Luận văn Bậc Tô pô của ánh xạ a - Proper và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Tô Thanh Tùng BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ A-PROPER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Tô Thanh Tùng BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ A-PROPER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin kính gửi đến Thầy, PGS.TS Lê Hoàn Hóa lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tình chỉ bảo tôi trong học tập, cũng như trong thời gian tìm hiểu và trình bày hoàn chỉnh luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô giảng dạy tại khoa Toán của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô công tác tại Phòng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học tập và thực hiện luận văn này. Cuối cùng, xin cảm ơn người thân và bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. TP. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014 Học viên Tô Thanh Tùng MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 Chương 1. ÁNH XẠ A-PROPER ............................................................................ 3 1.1. Định nghĩa sơ đồ chiếu. .................................................................................... 3 1.2. Ánh xạ A-proper ............................................................................................... 5 Chương 2. BẬC SUY RỘNG CỦA ÁNH XẠ A-PROPER ................................. 11 2.1. Định nghĩa bậc suy rộng của ánh xạ A-proper ............................................... 11 2.2. Tính chất của bậc ............................................................................................ 12 Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA BẬC SUY RỘNG ................................................. 16 3.1. Phương trình với ánh xạ Fredholm chỉ số 0 ................................................... 16 3.2. Phương trình với dạng ánh xạ Fredholm chỉ số 0 .......................................... 24 3.3. Ứng dụng ........................................................................................................ 39 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 49 1 MỞ ĐẦU Mục đích của luận văn là trình bày về bậc suy rộng của ánh xạ A-proper và ứng dụng của bậc suy rộng vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Nội dung luận văn dựa trên nội dung của tài liệu: “Donal O’Regan, Yeol Je Cho, Yu-Qing Chen, Volume 10: Topological Degree Theory And Applications, Taylor – Francis Group, LLC, 2006, Chapter 4, 75-103”. Và tham khảo thêm ở 2 tài liệu sau: 1/ WoloDymyr V.Petryshyn, Generalized Topological Degree And Semilinear Equations, Cambridge University 1995. 2/ Lê Hoàn Hóa, Định lý điểm bất động và ứng dụng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở - Mã số: CS.2008.19.02, năm 2012. Luận văn bao gồm 3 chương sau: Chương 1. Ánh xạ A-proper Trình bày về định nghĩa sơ đồ chiếu và ánh xạ A-proper (Định nghĩa 1.1.1 và định nghĩa 1.2.1). Chương 2. Bậc suy rộng của ánh xạ A-proper Trình bày định nghĩa bậc suy rộng (Định nghĩa 2.1.1). Trình bày các tính chất quan trọng của bậc (Định lý 2.2.1). Chương 3. Ứng dụng của bậc suy rộng Ở mục 3.1: Bậc được định nghĩa ở chương 2 được ứng dụng vào việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình Sx Nx p  trong  D S (định lý 3.1.1, định lý 3.1.2, mệnh đề 3.1.2). Trong đó:  :S D S X Y  là ánh xạ Fredholm chỉ số 0,  :N D S Y  sao cho   N D S bị chặn. Ở mục 3.2: Trình bày định nghĩa dạng ánh xạ Fredholm chỉ số 0 (Định nghĩa 3.2.1). Các định lý quan trọng: 2 + Định lý 3.2.1: chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình 0Lx Nx  trong  D L , trong đó  :L D L X Y  là dạng ánh xạ Fredholm chỉ số 0,  0 ,n nX P  là sơ đồ chiếu của X;  là tập con mở, bị chặn trong X và :N Y là ánh xạ L-A-proper đối với 0 . + Định lý 3.2.4: chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình 0Lx Nx  trong  D L , trong đó  :L D L X Y  là dạng ánh xạ Fredholm chỉ số 0,  0 ,n nX P  là sơ đồ chiếu của X;  là tập con mở, bị chặn trong X và :N Y là ánh xạ sao cho     1I L JP N JP    là ánh xạ A-proper đối với 0 với mỗi 0  . Ở mục 3.3: Sử dụng kết quả của định lý 3.1.1 để chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của bài toán (E.3.3.1). Xét bài toán (E.3.3.4), theo định lý 3.2.5 thì phương trình Sx Nx p  có nghiệm hay bài toán (E.3.3.4) có nghiệm yếu. 3 Chương 1 ÁNH XẠ A-PROPER 1.1. Định nghĩa sơ đồ chiếu Định nghĩa Cho X và Y là các không gian Banach tách được. i) Nếu có một dãy các không gian hữu hạn chiều nX X và một dãy  n nP các phép chiếu tuyến tính : n nP X X thỏa mãn: lim nn P x x  với mọi x X . Khi đó ta nói X có sơ đồ chiếu  ,n nX P . ii) Nếu X có sơ đồ chiếu  ,n nX P , Y có sơ đồ chiếu  ,n nY Q và dim dimn nX Y với mọi số n nguyên dương. Khi đó ta gọi  , ; ,  n n n nX P Y Q là một sơ đồ toán tử chiếu. Ví dụ 1.1.1 Cho   0,1X C và n , ta chia đoạn  0,1 thành n đoạn bằng nhau. Đặt: 0 1 2 1 2 0 ... 1       nt t t t n n . Cho nX là không gian con với mọi x X là hàm tuyến tính với mỗi khoảng con  1, i it t và : n nP X X là phép chiếu thỏa mãn    , 1,2,..., n i iP x t x t i n . Khi đó  ,n nX P là một sơ đồ chiếu của X . Ví dụ 1.1.2 Cho X là không gian Banach với một cơ sở Schauder  : ie i . Khi đó X có một sơ đồ chiếu  ,n nX P được định nghĩa như sau:  1 2, ,...,n nX span e e e ,   1    n n i i i P x x e với   1     i i i x x e . Trong trường hợp X là không gian Hilbert tách được, ta có thể chọn cơ sở trực chuẩn  : ie i . Khi đó phép chiếu   1 ,   n n i i i P x x e e thỏa mãn:  n nP P và 4 1nP  . Ví dụ 1.1.3 Cho X là không gian phản xạ với sơ đồ chiếu thỏa mãn  min ,n m m nP P P . Khi đó  ,  n nP X P là một sơ đồ chiếu của X  . Chứng minh Trên X ta có:                         n n n n n n n n n n n nP P f x P P f x P f P x P f P x f P P x f P P x        2    n n n nf P x f P x f P x P f x . Vậy  nP là một phép chiếu. Ta có:    dim dim dim dimn n n nP X N I P N I P X       . Ta chứng minh: 1       i i X P X . Nếu điều này không đúng thì có  0 \ 0x X sao cho   0f x với mọi 1      i i f P X . Khi đó   X J X trong đó     J x f f x với mọi f X và x X . Do đó   0nf P x với mọi n và f X . Vì vậy   0f x với mọi f X , dẫn đến 0x . Điều này mâu thuẫn. Vậy 1       i i X P X . Ta cũng có    n mP X P X với n m . Do đó với mỗi f X và 0  , ta chọn   ng P X sao cho  f g và ta có:   1 sup 1              m m n n P f f P f g g f P . Dẫn đến lim   m m P f f . 5 Ví dụ 1.1.4 Nếu cả X và Y có cơ sở Schauder thì tồn tại một sơ đồ toán tử chiếu. Chứng minh Cho  n ne là một cơ sở Schauder của X và   / n n e là một cơ sở Schauder của Y . Đặt:  1 2, ,...,n nX span e e e và  / / /1 2, ,...,n nY span e e e . Với 1     i i i x e và / 1     i i i y e . Đặt: 1    n n i i i P x e và / 1    n n i i i Q y e . Khi đó  , ; ,  n n n nX P Y Q là một sơ đồ toán tử chiếu. 1.2. Ánh xạ A-proper Định nghĩa 1.2.1 Cho ,X Y là các không gian Banach thực và  , ; ,  n n n nX P Y Q là một sơ đồ toán tử chiếu. Khi đó ánh xạ :  T D X Y được gọi là ánh xạ A-proper đối với  nếu thỏa mãn điều kiện: Với mọi dãy bị chặn m mx D X và lim  m m m Q Tx y , tồn tại dãy con   km k x thỏa mãn lim    kmk x x D và Tx y . Ta kí hiệu:  ,A D Y là lớp các ánh xạ A-proper : T D Y . Định nghĩa 1.2.2 Cho ,X Y là các không gian Banach thực và  , ; ,  n n n nX P Y Q là một sơ đồ toán tử chiếu. Khi đó ánh xạ :  T D X Y được gọi là ánh xạ giả A-proper đối với  nếu thỏa mãn điều kiện: Với mọi dãy bị chặn m mx D X và lim  m m m Q Tx y , tồn tại  x D T thỏa mãn Tx y . Định nghĩa 1.2.3 Cho X là không gian Banach tách được với sơ đồ chiếu  ,n nX P  . Khi đó  :T D T X X  được gọi là ánh xạ 1P compắc nếu  I T  là ánh xạ A-proper đối với  với mọi 1  . 6 Cho ,X Y là các không gian Banach tách được, :S X Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 với    0N S  và :  N D X Y là một ánh xạ phi tuyến. Xét bài toán nửa tuyến tính:  Sx Nx y với  x D S D và y Y . Khi S là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 thì tồn tại không gian con đóng /X của X và /Y của Y với  /dim dimY N S thỏa mãn:   / X N S X và  / Y Y R S . Cho  : P X N S và /: Q Y Y là hai phép chiếu và   /: M N S Y là một đẳng cấu. Đặt: /:T MP X Y  , khi đó T là một toán tử tuyến tính compắc. Dẫn đến S T cũng là ánh xạ Fredholm chỉ số     0ind S T ind S   và S T là một song ánh và   1 :S T Y X    bị chặn. Đặt:  /1 X D S S S . Khi đó 1S là phép nội xạ đóng và 1 1S  liên tục trên  R S . Giả sử Y có một dãy các không gian con tuyến tính nY với dãy phép chiếu :n nQ Y Y sao cho lim n n Q y y   với y Y . Nếu :S X Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0. Đặt:   1 n nX S T Y    thì  , ,S n n nX Y Q  là một sơ đồ chiếu chấp nhận được cho  ,X Y . Bổ đề 1.2.1 Nếu :S X Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 thì S là ánh xạ A-proper đối với S . Chứng minh Ta có: :n n nQ S X Y là ánh xạ liên tục. Cho    j jn nj x X là dãy bị chặn và lim    j jn nj Q Sx y Y . Khi    nQ S T x S T x   với mọi nx X thì    j j jn n nQ S T x S T x   . 7 Do T là ánh xạ compắc và   jn j x là dãy bị chặn nên có thể giả sử rằng lim   jnj Tx z và lim   j jn nj Q Tx z với z Y . Ta có:    lim lim           j j j j jn n n n nj j S T x Q Sx Q Tx y z Y . Suy ra:             1 1 1 lim lim lim .                      j j j j j jn n n n n nj j j x S T S T x S T Q Sx Q Tx S T y z Đặt:     1    S T y z x X thì    S T x y z hay   Sx Tx y z . Kết hợp với Tx z dẫn đến Sx y . Vậy S là ánh xạ A-proper đối với S . Bổ đề được chứng minh. Định nghĩa 1.2.4 Cho ,X Y là các không gian Banach thực,  , ; ,n n n nX P Y Q  là một sơ đồ toán tử chiếu và D X . Một họ các ánh xạ  : 0,1  H D Y được gọi là đồng luân A-proper đối với  nếu H thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Với mọi dãy bị chặn  m mx trong mD X ; 0mt t và  lim ,  n m m m Q H t x y , tồn tại dãy con   km k x của  m mx thỏa mãn: lim  kmk x x D và  0 ,H t x y . ii)  : 0,1  n n nQ H D X Y là ánh xạ liên tục với mọi 1,2,...n  . Nếu  :S D S X Y  là ánh xạ Fredholm, ta ký hiệu:          sup : , 0l S r r B S B B D S     bò chaën . Bổ đề 1.2.2 Cho : S X Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0, X là một tập mở, bị chặn, S được định nghĩa như phần trên;  :N D S Y  là ánh xạ liên tục, bị chặn 8 và T S N   với  0,1 . Giả sử rằng một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn: i) N hoặc  11 :S R S X   là ánh xạ compắc. ii) N là ánh xạ k -cô đặc với  0,k l S và 1nQ  . iii)       1 :N S T S T D S Y    là ánh xạ cô đặc và 1nQ  . Khi đó T là ánh xạ A-proper đối với S với mỗi  0,1 . Chứng minh Giả sử điều kiện i) xảy ra. + Trường hợp: N là ánh xạ compắc và  0,1 cố định. Cho    j jn nj x X là một dãy bị chặn sao cho  lim     j jn nj Q S N x y . Do N là ánh xạ compắc nên ta có thể giả sử 0lim   jnj Nx z . Khi đó 0lim     j jn nj Q Sx z y . Do S là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 nên theo bổ đề 1.2.1, ta có S là ánh xạ A-proper. Vì thế tồn tại 0x sao cho 0lim jnj x x   và 0 0 Sx z y . Mặt khác 0lim   jnj Nx Nx (do N liên tục) suy ra 0 0Nx z . Do đó 0 0 Sx z y  0 0 0      Sx Nx y S N x y . Vậy   T S N là ánh xạ A-proper đối với S với  0,1 . + Trường hợp: 1S  là ánh xạ compắc và  0,1 cố định. Cho    j jn nj x X là một dãy bị chặn sao cho:    lim lim lim           j j j j j j jn n n n n n nj j j g Q S N x Q Sx Q Nx g Y . Ta có  lim lim           j j j j j jn n n n n nj j g S T x Q Nx Q Tx g . Đặt:   j j jj n n nn g Sx Q Nx . 9 Do T là ánh xạ compắc nên: lim   jnj g g . Suy ra:                 j j j j j jj n n n n n nn I Q g I Q Sx I Q Q Nx Sx I Q Q Nx và      lim      jnj I Q g I Q g R S . Đặt:  11   j jn n h S I Q g . Khi đó      1 11 1lim lim              j j j jn n n nj j h I P x S I Q Q Nx S I Q g Đặt:  11  h S I Q g . Do P và  11S I Q   là các ánh xạ compắc, hơn nữa   jn j x và   j jn n j Q Nx là các dãy bị chặn nên ta có thể giả sử: 1lim   jnj Px x và  11 2lim       j jn nj S I Q Q Nx x trong X. Khi đó  11 1 2lim lim               j j j j jn n n n nj j x h Px S I Q Q Nx h x x . Đặt: 0 1 2  x h x x . Ta cần chứng minh:   0 S N x g . Thật vậy, do tính liên tục của N nên   0lim lim         j j jjn n nnj j Sx g Q Nx g Nx trong Y . Do tính đóng của S nên 0 0 Sx g Nx hay   0 S N x g . Vậy T S N   là ánh xạ A–proper đối với S với  0,1 . Giả sử điều kiện ii) xảy ra. Cho  0,1 cố định và   jn nj x X là dãy bị chặn sao cho:  lim lim j j j j jn n n n nj j g Q Sx Q Nx g Y       . Lập luận như phần trên ta có  lim lim j j jj n n nnj j g Sx Q Nx g      . Do tính compắc của dãy   jn j g và bất đẳng thức: 10         j j j jn n n nQ Nx Nx k x    . Suy ra         j j jn n nSx k x k x     . Kết hợp với giả thiết  k l S ta có    0jnx  hay  jn jx là tập compắc tương đối. Vì thế ta có thể coi 0lim jnj x x   trong X và   0lim limj j jjn n nnj jSx g Q Nx g Nx      trong Y . Như vậy 0 0Sx Nx g  hay   0S N x g  . Vậy T S N   là ánh xạ A–proper đối với S với  0,1 . Giả sử điều kiện iii) xảy ra. Cho  0,1 cố định và   jn nj x X là dãy bị chặn sao cho:  lim lim j j j j jn n n n nj j g Q Sx Q Nx g Y       . Khi đó  lim j j j j jn n n n nj S T x Q Nx Q Tx g         . Đặt:   j jn n y S T x  , ta có :        1 1lim j j j j jn n n n nj y Q N S T y Q T S T y g            . Do tính compắc của   1 T S T   và giả thiết iii) nên   jn j y có dãy con  / jn j y hội tụ. Giả sử / 0lim jnj y y   . Đặt:   1/ / j jn n x S T y    . Khi đó: / 0lim   jnj x x và 0 0Sx Nx g  hay   0S N x g  . Vậy T S N   là ánh xạ A–proper đối với S với  0,1 . Bổ đề được chứng minh. 11 Chương 2 BẬC SUY RỘNG CỦA ÁNH XẠ A-PROPER 2.1. Định nghĩa bậc suy rộng của ánh xạ A-proper Cho ,X Y là các không gian Banach thực tách được và  , ; ,n n n nX P Y Q  là một sơ đồ toán tử chiếu. Cho X là tập mở, bị chặn và L là một không gian con trù mật của X với 1 n n X L    . Bổ đề 2.1.1 Cho  ,T A L Y  . Giả sử rằng  p T L  . Khi đó tồn tại số nguyên 0 0n  sao cho  n n nQ p Q T X  với mọi 0n n . Chứng minh Giả sử khẳng định của bổ đề 2.1.1 không đúng. Khi đó tồn tại dãy số nguyên dương  k kn sao cho lim  kk n và dãy con     k kn nk x X sao cho lim lim k k kn n nk k Q Tx Q p p     . Do T là ánh xạ A-proper nên tồn tại dãy con   kl n l x và 0 x L sao cho 0lim   kl n l x x và 0Tx p . Do 0 x L nên 0 x và 0 x L . Mặt khác    k kn n x X , dẫn đến 0 x . Suy ra 0 x L hay  0   Tx p T L . Điều này mâu thuẫn với giả thiết   p T L . Bổ đề được chứng minh. Định nghĩa 2.1.1 Cho  ,T A L Y  . Giả sử rằng  p T L  và nQ T liên tục. Ta định nghĩa bậc suy rộng  , ,Deg T L p định bởi: 12       , , : limdeg , ,        j j jn n nj Deg T L p k Q T X Q p k . Trong đó là tập hợp các số nguyên. Do bổ đề 2.1.1 nên tồn tại số nguyên 0 0n  sao cho  n np Q T X  và nQ T liên tục. Vì thế bậc Brouwer  , ,n n ndeg Q T X Q p được định nghĩa tốt khi 0n n . Do đó  , ,Deg T L p là khác trống và được định nghĩa đúng. 2.2. Tính chất của bậc Định lý 2.2.1 Cho  ,T A L Y  và  p T L  . Khi đó bậc  , ,Deg T L p có các tính chất sau: i) Nếu    , , 0Deg T L p  thì phương trình Tx p có nghiệm trong L . ii) Nếu 1 2 1 2; ;       và   1 2\   p T L . Khi đó:      1 2, , , , , ,Deg T L p Deg T L p Deg T L p     . Ta quy ước        . iii) Nếu  : 0,1  H L Y là đồng luân A-proper và  ,p H t x với mọi    , 0,1t x L  . Khi đó   , , ,Deg H t L p không phụ thuộc  0,1t . iv) Nếu 0 ,  là tập đối xứng đối với 0 , :T L Y  là ánh xạ A- proper lẻ và  0 T L . Khi đó  , ,0Deg T L không chia hết cho số chẵn. Chứng minh Chứng minh i): Giả sử    , , 0Deg T L p  , khi đó tồn tại dãy số nguyên dương  k kn sao cho lim   k k n thỏa mãn  , , 0 k k kn n n deg Q T X Q p  . Do lý thuyết bậc Brouwer nên tồn tại kn x L sao cho: lim lim     k k kn n nk k Q Tx Q p p . 13 Do T là ánh xạ A-proper nên có dãy con   kl n l x của dãy   kn k x sao cho: 0lim    kl n l x x L và 0Tx p . Điều này chứng tỏ phương trình Tx p có nghiệm trong  L . Chứng minh ii): Khi   1 2\p T L    , tồn tại số 0 0n  sao cho:   1 2\n n nQ p Q T X    với mọi 0n n . Do đó      1 2, , , , , ,n n ndeg Q T p deg Q T p deg Q T p     với mọi 0n n . Giả sử  lim , , j j jn n nj k deg Q T X Q p    . Khi đó:    1 2lim , , , ,j j j j j jn n n n n njk deg Q T X Q p deg Q T X Q p       . + Trường hợp:  1lim , ,j j jn n nj deg Q T X Q p  và  2lim , ,j j jn n nj deg Q T X Q p  đều bằng  hoặc  . Khi đó k   hoặc k   . Vậy      1 2, , , , , ,Deg T L p Deg T L p Deg T L p     . + Trường hợp:  1lim , ,     j j jn n nj deg Q T X Q p và  2lim , ,     j j jn n nj deg Q T X Q p . (hoặc  1lim , ,     j j jn n nj deg Q T X Q p và  2lim , ,     j j jn n nj deg Q T X Q p ). Khi đó quy ước  k  . Vậy      1 2, , , , , ,Deg T L p Deg T L p Deg T L p     . + Trường hợp:  1limsup , ,j j jn n nj deg Q T X Q p    và  2limsup , ,j j jn n nj deg Q T X Q p    . Vậy      1 2, , , , , ,Deg T L p Deg T L p Deg T L p     . 14 Chứng minh iii): Ta có  ,H t là ánh xạ A-proper với mỗi  0,1t và khi  , p H t L với  0,1t , theo bổ đề 2.1.1 tồn tại số nguyên 0 0n sao cho:    0,1 ,n n n t Q p Q H t X    với mọi 0n n . Khi đó   , , ,n n ndeg Q H t X Q p không phụ thuộc  0,1t . Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó tồn tại dãy số nguyên dương   : lim   k kk k n n ,     00,1 : lim   k kk k t t t và     k kn nk x X sao cho:  lim , lim k k kn k n nk k