Luận án Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-Tự đẳng cấu vi phân

1LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước. Các kết quả này chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một tạp chí nào khác. Các kết quả viết chung với GS. TSKH Đỗ Đức Thái, GS. Pascal J. Thomas, PGS. TS Nguyễn Văn Trào, TS. Ninh Văn Thu và ThS. Chử Văn Tiệp đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức 2LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ dạy tận tình của GS. TSKH Đỗ Đức Thái. Nhân dịp này, tôi xin được kính gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Bộ môn Hình học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau Đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi sớm hoàn thành luận án của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bộ môn Đại số - Hình học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Lý - Tin, Ban Giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi yên tâm học tập và nghiên cứu. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Tin thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Khoa Toán - Lý - Tin thuộc Trường Đại học Tây Bắc; các thành viên seminar Hình học phức thuộc Khoa Toán - Tin và seminar Đại số Giao hoán - Hình học phức - Phương pháp giảng dạy thuộc Khoa Toán - Lý - Tin; các đồng nghiệp, anh em, bạn bè đã khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, học tập và công tác. Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức. 3MỤC LỤC Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Danh mục các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 1. Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs 18 1.1 Không gian hyperbolic modulo và taut modulo một tập con giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Tính hyperbolic modulo S × Cm của miền ΩH(X) . . . . . . . . 23 1.3 Tính taut modulo S × Cm của miền ΩH(X) . . . . . . . . . . . 28 Chương 2. Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2 37 2.1 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức . 37 2.2 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong Cn . . . . . . . . . . . 47 2.3 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong (C∗)2 . . . . . . . . . . 50 Chương 3. Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân 58 3.1 Ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt thực nhẵn 58 3.2 Không gian vectơ thực của các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình 64 Kết luận và Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Danh mục công trình công bố của tác giả . . . . . . . . . . . . 79 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • N,Z,Q,R,C: tương ứng là tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ, tập số thực, tập số phức. • Ω: Một miền trong Cn. • Aut(Ω): Nhóm tự đẳng cấu của miền Ω. • Hol(X, Y ): Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X vào không gian phức Y được trang bị tôpô compact mở. • cX : Giả khoảng cách Caratheodory trên không gian phức X. • dX : Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. • Dr := {z ∈ C : |z| < r}: Đĩa mở bán kính r trong C, ta kí hiệu D1 bởi D. • ρ(a, b) := log |1−ab|+|a−b||1−ab|−|a−b| , với mọi a, b ∈ D: Khoảng cách Poincare trên D. • ds2FS: Metric Fubini-Study trên Pn(C). • a . b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham số sao cho a ≤ Cb. • a & b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham số sao cho a ≥ Cb. • a ≈ b có nghĩa là tồn tại các hằng số C1 > 0, C2 > 0 không phụ thuộc vào các tham số sao cho C1b ≤ a ≤ C2b. • ΩH(X): Miền kiểu Hartogs. 5• Ωϕ(X): Miền Hartogs. • (M, p): Mầm các siêu mặt thực nhẵn lớp C1 tại p ∈ Cn. • hol0(M, p): Không gian vectơ thực gồm tất cả các mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M. • (X, p): Mầm trường vectơ nhẵn trên M . • (H, p): Mầm trường vectơ chỉnh hình trong Cn. 6MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi Kobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bất biến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay được gọi là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một không gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi là không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức cho phép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức. Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ của không gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể thu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không thể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệm không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ông và một vài tác giả sau này đã nghiên cứu vấn đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp đẽ. Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều ví dụ cụ thể về không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ngoài ra, những kết quả của M. Zaidenberg, J. Noguchi về giả thuyết Mordell trong tình huống compact và không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan trọng của việc nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích. Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs. Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu 7Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều biến. Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn những tính chất hình học của miền Hartogs. Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho phép chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa tạp phức khi dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa tạp). Đã có nhiều kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước về chủ đề này như: L. Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào.... Hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp cận đến một số vấn đề của Hệ động lực học phức nhiều biến. Trong việc nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman của không gian phức là một vấn đề rất quan trọng. Đặc biệt, giả thuyết về tính Zalcman của Cn khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở. Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2. Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp cận của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả thuyết về tính Zalcman đã nói ở trên. Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của các nhóm biến đổi. Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả các tự đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó. Trong phần cuối của luận án, dưới góc độ của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ ba của luận án đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2. Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi 8phân". Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ góp phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không gian phức. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là: Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs. Đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức Cn. Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu Hartogs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2. Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của không gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2. 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học phức,.... 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài Luận án đạt được một số kết quả sau: 9Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs. Định lý 1.2.4: Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích của X. Khi đó ΩH(X) là hyperbolic modulo S ×Cm nếu và chỉ nếu X là hyperbolic modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {xk}k≥1 ⊂ X \ S với lim k→∞ xk = x0 ∈ X \ S và {wk}k≥1 ⊂ Cm với lim k→∞ wk = w0 6= 0, thì lim sup k→∞ H(xk, wk) 6= 0. Định lý 1.3.1: Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tích trong X. Khi đó i. Nếu ΩH(X) là taut modulo S×Cm thì X là taut modulo S và logH là đa điều hòa dưới, liên tục trên (X \ S)× Cm. ii. Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địa phương và S là tập con giải tích (thực sự) thì logH là đa điều hòa dưới trên X × Cm. iii. Ngược lại, nếu X là taut modulo S,H là liên tục trên (X \ S) × Cm và logH là đa điều hòa dưới trên X × Cm thì ΩH(X) là taut modulo S × Cm. Vấn đề 2: Nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2. Định lý 2.2.3: Cn (n ≥ 2) không là kiểu E-giới hạn đối với bất kỳ hàm độ dài E trên Cn. Định lý 2.3.1: (C∗)2 không là kiểu ds2FS-giới hạn, ở đây ds2FS là metric Fubini-Study trên P2(C). Ngoài ra, luận án còn đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức compact 10 với metric Hermit tùy ý. Định lý 2.1.9: Giả sử Ω là một miền trong C và X là một không gian phức compact với metric Hermit E. Giả sử S là một siêu mặt phức trong X và đặt M = X \S. Giả sử F ⊂ Hol(Ω,M). Khi đó họ F là không chuẩn tắc nếu và chỉ nếu tồn tại dãy {pj} ⊂ Ω với pj → p0 ∈ Ω khi j → ∞, {fj} ⊂ F , {ρj} ⊂ R với ρj > 0 và ρj → 0+ khi j →∞ sao cho gj(ξ) := fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C thỏa mãn một trong hai khẳng định sau: (i) Dãy {gj} phân kỳ compact trên C; (ii) Dãy {gj} hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong E-Brody không hằng g : C→M . Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực trong C2. Định lý 3.2.4: Giả sử (M, 0) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C1 tại 0 được xác định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z1, z2) = Rez1 + P (z2) + Imz1Q(z2, Imz1) = 0, trong đó P,Q thoả mãn các điều kiện sau: (1) P,Q nhẵn lớp C1 với P (0) = Q(0, 0) = 0, (2) P (z2) > 0 với bất kỳ z2 6= 0 (3) P (z2), P ′(z2) phẳng tại z2 = 0. Khi đó dimRhol0(M, 0) ≤ 1. 6. Cấu trúc luận án Luận án bao gồm ba chương, được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng và nhận đăng trên các tạp chí trong và ngoài nước. Cụ thể: 11 Chương 1 với tên gọi "Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs", chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh về điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo, tính taut modulo S ×Cm của miền kiểu Hartogs ΩH(X). Bên cạnh đó, trong chương này chúng tôi còn trình bày chứng minh định lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo. Chương 2 với tên gọi "Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2", chúng tôi trình bày chứng minh một khẳng định cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức Cn. Thêm nữa, trong chương này chúng tôi trình bày một chứng minh khác của Định lý 2.5 trong [28] và chứng minh định lý này còn đúng trong trường hợp họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức compact với metric Hermit tùy ý. Chương 3 với tên gọi "Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân", chúng tôi sẽ mô tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2 thông qua việc mô tả không gian vectơ thực các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt đó. Cụ thể chúng tôi chứng minh rằng hol0(M, p) của siêu mặt kiểu vô hạn D’Angelo trong C2 có số chiều thực không vượt quá 1. Ngoài ba chương chính ở trên, luận án còn có các phần như: Mở đầu, Danh mục kí hiệu, Tổng quan, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình công bố của tác giả, Tài liệu tham khảo, Mục lục. 12 TỔNG QUAN Trong phần tổng quan này chúng tôi sẽ trình bày những phân tích, đánh giá về các công trình nghiên cứu đã có của các tác giả trong và ngoài nước liên quan mật thiết đến đề tài luận án. Đồng thời chúng tôi sẽ nêu ra những vấn đề còn tồn tại và chỉ ra những vấn đề mà đề tài luận án cần tập trung nghiên cứu giải quyết. 1. Vấn đề 1: Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs Giả sử X là một không gian phức, H là một hàm đa điều hòa dưới thuần nhất không âm trên X×Cm, S là một tập con giải tích của X. Ta gọi miền kiểu Hartogs là tập ΩH(X) := {(x,w) ∈ X × Cm : H(x,w) < 1}. Khi m = 1 và H(x,w) = |w|eϕ(x) với ϕ : X → [−∞,∞) là một hàm nửa liên tục trên trên X thì miền Hartogs Ωϕ(X) := {(x,w) ∈ X × C : |w| < e−ϕ(x)} là trường hợp đặc biệt của của miền kiểu Hartogs ΩH(X). Miền Hartogs Ωϕ(X) là một đối tượng nghiên cứu cổ điển của giải tích phức nhiều biến. Đặc biệt, trong hơn mười năm trở lại đây, đã có nhiều nghiên cứu về tính hyperbolic cũng như tính taut của miền Hartogs từ quan điểm của giải tích phức hyperbolic. Năm 2000, Đỗ Đức Thái và Phạm Việt Đức đã khảo sát miền Hartogs Ωϕ(X) với ϕ : X → [−∞,∞) là hàm đa điều hòa dưới trên X. Các tác giả đã khẳng định rằng miền Hartogs Ωϕ(X) là hyperbolic đầy khi và chỉ khi X là hyperbolic đầy và ϕ liên tục trên X, trong điều kiện là với mỗi x ∈ X, tồn tại một lân cận mở U của x trong X và một dãy hj các hàm 13 chỉnh hình trên U và một dãy cj các số thực thuộc khoảng (0; 1) sao cho dãy {cj log |hj|} hội tụ đều trên các tập con compact của U tới hàm ϕ [25, Định lý A]. Cũng trong bài báo [25] các tác giả đã chứng minh rằng miền Hartogs Ωϕ(X) là taut khi và chỉ khi X là taut và ϕ liên tục trên X [25, Định lý B]. Tiếp đến năm 2003, Nguyễn Quang Diệu và Đỗ Đức Thái đã nghiên cứu tính hyperbolic và tính hyperbolic đầy của miền Hartogs Ωϕ(X) với ϕ : X → [−∞,∞) là hàm nửa liên tục trên trên X. Các tác giả đã chứng minh điều kiện cần và đủ để miền Hartogs Ωϕ(X) là hyperbolic là không gian phức X là hyperbolic và ϕ bị chặn địa phương trên X [9, Mệnh đề 3.1]. Bên cạnh đó các tác giả đã chứng minh được điều kiện cần để Ωϕ(X) là hyperbolic đầy [9, Định lý 3.2] là không gian phức X là hyperbolic đầy và ϕ nhận giá trị thực, liên tục, đa điều hòa dưới trên X; điều kiện đủ để Ωϕ(X) là hyperbolic đầy [9, Định lý 3.3] là không gian phức X là hyperbolic, ϕ nhận giá trị thực, liên tục, đa điều hòa dưới trên X thỏa mãn: Với mọi điểm biên (x0; z0) ∈ ∂Ωϕ(X) mà x0 ∈ X, tồn tại một lân cận V của điểm x0 trong X, một hàm chỉnh hình f trên Ωϕ(V ) sao cho |f(x; z)| < 1,∀(x; z) ∈ Ωϕ(V ), lim (x;z)→(x0;z0) |f(x; z)| = 1. Sau đó vài năm, năm 2007, S. H. Park đã chứng minh được kết quả về tính hyperbolic và tính taut của miền Ωu,h(X), ở đây tác giả xét miền kiểu Hartogs ΩH(X) trong trường hợp H(x,w) := h(w)e u(x) với h là hàm nửa liên tục trên trên Cm, h 6≡ 0, h(λw) = |λ|h(w) và u là hàm nửa liên tục trên trên X. Cụ thể, tác giả đã chứng minh được Ωu,h(X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic, Dh = {w ∈ Cm : h(w) < 1} b Cm và u bị chặn địa phương trên X [20, Mệnh đề 3.2]; Ωu,h(X) là taut khi và chỉ khi X, Dh 14 là taut và u liên tục, đa điều hòa dưới trên X [20, Mệnh đề 5.2]. Theo hướng mở rộng miền Hartogs, năm 2009, Nguyễn Văn Trào và Trần Huệ Minh đã khảo sát miền kiểu Hartogs ΩH(X) về tính hyperbolic và tính taut. Các tác giả đã khẳng định được ΩH(X) là hyperbolic khi và chỉ khi X là hyperbolic và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: nếu {xk}k≥1 ⊂ X với lim k→∞ xk = x0 ∈ X và {wk}k≥1 ⊂ Cm với lim k→∞ wk = w0 6= 0 thì lim sup k→∞ H(xk, wk) 6= 0. Đồng thời các tác giả cũng như đưa ra được điều kiện cần và đủ để miền kiểu Hartogs ΩH(X) là taut là không gian phức X là taut, thớ ΩH(x) là taut với mọi x ∈ X và logH là hàm đa điều hòa dưới liên tục [29, Định lý 1.1; 1.2]. Trong tất cả các kết quả đã liệt kê ở trên, các tác giả đã khảo sát miền kiểu Hartogs ΩH(X) trong các trường hợp đặc biệt cũng như tổng quát. Các kết quả này đã đề cập đến tính hyperbolic, hyperbolic đầy, tính taut của ΩH(X). Tiếp tục luồng nghiên cứu trên, chúng tôi khảo sát tính hyperbolic modulo và tính taut modulo S × Cm của miền kiểu Hartogs ΩH(X). 2. Vấn đề 2: Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗)2 Năm 2003, Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đã giới thiệu khái niệm không gian phức Zalcman [28], đồng thời các tác giả đưa ra một số ví dụ về không gian phức Zalcman, như: Mọi không gian phức compact là Zalcman [28, Hệ quả 2.8] hay phần bù của một siêu mặt hyperbolic bất kỳ trong một không gian phức compact là Zalcman [28, Hệ quả 2.13]. Theo hướng nghiên cứu các đặc trưng và đồng thời chỉ ra thêm những ví dụ về không gian phức Zalcman, năm 2007, Nguyễn Văn Trào và Phạm Nguyễn Thu Trang đã chỉ ra được một số lớp không gian phức Zalcman, 15 như: X1 ×X2 là Zalcman nếu X1 là taut và X2 là Zalcman [30, Ví dụ 2.1 (3)] hay X1 × X2 là Zalcman nếu X1 là không gian phức compact và X2 là Zalcman [30, Ví dụ 2.1 (4)]. Cũng trong [30], các tác giả đã chứng minh được đặc trưng của không gian phức Zalcman cho phủ chỉnh hình [30, Định lý 2.1]. Trở lại tính Zalcman của không gian phức, các tác giả Đỗ Đức Thái, Phạm Nguyễn Thu Trang và Phạm Đinh Hương đã đặt ra giả thuyết sau [28, Chú ý 2.14]. Giả thuyết về tính Zalcman của Cn: Cn là không gian phức Zalcman với mỗi n > 1. Theo như chúng tôi biết, cho đến nay giả thuyết trên vẫn là một câu hỏi mở. Vì vậy, trong phần này chúng tôi sẽ đi tìm câu trả lời cho giả thuyết đã nêu. Nhắc lại, khái niệm họ chuẩn tắc được giới thiệu lần đầu tiên năm 1907 bởi P. Montel [39] và được tổng quát bởi O. Lehto và K. I. Virtanen [19]. Kể từ đó, tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình đã được nghiên cứu mạnh mẽ và sâu sắc [2], [36], [28], [34], [35]. Đặc biệt, trong [28, Định lý 2.5], các tác giả đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức Hermit đầy. Tiêu chuẩn này là một tổng quát hóa định lý của của Zalcman [35]. Chúng ta cũng biết rằng, tiêu chuẩn của Marty (xem [1, Định lý 17]) đã khẳng định rằng tính chuẩn tắc của họ F các hàm phân hình trên miền phẳng D ⊂ C là tương đương với tính bị chặn địa phương của họ F# tương ứng gồm tất cả các đạo hàm cầu f# = |f ′|/(1 + |f |2). Tuy nhiên, tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc trong [28, Định lý 2.5] đòi 16 hỏi metric Hermit đầy. Vì thế, mục đích tiếp theo của chúng tôi là chứng minh khẳng định của Định lý 2.5 trong [28] còn đúng với trường hợp metric Hermit không đầy. Bên cạnh đó chúng tôi còn đưa ra một chứng minh khác của Định lý 2.5 trong [28]. 3. Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn Như đã trình bày ở trên, dưới quan điểm KLEIN và dưới góc độ của Hình học phức hyperbolic, chúng tôi sẽ mô tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2. Cho đến nay, ý tưởng cơ bản của các nhà toán học nhằm giải quyết vấn đề trên là chuyển việc mô tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của siêu mặt thực về việc mô tả không gian vectơ thực các mầm trường v