Luận án Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————–o0o——————— CHU TRỌNG KÍNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC XUÂN HÒA, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————–o0o——————— CHU TRỌNG KÍNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN XUÂN HÒA, 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện. Luận án sử dụng một số kết quả viết chung với tác giả khác và đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kì luận văn, luận án nào khác. Tác giả 1 LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện. Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy, PGS.TS Lê Văn Hiện, người đã định hướng, chỉ dẫn sát sao và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Sự chuyên nghiệp, nghiêm túc trong nghiên cứu và những định hướng đúng đắn của thầy là tiền đề quan trọng giúp tôi có được những kết quả trình bày trong luận án này. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Trần Đình Kế, người luôn đồng hành, ủng hộ và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm nghiên cứu sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm nghiên cứu tại Khoa. Đồng thời, tôi cũng chân thành cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xemina Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, xemina Phương trình vi phân và tích phân, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tôi trong quá trình học tập và làm luận án. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, các thầy giáo, cô giáo của trường THPT Ngô Quyền, Ba Vì, Hà Nội, đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh. Đặc biệt, tôi thực sự hạnh phúc và tự hào khi được đại gia đình luôn ở bên, chia sẻ và động viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án này. Tác giả 2 MỤC LỤC Trang Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1. M-ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Giải tích bậc phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Ánh xạ đa trị và một số định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . 21 2. SỰ ĐỒNG BỘ CỦAMẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Sự đồng bộ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3. NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ KIỂU SOBOLEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH 36 3.1. Sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . 36 3.2. Tập nghiệm hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4. ỔN ĐỊNH HÓA MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG BẬC PHÂN SỐ DẠNG KẾT NỐI BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN . . . . . . . . . . . . 63 4.1. Hệ dương bậc phân số dạng kết nối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1.1. Mô tả hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1.2. Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.3. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2. Tính ổn định và ổn định hóa vững của hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối với nhiễu dạng khoảng và trễ không đồng nhất . . . . 71 4.2.1. Hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối có trễ . . . . . . . . . 71 4.2.2. Điều kiện hệ dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2.3. Phân tích tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.4. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.5. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Danh mục công trình công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4 KÍ HIỆU [n] Tập n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, . . . , n} R+ Tập các số thực không âm R∗+ Tập các số thực dương Rn Không gian Euclide n chiều ‖x‖∞ maxi∈[n] |xi|, chuẩn max của vectơ x ∈ Rn Rm×n Tập hợp các ma trận cấp m× n A⊤ Ma trận chuyển vị của ma trận A [A]ij Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A A  0 Ma trận không âm, tức là [A]ij ≥ 0 với mọi i, j A ≻ 0 Ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j x  y xi ≥ yi, ∀i ∈ [n], với x = (xi) ∈ Rn và y = (yi) ∈ Rn Rn+ Orthant dương {x ∈ Rn : x  0} λ(A) Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A λmax(A), λmin(A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)} LMIs Các bất đẳng thức ma trận tuyến tính MNC Độ đo không compact LP Bài toán quy hoạch tuyến tính Ck(Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục cấp k trong miền Ω Lp(Ω) Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trong miền Ω L∞(Ω) Không gian các hàm đo được bị chặn hầu khắp trên Ω Lploc(Ω), 1 ≤ p <∞ Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích địa phương trên Ω PC([0, T ];X) Không gian các hàm liên tục từng khúc trên [0, T ] PC0 Không gian các hàm liên tục từng khúc trên [0,∞) dần tới 0 khi t→∞ Dα0 f(t) Đạo hàm Caputo bậc α của hàm f(t) RLDα0 f(t) Đạo hàm Riemann-Liouville bậc α của hàm f(t) 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích bậc phân số với một lịch sử lâu dài như là một lĩnh vực toán học thuần túy. Trong vài thập kỉ trở lại đây, các phương trình vi-tích phân bậc phân số đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả bởi các ứng dụng của chúng trong việc mô tả nhiều bài toán từ các mô hình thực tiễn [32,38,42,54,61]. Có nhiều khái niệm đạo hàm bậc phân số. Trong số đó, đạo hàm theo nghĩa Caputo và đạo hàm Riemann-Liouville được sử dụng rộng rãi hơn do các tính chất đặc thù của chúng. Chẳng hạn, đạo hàm Caputo có nhiều tính chất quen thuộc, thích nghi với phép biến đổi Laplace và thuận lợi hơn trong việc biểu diễn nghiệm của các phương trình vi phân bậc phân số khi biết điều kiện đầu. Gần đây, các phép tính giải tích bậc phân số được nhiều tác giả phát triển và vận dụng trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân và điều khiển bậc phân số [29,37,83]. Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng dụng từ cơ học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinh thái học quần thể, kinh tế và môi trường. Đối với các hệ vi phân bậc nguyên, hướng nghiên cứu về ổn định nghiệm đã ghi nhận nhiều thành tựu quan trọng cả về lý thuyết và ứng dụng. Tuy nhiên, đối với các hệ vi phân bậc phân số, các kết quả nghiên cứu về tính ổn định vẫn rất khiêm tốn. Khó khăn chính là các phương pháp và cách tiếp cận đã được phát triển cho lớp hệ vi phân bậc nguyên thường không còn hiệu lực, đặc biệt là đối với các hệ vi-tích phân bậc phân số trong các không gian vô hạn chiều. Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định và ứng dụng trong các bài toán điều khiển đối với lớp hệ vi phân bậc phân số đang là một chủ đề thu hút sự quan tâm rất lớn từ cộng đồng các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước. Một số kết quả nghiên cứu về định tính 6 đối với các phương trình vi phân bậc phân số đã được công bố gần đây như sự tồn tại nghiệm và nghiệm phân rã kiểu tích phân [2,40,41] hay tính điều khiển được, điều khiển được xấp xỉ [44,70,71]. Các nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa cũng đã được phát triển cho các hệ vi phân và điều khiển bậc phân số trong các không gian hữu hạn chiều [5, 15, 46, 49–51, 74]. Trong các kết quả nói trên, phương pháp hàm Lyapunov đã được phát triển thích ứng với nhiều lớp hệ vi phân bậc phân số [14,33,50]. Nói riêng, đối với lớp hệ tuyến tính dừng (hệ số hằng) có trễ và một số biến thể của nó như hệ tuyến tính có nhiễu dạng cấu trúc hoặc nhiễu phi tuyến, cách tiếp cận rất phổ biến trong nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa là sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii để thiết lập các điều kiện ổn định và ổn định hóa thông qua các điều kiện đại số dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) [10]. Tuy nhiên, cách tiếp cận nói trên chỉ phù hợp và hiệu quả đối với các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc nguyên trong không gian hữu hạn chiều. Việc phát triển các kết quả nghiên cứu tương tự cho các hệ vi phân bậc phân số trong các không gian vô hạn chiều gặp rất nhiều khó khăn, đặc biệt trong việc ước lượng đạo hàm bậc phân số. Chính vì vậy, các kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với các hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, nhất là trong trường hợp hệ vô hạn chiều, vẫn còn rất khiêm tốn. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định và ổn định hóa nói riêng, đối với các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, cả trong trường hợp hữu hạn và vô hạn chiều, cần tiếp tục được nghiên cứu và hoàn thiện. Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa của các phương trình vi phân và điều khiển bậc phân số. 2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu 2.1. Sự đồng bộ của mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ Nhiều mô hình trong thực tiễn đời sống được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân có trễ. Các ví dụ tiêu biểu cho những mô hình như thế có thể tìm thấy 7 trong cơ học, điều khiển tự động, các mạng viễn thông, các quá trình vật lí, hóa học hay sinh học. Một mặt, sự xuất hiện của các độ trễ đó làm thay đổi đáng kể dáng điệu nghiệm của hệ so với mô hình hệ không có trễ tương ứng, thậm chí làm mất tính ổn định của hệ [65]. Mặt khác, vấn đề nghiên cứu các tính chất định tính các hệ có trễ khó khăn hơn rất nhiều so với các hệ vi phân thường bởi tính vô hạn chiều của không gian pha. Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa các hệ có trễ là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, đã và đang được nhiều tác giả quan tâm trong những năm gần đây (xem [19, 31, 48, 59, 75] và các tài liệu trích dẫn ở đó). Trong hai thập kỷ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã được nghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trí tuệ nhân tạo [27,56,68]. Trong các mô hình đó, việc đảm bảo tính ổn định của mạng nơron được thiết kế là hết sức quan trọng [79]. Mặt khác, trong mô hình các hệ nơron, yếu tố trễ truyền tải là không tránh khỏi do quá trình xử lý và truyền tín hiệu qua các kênh với băng thông hạn chế. Sự xuất hiện của trễ thời gian thường dẫn đến hiệu suất kém và nguy cơ làm mất tính ổn định của mạng [6]. Trong vài năm gần đây, vấn đề nghiên cứu tính ổn định hay tổng quát hơn là tính chất đồng bộ của các mô hình mạng nơron có trễ mô tả bởi các hệ vi phân cả bậc nguyên và bậc phân số đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả. Để liệt kê một số kết quả, chúng tôi giới thiệu độc giả các công trình công bố gần đây [17, 18, 67, 69, 76] và các tài liệu trích dẫn ở đó. Trong các công trình đã công bố, tính ổn định hay đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hình mạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn. Mặt khác, trong các mô hình mạng nơron có trễ, mô hình với trễ tỉ lệ được sử dụng rất phổ biến [81]. Chẳng hạn, với cấu trúc một mạng nơron có nhiều tầng (layers), quá trình xử lý và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô tả bằng các tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian hiện tại. Về dáng điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ với khoảng thời gian. Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các mô hình mạng nơron có trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn [30]. Đến nay, chúng tôi chưa tìm thấy một kết quả nghiên cứu nào đề cập đến tính ổn định hay tính đồng bộ của 8 mô hình mạng nơron mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số với trễ tỉ lệ. Trong Chương 2 của luận án này, dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu tính đồng bộ với tốc độ hội tụ kiểu đa thức cho mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau đây Dα0 xi(t) = − di(t)xi(t) + n∑ j=1 aij(t)fj(xj(t)) + n∑ j=1 bij(t)gj(xj(qijt)) + Ii(t), t > 0, xi(0) = x 0 i , i ∈ [n]. (0.1) Áp dụng quy tắc Leibniz về đạo hàm phân số và một số kĩ thuật trong nguyên lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện cho tính đồng bộ toàn cục với tốc độ đa thức của mô hình (0.1). Cụ thể hơn, từ các điều kiện đặt ra, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại của các hằng số dương β và γ sao cho hai nghiệm bất kì x(t) và x˜(t) của (0.1) thỏa mãn đánh giá ‖x(t)− x˜(t)‖∞ ≤ β‖x0 − x˜0‖∞ (1 + t)γ , ∀t ≥ 0. 2.2. Nghiệm hút toàn cục của bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều Các bao hàm thức vi phân không chỉ là mô hình tổng quát của phương trình vi phân mà còn xuất phát từ nhiều bài toán quan trọng như bài toán điều khiển phản hồi đa trị, bài toán chính quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục hay các bất đẳng thức vi-biến phân. Các bao hàm thức vi phân trong không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứu từ khá sớm. Các kết quả về tính giải được và cấu trúc tập nghiệm đã được trình bày một cách hệ thống trong các chuyên khảo [3,21]. Bao hàm thức vi phân bậc nguyên trong không gian Banach và ứng dụng của nó cũng đã được nghiên cứu [39,66]. Trong Chương 3, dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu bài toán Cauchy suy rộng đối với lớp bao hàm thức vi phân bậc 9 phân số kiểu Sobolev sau đây Dα0Bu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t 6= tk, tk ∈ (0,+∞), k ∈ Λ, (0.4a) ∆u(tk) = Ik(u(tk)), (0.4b) u(0) = g(u), (0.4c) ở đó α ∈ (0, 1), A, B là các toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Banach X và F (.) là một ánh xạ phi tuyến đa trị, Ik(.) là hàm trạng thái xung tại thời điểm nhảy tk và g(.) là hàm biểu thị điều kiện đầu không cục bộ. Sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng với điều kiện không cục bộ đã được nghiên cứu trong vài thập kỉ gần đây. Trong thực tiễn, điều kiện không cục bộ thường cho những mô tả tốt hơn so với điều kiện ban đầu cổ điển. Ví dụ, các điều kiện u(0) = u0 + m∑ i=1 ciu(ti), ci ∈ R, ti > 0, u(0) = u0 + 1 b ∫ b 0 k(s)u(s)ds, b > 0, k(.) là một hàm thực, cho phép ta thêm các đo đạc tại các thời điểm khác thời điểm ban đầu. Kết quả đầu tiên và ý nghĩa vật lí của bài toán với điều kiện không cục bộ có thể xem trong [13]. Các phương trình vi phân với điều kiện không cục bộ đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, điển hình là các kết quả [20, 34, 52, 83, 84]. Mặt khác, điều kiện xung được sử dụng để mô tả các hệ động lực có sự thay đổi trạng thái đột ngột tại một số thời điểm, thường gặp trong nhiều mô hình vật lí, kĩ thuật. Một số kết quả cơ bản về phương trình vi phân có xung có thể tham khảo trong [45,62]. Nghiên cứu các phương trình kiểu Sobolev có thể tìm thấy trong những công trình của Barenblat và các cộng sự [7], ở đó các tác giả đề xuất mô hình toán học (các phương trình trong không gian trạng thái) mô tả sự rò rỉ của chất lỏng đồng nhất trong khe đá nứt được cho bởi ∂t[u(x, t)− ∂2xu(x, t)] = ∂2xu(x, t). Dựa trên các phép tính giải tích bậc phân số [54], mô hình trên được tổng quát hoá thành phương trình/bao hàm thức vi phân bậc phân số. 10 Liên quan tới hệ (0.4a)-(0.4c), sự xuất hiện của ánh xạ phi tuyến đa trị F là động cơ cho nhiều bài toán đối với các phương trình vi phân thường với vế phải không liên tục [26], các bất đẳng thức biến phân [57] hay điều khiển phản hồi [39]. Một câu hỏi quan trọng liên quan tới bài toán (0.4a)-(0.4c) là về dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian đủ lớn. Cần chú ý thêm rằng lý thuyết tập hút toàn cục (chẳng hạn, xem [16]) không thể áp dụng cho bài toán này vì thiếu tính chất nửa nhóm của toán tử nghiệm. Thêm nữa, phương pháp hàm Lyapunov để phân tích tính ổn định của nghiệm cũng không phù hợp do các khó khăn trong tính toán và ước lượng đạo hàm bậc phân số, thậm chí ngay cả trong trường hợp hữu hạn chiều. Trong nội dung nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng cách tiếp cận bằng lý thuyết điểm bất động dựa trên ý tưởng mà Burton và Furumochi đề xuất [11,12]. Sử dụng cách tiếp cận này, chúng tôi xây dựng một độ đo không compact chính quy và áp dụng lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ đa trị nén. Từ đó chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn cục đối với bài toán (0.4a)-(0.4c). Một áp dụng đối với các phương trình đạo hàm riêng bậc phân số cũng được trình bày để minh họa cho kết quả nhận được. 2.3. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi phân quyền một số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối Thuật ngữ hệ kết nối (interconnected systems) thường được sử dụng để chỉ các hệ điều khiển được cấu thành từ hai hay nhiều hệ đơn lẻ hoạt động đồng thời và ảnh hưởng lẫn nhau thông qua các kênh kết nối (interconnections). Để minh họa, ta xét mô hình hệ kết nối trong điều khiển tần số hệ thống điện (chi tiết, mời độc giả xem trong [60]) bao gồm N khu vực sử dụng điện năng. Ở mỗi khu vực, mô hình điều khiển được mô tả bởi hệ điều khiển tuyến tính dưới đây mà ta gọi là hệ địa phương (local systems) x˙i(t) = Aiixi(t) +Biui(t) + Γidi(t), i = 1, 2, . . . , N, (0.5) ở đó xi(t) ∈ Rni là vectơ trạng thái (tần số) ở khu vực thứ i, ui(t) là tín hiệu điều khiển và di(t) là nhiễu đầu vào. Các khu vực sử dụng điện được kết nối bằng các đường truyền tải (tie-line) tạo thành một hệ thống điều khiển dạng kết nối 11 được mô tả bởi hệ x˙i(t) = Aiixi(t) + N∑ j=1,j 6=i Aijxj(t) +Biui(t) + Γidi(t), i = 1, 2, . . . , N, (0.6) ở đó x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t))⊤ là vectơ trạng thái tổng của hệ và Aij là trọng số kết nối giữa khu vực i với khu vực j. Trong điều khiển kĩ thuật, đối với các hệ dạng kết nối, hai chiến lược điều khiển phổ biến nhất là kĩ thuật điều khiển trung tâm (centralized control) và điều khiển phân quyền (decentralized control). Chẳng hạn, đối với hệ (0.6), một điều khiển trung tâm có dạng u(t) , (