Khóa luận Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị hàm số

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 2 Lêi c¶m ¬n Trong suèt thêi gian thùc hiÖn kho¸ luËn tèt nghiÖp ngoµi sù nç lùc cña b¶n th©n, t«i cßn nhËn ®−îc sù gióp ®ì, chØ b¶o tËn t×nh cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Khoa To¸n - C«ng NghÖ, Tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng. §Æc biÖt t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy gi¸o TrÇn C«ng TÊn- Gi¶ng viªn Khoa To¸n - C«ng NghÖ, Tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng. ThÇy ®· dµnh nhiÒu thêi gian quý b¸u tËn t×nh h−íng dÉn t«i trong suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn kho¸ luËn tèt nghiÖp, ®ång thêi gióp t«i lÜnh héi ®−îc nh÷ng kiÕn thøc chuyªn m«n vµ rÌn luyÖn cho t«i t¸c phong nghiªn cøu khoa häc. Qua ®©y, t«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Khoa To¸n – C«ng nghÖ, tíi gia ®×nh, b¹n bÌ lµ nh÷ng ng−êi lu«n s¸t c¸nh bªn t«i, ®· nhiÖt t×nh gióp ®ì, chia sÎ, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp còng nh− khi t«i thùc hiÖn vµ hoµn chØnh kho¸ luËn nµy. MÆc dï ®Ò tµi ®· ®−îc chuÈn bÞ vµ nghiªn cøu mét c¸ch kÜ l−ìng, vÒ thêi gian còng nh− néi dung nh−ng kh«ng khái cã nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy t«i rÊt mong nhËn ®−îc sù gãp ý cña c¸c b¹n sinh viªn, vµ ®Æc biÖt lµ cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o ®ang gi¶ng d¹y bé m«n To¸n ®Ó kho¸ luËn ®−îc hoµn thiÖn h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Phó Thä, th¸ng 05 n¨m 2010 Sinh viªn NguyÔn ThÞ HËu ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc ñối với học sinh Trung học phổ thông cũng như sinh viên các trường Cao Đẳng và Đại học. Nội dung này của giải tích ñược ñề cập rất sớm trong chương trình: Đại số và giải tích bậc Trung học phổ thông và xuyên suốt trong các năm học Cao ñẳng và Đại học tiếp theo. Mặc dù vậy ñể nắm vững khái niệm, tính chất của ñạo hàm ñồng thời ứng dụng ñược ñạo hàm vào giải các bài toán trong giải tích, vật lý, các bài toán về kinh tế cũng như các bài toán thực tế lại là một vấn ñề hoàn toàn không ñơn giản. Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh ñã làm quen với khái niệm ñạo hàm, bước ñầu ñã biết vận dụng tìm cực trị của hàm số một biến trong giải tích và ứng dụng trong vật lý tìm vận tốc, gia tốc của một chuyển ñộng. Đó mới chỉ là những bài toán ñơn giản, chưa phải là bài toán khó và phức tạp. Song nhiều học sinh vẫn còn mắc sai lầm trong việc giải các bài toán dùng ứng dụng của ñạo hàm mà nguyên nhân chính là việc học sinh chưa nắm vững khái niệm ñạo hàm, chưa biết khảo sát hàm số, chưa biết cách làm một bài toán ứng dụng ñạo hàm… Đạo hàm và ứng dụng của nó ngày càng ñược mở rộng, ñặc biệt là trong các trường Cao ñẳng, Đại học. Không chỉ giới hạn trong việc tìm cực trị của hàm số một biến như Trung học phổ thông mà ñạo hàm ñược ứng dụng mở rộng trong các bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến, các bài toán cực trị có ñiều kiện của hàm số nhiều biến, hàm ẩn. Lúc này, ñể giải quyết các vấn ñề ñó lại là một bài toán khó. Yêu cầu người học không chỉ vững vàng về kiến thức cơ bản của ñạo hàm như ñịnh nghĩa tính chất, ứng dụng, mà còn ñòi hỏi người học phải có tư duy toán học phát triển, ñồng thời ứng dụng ñạo hàm ở mức ñộ cao hơn, phải biết sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các công cụ trong ñại số tuyến tính và hình học giải tích ñể hỗ trợ và phát triển ứng dụng ñó. Chính vì vậy ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 4 không ít sinh viên ngành Toán nói chung và sinh viên Sư phạm Toán nói riêng còn gặp nhiều khó khăn, còn lúng túng khi gặp các bài toán ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số. Với mong muốn: Làm sao ñể các sinh viên nói chung, ñặc biệt là các sinh viên Sư phạm Toán nói riêng ñược trang bị ñầy ñủ các kiến thức trong việc học tập nghiên cứu ứng dụng của ñạo hàm, từ ñó mở rộng các ứng dụng ñó trong thực tiễn giảng dạy, ñưa các ứng dụng của khoa học vào ñời sống. Đặc biệt với mục ñích ñưa ra một hệ thống tập chung, phân loại kiến thức và nêu bài tập ứng dụng nhằm ñem lại thuận lợi cho học sinh, sinh viên trong quá trình học tập và nghiên cứu về ñạo hàm của hàm số. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn ñề tài nghiên cứu: “Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số” cho khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan ñến ñạo hàm và cực trị của hàm số ñể rút ra phương pháp giải cho một số dạng toán về ứng dụng của ñạo hàm vào tìm cực trị hàm số. - Nghiên cứu mối liên hệ giữa cực trị hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 3. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng của ñạo hàm vào tìm cực trị hàm số ñể phân loại và hệ thống hoá các kiến thức. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút ra ñược kinh nghiệm ñể tìm cực trị bằng phương pháp ñạo hàm. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác ñể hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khóa luận có thể tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán của trường Đại học Hùng Vương có mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 5 ứng dụng của ñạo hàm. Với bản thân tôi, nghiên cứu về ứng dụng của ñạo hàm trong việc giải các bài toán cực trị giúp tôi hiểu rõ hơn khái niệm và tính chất của ñạo hàm cũng như của cực trị hàm số, cho thấy một trong những ứng dụng quan trọng của ñạo hàm và mối liên hệ rộng rãi của nó với các phần khác nhau trong Toán học. 5. Bố cục của khóa luận: Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương Chương 1. Các kiến thức bổ trợ Trong chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết về ñặc ñiểm của ñạo hàm thông qua những ñặc ñiểm chung của môn Toán, làm rõ tính trừu tượng cao ñộ và tính thực tiễn phổ dụng, tính lôgíc và tính thực nghiệm. Đồng thời, hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về ñạo hàm bao gồm: - Định nghĩa ñạo hàm của hàm số một biến và ñạo hàm hàm số hai biến. - Các quy tắc tính ñạo hàm. - Các ñịnh lý cơ bản về hàm khả vi. Ngoài ra, trong chương này còn bổ sung thêm ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số nhằm ñưa ra cơ sở lý luận vững chắc cho khóa luận. Chương 2. Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số một biến Trong chương này, việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị, các quy tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức, tạo nền tảng vững chắc ñể ứng dụng ñạo hàm vào tìm cực trị của hàm số một biến. Đồng thời chương này cũng ñưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập theo các lớp hàm, giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và là cơ sở ñể giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau. Chương 3. Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số nhiều biến Chương 3 trình bày phương pháp ứng dụng của ñạo hàm ñể giải quyết các bài toàn tìm: - Cực trị của hàm số hai biến số. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 6 - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền ñóng bị chặn. - Cực trị có ñiều kiện. - Cực trị hàm số phụ thuộc tham số. Hơn nữa, ứng dụng ñạo hàm ñể nghiên cứu các tính chất của hàm số ẩn, ñây là phần kiến thức tương ñối khó, tuy nhiên nó hỗ trợ rất ñắc lực cho việc tìm cực trị của hàm số nhiều biến và ñặc biệt trong việc tìm cực trị của hàm ẩn. Ở trong chương này chúng ta cũng có hệ thống các dạng bài tập tương ứng, bám sát các kiến thức, các quy tắc ñã ñược trình bày, giúp người ñọc hiểu sâu sắc hơn các kiến thức ñã học và ghi nhớ các quy tắc sử dụng ñạo hàm ñể giải quyết các bài toán trên. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 7 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Đặc ñiểm của ñạo hàm 1.1.1. Tính trừu tượng cao ñộ và tính thực tiễn phổ dụng a) Tính trừu tượng hoá: Tính trừu tượng hoá của Toán học và của môn Toán do chính ñối tượng của môn Toán quy ñịnh. Theo Ăng ghen: “ Đối tượng của Toán học thuần tuý là hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” (Trích theo Hoàng Chúng, tr.20). Mặc dầu Toán học hiện nay phát triển mạnh mẽ, phát biểu nổi tiếng trên vẫn còn hiệu lực nếu những khái niệm hình học không gian và quan hệ số lượng ñược hiểu theo những nghĩa rất khái quát. “Hình dạng không gian” có thể biểu diễn không chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà cả trong những không gian trừu tượng khác nhau nữa như không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục,... “Quan hệ số lượng” không chỉ bó hẹp trong phạm vi các tập hợp mà ñược biểu hiện như phép toán và những tính chất của chúng trên những tập hợp có những phần tử là những ñối tượng loại tuỳ ý như ma trận, tập hợp, mệnh ñề, phép biến hình,… Đương nhiên tính chất trừu tượng không phải chỉ có trong Toán học mà là ñặc ñiểm của mọi khoa học. Nhưng trong Toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của ñối tượng, “chỉ giữ lại những quan hệ số lượng và hình dạng không gian, tức là những quan hệ về cấu trúc mà thôi’’ (Phạm Văn Hoàn,…1981, tr.21). Ở trình ñộ lý thuyết, nhận thức khoa học nói chung, Toán học nói riêng luôn phải sử dụng sự trừu tượng hoá. Toán học là khoa học sử dụng nhiều sự trừu tượng nhất và mức ñộ trừu tượng cũng ñạt trình ñộ cao nhất, trong lĩnh vực khoa học này: “sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất’’. Tuy nhiên, cho dù sự trừu tượng có ñược thực hiện “nghiêm túc’’, “ñúng ñắn” ñến ñâu thì các tri thức nhận ñược vẫn có khả năng xa rời hiện thực. Vì vậy, ñể ñảm bảo tính chân lý, tức lập luận cho tính hợp lý của các tri thức nhận ñược, chúng ta cần phải xác lập cơ sở của chúng. Nhưng ñây mới chỉ là lý do thứ yếu và tính ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 8 cấp bách của vấn ñề nằm ở chỗ khác. Sau phát hiện về ñại lượng biến thiên của Decarter, người ta ñã sử dụng phép tính tích phân và vi phân ñể nghiên cứu về vận ñộng. Ta có thể mô tả việc nghiên cứu này như sau: Người ta sử dụng hàm số: ( )s f t= ñể biểu thị vận ñộng; vận tốc tức thời tại một thời ñiểm cụ thể t1 nào ñó là ñạo hàm bậc nhất của hàm số tại thời ñiểm ñó: ( ) ( )1 1'v t f t= . Gia tốc tức thời của vận ñộng là ñạo hàm bậc hai: ( ) ( )1 1''a t f t= . Như vậy, lần ñầu tiên người ta ñã sử dụng các công cụ toán học, các phương pháp chặt chẽ, chính xác ñể nghiên cứu về vận ñộng nói riêng, về cái biện chứng khách quan nói chung. Đặc biệt là với phương thức nghiên cứu như vậy, người ta ñã thu nhận ñược một khối lượng ñồ sộ các thành tựu toán học. Đạo hàm (vi phân) là lý thuyết về tốc ñộ của sự thay ñổi; liên hệ ñến các hàm số, vận tốc, gia tốc, hệ số góc của một ñường cong tại một ñiểm cho trước, cực ñại và cực tiểu của các hàm. Khi nghiên cứu ñạo hàm (vi phân), các nhà nghiên cứu ñã ñối mặt và giải quyết các vấn ñề về mối quan hệ giữa liên tục và rời rạc; giữa hữu hạn và vô hạn; giữa chuyển ñộng và ñứng yên. Như vậy có thể thấy ñạo hàm một bộ phận của Toán học có tính chất trừu tượng cao ñộ. Tính trừu tượng cao ñộ chỉ che lấp chứ không hề mất tính thực tiễn của Toán học. b) Tính thực tiễn phổ dụng: Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Số học ra ñời trước hết là do nhu cầu ñếm. Hình học phát sinh do sự cần thiết phải ño lại ruộng ñất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những trận lũ hàng năm. Khi nói ñến nguồn gốc thực tiễn của Toán học cũng cần nhấn mạnh cả nguồn gốc thực tiễn của lôgíc hình thức ñược sử dụng trong Toán học, Lê Nin viết: “Những hình thức và quy luật lôgíc không phải là cái vỏ trống rỗng mà là sự phản ánh thế giới khách quan ... thực tiễn của con người ñược lặp ñi lặp lại hàng nghìn triệu lần, sẽ ñược củng cố vào ý thức người ta dưới những hình thức của lôgíc học” (Lê Nin toàn tập, tr. 127 - 129, trích theo Phạm Văn Hoàn, ...1981, tr.23). Thành tựu nổi bật nhất của thế kỉ XVII là sự phát minh ra các phép tính ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 9 vi - tích phân vào cuối thế kỉ này của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm leibniz. Sự ra ñời của phép tính vi - tích phân ñã ñưa Toán học sang một giai ñoạn Toán cao cấp, gần như kết thúc giai ñoạn của Toán học sơ cấp. Từ ñối tượng nghiên cứu là các số và hình dạng tĩnh tại, Toán học bước sang nghiên cứu ñối tượng trong quá trình vận ñộng và biến ñổi. Phép tính vi phân và tích phân ñược sáng tạo ra là nhằm giải quyết bốn vấn ñề khoa học của thế kỉ thứ XVII như sau: Vấn ñề thứ nhất, cho vật chuyển ñộng theo một công thức là một hàm số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và gia tốc của nó ở một thời ñiểm bất kì; ngược lại, cho biết gia tốc của một vật thể chuyển ñộng là một hàm số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và quãng ñường ñi ñược. Vấn ñề này xuất phát từ việc nghiên cứu chuyển ñộng. Trong chuyển ñộng thì vận tốc và gia tốc thay ñổi từ thời ñiểm này ñến thời ñiểm khác. Trong vật lý, người ta cần biết chính xác vận tốc hay gia tốc của một vật thể chuyển ñộng tại từng thời ñiểm. Nếu lấy vận tốc bằng quãng ñường ñi ñược chia cho thời gian là vận tốc trung bình chứ chưa phải vận tốc chính xác tại mỗi thời ñiểm thì thời gian chuyển ñộng và vận tốc ñều bằng không, mà 0/0 là vô nghĩa. Đối với bài toán ngược lại, thì gặp một khó khăn là nếu biết vận tốc là một hàm thời gian ta cũng không thể tìm ñược quãng ñường ñi ñược của vật thể chuyển ñộng vì vận tốc thay ñổi từ thời ñiểm này ñến thời ñiểm khác. Vấn ñề thứ hai là vấn ñề tìm tiếp tuyến của một ñường cong. Bài toán này thuộc về hình học, nhưng nó có những ứng dụng quan trọng trong khoa học. Quang học là ngành mà nhiều nhà khoa học của thế kỉ XVII quan tâm nghiên cứu. Thiết kế các thấu kính là mối quan tâm ñặc biệt của NewTon, Fermat, Descartes và Huygens. Để nghiên cứu ñường ñi của ánh sáng qua thấu kính người ta phải biết góc mà ở ñó tia sáng ñập vào thấu kính ñể áp dụng ñịnh luật khúc xạ. Góc cần chú ý là góc giữa tia sáng và pháp tuyến của ñường cong, pháp tuyến thì vuông góc với tiếp tuyến. Để xác ñịnh pháp tuyến, người ta phải xác ñịnh tiếp tuyến. Một vấn ñề có tính chất khoa học khác nữa liên quan ñến tiếp tuyến của một ñường cong là nghiên cứu chuyển ñộng. Hướng chuyển ñộng của ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 10 vật thể chuyển ñộng ở bất kì thời ñiểm nào của quỹ ñạo chính là hướng của tiếp tuyến của quỹ ñạo. Vấn ñề thứ ba là vấn ñề tìm giá trị cực ñại và cực tiểu của một hàm số. Khi ñạn bắn từ súng thần công, khoảng cách ñi ñược sẽ phụ thuộc vào góc của súng tạo với mặt ñất. Vấn ñề ñặt ra là tìm góc sao cho viên ñạn ñi xa nhất. Nghiên cứu sự chuyển ñộng của Hành Tinh liên quan ñến các bài toán cực trị, ví dụ tìm khoảng cách ngắn nhất và dài nhất của một Hành Tinh và Mặt Trời. Vấn ñề thứ tư là tìm chiều dài ñường cong, chẳng hạn như khoảng cách ñi ñược của một Hành Tinh trong một thời gian nào ñó; diện tích của hình giới hạn bởi các ñường cong; thể tích của những khối giới hạn bởi những mặt,… Các nhà Toán học cổ Hy Lạp ñã dùng phương pháp vét kiệt một cách rất khéo léo. Các nhà Toán học ở thế kỉ XVII ñã cải tiến dần và họ ñã nhanh chóng phát minh ra phép tính vi - tích phân. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Tính trừu tượng cao ñộ làm cho Toán học có tính phổ dụng, có thể ứng dụng ñược trong rất nhiều lĩnh vực rất khác nhau của ñời sống thực tế. Chẳng hạn, những tri thức về tương quan tỷ lệ thuận biểu thị bởi công thức y kx= có thể ñược ứng dụng vào hình học, ñiện học, hoá học…Vì mối tương quan này phản ánh những mối liên hệ trên các lĩnh vực ñó, chẳng hạn như: - Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với ñường cao h ứng với cạnh ñó: 1 2 S ah= . - Quãng ñường S ñi ñược trong một chuyển ñộng ñều với vận tốc cho trước v tỷ lệ thuận với thời gian ñi t: S vt= . - Phương trình xác ñịnh li ñộ trong chuyển ñộng của con lắc là: ( ). os tx a c w ϕ= + . Từ phương trình này ta thấy nếu lấy ñạo hàm lần thứ nhất ta có: ( )' aw sin tx w ϕ= − + ñây chính là vận tốc của con lắc ở thời ñiểm t. Nếu lấy ñạo hàm lần thứ hai ta có ( )2'' aw cos tx w ϕ= − + ñây chính là gia tốc của con lắc ở thời ñiểm t cần tìm. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 11 Tương tự như vậy, những kết quả nghiên cứu về nhóm có thể ñem ứng dụng cho những ñối tượng có bản chất rất khác nhau: số, véctơ, ma trận, phép dời hình,… Đạo hàm một bộ phận của Toán học có ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, cụ thể: Trong các bài toán ñộng tử, vận tốc là ñạo hàm của quãng ñường ñi; gia tốc là ñạo hàm của vận tốc. Trong bài toán ñiện, sức ñiện ñộng cảm ứng là một ñạo hàm của từ thông biến thiên; trong tụ ñiện thì dòng ñiện là ñạo hàm của ñiện áp; trong cuộn cảm thì ñiện áp là ñạo hàm của dòng ñiện. Trong ngành cơ học lưu chất thì lưu lượng là ñạo hàm của khối lượng (hoặc thể tích) lưu chất… Khi ta nói vào microphone, ñiện áp ra của mic sẽ bằng ñạo hàm của sóng âm thanh; khi ampli khuyếch ñại lên ñưa ra loa, rung ñộng của loa sẽ bằng ñạo hàm của ñiện áp ñặt vào; như vậy từ mic ñến loa bạn ñã lấy ñạo hàm 2 lần… Ứng dụng của ñạo hàm (vi phân) và tích phân vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có. Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, ñến các bài toán trong các quá trình khoa học xã hội...Tất cả các quá trình ñó ñều có thể mô phỏng bằng các khối Tỷ lệ - tích phân - vi phân. Trước khi máy vi tính ra ñời, người ta sử dụng các mạch ñiện tử ñể làm các khối này. Các mạch ñiện tử ñó gọi là các bộ khuyếch ñại thuật toán. Hệ thống sử dụng các mạch mô phỏng ấy ñược gọi là máy tính tương tự. Hiện nay người ta dùng các phần mềm mô phỏng, hoặc các phần mềm tuyến tính thời gian thực ñể thay thế. Các mạch khuyếch ñại thuật toán vẫn ñược sản xuất ñể thực hiện rất nhiều chức năng khác. Sử dụng các phần mềm mô phỏng này người ta có thể biết ñược tác ñộng của các biến số phức tạp trong hệ thống. 1.1.2. Tính lôgíc và tính thực nghiệm Khi nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng tự nhiên và xã hội người ta thường dùng suy diễn logic tìm ra mối liên hệ giữa các ñại lượng ñang xét cùng với các ñạo hàm (vi phân) của chúng. Theo phương pháp ñó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ (tức là các ñối tượng nguyên thuỷ và quan hệ nguyên thuỷ) và các tiên ñề rồi dùng quy tắc lôgíc ñể ñịnh nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các mệnh ñề khác. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu 12 Khi trình bày môn Toán nói chung và các bài toán liên quan ñến ñạo hàm nói riêng trong các trường Đại học và Cao ñẳng, do ñặc thù và yêu cầu của cấp học là tự học, tự nghiên cứu mà ñòi hỏi người học khi giải một bài toán hoặc áp dụng một mệnh ñề cần phải ñược chứng minh và trình bày một cách chặt chẽ về mặt logic. Chúng ta cần chú ý rằng, nếu trình bày những kết quả ñã ñạt ñược khi tính ñạo hàm thì ñó là sự suy diễn và tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn ñạo hàm trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự ñoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp. Như vậy sự thống nhất giữa suy ñoán và suy diễn ñược coi là một ñặc ñiểm của tư duy toán học. Cần chú ý cả hai phương diện ñó mới có thể hướng dẫn học sinh học tốt ñạo hàm cũng như học toán, mới khai thác ñầy ñủ tiềm năng môn học ñể thực hiện mục ñích giáo dục toàn diện. Ta xét một số bài toán dẫn ñến khái niệm ñạo hàm sau ñể thấy rõ hơn những ñặc ñiểm trên của ñạo hàm: Bài toán 1. Bài toán tính vận tốc tức thời của một chuyển ñộng thẳng không ñều Giả sử ta có một chất ñiểm chuyển ñộng thẳng theo một quy luật ñược biểu thị bởi biểu thức: ( )s f t= (1); trong ñó s là quãng ñường ñi ñược của chất ñiểm (kể từ ñiể