Khóa luận Phân dạng các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình toán trung học phổ thông

Trường Đại học Hoa Lư KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP "PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ SVTH: Đinh Thị Ngát –&— LỜI MỞ ĐẦU Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học cũng như trong các nghành khoa học khác. Kết quả quan trọng của nó đánh dấu bởi bài toán đếm số phân hoạch cuả Leonhard Euler. Trong toán học những kết quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hình học,… Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư duy nhạy bén để học tốt môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong cuộc sống. Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại học và cao đẳng ở nước ta, mặc dù mức độ không khó nhưng các thí sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán này. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, thi Olympic toán khu vực và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí sinh. Rất nhiều các bài toán hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách sử dụng các kiến thức về tổ hợp. Em là người rất yêu thích toán tổ hợp nhưng mới chỉ bết sơ qua về nó khi còn ngồi trên ghế nhà trường phổ thông. Vì vậy em lựa chọn đề tài: ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có hệ thống, có sáng tạo các bài toán đại số tổ hợp. Trong khóa luận này em đã tổng kết và phân dạng các bài tập đại số tổ hợp. Tuy các dạng bài tập này không mới nhưng khóa luận đã hệ thống và mở rộng một số bài tập hay và khó là đóng góp nhỏ của khóa luận. Khóa luận được chia làm hai chương: Chương 1: (Cơ sở lý thuyết về tổ hợp) chương này tập trung trình bày lý thuyết về tổ hợp và một số lý thuyết về tập hợp làm cơ sở để phân dạng và giải các bài toán đại số tổ hợp. Chương 2 : (Các dạng toán đại số tổ hợp) đây là chương chứa nội dung chính của khóa luận. Chương này em phân dạng và hệ thống các bài toán đại số tổ hợp. Đặc biệt trong chương này em đã sáng tạo và tổng quát một số bài toán để có được các bài toán hay và khó. Trong quá trình làm khóa luận, em đã tham khảo một số tài liệu liên quan đến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên lớp sư phạm ngành Toán, của các giảng viên Toán ở trường Đại học Hoa Lư, một số giáo viên Toán ở trường phổ thông, các bạn sinh viên chuyên nghành Toán và các em học sinh trương phổ thông. Đồng thời tổng kết kinh nghiệm từ thực tế qua quá trình giảng dạy của thầy cô. Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự hạn chế về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh được những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Bùi Đức Lợi đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em trong quá trình thực hiện khóa luận. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn Toán (khoa khoa học tự nhiên trường Đại học Hoa Lư), thầy Nguyễn Đức Hải (trường THPT Nho Quan B), bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ em hoành thành tốt khóa luận. Ninh Bình, tháng 5 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Ngát Chương I: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp Chương này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton,.. Các nội dung này cũng được giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản, nâng cao và hệ chuyên nghành toán. 1.1. Nhắc lại về tập hợp Tập hợp con Định nghĩa: Cho tập hợp . Tập hợp gọi là tập con của tập khi mọi phần tử của tập đều thuộc . . Tính chất: - Mọi tập hợp đều có 2 tập con là và . - Tập có phần tử thì số tập con của là . Tập hợp sắp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến , sao cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau. Khi đó bộ sắp thứ tự phần tử là một dãy hữu hạn phần tử và hai bộ sắp thứ tự và bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau = = 3. Số phần tử của một số tập hợp Tập hợp có hữu hạn phần tử thì số phần tử của được kí hiệu là: ││ hoặc . là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó: │ │= ││+││-││. ││=││+││+││-││-││-││ +││. Tổng quát: Cho là tập hợp hữu hạn . Khi đó: │…│= ++…+. (1) Quy tắc cộng và quy tắc nhân Quy tắc cộng Giả sử có hai công việc: Việc thứ nhất có thể làm bằng cách, Việc thứ hai có thể làm bằng cách. Và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, khi đó sẽ có cách làm một trong hai việc trên. Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử các công việc có thể làm tương ứng bằng cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời. Khi đó số cách làm một trong việc đó là: . Biểu diễn dưới dạng tập hợp: Nếu là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì: Nếu là tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì: Nếu là hai tập hữu hạn và thì: Quy tắc nhân Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ cần thực hiện hai công việc nhỏ là và , trong đó: có thể làm bằng cách, có thể làm bằng cách, sau khi đã hoàn thành công việc . Khi đó để thực hiện công việc sẽ có cách. Quy tắc nhân dạng tổng quát: Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ cần thực hiện công việc nhỏ là , ,…, trong đó: có thể làm bằng cách. có thể làm bằng cách, sau khi đã hoàn thành công việc . … có thể làm bằng cách, sau khi đã hoàn thành công việc . Khi đó để thực hiện công việc sẽ có cách. Biểu diễn dưới dạng tập hợp: Nếu là tập hợp hữu hạn, khi đó số phần tử của tích đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần. Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề các được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của , một phần tử của ,…, một phần tử của . Theo quy tắc nhân ta nhận được đẳng thức: . Giai thừa và hoán vị Giai thừa Định nghĩa: Giai thừa , kí hiệu là ! là tích của số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến . , , >1. Quy ước : 0!= 1. 1!= 1. Hoán vị Định nghĩa: cho tập hợp , gồm phần tử . Một cách sắp thứ tự phần tử của tập hợp được gọi là một hoán vị của phần tử đó. Kí hiệu: là số các hoán vị của n phần tử. 1.4. Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho tập hợp gồm phần tử . Kết quả của việc lấy phần tử khác nhau từ phần tử của tập hợp và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử đã cho. Kí hiệu: là số các chỉnh hợp chập của phần tử. Công thức: == (với 1). Chú ý: Một chỉnh hợp chập được gọi là một hoán vị của phần tử. . 1.5. Tổ hợp Định nghĩa: Giả sử tập có phần tử ( 1). Mỗi tập con gồm phần tử của được gọi là một tổ hợp chập của phần tử đã cho (1 ). Kí hiệu: (1 ) là số các tổ hợp chập của phần tử. Công thức: = Chú ý: = 0. (0n). += (). 1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp 1.6.1. Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa: Cho vật . Một chỉnh hợp chập có lặp lại gọi tắt là chỉnh hợp lặp của vật đó là một dãy thứ tự gồm phần tử trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần. Chú ý: Số các chỉnh hợp lặp chập của phần tử là . Như vậy chỉnh hợp có lặp lại là khi giữa các phần tử yếu tố thứ tự là cốt lõi, còn yếu tố khác biệt không quan trọng. Hoán vị lặp Cho một tập hợp gồm vật, trong đó có vật loại giống nhau, vật loại giống nhau,…, vật loại giống nhau. Với , khi đó số cách hoán vị thực sự khác nhau là: = Tổ hợp lặp Cho vật . Một tổ hợp chập có lặp lại gọi tắt là tổ hợp lặp của vật đó là một nhóm (không thứ tự) gồm vật, trong đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần. Kí hiệu: là số tổ hợp có lặp chập của phần tử. Chú ý: Số tổ hợp có lặp lại chập là = = . Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của các phần tử không cần để ý. Nhị thức Newton Nhị thức Newton được gọi là công thức nhị thức Newton. Hệ quả: . Chú ý: - Số các số hạng của sự khai triển là . - Tổng các số mũ của và trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng số mũ . - Số hạng tổng quát của khai triển là . - Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau do (). 1.7.2. Tam giác Pascal Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức có thể được sắp xếp thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascal). 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … Như vậy += được gọi là hệ thức Pascal. Chương II: Các dạng bài toán đại số tổ hợp Chương một đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp. Dựa trên cơ sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày các dạng bài toán đại số tổ hợp. Ở mỗi dạng khóa luận đã đưa ra những phương pháp, những chú ý khi làm các bài tập và khóa luận cũng đưa ra hệ thống các bài tập đặc trưng cho từng dạng. 2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn các phương pháp thích hợp như: Sử dụng các công thức, các quan hệ giữa các đại lượng tổ hợp. Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức. Sử dụng quy nạp toán học. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Bài 1: CMR: , với , >2. Giải: Ta có = . Mà , với . Áp dụng cho , ta có: . . (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy . Áp dụng cho ta có: … . . (2) Từ (1), (2) , với , . Bài 2: CMR: !> (với ). Giải: * thì 1! > (đúng). * Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là : k! > (với ). Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với . = > () Vậy !> với . Bài 3: Chứng minh (với 0; ). Giải: Đặt . Ta chứng minh () là dãy giảm. Thật vậy thì: 0 (đúng) Bài 4: Cho . CMR: (1) Giải: Với thì bất đẳng thức có dạng: (luôn đúng). Với Do . Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : . Vậy (). Dấu ‘=’ xảy ra Bài tập tự giải Bài 1: CMR : . Bài 2: CMR: (3. Bài 3: 2. Chứng minh: . Bài 4: (Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ khối B, 2008) CMR: . Bài 5: CMR: chia hết cho tích số . 2.2. Bài toán tính tổng Các bài toán tổng tổ hợp rất đa dạng và nhiều cách giải. Khóa luận chia ra làm 4 phương pháp tính: Sử dụng công thức, sử dụng đạo hàm, sử dụng tích phân, sử dụng công thức nhị thức Newton. 2.2.1 Sử dụng công thức Trong phần này ta sử dụng các công thức và các phép biến đổi linh hoạt trên nó để tính tổng tổ hợp như: . . …. Tổng quát: (với ). CT4: , , … Tổng quát: (với ). Bài 1: Tính . Tổng quát: Tính . Giải: Theo CT1 ta có: Tổng quát: . Vậy . Bài 2: Tính . Tổng quát: . Giải: Theo CT3.1 ta có: . Tổng quát: . . Bài 3: Tính . Tổng quát tính . Giải: Áp dụng CT3.2 ta có: Tổng quát: . Bài 4: (Mở rộng bài 1) Tính . Giải: . Bài 5: Tính Tổng quát tính Giải: Áp dụng CT4 ta có: Tổng quát: . Bài tập tự giải Bài 1: Tính tổng . Bài 2: Tính tổng và tổng quát bài toán. Bài 3: Tính 2.2.2. Sử dụng khai triển nhị thức Newton Sử dụng các khai triển nhị thức thích hợp sẽ cho ta lời giải ngắn gọn cho các bài toán tính tổng tổ hợp. Chú ý: Ta thường sử dụng các khai triển: ... Bài 1: Tính với . Giải: Ta có . Chọn , ta có: (với p là số lẻ lớn nhất nhỏ hơn n). Theo định lý Moivre ta có: . Đồng nhất 2 vế Và . Bài 2: Tính và . Giải: Từ (1) thấy hệ số của là . Từ (2) ta thấy hệ số của là . Mà . (*) . (3). (4). Ở (4) hệ số của là . Ở (3) hệ số của là . . (**). Lấy (*) + (**) ta có : Lấy ta có: Bài 3: Tính với . Giải: Theo bài 1 ta có: (1). Với . Cho , . (2) (với ) và (3) (với ). (1) + (2) ta có : Bài 4: Tính , với . Giải: Theo (3) của bài 3 có (4). Theo bài 1 ta có : (5). (với ). Bài tập tự giải Bài 1: Tính Bài 2: Tính . Bài 3: Tính . Bài 4: Tính . 2.2.3. Sử dụng đạo hàm Từ , Sử dụng đạo hàm cấp 1, cấp 2.... cấp hai vế một cách thích hợp để tính các tổng tổ hợp. Bài 1: Tính . Giải: Ta có Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có : . Cho . Chú ý: Khi cho các giá trị khác nhau ta được các tổng tổ hợp khác nhau. Tùy thuộc vào bài toán ta chọn thích hợp. Tổng quát: Tính . Giải: Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: (2). Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta có: , … Lấy đạo hàm hai vế (1) cấp m ta có : . Cho . Bài 2: Tính . Giải: Theo bài 1 ta có: (1). (2). Thay ta được: (3). Nhân vế với vế của (1) với (3) và đồng nhất hóa số hạng không chứa của phương trình . Bài 3: Tính Giải: Ta có: (1) Xét Khi t = , ta có: Xét Lấy đạo hàm (1), ta có: (2) Khi , ta có: (2) Nhân cả hai vế của (2) với , ta được: . Bài 4: Tính . Giải: Ta có (1). Lấy đạo hàm hai vế (1) lần, ta có: (2) Nhân cả hai vế phương trình (2) với ta có : . Chọn . Bài tập tự giải Bài 1: Tính và tổng quát bài toán. Bài 2: Tính . Bài 3: Tính . Bài 4: (ĐHSP TPHCM-A, 2011) Tính . 2.2.4. Sử dụng tích phân xác định Một số bài toán tính tổng ta thường sử dụng tích phân với cận thích hợp tùy thuộc vào bài toán cụ thể. Bài 1: Tính S = . Giải: Ta có: = (1). Lấy tích phân hai vế (1) Bài 2: Tính . Giải: Ta có: . Do đó Bài 3: Tính . Giải: . Ta có (1) Nhân cả hai vế của (1) với x, ta có: (2) Lấy tích phân hai vế của (2), ta có: Bài 5: Tính . Giải: Mặt khác (theo phần 2.2.2, bài 1). Xét (1) Lấy tích phân hai vế của (1), ta có: Vậy Bài tập tự giải Bài 1: tính . Bài 2: (ĐHBK, 1997) Tính: . Bài 3: (ĐHQG TPHCM khối A, 1997) Tính Bài 4: Tính Bài 5: Tính Bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Đối với các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cần tìm điều kiện của ẩn số, sau đó sử dụng các công thức biến đổi thích hợp biến đổi vế phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cơ bản. Chú ý: + Một số bài toán khi sử dụng ẩn phụ (đặc biệt là bài toán giải hệ phương trình) cho ta lời giải ngắn gọn. + Khi giải ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn để có kết quả chính xác. 2.3.1. Giải phương trình Bài 1: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện : (1) (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm . Bài 2: Giải phương trình (1). Giải: Điều kiện: (thỏa mãn). Vậy phương trình có 2 nghiệm hoặc . Bài 3: Giải phương trình (1). Giải: Điều kiện : . Vậy nghiệm của phương trình là : (1, 3), (0, 3), (2, 3), (3, 3). Bài 4: Giải phương trình (1) (với và ). Giải: Có Với ( ). Vậy (1) ( thỏa mãn). Vậy . Bài tập tự giải Bài 1: Giải phương trình . Bài 2: Giải phương trình . Bài 3: Giải phương trình . 2.3.2. Giải bất phương trình Bài 1. Giải BPT: . Giải: Điều kiện: k và . (*). Với thì bất phương trình (*) vô nghiệm. Với thì (*). Do nên ta chọn . Tương tự với . . Chọn . Với thì . Chọn Với thì (*) . Chọn . Vậy BPT có 5 bộ nghiệm (n,k) là (0;0), (1;0), (1;1), (2;2),(3;3). Bài 2. Tìm các số hạng dương của dãy: . Giải: Điều kiện : . . Vậy các số hạng dương là: . Bài 3. Cho tập hợp có 18 phân tử, tìm sao cho số tập con gồm phần tử của là lớn nhất. Giải : Có số tập con của có phần tử là . Xét (với ). ( do ) . Do Xét (với ) . Do và . Như vậy . Vậy . Vậy số tập con có 9 phần tử của tập hợp là lớn nhất. Bài tập tự giải Bài 1: Giải bất phương trình . Bài 2. Tìm các số hạng âm của dãy: . Bài 3. Giải bất phương trình  . Bài 4 : Giải bất phương trình  . 2.3.3. Giải hệ bất phương trình Bài 1. Tìm biết . Giải : Điều kiện: và . (thỏa mãn). Vậy nghiệm của hệ là =. Bài 2: Giải hệ Giải: Điều kiện: . Đặt Có hệ : (thỏa mãn), (loại) Vậy Bài 3: Giải hệ (I) Giải: Điều kiện : . Có hệ (I) . Thế vào (2) ta được : (do . Do (loại). Vậy hệ phương trình (I) vô nghiệm. Bài tập tự giải Bài 1: Tìm sao cho : . Bài 2. Tìm sao cho : . Bài 3 : Giải hệ phương trình: Bài 4: Giải hệ phương trình 2.4. Bài toán đếm Bài toán đếm là bài toán đặc trưng trong các dạng bài toán đại số tổ hợp và là bài toán thường xuất hiện trong cuộc sống thực tiễn. Để thực hiện bài toán đếm ta thường sử dụng: Mô phỏng bài toán bằng tập hợp. Sử dụng định nghĩa hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp. Sử dụng các quy tắc đếm cơ bản. Chú ý: Khi thực hiện bài toán đếm ngoài cách đếm trực tiếp theo yêu cầu bài toán ta có thể đếm gián tiếp thông qua kiểu đếm bù. Bài toán lập số Bài 1: Cho tập hợp các chữ số . Từ tập hợp có thể lập được: Bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từng đôi một. Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một và là số tiến( chữ số sau lớn hơn chữ số đứng trước nó). Giải: Gọi số cần lập là =, , . Vì là số chẵn nên . Trường hợp 1: Nếu có 1 cách chọn. Khi đó là một bộ phân biệt có thứ tự được chọn từ X\{0} do đó nó là một chỉnh hợp 7 chập 4. Có cách chọn. Có =840 số. Trường hợp 2: Nếu được chọn từ {2, 4, 6} Có 3 cách chọn. được chọn từ tập X\{0, } có 6 cách chọn. là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ X\{} do đó nó là một chỉnh hợp 6 chập 3 Có cách chọn. Vậy có 3.6.=2160 số. Vậy số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ là: 840+2160=3000 số. b) Vì là số tiến nên và do . Mỗi cách chọn ra 5 chữ số thì chỉ có 1 cách sắp xếp từ nhỏ đến lớn. Vậy số số cần tìm là số cách chọn ra 5 chữ số từ tập . Vậy có =21 số thỏa mãn điều kiện. Bài 2: Cho tập hợp các chữ số . Từ tập hợp có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 2 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Giải: * Xét cả trường hợp . Chọn 2 vị trí để xếp hai số 1 có cách . Chọn 3 số trong và sắp xếp vào 3 vị trí còn lại có cách . Vậy có =2100 số. * Chỉ xét . Chọn 2 vị trí để xếp hai số 1 có cách . Chọn 2 số trong và sắp xếp vào 2 vị trí còn lại có cách. Vậy có .=180 số. Vậy có 2100-180=1920 số thỏa mãn điều kiện. Bài 3: , từ tập có thể lập được: a) Bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9. b) Bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. Giải: a) Các số gồm 6 chữ số và chia hết cho 9 là 100008, 100017, 100026, 100035, …, 999999. Trong đó các số lẻ là 100017, 100035, …, 999999 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là = 100017, công sai d = 18, = 999999. Ta có: . Số các số hạng . Vậy có 50000 số thỏa mãn điều kiện. b) Xét 1 số có 4 chữ số tùy ý . Để là số lẻ ta có 2 khả năng: Nếu tổng ( ) là số chẵn thì ta có thể chọn {1,3,5,7,9}. Nếu tổng () là số lẻ thì ta có thể chọn {0, 2, 4, 6,8}. Mà có 9 cách chọn (0). có 10 cách chọn (=2, 3, 4). Mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số mà tổng của 5 chữ số này là số lẻ. Vậy có tất cả 9.10.10.10.5=45000 số thỏa mãn điều kiện. Bài 4: Cho , có bao nhiêu số có 6 chữ số mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần. Tính tổng tất cả các số đó. Giải: Xét trường hợp các số lập được từ có 6 chữ số (cả trường hợp số 0 đứng đầu). Có số. Ta thấy các số trong tập đều xuất hiện 120 lần trên các hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm hàng chục và hàng đơn vị. Vậy tổng tất cả các số lập được trong trường hợp này là: Xét trường hợp số 0 đứng đầu , . Có = 5!= 120 số. Ta thấy các số 1, 2, 3, 4, 5 đều xuất hiện 24 lần trên các hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm hàng chục và hàng đơn vị. Vậy tổng các số lập được trong trường hợp này là: . Tổng các số lập được có 6 chữ số là: số. Tổng tất cả các số đó là: . Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số và lớn hơn 685000 lập từ Giải: Gọi số cần tìm là: , . Trường hợp 1: Số có dạng (). có thể nhận 3 giá trị 5, 7, 9 có 3 cách chọn. là một bộ 4 số có thứ tự lập từ . Có cách chọn bộ 4 số có kể thứ tự. Có 3. số. Trường hợp 2: Số có dạng . là một bộ 5 phần tử từ và có kể thứ tự các phần tử. Có số. Trường hợp 3: số có dạng với . có 3 cách chọn là 7, 8, 9. là một bộ 6 phần tử từ và có kể thứ tự các phần tử. Có số. Vậy có số. Bài tập tự giải Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần. Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số và chữ số đứng sau bé hơn chữ số đứng trước. Bài 3: Có bao nhiêu số t