Luận án Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên bài toán khai căn và logarit rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ LƯU XUÂN VĂN ĐỀ XUẤT XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN BÀI TOÁN KHAI CĂN VÀ LOGARIT RỜI RẠC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ LƯU XUÂN VĂN ĐỀ XUẤT XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN BÀI TOÁN KHAI CĂN VÀ LOGARIT RỜI RẠC Ngành: Cơ sở toán học cho tin học Mã số: 9 46 01 10 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. TS Lưu Hồng Dũng 2. TS Đoàn Văn Hòa Hà Nội – 2023 iLỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được bất kỳ ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Hà Nội, ngày 20 tháng 02 năm 2023 Tác giả luận án Lưu Xuân Văn ii LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, nghiên cứu sinh đã nhận được sự định hướng, giúp đỡ, các ý kiến đóng góp quý báu và những lời động viên của các nhà khoa học, các thầy cô giáo, đồng nghiệp và gia đình. Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo TS Lưu Hồng Dũng, TS Đoàn Văn Hòa đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận án. Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc, Phòng Đào tạo Viện Khoa học và Công nghệ quân sự đã tạo điều kiện thuận lợi để nghiên cứu sinh hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu. Xin trân trọng cảm ơn các nhà khoa học của Viện Công nghệ thông tin, Viện Khoa học và Công nghệ quân sự, Học viện Kỹ thuật quân sự, Học viện Kỹ thuật mật mã,... đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, chia sẻ những kinh nghiệm trong nghiên cứu khoa học để nghiên cứu sinh hoàn thành bản luận án này. Nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Học viện An ninh nhân dân, Bộ Công an, Khoa An ninh thông tin, các đồng nghiệp, bạn bè đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ trong công tác để nghiên cứu sinh có thời gian học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, nghiên cứu sinh xin gửi lời cảm ơn chân thành tới những người thân trong gia đình, đã luôn động viên, ủng hộ và giúp đỡ nghiên cứu sinh vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. NCS Lưu Xuân Văn iii MỤC LỤC Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . vi DANH MỤC CÁC BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii DANH MỤC CÁC THUẬT TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1. TỔNGQUANVỀCHỮKÝSỐVÀĐỊNHHƯỚNGNGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Giới thiệu về chữ ký số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Khái niệm chữ ký số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Phân loại chữ ký số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Cơ sở hình thành chữ ký số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Mật mã học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Hàm băm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Một số chuẩn chữ ký số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Chuẩn DSS của Mỹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Chuẩn GOST của Liên bang Nga . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Tổng quan về hướng nghiên cứu phát triển lược đồ chữ ký số . . . . 17 1.4.1 Nâng cao tính hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Nâng cao tính an toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Một số vấn đề tồn tại và hướng nghiên cứu của luận án . . . . . . . 23 1.5.1 Một số vấn đề tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.2 Hướng nghiên cứu của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN TÍNH KHÓ CỦA VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN . . . . . . . 28 2.1 Một số bài toán khó ứng dụng trong mật mã . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Bài toán phân tích số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Bài toán logarit rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 iv 2.1.3 Bài toán khai căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Giải hệ phương trình phi tuyến trên Zp - Một dạng bài toán khó mới 40 2.2.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Tính khó của việc giải hệ phương trình phi tuyến . . . . . . 40 2.3 Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó giải của hệ phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1 Thuật toán sinh khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2 Thuật toán ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.3 Thuật toán kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.4 Tính đúng đắn của lược đồ mới đề xuất . . . . . . . . . . . 45 2.3.5 Mức độ an toàn của lược đồ được đề xuất . . . . . . . . . . 46 2.4 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN TÍNH KHÓ GIẢI CỦA BÀI TOÁN KHAI CĂN KẾT HỢP LOGARIT RỜI RẠC 49 3.1 Một dạng bài toán khai căn khó giải . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.1 Bài toán khai căn bậc k trên Zp . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.2 Bài toán khai căn bậc k modulo p = Nks + 1 . . . . . . . . 51 3.2 Bài toán khai căn mở rộng và bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc 54 3.2.1 Bài toán khai căn mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.2 Bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc . . . . . . . . . . . 54 3.3 Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số tổng quát dựa trên tính khó giải bài toán khai căn kết hợp bài toán logarit rời rạc . . . . . . . . . . . 57 3.3.1 Lược đồ chữ ký dựa trên tính khó của bài toán khai căn kết hợp bài toán logarit rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.2 Lược đồ tổng quát dựa trên việc tính khó giải bài toán khai căn kết hợp bài toán logarit rời rạc . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.3 Một số lược đồ chữ ký số được phát triển từ lược đồ tổng quát 70 3.4 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 CHƯƠNG 4. XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ MÙ DỰA TRÊN BÀI TOÁN KHAI CĂN KẾT HỢP LOGARIT RỜI RẠC . . . . . . . . 83 v4.1 Chữ ký số mù và nhược điểm của một số lược đồ chữ ký số mù . . . 83 4.1.1 Chữ ký số mù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1.2 Lược đồ chữ ký số mù DSA cải tiến và nguy cơ lộ nguồn ký 84 4.1.3 Lược đồ chữ ký số mù Nyberg-Rueppel và nguy cơ lộ nguồn ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.4 Lược đồ chữ ký số mù Moldovyan và nguy cơ lộ nguồn ký . 87 4.2 Thuật toán chữ ký số mù xây dựng trên bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.1 Lược đồ chữ ký cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.2 Lược đồ chữ ký số mù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ . . . . . 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 PHỤ LỤC A. VÍ DỤ LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ 1 . . . . . . . . . . . . . P1 A.1 Sinh tham số và khóa (Thuật toán 1): . . . . . . . . . . . . . . . . P1 A.2 Sinh chữ ký (Thuật toán 2): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P2 A.3 Kiểm tra chữ ký (Thuật toán 3): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P2 PHỤ LỤC B. VÍ DỤ LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ 2 . . . . . . . . . . . . . P6 B.1 Sinh tham số và khóa (Thuật toán 1): . . . . . . . . . . . . . . . . P6 B.2 Sinh chữ ký (Thuật toán 2): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P6 B.3 Kiểm tra chữ ký (Thuật toán 3): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P7 vi DANHMỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT {0, 1}∗ Ký hiệu chuỗi bit có độ dài bất kỳ {0, 1}∞ Ký hiệu chuỗi bit có độ dài vô tận ACMA Tấn công văn bản được lựa chọn thích ứng (Adaptive Chosen Message Attacks) CKS Chữ ký số DLP Bài toán logarit rời rạc (Discrete Logarithm Problem) DSA Thuật toán chữ ký số (Digital Signature Algorithm) EC Đường cong Elliptic (Elliptic Curve) ECC Hệ mật dựa trên đường cong Elliptic (Elliptic Curve Cryptography) ECDH Thuật toán Elliptic Curve Diffie–Hellman ECDLP Bài toán logarithm rời rạc (Elliptic Curve Logarithm Problem) ECDSA Thuật toán chữ ký số dựa trên đường cong elliptic (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) gcd Ước số chung lớn nhất (Greatest Common Divisor) H Hàm băm (Hash fuction) IFP Bài toán phân tích số (Integer Factorization Problem) UCLN Ước số chung lớn nhất RP Bài toán khai căn (Root Problem) vii DANHMỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 So sánh các hàm băm trong chuẩn băm an toàn . . . . . . 14 Bảng 1.2 Các phiên bản tiêu chuẩn chữ ký số của DSS . . . . . . . 15 Bảng 1.3 So sánh chuẩn GOST và DSS . . . . . . . . . . . . . . . 16 Bảng 3.1 Chi phí thực hiện của các thuật toán ký . . . . . . . . . . 69 Bảng 3.2 Chi phí thực hiện của các thuật toán kiểm tra . . . . . . . 70 viii DANHMỤC CÁC THUẬT TOÁN Thuật toán 2.1 Thuật toán sinh khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Thuật toán 2.2 Thuật toán ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Thuật toán 2.3 Thuật toán kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Thuật toán 3.1 Thuật toán sinh khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Thuật toán 3.2 Thuật toán ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Thuật toán 3.3 Thuật toán kiểm tra chữ ký . . . . . . . . . . . . . 60 Thuật toán 3.4 Thuật toán sinh tham số và sinh khóa . . . . . . . . 63 Thuật toán 3.5 Thuật toán ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Thuật toán 3.6 Thuật toán ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Thuật toán 3.7 Thuật toán kiểm tra chữ ký . . . . . . . . . . . . . 67 Thuật toán 3.8 Thuật toán sinh tham số và khóa lược đồ DVH01 . . 71 Thuật toán 3.9 Thuật toán ký số lược đồ DVH01 . . . . . . . . . . 73 Thuật toán 3.10 Thuật toán kiểm tra chữ ký số lược đồ DVH01 . . . 74 Thuật toán 3.11 Thuật toán sinh khóa lược đồ DVH02 . . . . . . . . 77 Thuật toán 3.12 Thuật toán ký của lược đồ DVH02 . . . . . . . . . . 78 Thuật toán 3.13 Thuật toán kiểm tra chữ ký lược đồ DVH02 . . . . . 80 Thuật toán 4.1 Thuật toán xác định danh tính B . . . . . . . . . . . 85 Thuật toán 4.2 Thuật toán tấn công lộ nguồn gốc bản tin ký . . . . 87 Thuật toán 4.3 Thuật toán tấn công làm lộ nguồn . . . . . . . . . . 88 Thuật toán 4.4 Thuật toán sinh tham số và khóa . . . . . . . . . . . 89 Thuật toán 4.5 Thuật toán ký . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Thuật toán 4.6 Thuật toán kiểm tra chữ ký . . . . . . . . . . . . . 90 Thuật toán 4.7 Thuật toán ký chữ ký số mù dạng thứ nhất . . . . . 93 Thuật toán 4.8 Thuật toán ký chữ ký số mù dạng thứ hai . . . . . . 94 Thuật toán 4.9 Thuật toán kiểm tra chữ ký số mù . . . . . . . . . . 94 Thuật toán 4.10 Thuật toán xác định nguồn gốc bản tin A1 . . . . . 97 Thuật toán 4.11 Thuật toán xác định nguồn gốc bản tin A2 . . . . . 98 Thuật toán 4.12 Thuật toán xác định nguồn gốc bản tin A3 . . . . . 99 Thuật toán 4.13 Thuật toán xác định nguồn gốc bản tin B1 . . . . . . 100 ix Thuật toán 4.14 Thuật toán xác định nguồn gốc bản tin B2 . . . . . . 101 Thuật toán 4.15 Thuật toán xác định nguồn gốc bản tin B3 . . . . . . 102 1MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài luận án Hiện nay, các quốc gia và tổ chức trên thế giới đã và đang thúc đẩy Chính phủ điện tử và thương mại điện tử nhằm nâng cao năng lực cạnh tranh, năng lực phục vụ công dân và được đo bằng chỉ số phát triển Chính phủ điện tử (E- Government Development Index), theo thống kê của Liên hợp Quốc thì năm 2020 Việt Nam xếp hạng 86/193 (với điểm số 0.667). Để tiến xa hơn trong những năm tiếp theo, Việt Nam còn phải giải quyết nhiều vấn đề như đẩy mạnh ứng dụng CNTT nhằm hiện đại hóa cơ sở hạ tầng, phát triển dịch vụ công ở mức cao, nâng cao hiệu quả hoạt động của các cơ quan nhà nước trong công tác phục vụ dân sinh. Cùng với đó, cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ 4 đang diễn ra trên toàn thế giới, trong đó có Việt Nam, mang tới cho mọi người dân những tiến bộ mới, nhiều tiện ích và dịch vụ mới. Môi trường làm việc này mang đến nhiều cơ hội nhưng cũng nảy sinh rất nhiều vấn đề về an ninh, bảo mật, an toàn thông tin do hầu hết các thông tin quan trọng đều được lưu trữ và trao đổi dưới hình thức điện tử như mã số tài khoản, thông tin mật, . . . và với các thủ đoạn tinh vi, nguy cơ những thông tin này bị đánh cắp qua mạng thật sự là vấn đề đáng quan tâm. Một số biện pháp đảm bảo an toàn hiện nay như dùng mật khẩu có những ưu điểm nhất định nhưng có thể không đảm bảo vì nguy cơ bị “đánh cắp” có thể xảy ra. Mặt khác, do các thông tin điện tử này không được xác thực trong quá trình trao đổi nên khi bị sao chép hay sửa đổi sẽ không thể phát hiện được. Kỹ thuật mật mã hiện nay đã được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như chính phủ điện tử, thương mại điện tử,v.v... hay trong các hệ thống truyền thông và mạng máy tính. Tuy nhiên, việc nghiên cứu, phát triển các hệ mật mới gặp phải nhiều vấn đề đối với mỗi quốc gia như: vấn đề bản quyền, vấn đề kinh tế, vấn đề an toàn thông tin và đặc biệt là vấn đề bị động về công nghệ v.v... Trước bối cảnh đó, nhiệm vụ đặt ra cho ngành an toàn và bảo mật thông tin của nước ta nói chung và của quân đội ta nói riêng là phải nghiên cứu, xây dựng riêng cho mình những giải pháp mới đáp ứng được mục tiêu, yêu cầu về an toàn, bảo mật 2thông tin, liên thông các quốc gia và ứng dụng hiệu quả trong lĩnh vực quốc phòng an ninh trong tình hình mới. Xuất phát từ thực tiễn nêu trên, đề tài luận án “Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên bài toán khai căn và logarit rời rạc” được lựa chọn nghiên cứu với mong muốn có những đóng góp vào sự phát triển khoa học và công nghệ trong lĩnh vực an toàn và bảo mật thông tin của nước ta nói chung và trong lĩnh vực quốc phòng an ninh nói riêng. 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu chính của luận án là đề xuất phương pháp xây dựng lược đồ chữ ký số (CKS) an toàn dựa trên việc kết hợp một số bài toán khó. Các mục tiêu cụ thể gồm: - Đề xuất dạng bài toán khó mới dựa trên việc kết hợp 2 dạng bài toán khó cơ sở hiện nay là bài toán khai căn và bài toán logarit rời rạc. - Đề xuất phương pháp xây dựng lược đồ CKS từ dạng bài toán khó mới. - Đánh giá, thử nghiệm chương trình một số lược đồ chữ ký số đã đề xuất. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: + Lược đồ chữ ký số và những thuật toán, bài toán cơ sở để xây dựng lược đồ chữ ký số. - Phạm vi nghiên cứu: + Nghiên cứu cơ sở lý thuyết một số bài toán trong lý thuyết số trên trường số hữu hạn thường được áp dụng trong xây dựng các hệ mật như: bài toán phân tích số, bài toán logarit rời rạc, bài toán khai căn,... + Cách thức hình thành khóa và tham số hệ thống của một số chuẩn chữ ký số như DSS của Hoa Kỳ, GOST của Liên Bang Nga, đặc biệt là các dạng lược đồ có chữ ký số 2 thành phần. + Phát triển lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó giải của việc kết hợp các bài toán khai căn và bài toán logarit rời rạc. 4. Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu hướng đến của luận án gồm: 3- Cơ sở toán học của hệ mật khóa công khai, các lược đồ chữ ký số; Nguyên lý xây dựng và một số hệ mật khoá công khai ứng dụng xây dựng các lược đồ chữ ký số điển hình như: RSA, ElGamal, Schnorr; Một số bài toán khó được áp dụng trong việc xây dựng các lược đồ chữ ký số. - Đề xuất dạng kết hợp bài toán khó mới, đưa ra giải pháp và lựa chọn phương án thích hợp để xây dựng hệ mật khóa công khai, xây dựng lược đồ chữ ký số mới có thể áp dụng trong thực tế. Xây dựng các thuật toán: sinh tham số và khóa, thuật toán tạo chữ ký số, thuật toán xác thực chữ ký số theo lược đồ chữ ký số được đề xuất. - Đánh giá hiệu quả thực hiện của thuật toán, hệ mật và lược đồ chữ ký số mới. Xây dựng và cài đặt thử nghiệm chương trình xác định tính đúng đắn của lược đồ chữ ký số mới đề xuất. - Đề xuất hướng áp dụng dạng kết hợp bài toán khó mới trong việc xây dựng lược đồ chữ ký số mù an toàn cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng một số phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết, cụ thể tham khảo các công trình, báo cáo khoa học, tài liệu đã công bố về lĩnh vực mật mã và chữ ký số. - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, phân tích và tổng hợp các kết quả đã có để từ đó rút ra vấn đề cần giải quyết, hướng nghiên cứu của luận án. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án - Ý nghĩa khoa học: Luận án đề xuất dạng kết hợp bài toán khó mới là dạng bài toán kết hợp tính khó giải của bài toán khai căn và bài toán logarit rời rạc, dạng kết hợp bài toán khó này có thể được áp dụng làm bài toán cơ sở để đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số mới. Tính khoa học, chính xác, an toàn của các lược đồ được xác định, chứng minh rõ ràng. Lược đồ chữ ký số được đề xuất có khả năng chống lại: tấn công làm lộ khóa mật, tấn công thuật toán tạo chữ ký số và thuật toán xác thực chữ ký số. Bên cạnh đó, luận án tổng kết lại những nội dung cơ bản nhất đối với các lược đồ chữ ký số, cơ sở xây dựng các lược đồ CKS dựa trên tính khó giải của một số bài toán khó cơ bản như: bài toán phân tích số, bài toán logarit rời rạc, bài toán khai căn. Đồng thời cũng chỉ ra hướng 4nghiên cứu liên quan đến việc xây dựng, phát triển các lược đồ CKS hiện nay. Trên cơ sở đó, xác định hướng nghiên cứu có thể nâng cao độ an toàn của lược đồ CKS dựa trên tính khó giải của bài toán cơ sở mới, là dạng kết hợp của các bài toán khó kinh điển. Luận án có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo để tiếp tục đi sâu nghiên cứu xây dựng, phát triển các lược đồ chữ ký số khác. - Ý nghĩa thực tiễn: Phương pháp xây dựng lược đồ chữ ký số được đề xuất có thể được xây dựng, điều chỉnh, phát triển thành nhiều lược đồ chữ ký số khác nhau trong thực tế, với các thuật toán tạo chữ ký số, xác thực chữ ký số khác nhau, sử dụng các khóa có độ dài thấp hơn nhưng vẫn đảm bảo được mức độ an toàn trước một số dạng tấn công. 7. Bố cục của luận án Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, và Danh mục các công trình khoa học đã công bố, luận án được bố cục 04 chương. Nội dung cơ bản của các chương như sau: - Chương 1: Tổng quan về chữ ký số và định hướng nghiên cứu của đề tài luận án. Nội dung của chương là một số lý thuyết toán học cơ bản thường được sử dụng trong việc xây dựng, phát triển các hệ mật mã khóa công khai như: tổng quan về chữ ký số, cơ sở hình thành chữ ký số có liên quan đến hướng nghiên cứu của đề tài; Giới thiệu một số chuẩn chữ ký số hiện nay ở trên thế giới và ở Việt Nam; Tóm tắt một số nghiên cứu liên quan đến việc phát triển các lược đồ chữ ký số trong và ngoài nước; Những vấn đề tồn tại của những nghiên cứu trước và định hướng nghiên cứu của đề tài luận án. - Chương 2: Xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó của việc giải hệ phương trình phi tuyến. Nội dung của chương là trình bày một số dạng bài toán khó thường được sử dụng trong quá trình xây dựng các hệ mật mã, các lược đồ chữ ký số như: bài toán phân tích số, bài toán logarit rời rạc, bài toán khai căn,. . . ; Đề xuất một dạng kết hợp bài toán khó mới, cụ thể trong nghiên cứu này là dạng bài toán giải hệ phương trình phi tuyến. Dạng bài toán giải hệ phương trình phi tuyến này là dạng bài toán mà hiện nay không thể giải quyết trong thời gian đa thức 5được. Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên dạng kết hợp bài toán khó mới này. - Chương 3: Xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó giải của bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc. Nội dung của chương là đề xuất dạng kết hợp bài toán khó mới là kết hợp bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc, hiện nay chưa có lời giải hiệu quả để giải quyết; Đề xuất phương pháp xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên dạng bài toán khó này, có thể phát triển, xây dựng thành lớp các lược đồ chữ ký số cụ thể với những thuật toán tạo chữ ký số,