Luận án Định lí không gian con Schmidt

iLỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới, được công bố trên các tạp chí Toán học uy tín trong và ngoài nước. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh: Lê Giang ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành với sự giúp đỡ và ủng hộ của nhiều người. Với lòng biết ơn chân thành nhất, tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới tất cả những ai đã ủng hộ và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. Trên hết tôi muốn gửi những lời biết ơn chân thành nhất tới hai người Thầy hướng dẫn của mình là GS. Đỗ Đức Thái và GS. Gerd Dethloff, những người đã hết lòng giúp đỡ, động viên và chỉ bảo tôi từ những bước đầu tiên cho đến những công việc cuối cùng của luận án. Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Trường Đại học Tổng hợp Brest (Cộng hòa Pháp) vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi mà hai Trường dành cho tôi. Đặc biệt là Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi mà tôi đã và đang học tập, công tác. Tôi bày tỏ sự biết ơn chân thành đến Cục đào tạo với nước ngoài (Đề án 911) đã giúp đỡ và ủng hộ tôi hoàn thành luận án. Tôi muốn gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, các đồng nghiệp trong Khoa và các đồng nghiệp trong seminar nghiên cứu Hình học phức và Hình học đại số đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình làm luận án. Cuối cùng tôi muốn bày tỏ sự biết ơn tới gia đình tôi, những người luôn bên tôi, động viên và chia sẻ với tôi những vất vả khó khăn trong quá trình hoàn thành luận án. Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Tổng quan 4 1 Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động. 7 1.1 Một số khái niệm cơ bản trong hình học đại số và hình học Diophantine. 12 1.2 Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Một vài bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Chứng minh của Định lí 1.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt 35 2.1 Độ cao xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Một vài ước lượng về độ cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Chứng minh Định lí 2.0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt trên trường hàm 58 3.1 Các khái niệm và các kí hiệu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 iii iv 3.2 Cách chọn chính tắc các đa thức xác định X từ dạng Chow của đa tạp X. 62 3.3 Một vài kết quả hiệu quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 Chứng minh của định lí 3.0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4 Định lí cơ bản thứ hai 83 4.1 Khái niệm cơ bản và một vài kết quả từ lí thuyết Nevanlinna. . . . . . 85 4.2 Cắt bội cụ thể của định lí cơ bản thứ hai suy biến . . . . . . . . . . . 87 4.2.1 Một vài bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.2 Chứng minh của định lí 4.0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Kết luận và kiến nghị 95 Danh mục các công trình liên quan đến luận án 96 Tài liệu tham khảo 97 1MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình Diophantine là hệ các phương trình giải trong tập các số nguyên Z, trong tập các số hữu tỉ Q, hoặc tổng quát hơn là trong các vành hữu hạn sinh trên Z hoặc trong các trường hữu hạn sinh trên Q. Hình học Diophantine nghiên cứu các phương trình Diophantine thông qua ngôn ngữ và phương pháp của hình học đại số trên trường không đóng đại số K. Trong khi đó, lí thuyết Nevanlinna khảo sát tính chất của đường cong chỉnh hình trên đa tạp đại số trên C. Lí thuyết Nevanlinna và hình học Diophantine đã phát triển độc lập với nhau qua vài thập kỉ. Tuy nhiên, trong thời gian gần đây, Osgood (xem [53, 54]), P. Vojta (xem [77, 83]), Serge Lang (xem [35, 37]) và một số người khác đã phát hiện ra rằng có sự tương đồng đặc biệt giữa hai đối tượng này. Ví dụ như là một đường cong chỉnh hình khác hằng trong một đa tạp đại số tương ứng với một tập vô hạn các điểm hữu tỉ. Vojta đã đưa ra một từ điển về sự tương ứng này. Thông qua từ điển đó, một số định lí trong lí thuyết Nevanlinna có thể chuyển thành một kết quả đúng trong hình học Diophantine. Sự hiểu biết về mối liên hệ giữa hai vấn đề này trong vòng 30 năm qua đã dẫn đến những bước phát triển vượt bậc trong cả hai lĩnh vực. Nhiều giả thuyết đặt ra trong vài chục năm trước đã được giải quyết. Các kết quả thường được chứng minh trong lí thuyết Nevanlinna sau đó được chuyển sang dạng tương ứng của chúng trong hình học Diophantine. Mặc dù việc chuyển sang mệnh đề tương ứng là việc làm hoàn toàn hình thức, chứng minh của chúng thì không hoàn toàn như vậy. Trong lí thuyết Nevanlinna, chúng ta có khái niệm đạo hàm của các ánh xạ chỉnh hình. Khái niệm này là công cụ đặc biệt quan trọng trong chứng minh. Tuy nhiên, cho đến nay người ta vẫn chưa thể nào xây dựng được khái niệm tương tự trong lí thuyết số. Trong thời gian gần đây, những kết quả của lí thuyết số áp dụng định lí không gian con Schmidt đã dẫn đến những kết quả tương tự trong lí thuyết Nevanlinna. Khi nghiên cứu trên trường hàm đại số, ta cũng thấy hình học Diophantine và lí thuyết Nevanlinna có liên quan mật thiết với nhau. Ta thấy rằng một trường hàm đại số có nhiều tính chất số học của trường số. Mặt khác, nhiều kĩ thuật của lí thuyết Nevanlinna có thể được áp dụng cho trường hàm đại số và kết quả thu được thường ở 2dạng hiệu quả nghĩa là các hằng số liên quan có thể tính toán được một cách hiệu quả qua quá trình chứng minh. Luận án này nhằm nghiên cứu mối liên hệ giữa lí thuyết Nevanlinna và hình học Diophantine đặc biệt tập trung vào định lí không gian con Schmidt trên trường số cũng như trên trường hàm và định lí cơ bản thứ hai. Luận án bao gồm 4 chương. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu định lí không gian con Schmidt trên trường số, trường hàm đại số và định lí cơ bản thứ hai đối với họ các siêu mặt. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là mối quan hệ sâu sắc giữa lí thuyết phân bố giá trị và hình học Diophantine đặc biệt là định lí không gian con Schmidt trên trường số cũng như trên trường hàm và định lí cơ bản thứ hai. Trong luận án, các kết quả đạt được là mở rộng của các kết quả đã đạt được gần đây. 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Hình học Diophantine, Hình học phức đồng thời chúng tôi cũng đưa ra những kĩ thuật mới để giải quyết vấn đề. 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài Luận án được chia thành bốn chương. Chương 1 dành cho việc nghiên cứu định lí không gian con Schmidt trên trường số đối với mục tiêu di động. Cụ thể là sau khi giới thiệu lại các khái niệm và kết quả cơ bản của hình học Diophantine, các kết quả đã đạt được từ trước đến nay trong việc nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi chứng minh định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu là họ các siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh. Kết quả này tổng quát hóa kết quả của Ru-Vojta (xem [59]). Chương 2 dành cho việc nghiên cứu dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt. Sau khi nhắc lại những kết quả quan trọng đã thu được từ trước đến nay, chúng tôi chứng minh dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt cho họ các 3đa thức với nghiệm trên đa tạp xạ ảnh cho trường hợp tổng quát hơn trường hợp đã được nghiên cứu bởi Evertse-Ferretti (xem [22]). Trong chương 3, chúng tôi giới thiệu dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt trên trường hàm. Cụ thể chúng tôi mở rộng các kết quả trước đó đến trường hợp đa tạp xạ ảnh và họ các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát. Trong chương cuối cùng của luận án, chúng tôi nghiên cứu định lí cơ bản thứ hai của lí thuyết phân bố giá trị. Cụ thể là sau khi nhắc lại những khái niệm cơ bản của lí thuyết này, chúng tôi cải tiến kết quả đạt được gần đây của Chen- Ru-Yan (xem [12]) bằng việc đưa ra cắt bội cụ thể cho định lí cơ bản thứ hai suy biến của ba tác giả trên. 6. Cấu trúc luận án Bố cục của luận án ngoài phần mở đầu và phần phụ lục gồm bốn chương được viết theo tư tưởng kế thừa. Bốn chương của luận án được viết dựa trên bốn công trình trong đó hai công trình đã được đăng, một công trình đã được nhận đăng và một công trình đã được gửi đi công bố. Chương I: Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động Chương II: Dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt. Chương III: Dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt. Chương IV: Định lí cơ bản thứ hai. 7. Nơi thực hiện luận án Luận án được thực hiện tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà nội và khoa Toán, trường Đại học Tổng hợp Brest, Cộng hòa Pháp. 4TỔNG QUAN Ta biết rằng định lí không gian con Schmidt là một trong những vấn đề trung tâm của hình học Diophantine. Vào thập kỉ 1970, Wolfgang Schmidt đã đưa ra những dạng đầu tiên của định lí này. Trong khi định lí của Roth nghiên cứu xấp xỉ của các số đại số bởi các số hữu tỉ trên đường thẳng thực, định lí không gian con nghiên cứu vấn đề xấp xỉ đối với họ các siêu phẳng cho trước trong không gian chiều lớn hơn xác định trên trường số đại số. H.P. Schlickewei (xem [65]) đã cải tiến kết quả của W. Schmidt, trong đó xấp xỉ được thực hiện đồng thời đối với tất cả các định giá trong một tập hữu hạn S cho trước trong một trường số cho trước. Sau đó, Vojta (xem [79]) đã cải tiến kết quả của Schlickewei bằng việc chứng minh sự độc lập của các siêu phẳng loại trừ từ sự lựa chọn của một số thông số nhất định. Vào thập kỉ 2000, Corvaja-Zannier (xem [10]) và Evertse-Ferretti (xem [22]) đã khái quát định lí không gian con tới trường hợp nghiệm được xét trên đa tạp xạ ảnh và các siêu mặt nằm ở vị trí tổng quát. Gần đây, Chen- Ru-Yan (xem [12]) và sau đó A. Levin (xem [42]) tổng quát hóa kết quả của họ tới trường hợp các divisor nằm ở vị trí dưới tổng quát. Các định lí không gian con Schmidt đã nhắc đến ở trên có thể xem là các định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu cố định theo nghĩa là các siêu mặt ”mục tiêu” là cố định khi các điểm xấp xỉ di động qua vô hạn điểm. Một hướng để tổng quát hóa định lí không gian con Schmidt đó là cho phép các ”mục tiêu” này di động chậm. R.Nevanlinna đã đặt ra vấn đề định lí cơ bản thứ hai với mục tiêu di động, tức là các hằng số ai được thay thế bởi các hàm phân hình gi với log T (r, gi) = o(log T (r, f)). Ông đã giải quyết trường hợp cho ba mục tiêu di động bằng cách sử dụng biến đổi Mobius để đưa về trường hợp hằng số. Trường hợp tổng quát là câu hỏi mở trong một thời gian dài. Dạng yếu của định lí cơ bản thứ hai không có cắt bội được chứng minh một cách độc lập bởi C.F.Osgood (xem [53, 54]) và N. Steinmetz (xem [75]) (xem [64] để biết thêm chi tiết). Đó chính là động lực thúc đẩy Vojta đưa ra định lí Roth cho mục tiêu di động (xem [80]). Sau đó, M. Ru và Vojta (xem [59]) mở rộng định lí trên đến định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động. Lập luận của Vojta, lấy cảm hứng từ bài báo của N. Steinmetz, đã thu được định lí đã đề cập ở trên như là một hệ 5quả của định lí không gian con Schmidt. Gần đây, Dethloff và Tan (xem [15]) chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số của C vào Pn(C) và các mục tiêu di động chậm Qj ⊂ Pn(C), j = 1, . . . , q, (q ≥ n+ 2) ở vị trí tổng quát. Mục đích của chúng tôi trong phần đầu tiên của luận án là chứng minh dạng số học của định lí trên. Cụ thể là chúng tôi sẽ chứng minh ”Định lí không gian con Schmidt cho các siêu mặt di động”. Chương đầu tiên của luận án được viết dựa trên bài báo [28]. Trong chương hai của luận án, chúng tôi nghiên cứu dạng định lượng của định lí không gian con Schmidt. Đây là một cải tiến rất quan trọng của định lí không gian con, trong đó ta đưa ra số các siêu phẳng cần thiết để chứa tất cả các nghiệm. Schmidt (xem [69]) là người đầu tiên nghiên cứu vấn đề này và sau đó J.H-Evertse (xem [19]), J.H. Evertse và Schlickewei (xem [21]) đã cải tiến kết quả của ông bằng việc đưa ra chặn tốt hơn cho số siêu phẳng. Những chặn trên này rất lớn và nó chuẩn tắc đối với trường số K, đây là điều cốt yếu trong nhiều ứng dụng. Những kết quả này tiếp tục được cải tiến bởi Evertse và Ferretti (xem [23]). Năm 2008, họ (xem [22], định lí 1.3) tổng quát các kết quả trên tới trường hợp bất đẳng thức với các đa thức và nghiệm được xét trên một đa tạp con xạ ảnh n chiều của PN , trong đó N ≥ n ≥ 1. Trong chương hai của luận án, chúng tôi sẽ mở rộng kết quả của họ tới trường hợp tổng quát hơn. Chương này được viết dựa trên bài báo [30]. Chương ba của luận án nghiên cứu dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt trên trường hàm đại số với đặc số 0. Chúng tôi muốn lưu ý rằng, trong trường số cho tới nay vẫn chưa chứng minh được dạng hiệu quả của định lí này. Tuy nhiên với kĩ thuật của lí thuyết Nevanlinna, ta có thể đưa ra được dạng hiệu quả của một vài kết quả quan trọng trong hình học Diophantine trên trường hàm đại số. Kết quả đầu tiên áp dụng thành công kĩ thuật này là định lí ABC trên trường hàm (xem [43], [78], [6], [76], [48], và [33]). Sau đó, dạng hiệu quả của định lí Roth, định lí Wirsing và định lí Nochka-Chen-Ru-Wong [84, 87], tiếp tục dựa trên kĩ thuật đó. Bằng cách dựa trên phương pháp của Vojta, J.Wang đã chứng minh dạng hiệu quả của định lí không gian con Schmidt cho các dạng tuyến tính trên trường hàm đại số có đặc số 0 trong [86]. Trong bài báo [1], An và Wang mở rộng kết quả trên của J. Wang cho các dạng không 6tuyến tính. Dựa trên công việc của Evertse và Ferretti [22], Ru và Wang [63] tổng quát những kết quả trên tới trường hợp các divisors của đa tạp xạ ảnh của X ⊂ PM được sinh ra bởi các siêu mặt trong PM trên trường hàm có đặc số 0. Phương pháp chứng minh được dựa trên chứng minh của định lí tương ứng trên trường số. Vấn đề chính là chúng ta phải làm các quá trình tính toán trở nên cụ thể và hiệu quả. Như ta đã nói ở trên, Chen- Ru-Yan (xem [12]) và Levin (xem [42], định lí 5.1) đã chứng minh định lí không gian con Schmidt cho các siêu mặt ở vị trí m- dưới tổng quát trên trường số và đồng thời chỉ ra kết quả tương tự cho đường cong chỉnh hình. Đây chính là động lực cho bài báo của chúng tôi [27]. Chúng tôi tổng quát hóa kết quả của Ru-Wang tới trường hợp các siêu mặt nằm ở vị trí m-dưới tổng quát. Phần ba của luận án dùng để trình bày kết quả này (xem [27]). Trong phần cuối của luận án, chúng tôi nghiên cứu định lí cơ bản thứ hai. Định lí này giữ một vai trò quan trọng trong lí thuyết Nevanlinna. Thông qua từ điển Vojta, định lí cơ bản thứ hai tương ứng với định lí không gian con Schmidt. Được bắt đầu bởi R. Nevanlinna, định lí này đã được nghiên cứu rất sâu rộng bởi nhiều nhà nghiên cứu như H. Cartan (xem [92],...), W. Stoll ([57]), M. Ru ([60, 61, 62]), G. Dethloff - T. V. Tan-Thai ([14]...),... và nhiều người khác. Năm 2009, Min Ru (xem [62]) chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình không suy biến đại số vào trong đa tạp xạ ảnh với họ các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Sau đó, ông và Chen, Yan (xem [11]) cải tiến kết quả trên bằng việc đưa ra cắt bội cụ thể cho hàm đếm. Năm 2012, ba tác giả trên chứng minh định lí cơ bản thứ hai cho trường hợp các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (xem [12]). Trong bài báo của họ, cắt bội không được đưa ra một cách cụ thể. Khi chúng ta muốn áp dụng bất đẳng thức của dạng định lí cơ bản thứ hai, một vấn đề cốt yếu đó là ta phải có bất đẳng thức với hàm đếm cắt bội. Đưa ra dạng số học tương ứng của định lí cơ bản thứ hai có chứa hàm đếm cắt bội có lẽ là một trong những vấn đề mở quan trọng nhất của hình học Diophantine. Mục đích của chúng tôi là cải tiến kết quả của Chen-Ru-Yan bằng cách đưa ra ước lượng cụ thể của cắt bội. Chương cuối của luận án được viết dựa trên bài báo [29]. Chương 1 Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu di động. Trước hết chúng tôi nhắc lại những kết quả tiêu biểu nhất trong lịch sử phát triển của định lí không gian con Schmidt. Năm 1955, K. F. Roth (xem [56, 32, 4]) đã chứng minh một định lí rất quan trọng về sự xấp xỉ của các số đại số bởi các số hữu tỉ. Ta biết rằng tập các số hữu tỉ trù mật trên tập các số thực nhưng nếu chúng ta giới hạn độ lớn của mẫu số thì vấn đề hoàn toàn không tầm thường. Định lí A. (Định lí Roth [56, 32, 4])Giả sử α là một số đại số thực và  > 0. Khi đó chỉ có một số hữu hạn các số hữu tỉ p q ∈ Q thỏa mãn bất đẳng thức sau đây |α− p q | ≤ 1 q2+ . Dựa trên một kết quả đơn giản nhưng rất nổi tiếng của Dirichlet, số mũ 2 +  là số tốt nhất có thể được theo nghĩa là chúng ta không thể thay thế nó bởi một số nhỏ hơn nữa mà định lí Roth vẫn đúng. Định lí trên có thể mở rộng lên một trường số bất kì K (thay vì Q) và xấp xỉ với một họ hữu hạn các định giá (trong đó bao gồm cả các định giá không archimedean) (xem [55, 35]). Trong bài báo [67], Schmidt đã tổng quát định lí Roth lên không gian có chiều cao hơn. Người ta thường gọi định lí này là định lí không gian con. Chúng tôi nhắc lại ở đây phát biểu phổ biến nhất của định lí này (bao gồm những cải tiến quan trọng của 7 8H.P.Schlickewei [65] và Vojta [79]). Định lí B. (Định lí không gian con Schmidt [67])Giả sử K là trường số và S là tập con hữu hạn của MK chứa M ∞ K . Các dạng tuyến tính L1, . . . , Lq ∈ K[X0, . . . , Xn] nằm ở vị trí tổng quát. Khi đó, với mọi ε > 0, bên ngoài một họ hữu hạn các không gian con thực sự của Pn(K), ta có ∑ v∈S q∑ i=1 λLi,v(x) ≤ (n+ 1 + ε)h(x). Tương tự như định lí Roth, định lí không gian con Schmidt có rất nhiều ứng dụng quan trọng và rất đáng ngạc nhiên (tham khảo [5]). Nhưng trong luận án này chúng tôi không tập trung vào vấn đề này mà chủ yếu tập trung vào việc mở rộng định lí tới những trường hợp tổng quát hơn. Mối liên hệ giữa lí thuyết Nevanlinna và hình học Diophantine được phát hiện bởi C. Osgood, P. Vojta và S. Lang,.... đã đưa đến nhiều kết quả gần đây trong cả hai lĩnh vực. Năm 1991, dựa trên chứng minh của giả thuyết của Cartan trong lí thuyết Nevanlinna [49, 50], Ru và Wong đã tổng quát định lí không gian con Schmidt tới trường hợp các dạng tuyến tính ở vị trí N−dưới tổng quát. Định lí C. (Ru-Wong [58])Giả sử K là trường số và S là tập con hữu hạn của MK chứa M∞K . Các dạng tuyến tính cho trước L1, . . . , Lq ∈ K[X0, . . . , Xn] nằm ở vị trí N-dưới tổng quát. Khi đó, với mọi ε > 0, bên ngoài một họ hữu hạn các không gian con thực sự của Pn(K), ta có ∑ v∈S q∑ i=1 λLi,v(x) ≤ (2N − n+ 1 + ε)h(x). Gần đây, P. Corvaja và U.M. Zannier [10], Evertse và Ferretti [22], độc lập với nhau, đã chứng minh định lí không gian con Schmidt cho họ các đa thức trên trường số. Sau đó, M. Ru đã chứng minh dạng giải tích của các định lí này trong lí thuyết Nevanlinna [61, 62]. Các kết quả của họ được phát biểu như sau Định lí D. (Corvaja-Zannier-Everstse-Ferretti [10, 22]) Giả sử M∞K ⊂ S ⊂MK là một tập hữu hạn. Giả sử X là đa tạp con xạ ảnh của PM xác định trên trường số K, dimX = n. Giả sử D1, . . . , Dq là họ các siêu mặt được xác định bởi các đa thức thuần nhất Q1, . . . , Qq ∈ K[X0, . . . , XM ] với bậc tương ứng dj, j = 1, . . . , q. Khi đó, với mọi 9 > 0, bên ngoài một họ hữu hạn các đa tạp con đóng thực sự của X, ta có∑ v∈S q∑ i=1 λDi,v di ≤ (n+ 1 + )h(x). Trong thời gian gần đây, Chen- Ru-Yan ([12]) và Levin ([42]) đã tổng quát các kết quả trên tới cho trường hợp đa tạp xạ ảnh X và một họ các siêu mặt ở vị trí N−dưới tổng quát đối với X (n ≤ N ∈ N). Họ cũng chứng minh kết quả tương tự trong lí thuyết Nevanlinna. Định lí E. (Levin, [42]) Giả sử X là đa tạp xạ ảnh n chiều xác định trên trường số K. Giả sử D0, . . . , Dq, (q ≥ n) là các divisor Cartier ample và hiệu quả trên X, xác định trên K và nằm ở vị trí N−dưới tổng quát, N ≥ 2. Giả sử tồn tại divisor Cartier hiệu quả A trên X, xác định trên