Luận văn Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Phạm Minh Đăng BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ GIÁ TRỊ ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA CẤP HAI Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến Thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này . Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM và Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã tận tình giảng dạy trong suốt khóa học . Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy, Cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại Học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính trong suốt khóa học . Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục và Đào tạo Đồng Nai, Ban Giám Hiệu Trường THPT Điểu Cải, tổ Toán – Tin của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về mọi mặt để tôi yên tâm học tập và làm việc. Cảm ơn các bạn học viên cao học giải tích khóa 16 đã giúp đỡ và hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong suốt khóa học . Xin cảm ơn gia đình đã là chỗ dựa tốt nhất cho tôi yên tâm học tập. Tp.Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008 Tác giả Phạm Minh Đăng MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân thường và cho phương trình vi phân trung hòa được nhiều tác giả nghiên cứu và đã sử dụng các định lý về sự liên tục của Leray – Schauder, phương pháp biến đổi bậc tôpô Ví dụ trong [5, 7, 8, 9, 10, 12] . Trong [8], tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán  ( ) ( , ) , , ( ) , 0 1t td x t g t x f t x x t tdt        , (1)ox x   với    : 0,1 , : 0,1n n nf C g C     là những hàm liên tục, , nC   . Trong [ 12], tác giả nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và phụ thuộc liên tục vào tham số thực  cho nghiệm của bài toán sau :    ( ) ( ) , , ( ) , 0 , , ( ) ( ) t o t x t f t x x t t T x Ax T Bx T          với ( )t là một ma trận cấp n n liên tục xác định trên  0,T , A và B là ma trận hằng cấp n n ,   , ,0 ;n nC C r     . Trong [ 7, 10], tác giả đã nghiên cứu bài toán giá trị biên ( , ) 0, 0 1u f t u t     trong đó  : 0,1f   liên tục, với một trong các điều kiện biên (0) 0, (1) ( )u u u   hoặc (0) 0, (1) ( )u u u     Chính vì vậy, luận văn này sẽ trình bày một số kết quả của “Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai”. 2. Mục đích nghiên cứu Sử dụng các định lý về điểm bất động để tìm lời giải cho bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai . 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Với giả thiết thích hợp trên hàm f, chúng ta chứng minh tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục cho nghiệm của bài toán . 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Định lý về điểm bất động là công cụ mạnh đã được nhiều nhà toán học sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân. Luận văn đã chỉ ra được các kết quả đẹp cho bài toán . 5. Cấu trúc luận văn Luận văn sẽ được chia thành các chương như sau : Mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài Chương 1 : Giới thiệu bài toán Trong chương này sẽ giới thiệu bài toán và một số không gian hàm. Chương 2 : Một số định lý và bổ đề Nội dung chương này trình bày một số định lý và bổ đề cần dùng để chứng minh các kết quả trong các chương kế tiếp. Chương 3 : Các kết quả chính Sử dụng các kết quả của chương hai để giải quyết một số bài toán đã giới thiệu trong chương một . Chương 4 : Ứng dụng kết quả chính vào bài toán giá trị biên hỗn hợp Sử dụng các kết quả trong chương hai và ba chúng ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên (E) – (BC2) . Chương 5 : Ứng dụng kết quả chính vào bài toán giá trị đầu Sử dụng các kết quả trong chương hai và ba chúng ta khảo sát sự tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào tham số cho nghiệm của bài toán giá trị đầu (E) – (IC3) . Chương 1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1.1. Mở đầu Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán giá trị biên ba điểm cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai ( , , ( )) 0 , [0,1]tu f t u u t t    (E) , (1) ( )ou u u   với ([ r,0], )C C   , (0,1) ,  [0,1] C ,f C   Với giả thiết thích hợp trên hàm f, chúng ta chứng minh tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục cho nghiệm của bài toán. Cũng như một ứng dụng của phương pháp đã được sử dụng trong chứng minh bài toán trên, luận văn cũng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho phương trình (E) với hỗn hợp các điều kiện biên , (1) [ ( ) (0)]ou u u u      Hoặc với điều kiện đầu , (0) 0ou u   Đối với bài toán giá trị đầu, tính duy nhất và phụ thuộc liên tục cho nghiệm cũng được xét đến. Hơn nữa, luận văn chỉ ra rằng tập nghiệm của bài toán giá trị đầu là tập khác rỗng, compăc và liên thông. Cách tiếp cận của chúng tôi dựa trên định lý điểm bất động. 1.2. Bài toán và các không gian hàm 1.2.1. Các không gian hàm Chúng tôi ký hiệu : + [0,1]C và 1[0,1]C , theo thứ tự là không gian Banach các hàm thực liên tục và hàm thực có đạo hàm liên tục trên [0,1] với chuẩn :  sup ( ) : 0 1ou u t t    1 ax u ,o ou m u với  sup ( ) : 0 1ou u t t    + 1[0,1]L là không gian các hàm thực x(t) thỏa ( )x t khả tích Lebesgue trên [0,1] +  [ r,0],C C  , với r > 0 là hằng số, là không gian Banach của các hàm liên tục :[ r,0]   với chuẩn sup:  sup ( ) : 0r       + Với mỗi hàm liên tục :[ r,1]x   và với mọi [0,1]t , chúng ta ký hiệu tx là phần tử của C định bởi : ( ) ( ), [ r,0]tx x t      1.2.2. Bài toán Trong luận văn, chúng tôi xét phương trình vi phân trung hòa cấp hai sau : ( , , ( )) 0 , [0,1]tu f t u u t t    (E) với :[0,1] Cf    là liên tục, với các điều kiện sau: , (1) ( )ou u u   (BC1) , (1) [ ( ) (0)]ou u u u      (BC2) hoặc với điều kiện đầu sau : , (0) 0ou u   (IC3) trong đó , (0,1),C     Nghĩa là, chúng tôi xét các bài toán : (E) – (BC1), (E) – (BC2) và (E) – (IC3) Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VÀ BỔ ĐỀ Trong phần chứng minh các định lý chính trong chương tiếp theo dựa trên các định lý và bổ đề sau : 2.1. Định lý 2.1 (Nonlinear Alternative of Leray – Schauder) Cho E là không gian Banach và  là tập mở bị chặn của E, 0 . :T E là một ánh xạ hoàn toàn liên tục. Khi đó tồn tại x sao cho hoặc ( )T x x với mọi 1  hoặc tồn tại một điểm bất động x . 2.2. Định lý 2.2 (xem [6]) Cho  ,E  là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn của E với biên D và bao đóng D , :T D E là toán tử compăc, giả sử T thỏa các điều kiện sau : i) T không có điểm bất động trên D và deg(I - T, D, 0) 0 ii) Với mỗi 0  , tồn tại ánh xạ compăc T sao cho với mọi x D , ( ) ( )T x T x   và với mỗi h, h  , phương trình ( )x T x h  có nhiều nhất một nghiệm trên D thì tập các điểm bất động của T là khác rỗng, compăc và liên thông. 2.3. Định lý 2.3 (xem [4]) Cho E, F là không gian Banach, D là tập mở trong E và :f D F là ánh xạ liên tục, khi đó với mỗi 0  , tồn tại :f D F  là ánh xạ lipsit địa phương sao cho : ( ) ( ) ,f x f x x D     và ( ) ( )f D cof D  , với ( )cof D là bao lồi của f(D). 2.4. Bổ đề 2.4 (xem [7]) Cho [0,1]y C , bài toán ( ) 0 , (0,1)u y t t    (0) 0u  , (1) ( )u u  với [0,1] có nghiệm duy nhất là 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 t t tu t t s y s ds s y s ds s y s ds             , [0,1]t 2.5. Bổ đề 2.5 Cho [0,1]y C thì bài toán giá trị biên hỗn hợp ( ) 0 , (0,1)u y t t    (0) 0 , (1) [ ( ) (0)]u u u u     , với (0,1),   có nghiệm duy nhất là 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) t u t t s y s ds t y s ds t s y s ds          , [0,1]t 2.6. Bổ đề 2.6 Cho [0,1]y C thì bài toán giá trị đầu ( ) 0 , (0,1)u y t t    (0) 0 , (0) 0u u  có nghiệm duy nhất là 0 ( ) ( ) ( ) t u t t s y s ds   , [0,1]t Chương 3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Trong chương này chúng tôi khảo sát bài toán (E) – (BC1) như trong chương một đã giới thiệu . 3.1. Định lý 3.1 Cho :[0,1] Cf    liên tục, ( ,0,0) 0of t  với [0,1]ot  và tồn tại các hàm không âm 1, , [0,1]p q r L thỏa : 1( ) : ( , , ) ( ) ( ) ( )H f t u v p t u q t v r t   , với mọi ( , , ) [0,1] Ct u v    1 2 0 0 2 1( ) : (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 H s p s ds s q s ds                 1 1 3 0 0 0 1( ) : ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 H p s q s ds s p s q s ds s p s q s ds                Khi đó, bài toán giá trị biên (E) – (BC1) có ít nhất một nghiệm. Chứng minh Bước 1 : Trường hợp 1 : (0) 0  Đặt   1 0,1 (0) 0oC u C u   là không gian con của  1 0,1C Với mọi ou C , chúng ta có : 0 ( ) ( ) t u t u t dt  Vì vậy : o ou u (3.1) Với mỗi hàm ou C , ta có : chúng ta định nghĩa hàm  ˆ : ,1u r  bởi:     ( ) , ,0 ˆ( ) ( ) , 0,1 t t r u t u t t      Ta cũng có :    ˆ max , 0,1 , 0k k k k kt o ou u u t k       (3.2) Định nghĩa toán tử tích phân  1: 0,1oT C C định bởi :     0 0 ˆ ˆ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) 1 t s s tTu t t s f s u u s ds s f s u u s ds           1 0 ˆ(1 ) , , ( ) 1 s t s f s u u s ds    ,  0,1t (3.3) Theo Bổ đề 2.4, u là nghiệm của (E) – (BC1) khi và chỉ khi T có điểm bất động ou C , với :     ( ) , ,0 ( ) ( ) , 0,1 t t r u t u t t      Sử dụng (H1) và (3.2), với mọi ou C , với mọi  0,1t , ta có : 1 0 ˆ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )sTu t s p s u q s u s r s ds       0 1 ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 s s p s u q s u s r s ds          1 0 1 ˆ(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 s s p s u q s u s r s ds        1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 o s p s ds s p s ds u               1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 o s q s ds s q s ds u                1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 s p s ds s p s ds                1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 s r s ds s r s ds          . Đặt 1 1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 A s p s ds s p s ds          1 1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 B s q s ds s q s ds          1 1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 C s p s ds s p s ds                1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 s r s ds s r s ds          Khi đó, với mọi ou C , với mọi  0,1t , chúng ta có : 1 1 1o o oTu A u B u C   (3.4) Mặt khác :       0 0 1ˆ ˆ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) 1 t s sTu t f s u u s ds s f s u u s ds            1 0 1 ˆ(1 ) , , ( ) 1 s s f s u u s ds    ,  0,1t (3.5) Sử dụng (H1) và (3.2), với mọi  0,1t , chúng ta có :   1 0 ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sTu t p s u q s u s r s ds       0 1 ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 s s p s u q s u s r s ds          1 0 1 ˆ(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 s s p s u q s u s r s ds        1 1 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 o p s ds s p s ds s p s ds u                 1 1 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 o q s ds s q s ds s q s ds u                  1 1 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 p s ds s p s ds s p s ds                  1 1 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 r s ds s r s ds s r s ds                Đặt 1 1 2 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 A p s ds s p s ds s p s ds           1 1 2 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 B q s ds s q s ds s q s ds           1 1 2 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 C p s ds s p s ds s p s ds                  1 1 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 r s ds s r s ds s r s ds                Với mọi ou C , với mọi  0,1t , chúng ta cũng có :   2 2 2o ooTu A u B u C    (3.6) Đặt  1 2 2max ,A A A B  (3.7) Từ (H2) – (H3), ta có : 1 1A  và 2 2 1A B  Suy ra A < 1 Và chúng ta chọn một hằng số B > 0 sao cho 1 2 1 2 2 2 max , 1 B CB C C A B       (3.8) Bây giờ chúng ta đặt : 1 Bm A   ,  1:ou C u m    (3.9) thì  là tập mở, bị chặn trong oC , 0 và  1:ou C u m    Chúng ta xét  1: 0,1T C  và chúng ta chỉ ra rằng T có một điểm bất động u khi áp dụng định lý 2.1 (a) . Trước hết, T liên tục, thật vậy, với mỗi ou  , giả sử  n nu là dãy trong  thỏa lim n on u u  Với mọi  0,1t , từ (3.3) và (3.5), chúng ta có : ( ) ( )n oTu t Tu t        0 ˆ ˆ( ) , , ( ) , , ( ) t n n o os st s f s u u s f s u u s ds            0 ˆ ˆ( ) , , ( ) , , ( ) 1 n n o os s t s f s u u s f s u u s ds               1 0 ˆ ˆ(1 ) , , ( ) , , ( ) 1 n n o os s t s f s u u s f s u u s ds        Đặt     ˆ : 0,1 , 0,1,2...n sD u s n   , thì D là tập compăc trong C . Do  : 0,1f C   liên tục nên f liên tục đều trên tập compăc    0,1 ,D m m   Khi đó, với mọi 0  tồn tại 0  sao cho :        1 1 1 2 2 2, , , , , 0,1 ,s s D m m        , mà 1 2 1 2 1 2, ,s s             thì 1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , ) 2 f s f s       với 21 0 1     Từ lim n on u u  trong  , đối với chuẩn 1 , tồn tại on sao cho với mọi on n ,  ˆ ˆ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0,1n s o s n ou u u s u s s        Mặt khác, với mọi  0,1s ,        ˆ ˆ,( ) , ( ) , ,( ) , ( ) 0,1 ,n s n o s os u u s s u u s D m m      Từ đó, với mọi on n , ( ) ( )n oTu t Tu t       1 0 2 ˆ ˆ1 , , ( ) , , ( ) 1 n n o os s f s u u s f s u u s ds        21 1 2 2           ,  0,1t  Tương tự    ( ) ( ) 2n o Tu t Tu t    ,  0,1t  Dễ thấy, với mọi on n ,    1 max , 2n o n o n oo oTu Tu Tu Tu Tu Tu            (b) . Kế tiếp, chúng ta chỉ ra rằng ( )T  là tập compăc tương đối . Giả sử  nTu là dãy bị chặn của ( )T  , tương ứng với  nu  , chúng ta sẽ chỉ ra dãy  nTu chứa một dãy con hội tụ trong  1 0,1C , đối với chuẩn 1 . Chứng minh phần này được trình bày như sau Với mọi on n , từ (3.4), (3.6), (3.9), ta có : 1 1 1 1 1 1n n no o oTu A u B u C A m B m C      ,   2 2 2 2 2 2n n no ooTu A u B u C A m B m C       Dẫn đến, dãy  nTu ,   nTu  bị chặn đều Mặt khác, kết hợp (3,3), (3,5), (3.9) và (H1), với mọi n, với mọi  1 2, 0,1t t  , chúng ta có  2 1 1 2( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) t n n t Tu t Tu t s m p s mq s r s ds          1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 s m p s mq s r s ds t t                  1 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 m p s mq s r s ds t t             1 1 2K t t       2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t n n t Tu t Tu t m p s mq s r s ds         2 1 2K t t  ở đây K1, K2 không phụ thuộc 1 2,t t và n . Dễ thấy  nTu ,   nTu  đẳng liên tục ( liên tục đồng bậc ) Áp dụng định lý Ascoli – Arzela, chúng ta có  nTu ,   nTu  là tập compăc tương đối trong  0,1C . Từ đó, tồn tại dãy con    kn nu u sao cho knTu u và  knTu v  , khi k  , đối với chuẩn o . Vậy u có đạo hàm và u v  , vì thế , knTu u khi k  , trong  1 0,1C , đối với chuẩn 1 . Vì vậy T hoàn toàn liên tục . (c) . Cuối cùng giả sử rằng tồn tại *u  sao cho ( *) *T u u với 1  . Thì, chúng ta có tập hợp dưới đây là bị chặn  * : ( *) *, 1u T u u    . Thật vậy, từ (3.6) chúng ta có :   2 2 21( *) * * ( *)o o oou Tu A u B u C      , (3.10) Kết hợp (3.1) – (3.10), chúng ta có 2 2 2(1 ) ( *) oA B u C   Từ 2 2 1A B  , dễ thấy ( *) ou M  (3.11) với 2 2 21 CM A B    là hằng số. nhưng , kết hợp (3.1), (3.4), (3.6) – (3.8), (3.10) và (3.11), chúng ta có 1 1 1* * ( *)o o oTu A u B u C   1 1 1* oA u B M C   * oA u B  (3.12)   2 2 21 1* * ( *)oTu A u B u C    1*A u B  Do đó 1 1 1* * *u Tu A u B    Suy ra m Am B   hay BA m    , nghĩa là 1  , điều này mâu thuẫn với 1  . Bước 1 được chứng minh xong. Bước 2 . Trường hợp (0) 0  Bằng phép biến đổi (0)v u   , bài toán giá trị biên (E) – (BC1) trở thành bài toán giá trị biên sau :  , (0), ( ) 0 , 0 1tv f t v v t t      , (0) , (1) ( )ov v v       , Với C  và (0) 0  . Theo bước 1, bài toán giá trị biên này có ít nhất một nghiệm. Bước 2 được chứng minh xong. Như vậy Định lý 3.1 được chứng minh. 3.2. Định lý 3.2 Cho :[0,1] Cf    liên tục, với [0,1]ot  . Giả sử tồn tại các hàm không âm 1, , [0,1]p q r L , các hằng số , [0,1]k l thỏa (H2) và 1( ) : ( , , ) ( ) ( ) ( )k lH f t u v p t u q t v r t   , ( , , ) [0,1] Ct u v    3 2 2( ) : ( ) ( ) 1H Q k A Q l B  với 1 1 2 0 0 0 1 1( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 A p s ds s p s ds s p s ds           1 1 2 0 0 0 1 1( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 B q s ds s q s ds s q s ds           và 0 0 1 ( ) 1 1 Q       neáu neáu Khi đó, bài toán giá trị biên (E) – (BC1)) có ít nhất một nghiệm. Chứng minh Hiển nhiên Định lý 3.1 là trường hợp đặc biệt của định lý này với 1k l  . Ở đây, chúng ta chỉ xét trường hợp (0) 0  và với không gian con C0, hàm uˆ và toán tử T được định nghĩa như trong Định lý 3.1. Sử dụng 1( )H và (3.2), với mọi ou C và với mọi  0,1t , chúng ta có 1 0 ˆ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )k lsTu t s p s u q s u s r s ds        0 1 ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k l ss p s u q s u s r s ds           1 0 1 ˆ(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k l ss p s u q s u s r s ds         1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 k os p s ds s p s ds u               1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 l os q s ds s q s ds u                1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ks p s ds s p s ds                1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 s r s ds s r s ds          . 1 1 3 k l o oA u B u C   với A1 và B1 như trong Định lý 3.1, và 1 3 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 kC s p s ds s p s ds                1 0 0 2 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 s r s ds s r s ds          Khi đó, với mọi ou C , với mọi  0,1t , chúng ta có : 1 1 3 k l o o oTu A u B u C   (3.13) Tương tự, với mọi ou C , chúng ta có   2 2 4k lo ooTu A u B u C    2 2 4 k l o oA u B u C    , (3.14) Với A2 và B2 như trong Định lý 3.1 và 1 1 4 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 kC p s ds s p s ds s p s ds                  1 1 0 0 0 1 1( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) 1 1 r s ds s r s ds s r s ds                Rõ ràng, như chứng minh của Định lý 3.1, nếu chúng ta chỉ ra rằng tập dưới đây là bị chặn  * : ( *) *, 1u T u u    , (3.15) Thì, kết hợp với giả thiết (H2), chúng ta chỉ ra rằng 1  , Định lý 3.2 sẽ được chứng minh. Điều đó được chứng minh như sau. Giả sử rằng tồn tại *u  sao cho ( *) *T u u với 1  . Chúng ta xét 3 trường hợp .  Trường hợp 1 : 0 1, 0 1k l    , nếu ( *) 1ou   thì từ (3.14), chúng ta có 2 2 4( *) ( ) ( *) h o oTu A B u C    , (3.16) với  max ,h k l . Suy ra   2 2 41( *) * ( *) ( ) ( *) ho o oou Tu Tu A B u C        (3.1