Luận án Tính toán dao động uốn phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phạm Thành Chung TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN PHI TUYẾN CỦA DẦM ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội – 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phạm Thành Chung TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG UỐN PHI TUYẾN CỦA DẦM ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ Ngành: Cơ học Mã số: 9440109 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang TS. Nguyễn Minh Phương Hà Nội – 2024 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình do tôi nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của tập thể hướng dẫn: GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang và TS. Nguyễn Minh Phương. Các tài liệu sử dụng trong luận án có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng. Kết quả nghiên cứu được công bố trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố bởi các tác giả khác. Hà Nội, ngày 07 tháng 09 năm 2024 Nghiên cứu sinh Phạm Thành Chung Tập thể giáo viên hướng dẫn GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang TS. Nguyễn Minh Phương LỜI CẢM ƠN Để có thể hoàn thành đề tài luận án tiến sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của tập thể hướng dẫn, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận án. Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Văn Khang và TS. Nguyễn Minh Phương những người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận án này. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý thầy cô Nhóm chuyên môn Cơ học ứng dụng, Trường Cơ khí, Đại học Bách khoa Hà Nội đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu cho đến khi hoàn thành luận án. Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ phận Sau đại học, Ban Đào tạo và các đơn vị có liên quan thuộc Đại học Bách khoa Hà Nội đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và thực hiện luận án. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên trong gia đình, các anh chị em và các bạn đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, nếu không có sự động viên hỗ trợ này chắc chắn bản luận án sẽ không được hoàn thiện. Hà Nội, ngày 07 tháng 09 năm 2024 Nghiên cứu sinh Phạm Thành Chung MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU đạo hàm cấp n của hàm f đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f tại điểm a, tức là đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –Letnikov, hoặc ký hiệu , đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville, hoặc ký hiệu , đạo hàm cấp phân số theo Caputo tích phân cấp phân số theo Weyl hàm Gamma hàm Bêta hàm Mittag – Leffler một tham số hàm Mittag – Leffler hai tham số Trung bình theo thời gian Đạo hàm theo thời gian của x DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1. Mô hình Kelvin-Voigt 11 Hình 2.2. Mô hình ôtô 11 Hình 2.3. Xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang 15 Hình 2.4. Mô hình dao động của dầm 24 Hình 2.5. Một phân tố của dầm 25 Hình 2.6. Phân tố dầm trước và sau biến dạng 28 Hình 2.7. Sơ đồ phân tích lực đầu phải của dầm 29 Hình 3.1. Dầm hai đầu bản lề chịu tác dụng của lực tập trung điều hòa 41 Hình 3.2. Dao động uốn của dầm tại mặt cắt giữa dầm (x = 10 m), a = 0 44 Hình 3.3. Dao động uốn của dầm tại mặt cắt giữa dầm (x = 10 m), a = 0.2 45 Hình 3.4. Dao động uốn của dầm tại mặt cắt giữa dầm (x = 10 m), a = 0.4 45 Hình 3.5. Độ võng của dầm tại thời điểm t = 0.8s tính bằng giải tích 45 Hình 3.6. Ứng suất của dầm tại thời điểm t = 0.8s tính bằng giải tích 46 Hình 3.7. Độ võng của dầm tại thời điểm t = 0.8s tính bằng phương pháp số 46 Hình 3.8. Ứng suất của dầm tại thời điểm t = 0.8s tính bằng phương pháp số 47 Hình 3.9. Dầm hai đầu bản lề chịu tác dụng của lực di động 47 Hình 3.10. Đồ thị mô phỏng số dao động của dầm khi a = 0.0; b = 0.85 50 Hình 3.11. Đồ thị mô phỏng số dao động của dầm khi a = 0.2; b = 0.85 51 Hình 3.12. Đồ thị mô phỏng số dao động của dầm khi a = 0.4; b = 0.85 52 Hình 3.13. Độ võng động lực của dầm tại thời điểm 1.25 s 53 Hình 3.14. Ứng suất động lực của dầm tại thời điểm 1.25 s 53 Hình 3.15. Độ võng động lực của dầm tại thời điểm 2.5 s 54 Hình 3.16. Ứng suất động lực của dầm tại thời điểm 2.5 s 54 Hình 3.17. Đường cong biên độ - tần số và miền ổn định khi khảo sát cộng hưởng chính 64 Hình 3.18. Đường cong biên độ - tần số khi xét tới ảnh hưởng của tham số khi khảo sát cộng hưởng chính 65 Hình 3.19. Đường cong biên độ - tần số khi xét tới ảnh hưởng của tham số p khi khảo sát cộng hưởng chính 65 Hình 3.20. Đường cong biên độ - tần số và miền ổn định khi khảo sát cộng hưởng thứ điều hòa cấp 1/3 71 Hình 3.21. Đường cong biên độ - tần số khi xét tới ảnh hưởng của tham số khi khảo sát cộng hưởng thứ điều hòa cấp 1/3 72 Hình 3.22. Mô hình dao động của dầm 72 Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số kết hợp mô phỏng số cho bộ số liệu trong tại tần số kích động 87 Hình 3.24. Dao động của hệ tại kích động 87 Hình 3.25. Ảnh hưởng của cấp phân số tới đường cong biên độ tần số 88 Hình 3.26. Hình ảnh phóng to vùng giao cắt phức tạp của hình 3.25 88 Hình 3.27. Ảnh hưởng của tham số tới đường cong biên độ tần số 89 MỞ ĐẦU Bài toán dao động của một vật thể liên tục trong một môi trường nào đó đã được nghiên cứu ngày càng sâu rộng trong những năm gần đây. Khi đó, người ta quan tâm đến các mô hình giảm chấn trong nghiên cứu sự tương tác giữa vật thể với môi trường và ngay trong nội tại vật thể. Kỹ thuật hiện đại ngày nay sử dụng nhiều mô hình giảm chấn đàn nhớt để thiết kế máy móc và công trình. Các mô hình phổ biến bao gồm Kelvin-Voigt, Maxwell và mô hình tuyến tính tiêu chuẩn. Tuy nhiên, sự phát triển của khoa học công nghệ nói chung và cơ học nói riêng đã dẫn đến sự nghiên cứu nhiều vật liệu có tính chất mới (như cao su tổng hợp, silicone, mô của động vật, hỗn hợp nhựa đường, đất,) mà các mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không thể mô tả đầy đủ tính chất của chúng. Do đó, các mô hình đàn nhớt cấp phân số đã được phát triển để giải quyết vấn đề này [107], [132]. Các bài toán thực tế cho thấy rằng khi biến dạng lớn xảy ra, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện, đồng thời quy luật dao động của hệ thống không còn tuyến tính mà trở thành phi tuyến. Do đó, nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của hệ thống có đạo hàm cấp phân số là rất quan trọng để thiết kế các công trình và máy móc tối ưu cho nhu cầu cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả đặc tính dao động phi tuyến của hệ thống là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại. 1. Sự cần thiết của đề tài nghiên cứu Việc nghiên cứu dao động của các hệ liên tục trước tiên bằng tính toán mô hình lý thuyết là một trong những bước quan trọng đầu tiên để giảm thiểu chi phí chế tạo thử, lường trước cũng như dự đoán sự cố khi vận hành, chẩn đoán sai sót của hệ thống, v.v Cùng với đó, việc nghiên cứu để tìm ra tần số riêng để tránh các hiện tượng cộng hưởng là bài toán quan trọng và có ý nghĩa ứng dụng thực tế. Một minh họa về cộng hưởng điển hình nổi tiếng thường được nhắc tới là giai thoại về một đoàn quân bước đều bước qua cầu, đã tạo ra lực kích động lớn tuần hoàn có tần số vô tình bị trùng với tần số riêng của cây cầu khiến nó dao động dữ dội rồi bị nứt gãy và phá hủy, cả đoàn quân bị rơi xuống sông. Một số mô hình vật liệu mới trong thực tế với quan hệ ứng suất biến dạng cổ điển (mô hình Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell, mô hình tuyến tính tiêu chuẩn) đã không còn đúng. Do đó các nhà nghiên cứu đã tìm đến những liên hệ toán học phức tạp hơn giữa ứng suất và biến dạng để qua đó thử nghiệm và so sánh với kết quả thực nghiệm. 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài Kế tiếp hướng nghiên cứu của nhóm mà tác giả luận án này đã tham gia với các công bố trước đây về hệ dao động hữu hạn bậc tự do, đề tài này tính đến dao động của một số hệ liên tục. Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu và đưa ra một số kết quả mới về đáp ứng của dầm, một trong các hệ liên tục điển hình, trong đó dầm dao động trong môi trường mà cả dầm và môi trường đều có tính đến yếu tố đàn nhớt cấp phân số. Các mô hình đó có kể đến tính phi tuyến hình học khi có lực dọc trục hoặc tính phi tuyến vật lý khi quan hệ ứng suất – biến dạng phức tạp, cả hai trường hợp đều xét đến các phần tử cản từ môi trường ngoài có chứa đạo hàm cấp phân số. Nghiên cứu này sẽ tổng hợp và khảo sát chi tiết một số trường hợp của bài toán đặt ra, đề xuất hoặc áp dụng một số phương pháp đặc trưng. Ngoài ra, luận án này cũng khảo sát kỹ lưỡng về sự tương tác dao động giữa dầm và môi trường đàn nhớt bên ngoài mà đều tính đến thành phần cản có cấp phân số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các mô hình dầm phi tuyến đàn nhớt cấp phân số được biểu diễn bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng có chứa đạo hàm cấp phân số. Dầm chịu lực phân bố ngang trên toàn bộ chiều dài hoặc chịu lực dọc trục ở một đầu, điều kiện biên được xét đơn giản với hai đầu bản lề. 4. Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp giải tích Sử dụng phương pháp tách biến để giải bài toán tìm tần số riêng và dạng dao động riêng của một số mô hình có kể đến tính chất phi tuyến hình học hoặc phi tuyến vật lý. Sau đó đưa phương trình vi phân đạo hàm riêng về phương trình vi phân thường, sử dụng phương pháp tiệm cận để khảo sát hệ phi tuyến yếu. Phương pháp số Sử dụng phương pháp số (Runge-Kutta) và công cụ phần mềm tính toán số (MATLAB), kết hợp với biến đổi giải tích để đưa ra kết quả. Trên cơ sở các phương pháp trên thực hiện phép so sánh và đưa ra những giải pháp tin cậy và toàn diện: tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng và biến đổi về phương trình vi phân phi tuyến của hệ có đạo hàm cấp phân số, từ đó tìm ra tính chất dao động mới của cơ hệ. 5. Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tế của đề tài Ý nghĩa khoa học: Luận án nghiên cứu về dao động phi tuyến của dầm đàn nhớt cấp phân số, một lĩnh vực khoa học đang được quan tâm của nhiều nhà cơ học. Dầm đàn nhớt phi tuyến là một hệ dao động phức tạp. Trong luận án đã nghiên cứu hiện tượng dao động phi tuyến yếu khi xét đến môi trường cản nhớt và nội ma sát cấp phân số. Trên cơ sở nghiên cứu bài toán này, các mô hình ứng dụng thực nghiệm và so sánh có thể được đề xuất để chọn tham số tối ưu trước khi chọn vật liệu để thiết kế chi tiết chịu tải như mong muốn. Ý nghĩa thực tế: Với các chi tiết chịu biến dạng lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện đồng thời sự phức tạp của liên hệ ứng suất biến dạng cũng được phản ánh thông qua đo đạc thực nghiệm. Thông qua việc nghiên cứu mô phỏng số này thì quá trình thí nghiệm với những vật liệu hiếm và có giá trị cao sẽ có thể giảm thiểu chi phí. 6. Bố cục của luận án Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận án gồm 3 chương như sau: Chương 1 trình bày tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước của vấn đề liên quan đến đề tài. Trong đó, các mốc hình thành và phát triển cũng như một số ứng dụng trong cơ học của đạo hàm cấp phân số đã được liệt kê. Chương 2 có hai mục nội dung. Thứ nhất là tập trung vào việc trình bày một số cơ sở tính toán dao động của hệ có đạo hàm cấp phân số. Nội dung cơ sở này sẽ được sử dụng để tính toán trong chương cuối sau khi sử dụng phương pháp tách biến được phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân số. Thứ hai là đưa ra việc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm có kể đến tính phi tuyến hình học khi kể đến lực dọc ở mỗi phân tố của nó hoặc tính phi tuyến vật lý khi kể đến quan hệ ứng suất – biến dạng phi tuyến. Nội dung này sẽ được kế thừa ở các chương tiếp theo khi đưa thêm yếu tố cản cấp phân số và khảo sát kỹ lưỡng hơn. Chương 3 là chương nội dung chính của luận án. Nó có ba mục nội dung. Mục thứ nhất trình bày về dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli đàn nhớt cấp phân số. Nội dung này nhằm đưa đạo hàm cấp phân số vào một mô hình dầm tuyến tính đơn giản để kiểm nghiệm. Những trường hợp phi tuyến phức tạp hơn sẽ được khảo sát ở các mục tiếp theo. Mục thứ hai trình bày về dao động uốn của dầm phi tuyến hình học chịu tác dụng của lực dọc trục và lực cản ngoài cấp phân số. Đây là một trong hai nội dung chính yếu nhất trong luận án. Mục thứ ba trình bày về dao động uốn tham số phi tuyến vật lý của dầm khi xét đến cả quan hệ ứng suất – biến dạng phi tuyến và lực cản ngoài cấp phân số. Equation Chapter 1 Section 1 TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Suốt nhiều thập kỷ qua, việc ứng dụng đạo hàm cấp phân số vào mô hình hóa cấu trúc vật liệu đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu đáng kể của các nhà khoa học. Chương này cung cấp tổng quan về lĩnh vực này, bao gồm cả lịch sử phát triển, các nghiên cứu trong và ngoài nước và một số ứng dụng cụ thể trong cơ học. 1.1. Tình hình nghiên cứu trên thế giới Leibniz đã đề cập đến lý thuyết đạo hàm cấp không nguyên trong ghi chú gửi tới L’Hospital vào ngày 30 tháng 9 năm 1695 [47]. Ghi chú này đánh dấu lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp ½ được thảo luận. Trả lời thắc mắc của L’Hospital về ý nghĩa của biểu thức đạo hàm khi n = 1/2, Leibniz khẳng định rằng điều này sẽ dẫn đến một nghịch lý. Ông dự đoán rằng từ nghịch lý này sẽ phát sinh những kết luận hữu ích trong tương lai. Tóm lược lịch sử phát triển và ứng dụng của đạo hàm cấp phân số [71, 77, 93, 103] a) Các mốc hình thành 1695: Leibniz đề cập đến đạo hàm cấp ½ [71]. 1819: Khái niệm đạo hàm cấp n với n là số bất kỳ được giới thiệu lần đầu tiên bởi Lacroix [133]. 1832 - 1835: Liouville công bố các bài báo đầu tiên về đạo hàm cấp phân số [103]. 1847: Riemann xây dựng định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa trên công trình của Liouville [103]. 1967: Caputo đề xuất một định nghĩa mới về đạo hàm cấp phân số [103]. b) Các mốc phát triển Trong hơn 3 thế kỷ, đạo hàm cấp phân số chủ yếu được nghiên cứu như một lĩnh vực toán học thuần túy. Gần đây, các nhà khoa học phát hiện đạo hàm và tích phân cấp phân số hữu ích trong mô tả tính chất của nhiều vật liệu thực tế, đặc biệt là polymer. Mô hình đạo hàm cấp phân số tỏ ra hiệu quả hơn so với mô hình đạo hàm cấp nguyên truyền thống, do khả năng mô phỏng chính xác hơn ảnh hưởng của "tính nhớ" và "tính di truyền" trong vật liệu và quá trình. Việc ứng dụng đạo hàm cấp phân số vào mô hình toán học và mô phỏng các hệ thống và quá trình dẫn đến các phương trình vi phân cấp phân số, đòi hỏi các phương pháp giải mới. Bởi vì lý thuyết về đạo hàm cấp không nguyên là khá phức tạp cho nên thách thức đặt ra là việc phát triển các phương pháp giải cho các phương trình vi phân cấp phân số. Đạo hàm cấp phân số là một lĩnh vực toán học đang phát triển mạnh mẽ với tiềm năng ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp giải cho các phương trình vi phân cấp phân số là một hướng nghiên cứu quan trọng. Trong vài thập kỷ gần đây, đạo hàm cấp phân số đã mở ra cánh cửa cho nghiên cứu cơ học. Nhờ khả năng mô tả các hiện tượng phi tuyến và phụ thuộc thời gian một cách hiệu quả, đạo hàm cấp phân số đã đưa đến một số kết quả mới: Niềm hy vọng ban đầu: Nutting (1954), Gemant (1935, 1936) đặt nền móng cho ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong mô hình hóa vật liệu, đặc biệt là hiện tượng chùng ứng suất [88-91, 59, 60]. Sự phát triển: Caputo (1967, 1968, 1969), Caputo & Mainardi (1971, 1973) tiên phong trong việc sử dụng đạo hàm cấp phân số để mô tả tính chất đàn hồi và cơ học của vật liệu [34-38]. Mở rộng: Bagley & Torvik (1983) tổng hợp các nghiên cứu về ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong vật liệu đàn hồi, khẳng định tính hợp lý của mô hình này. Mô hình hóa vật liệu: Mô tả trạng thái cơ học của vật liệu đàn hồi và nhớt dẻo (Chern, 1980; Diethelm & Freed, 1999, 2000; Freed & Luchko, 2003) [40, 44, 45, 49] Mô hình hóa hiện tượng tắt dần trong hệ cơ học (Gaul, Klein & Kempfle, 1991) [57]. Mô tả mối quan hệ ứng suất - biến dạng trong vật liệu đàn hồi (Scott Blair & Caffyn, 1973) [109]. Mô tả tính chất đàn hồi và cơ học của tầng địa chất và kim loại (Caputo, 1967, 1968, 1969; Caputo & Mainardi, 1971, 1973) [34-38]. Mô hình hóa của những vật liệu đàn nhớt (Shaw, Warby, Whiteman, 1997) [110]. Phân tích động lực học: Nghiên cứu tính chất va chạm, dao động và tắt dần của hệ dao động (Caputo, 1969; Bagley & Torvik, 1983; Sakakibara, 1992; Zhang & Shimizu, 1994) [36, 25, 107, 130]. Phân tích đáp ứng động lực học của bộ dao động cấp phân số (Sakakibara, 1992; Zhang & Shimizu, 1994) [107, 132]. Nghiên cứu mô hình thanh đàn hồi (Baker, 2000) [28]. Vật liệu phi tuyến: Mô phỏng hành vi của vật liệu polymer (Sugimoto, 1990, 1991, 1992, 1993) [118-121]. Phát triển vật liệu giảm chấn (Sackman & Kelly, 1964; Papoulia & Kelly, 1988) [106, 95]. Nghiên cứu động lực học phi tuyến trong vật liệu đàn hồi (Rossikhin & Shitikova, 2000) [104]. Mô hình hóa vật liệu cao su phi tuyến (Gil-Negrete & cộng sự, 2009) [61]. Nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu thực khác nhau, như polymer. Họ cũng chỉ ra rằng những mô hình cấp phân số mới thích hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng trước đó của Ross [103], Tseng và cộng sự [127]. Về dao động phi tuyến của dầm cấp phân số, điển hình có tác giả Loghman và cộng sự [134] nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm micro đàn nhớt cấp phân số. Nguyên lý Hamilton đã được sử dụng để lập phương trình chuyển động, sau đó phương pháp Galerkin được dùng để đưa về hệ phương trình vi phân thường. Cuối cùng họ kết hợp phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp bắn để tìm nghiệm tuần hoàn. Một nghiên cứu mới hơn của Sofi [135], năm 2024, trình bày phương pháp giả lực cải tiến (improved pseudo-force method - IPFM) để phân tích đáp ứng động lực của dầm phi tuyến có thành phần đạo hàm cấp phân số chịu tải trọng động. Phương pháp này dựa trên phương pháp Galerkin và tích phân từng phần để giải hệ phương trình vi phân cấp phân số phi tuyến. Tóm lại, đạo hàm cấp phân số đã trở thành một công cụ quan trọng trong nghiên cứu cơ học, mở ra nhiều tiềm năng mới cho việc mô hình hóa và phân tích các hiện tượng phức tạp trong vật liệu và hệ cơ học. Với sự phát triển không ngừng của lĩnh vực này, chúng ta có thể mong đợi nhiều ứng dụng sáng tạo và đột phá hơn nữa trong tương lai. 1.2. Tình hình nghiên cứu trong nước Mặc dù đã có một số nghiên cứu về đạo hàm cấp phân số được công bố trên các tạp chí chuyên ngành Toán và Cơ học trong nước, số lượng này vẫn còn hạn chế và chủ yếu tập trung vào các khía cạnh toán học lý thuyết. Một số ví dụ tiêu biểu bao gồm các bài báo về quy luật luỹ thừa cho sự khuếch tán phân số và phương pháp Poisson [36] được đăng trên Tạp chí Toán học. Tuy nhiên, những công trình này chủ yếu do các tác giả nước ngoài thực hiện. Vài năm gần đây, nhóm của GS. Nguyễn Văn Khang cùng các cộng sự Trần Đình Sơn, Bùi Thị Thúy, Dương Văn Lạc, Trương Quốc Chiến, Nguyễn Văn Quyền [1,2,6,9,11,12,14,16-18,33,82-87] đã có các công bố về dao động của một số mô hình cơ học phi tuyến hữu hạn bậc tự do có tính đến yếu tố cản cấp phân số và một số mô hình phi tuyến vô hạn bậc tự do chưa tính đến cấp phân số. Trương Quốc Chiến [2] đã khảo sát dao động cộng hưởng và nghiên cứu ổn định của cơ hệ mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến cấp hai và cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp số (Runge-Kutta) và phương pháp giải tích (trung bình hóa, tiệm cận, lý thuyết ổn định Lyapunov). Trong [18], Bùi Thị Thúy đã tổng hợp và trình bày kỹ lưỡng các định nghĩa, tính chất của đạo hàm cấp phân số; đưa ra thuật toán số dựa trên phương pháp tích phân Newmark và phương pháp Runge – Kutta đã biết để tính toán đáp ứng động lực, khảo sát cộng hưởng, nghiên cứu ổn định, ảnh hưởng của các tham số của một số cơ hệ hữu hạn bậc tự do (hệ Duffing, hệ van der Pol, hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động) có chứa đạo hàm cấp phân số. Trong [14], Nguyễn Văn Quyền trình bày việc thiết lập một cách tổng quát phương trình dao động uốn phi tuyến của dầm khi tính đến tính phi tuyến hình học, quy luật đàn hồi phi tuyến và khi chịu tác dụng của lực dọc ở đầu dầm. Sau đó trình bày về dao động hỗn độn bằng phương pháp ánh xạ Poincaré, phương pháp phân tích phổ Fourier, phương