến trình tạo ra đồ họa, hoặc việc nghiên cứu công nghệ đồ họa máy tính 3D và liên quan tới công nghệ đó. Đồ họa máy tính 3D khác với đồ họa máy tính 2D vì nó có chiều thứ 3 và các dữ liệu hình học được máy tính lưu trữ với mục đính để tính toán và tạo lại các hình ảnh 2D của đối tượng mô phỏng 3D. Đôi khi các hình ảnh này sẽ hiển thị sau theo dạng được tạo ảnh trước, và đôi khi chúng được tạo trong quá trình trực tiếp luôn (real-time). Nói chung nghệ thuật của các mô hình 3D, được tạo bởi các dữ liệu hình học được máy tính lưu trữ gần giống với các hình ảnh vật thể đó ở bên ngoài thực tế hay các ảnh chụp, trong khi đồ họa 2D là phần tính để tô lại giống thì đồ họa 3D là vẽ lại theo các công thức toán học để tạo ra các hình ảnh 2D về vật thể 3D đó. Trong các phần mềm đồ họa máy tính sự phân biệt này thi thoảng là mờ nhạt; một số ứng dụng 2D sử dụng công nghệ 3D để tạo các hiệu ứng như ánh sáng, trong khi một số phần mềm 3D lại sử dụng công nghệ 2D để tạo 3D ảo. Một số kiến thức cơ bản Đồ hoạ 3D cho phép mô phỏng không gian 3 chiều trong máy tính. Về mặt toán học, đây là một công việc cực kỳ phức tạp, tuy nhiên hầu hết những công việc phức tạp này được thực hiện bởi phần cứng chuyên dụng với tốc độ rất cao. Để biểu diễn không gian 3 chiều, người ta dùng hệ trục toạ độ Đề các, với các trục toạ độ vuông góc với nhau. Mỗi điểm trong không gian được đặc trưng bởi 3 toạ độ: x, y và z. Một đoạn thẳng được biểu diễn bằng 2 điểm và một tam giác được biểu diễn bằng 3 điểm trong không gian. Để biểu diễn một hình khối phức tạp, người ta chia bề mặt thành các tam giác và biểu diễn toàn bộ vật thể thông qua tập các đỉnh của các tam giác. Số lượng tam giác dùng để biểu diễn một vật thể càng nhiều thì vật thể trông càng mượt nhưng tốc độ tạo hình sẽ càng chậm, do đó cần phải cân bằng giữa chất lượng và hiệu năng. Sau khi các vật thể được mô hình hoá, công việc tiếp theo là phải thể hiện được các vật thể trong không gian lên màn hình máy tính. Mỗi công nghệ có một cách làm riêng, tuy nhiên về mặt ý tưởng, có thể tóm tắt qua các bước sau: Bước 1: Transform Transform là thao tác biến đổi vật thể trong không gian 3 chiều. Có ba phép biến đổi cơ bản là phép tịnh tiến (translation), phép xoay (rotation) và phép tỉ lệ (scaling). Bước 2: View Ngầm định, hướng nhìn là dọc theo trục z, đầu hướng lên theo trục y. Chúng ta có thể thay đổi được hướng nhìn bằng cách cung cấp toạ độ mắt, điểm nhìn vào và hướng đầu. Bước 3: Projection Một khi đã có hướng nhìn các vật thể trong không gian, phép chiếu (projection) sẽ quyết định hình ảnh vật thể được thể hiện trên màn hình. Phép chiếu là một thao tác để biến đổi từ toạ độ trong không gian 3 chiều thành toạ độ trong không gian hai chiều để có thể thể hiện trên màn hình máy tính. Có 2 phép chiếu thường dùng là phép chiếu song song với mặt phẳng chiếu vuông góc với tia chiếu và phép chiếu phối cảnh với mặt phẳng chiếu vuông góc với tia chiếu. Phép chiếu song song thường được dùng trong các ứng dụng kỹ thuật, hay tạo giao diện người dùng còn phép chiếu phối cảnh thường được dùng trong các trò chơi hoặc các ứng dụng mô phỏng. Cụ thể về 2 phép chiếu này sẽ được nói rõ hơn trong phần sau. Như vậy để có thể thể hiện hình ảnh cơ bản của vật thể trên mặt phẳng chiếu, thì một điểm trong không gian phải được biến đổi qua 3 bước với 3 phép nhân ma trận. Tuy nhiên trên thực tế tích của 3 ma trận được tính sẵn, khi đó toạ độ điểm trong không gian chỉ phải nhân một lần với ma trận tích mà thôi. Ba bước trên đều được xử lý bởi ma trận (Matrix3D). Sau ba bước trên chúng ta mới chỉ thu được toạ độ các đỉnh được chiếu lên mặt phẳng chiếu, chưa thấy được vật thể. Cách đơn giản nhất là nối các đỉnh với nhau, khi đó chúng ta sẽ thu được một mạng các đoạn thẳng biểu diễn vật thể (wireframe). Để có thể thu được hình ảnh thật hơn, các bước sau tiếp tục được áp dụng: Bước 4: Depth test Với hình ảnh thu được ở trên, chúng ta không biểu diễn được việc các vật thể ở gần che lấp các vật thể ở xa. Có 2 kỹ thuật để thực hiện được việc này, đó là dùng z-buffer và dùng cây BSP. Trong kỹ thuật dùng z-buffer, một vùng nhớ với kích thước màn hình được tạo ra để lưu độ sâu của các điểm. Phép chiếu thực chất là một phép nhân ma trận, do đó sau phép nhân một toạ độ một điểm trong không gian 3 chiều với ma trận chiếu chúng ta vẫn thu được 3 toạ độ x, y, và z. Các toạ độ x, y là toạ độ trên mặt phẳng chiếu, biểu diễn vị trí của điểm chúng ta sẽ nhìn thấy trên màn hình, còn toạ độ z gọi là độ sâu (xa) của điểm. Toạ độ z có đặc điểm là nằm trong khoảng từ 0 đến 1, trong đó giá trị 0 tương ứng với điểm gần nhất có thể chiếu được, giá trị 1 tương ứng với điểm xa nhất có thể chiếu được. Điểm càng gần thì giá trị càng nhỏ (càng gần 0), điểm càng xa thì giá trị càng lớn (càng gần 1). Ban đầu, z-buffer được điền đầy bởi các giá trị 1. Nếu một điểm tại x, y có độ sâu z nhỏ hơn 1 thì giá trị này được ghi vào z buffer tại vị trí x, y. Giả sử có điểm khác sau khi chiếu được thể hiện trên màn hình trùng với vị trí x, y, khi đó độ sâu z được đem ra so sánh, nếu giá trị này nhỏ hơn thì có nghĩa điểm trong không gian 3 chiều tương ứng sẽ gần tâm chiếu hơn, do đó điểm mới này sẽ đè điểm cũ. Nếu z lớn hơn, có nghĩa là điểm mới xa hơn, và sẽ được bỏ qua. Kỹ thuật dùng cây BSP (Binary Space Partitioning) dựa trên ý tưởng phân không gian thành nhiều phần (partition) rồi sắp xếp theo thứ tự từ xa đến gần. Khi tạo hình, các phần sẽ được vẽ theo thứ tự từ xa đến gần, khi đó các phần ở gần được vẽ sau sẽ đè các phần ở xa đã vẽ trước đó. Kỹ thuật dùng cây BSP cần tính toán tương đối nhiều, do đó chỉ nên áp dụng với các vật thể tĩnh (như đồi núi, nhà cửa, cây cối…), còn đối với các vật thể động (như nhân vật trong trò chơi) thì nên dùng z-buffer. Bước 5: Color, Light, Fog, Texture Mapping, Blending Tạo màu là bước cho phép thể hiện màu sắc tại các đỉnh của một tam giác cũng như các điểm bên trong một tam giác dựa vào màu sắc của các đỉnh tam giác. Để thể hiện bề mặt người ta dùng các thuật toán tạo shading. Có một số thuật toán như Flat Shading (tốc độ nhanh, chất lượng thấp do thấy đường giao giữa các tam giác) hay Phong Shading (tốc độ thấp, chất lượng cao). Hiệu ứng ánh sáng có thể được đưa vào việc tạo hình. Hình ảnh thu được phụ thuộc vào chất liệu bề mặt (độ bóng, độ phản xạ ánh sáng, độ nhiễu xạ ánh sáng…) và các nguồn sáng (vị trí nguồn sáng, kiểu nguồn sáng, cường độ sáng, hướng chiếu sáng…). Hiệu ứng ánh sáng cho phép tạo hình ảnh thật hơn, mô tả được không gian sáng tối. Hiệu ứng sương mù cho phép mô phỏng sương mù vào không gian ba chiều. Vật thể càng gần thì nhìn càng rõ, vật thể càng xa càng mù. Thông thường độ mù sẽ tăng theo hàm mũ của khoảng cách, và được điều khiển bởi hệ số mật độ sương mù đặc trưng cho sương dày hay mỏng. Texture mapping là kỹ thuật cho phép dùng một ảnh thật lát lên một bề mặt trong không gian. Kỹ thuật này cho phép thể hiện các vật thể thật hơn, ví dụ như việc sử dụng ảnh vân gỗ để lát lên bề mặt bàn trong không gian 3 chiều. Blending cho phép thể hiện một vật thể với độ trong nào đó. Các vật thể đặc không cho phép nhìn qua, còn các vật thể trong thì có thể nhìn xuyên qua và thấy được các vật đằng sau vật đó. Tham số đặc trưng cho độ trong suốt thường gọi là Alpha, trong đó Alpha bằng 0 có nghĩa là vật trong hoàn toàn, Alpha càng lớn thì vật càng đặc. Ngoài ra còn có một số hiệu ứng đặc biệt khác đem lại chất lượng hình ảnh cao như phản xạ gương, đổ bóng, tạo bề mặt sần sùi… Lý thuyết về phép chiếu Phép chiếu song song Các hình ảnh được hình thành bằng phép chiếu song song có thể được xác định dựa vào góc hợp bởi hướng của phép chiếu hợp với mặt phẳng chiếu. Khi hướng của phép chiếu vuông góc với mặt phẳng, ta có phép chiếu trực giao (hay phép chiếu vuông góc - orthographic projection). Một phép chiếu có thể không vuông góc với mặt phẳng chiếu được gọi là phép chiếu xiên (oblique projection). Các phép chiếu trực giao hầu như được dùng để tạo ra quang cảnh nhìn từ phía trước, bên sườn, và trên đỉnh của đối tượng. Quang cảnh phía trước, bên sườn, và phía sau của đối tượng được gọi là “mặt chiếu” (elevation), và quang cảnh phía trên được gọi là “mặt phẳng” (plane). Các bản vẽ trong kỹ thuật thường dùng các phép chiếu trực giao này, vì các chiều dài và góc miêu tả chính xác và có thể đo được từ bản vẽ. Hình 4. Ba phép chiếu trực giao của một đối tượng Chúng ta cũng có thể xây dựng các phép chiếu trực giao để có thể quan sát nhiều hơn một mặt của một đối tượng. Các quang cảnh như thế được gọi là các phép chiếu trực giao trục lượng học (axonometric orthographic projection). Hầu hết phép chiếu trục lượng học được dùng là phép chiếu cùng kích thước (isometric projection). Một phép chiếu cùng kích thước được thực hiện bằng việc sắp xếp song song mặt phẳng chiếu mà nó cắt mỗi trục tọa độ ở nơi đối tượng được định nghĩa (được gọi là các trục chính) ở các khoảng cách như nhau từ ảnh gốc. Hình 5 trình bày phép chiếu cùng kích thước. Có tám vị trí, một trong tám mặt, đều có kích thước bằng nhau. Tất cả ba trục chính được vẽ thu gọn bằng nhau trong phép chiếu cùng kích thước để kích thước liên hệ của các đối tượng được bảo tồn. Đây không là trường hợp phép chiếu trực giao trục lượng học tổng quát, khi mà các hệ số tỷ lệ theo ba trục chính có thể khác nhau. Các phương trình biến đổi để thực hiện một phép chiếu song song trực giao thì dễ hiểu. Đối với điểm bất kỳ (x, y, z), điểm chiếu (xp, yp, xp) trên bề mặt chiếu được tính như sau: xp = x, yp = y, zp = 0 Hình 5. Phép chiếu cùng kích thước của một đối tượng lên bề mặt quan sát Một phép chiếu xiên đạt được bằng việc chiếu các điểm theo các đường thẳng song song, các đường thẳng này không vuông góc với mặt phẳng chiếu. Hình 6 trình bày hình chiếu xiên của điểm (x, y, z) theo một đường thẳng chiếu đến vị trí (xp, yp). Các tọa độ chiếu trực giao trên mặt phẳng chiếu là (x, y). Đường thẳng của phép chiếu xiên tạo một góc α với đường thẳng trên mặt phẳng chiếu (đây là đường nối điểm (xp, yp) với điểm (x, y)). Đường này, có chiều dài L, hợp một góc φ với phương ngang trên mặt phẳng chiếu. Chúng ta có thể diễn tả các tọa độ chiếu qua các số hạng x, y, L, và φ: xp = x + L cosφ yp = y + L sinφ Hình 6. Phép chiếu vuông góc của điểm (x, y, z) thành điểm (xp, yp) lên mặt phẳng chiếu Phương chiếu có thể định nghĩa bằng việc chọn các giá trị cho góc α và φ. Các chọn lựa thông thường cho góc φ là 30o và 45o, là các góc hiển thị một quang cảnh của mặt trước, bên sườn, và trên đỉnh (hoặc mặt trước, bên sườn, và dưới đáy) của một đối tượng. Chiều dài L là một hàm của tọa dộ z, và chúng ta có thể tính tham số nà