Luận văn Bài toán khôi phục trong lý thuyết hàm giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRẦN NGỌC LIÊN BÀI TOÁN KHÔI PHỤC TRONG LÝ THUYẾT HÀM GIẢI TÍCH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Đặng Đức Trọng Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án Trần Ngọc Liên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án PHẦN MỞ ĐẦU Việc khảo sát bài toán khôi phục hàm giải tích bắt nguồn từ thực tế, trong các lĩnh vực điều khiển học, vật lý, nhận dạng... Trong quá trình giải bài toán khôi phục, các kết quả thu được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như Phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống và gần đây là nhận dạng trong tình huống xấu nhất... Bài toán khôi phục mà chúng tôi quan tâm được phát biểu như sau: Cho U là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức, nghĩa là  1|z|:CzU  (1) K là một tập con của U . Cho  là một hàm số xác định trên K . Hãy khôi phục hàm f giải tích trong U khi biết trước giá trị của f trên K là  . Trong luận án chúng tôi giới hạn ở trường hợp  nzK  là một dãy vô hạn đếm được các điểm trong U . Khi hàm số f thuộc không gian Hardy )U(H p , không gian các hàm giải tích trên )1p(U  , hoặc đại số đĩa )U(A (nghĩa là hàm f liên tục trên đĩa đơn vị đóng  1|z|:CzU  và giải tích trên U ) thì bài toán khôi phục chính là bài toán moment. Luận án của chúng tôi nghiêng về mặt ứng dụng nên các bài toán khôi phục hàm giải tích được rút ra từ các ứng dụng trong vật lý (chương 3: bài toán nhiệt ngược và chương 5: bài toán Cauchy không gian cho phương trình Parabolic), trong giải tích thực (chương 4: bài toán biến đổi Laplace ngược). Đây là bài toán ngược và không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán có thể vô nghiệm; bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất; nghiệm của bài toán tồn tại nhưng không ổn định. Bài toán nội suy hàm giải tích có một thư mục rất lớn (xem [20, 63]). Tuy vậy, thật đáng ngạc nhiên là các bài báo lại không khảo sát tính không chỉnh của bài toán và tính ổn định của thuật toán khi có sai số của dữ liệu. Thực vậy, xét bài toán: xác định một hàm giải tích f trong không gian )U(H 2 sao cho ,...3,2,1n)z(f nn   (2) với 1nn )z( là một dãy vô hạn các điểm trong U , )( n là dãy số phức bị chặn, tức là  l)( n . Với )z( n và )( n bất kỳ thì bài toán có thể vô nghiệm. Chẳng hạn dãy )z( n xác định bởi 1n n 1z,0z n1  và )n 1()( n  . Khi đó 1)z(f)0(f 11   . Mặt khác ta có 0lim) n 1(flim)0(f nnn    (vô lý). Vậy bài toán vô nghiệm. Trong “ Lecture on Complex Approximation” , D.Gaier đã chứng minh rằng tính duy nhất của bài toán (2) chỉ có khi và chỉ khi  1k k )|z|1( (điều kiện Blaschke). Nếu điều kiện này không thoả, bài toán có nghiệm tổng quát là Bgf  với f là một nghiệm đặc biệt của (2), B là tích Blaschke với các không điểm )z( k và g là một hàm tùy ý trong )U(H 2 . Vậy bài toán có nghiệm không duy nhất. Xét bài toán (2). Cho 1nn )z( tuỳ ý trên đường tròn      4 1|z|:Cz và dãy   mn xác định bởi   ,...3,2,1n)z2( mnmn  với m là số tự nhiên . Khi đó ta có   0 2 1|)z2(||| m m n m n    khi m . Xét hàm .)z2(z CU:f m m   Ta có 2m Hf  và  mnnm )z(f  , mHm 2||f|| 2  . Vậy lim || || 2m Hx f   . Điều này chứng tỏ bài toán (2) không ổn định: từ sự sai lệch nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến kết quả cuối cùng có sai lệch lớn. Gọi 0f là nghiệm chính xác của bài toán (2), ứng với giá trị chính xác    l0n0  , tức là ,...3,2,1n)z(f 0nn0   và  l)( n là một dữ liệu đo được thoả : || || sup0 0n n         . Tính không ổn định của nghiệm ở chỗ: tính toán với nhiều dữ liệu hơn một lượng cần thiết nào đó thì có thể làm cho sai số lớn hơn. Do đó cần xác định một số tự nhiên )(n  ( với mỗi 0 ), mà ta gọi là tham số chỉnh hóa để chỉ ra số lượng dữ liệu n cần thiết phải sử dụng và giới hạn việc tính toán trên máy tính. Nói cách khác là xác định tham số chỉnh hóa )(n  sao cho từ )(n  dữ liệu )(n21 ,...,,  ta có thể xác định một hàm f mà nó xấp xỉ ổn định nghiệm chính xác 0f của bài toán. Một số kết quả cụ thể: Như chúng ta đã biết, trong bài toán nội suy hàm giải tích trên đĩa đơn vị các nhà toán học thường sử dụng đa thức (đặc biệt là đa thức Lagrange) hay hàm phân thức để xây dựng các hàm xấp xỉ (xem [20, 63]) .Tính chất của dãy các điểm nội suy và tính chất của hàm cần xấp xỉ có ảnh hưởng nhiều đến sự hội tụ của hàm số xấp xỉ. Phép nội suy Lagrange rất thuận lợi cho việc sử dụng, nhưng nó không ổn định. Các hệ số bậc cao của đa thức Lagrange tăng nhanh khi số điểm nội suy tăng và dãy các đa thức Lagrange không hội tụ trong 2H . Một trong những cách giải quyết vấn đề này là loại bỏ hay chặt cụt các số hạng bậc cao của Đa thức Lagrange. Đó là một phương pháp chỉnh hóa. Bài báo “Reconstruction of Analytic Functions on the Unit Disc from a Sequence of Moments : Regularization and Error Estimates”, của nhóm nghiên cứu của G.s T.s Đặng Đình Áng đã trình bày kết quả với một số đánh giá sai số. Trong luận án này chúng tôi tiếp tục sử dụng ý tưởng đó để chỉnh hoá các bài toán nội suy hàm giải tích. Cách chỉnh hóa bằng hàm phân thức không đòi hỏi các điều kiện chặt chẽ như dùng đa thức Lagrange, chẳng hạn bao đóng của các dãy điểm nội suy không cần nằm hẳn trong đĩa đơn vị. Trong “Recovery of pH -functions”, Totik dùng hàm phân thức để xấp xỉ hàm cần tìm, nhưng không đưa ra công thức cụ thể. Và tác giả cũng không trình bày cách đánh giá sai số trong phép xấp xỉ. Vấn đề chúng tôi quan tâm là tính sai số của phép xấp xỉ và tính thứ nguyên chỉnh hóa trong phương pháp chặt cụt các đa thức Lagrange. Một số kết quả bằng số cũng được thực hiện để minh họa cho phương pháp. Nội dung của luận án gồm có phần mở đầu, chương kiến thức chuẩn bị (chương 1), phần chính của luận án được trình bày trong bốn chương (chương 2-5) tương ứng với bốn bài toán mà chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu dưới đây, phần kết luận, danh mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các bài toán được trình bày trong luận án, các kết quả trước đó và tóm tắt nội dung chính của các chương trong luận án. Chương 1 giới thiệu và nhắc lại một số kiến thức, các ký hiệu, các không gian hàm được sử dụng trong luận án. Chương 2 (Bài toán thứ nhất) giới thiệu bài toán Khôi phục hàm giải tích bằng các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Kết quả của chương này lấy từ bài báo [60] của chúng tôi. Nội dung của chương gồm hai phần chính: thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và đưa ra kết quả của sự chỉnh hóa. Cho U là một đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức. Chúng tôi sẽ khôi phục một hàm f trong không gian Hardy )U(H 2 từ các giá trị   mnf z , với   mnz ( m N; 1 n m )   là một hệ thống điểm trong U . Như đã phân tích, đây là một bài toán không chỉnh. Hàm f được xấp xỉ bởi các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Cụ thể, ta xét bài toán khôi phục hàm f trong không gian )(2 UH sao cho    m mn nf ( z )  )mn1;Nm(  , (2.1) với  )(mn là một tập các số phức bị chặn. Bài toán (2.1) đã được đề cập trong nhiều công trình mà bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [20, 22, 39, 63]. Hàm f chưa biết đã được xấp xỉ bởi các đa thức (đặc biệt là các đa thức Lagrange (xem [20, 63] ) và bởi các hàm hữu tỉ (xem [39, 57, 63] ). Như đã phân tích, tính ổn định của các thuật toán xấp xỉ này đã không được đề cập trong các công trình ấy. Một cách vắn tắt, chúng tôi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1) dựa trên việc xấp xỉ (trong )(2 UH ) hàm f bởi các đa thức ( m ) k ( m ) ( m ) ( m ) m k 1 2 m 0 k ( m 1 ) L ( v )( z ) l z (0 1; v ( , ,..., ))             (2.2) với )m(kl là hệ số của kz trong khai triển của đa thức Lagrange )v(Lm có bậc 1m  , thỏa: )mk1()z)(v(L )m(k)m(km   . Đa thức )v(Lm được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt. Ta chú ý rằng nếu 1 thì )v(Lm chính là đa thức Lagrange. Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì cách tiếp cận trong chương này là mới. Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt )v(L 2/1m được dùng để xấp xỉ hàm f . Ở đây, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của )v(Lm với  nằm trong một khoảng mở. Cụ thể chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng có một 0 trong  1,0 sao cho f)v(Lm  trong )U(H 2 với 00    , và kết quả sẽ không đúng nếu 0 1   . Chương 3 (Bài toán thứ hai) trình bày vấn đề chỉnh hóa một bài toán nhiệt ngược rời rạc bằng các hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt. Chương này là mở rộng của bài báo [41]. Cho  t,xuu  biểu diễn sự phân phối nhiệt độ thỏa phương trình sau đây   t,x0uut  R  1,0 . (3.1) Bài toán nhiệt ngược là tìm nhiệt độ ban đầu  0,xu từ nhiệt độ cuối  T,xu . Để cho đơn giản ta giả sử 1T  . Đây là bài toán không chỉnh (xem [10]) và đã được nghiên cứu từ lâu. Bài toán đã được xem xét bởi nhiều tác giả với nhiều cách tiếp cận khác nhau. Bài toán đã được xem xét kỹ lưỡng bởi phương pháp nửa nhóm kết hợp với phương pháp quasi – reversibility và phương pháp quasi – boundary value (xem [6, 3, 14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]). Dùng hàm Green ta chuyển phương trình nhiệt tới phương trình sau            de0,u t2 1t,xu t4 x 2 x R , t > 0. Do đó           1,x2ude0,2u1 2x   . Với dạng này ta có thể xem xét bài toán nhiệt ngược như bài toán tích chập Gauss ngược ( hoặc phép biến đổi Weierstrass) để tìm  0,x2u từ ảnh  1,x2u của nó. Nhiều công thức biến đổi ngược của phép biến đổi Gauss đã được cho trong [36, 48, 49]. Trong [49] , dùng lý thuyết reproducing kernel các tác giả đã đưa ra các công thức giải tích ngược tối ưu trong trường hợp cụ thể. Trong các tài liệu sau này thì các tác giả đã nghiên cứu trường hợp dữ liệu trong 2L không chính xác và đưa ra một số ước lượng sai số cụ thể. Gần đây nhất, trong [36] các tác giả đã sử dụng không gian Paley – Wiener và xấp xỉ sinc để thiết lập một công thức giải tích ngược cho phép biến đổi Gauss mà nó rất hiệu quả khi được thực hiện trên máy tính. Với [17,67] thì phép biến đổi ngược Weierstrass cho các hàm tổng quát đã được nghiên cứu. Trong thực hành, ta chỉ lấy nhiệt độ được đo tại một tập điểm rời rạc. Nghĩa là   jj 1,xu  . (3.2) Do đó bài toán tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ những giá trị nhiệt độ cuối, rời rạc là cần thiết. Bài toán trong trường hợp này là không chỉnh. Vì vậy ta cần chỉnh hoá bài toán. Theo hiểu biết của chúng tôi thì các tài liệu về hướng này là rất hiếm. Trong [41], chúng tôi dùng đa thức Legendre được dịch chuyển (shifted Legendre) để chỉnh hoá một dạng rời rạc của bài toán nhiệt ngược trên mặt phẳng. Tuy nhiên giả thiết rằng nhiệt độ  y,xu có bậc    y,x22 yxe  (   , lim , x y x y   ) là quá nghiêm ngặt. Ở chương này, điều kiện trên được loại bỏ hoàn toàn. Trong phần cuối chương, một số kết quả tính số cũng được trình bày. Chương 4 (Bài toán thứ ba) chúng tôi xét bài toán khôi phục hàm  ,0:f R. thỏa phương trình L     j 0 xp j dxxfepf j     với   ...,3,2,1j,,0p j  Bài toán này đã được trình bày trong bài báo [34]. Trong chương này chúng tôi sẽ chuyển bài toán tới một bài toán nội suy hàm giải tích trong không gian Hardy của đĩa đơn vị và đưa ra một kết quả về tính duy nhất. Sau đó dùng đa thức Laguerre và hệ số của đa thức Lagrange để xấp xỉ hàm f . Chúng tôi sẽ đưa ra hai kết quả chỉnh hóa trong các trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu bị nhiễu. Mặc dù phép biến đổi Laplace ngược đã được nghiên cứu trong nhiều tài liệu [4, 7, 8, 12, 52, 53, 65], nhưng các tài liệu tập trung vào bài toán với dữ liệu rời rạc là hiếm thấy. Vì L  pf là giải tích nên nếu L  pf được biết trên một tập con đếm được của    pRe và tập con đó có một điểm tụ thì L  pf được xác định trên toàn bộ tập  pRe . Một cách tổng quát thì một tập hợp dữ liệu rời rạc đếm được là đủ cho việc xây dựng một hàm xấp xỉ của f . Đó là một bài toán moment. Trong [38], các tác giả nêu một số định lý về tính ổn định của phép biến đổi Laplace ngược. Với việc xây dựng một nghiệm xấp xỉ của bài toán, ta lưu ý rằng dãy các hàm số  xp je là độc lập tuyến tính và hơn nữa không gian vector sinh ra từ dãy hàm đó là trù mật trong  ,0L2 . Phương pháp chặt cụt khai triển trong [8] (mục 2.1) đã sử dụng tổ hợp tuyến tính của các hàm này và chúng tôi đề nghị độc giả tham khảo tài liệu này để biết thêm chi tiết. Với [18, 29], nhóm chúng tôi chuyển bài toán ban đầu thành một bài toán moment đi tìm hàm f trong  1,0L2 và sau đó dùng đa thức Muntz để xây dựng một xấp xỉ cho f . Tuy nhiên trong thực tế, việc tính toán các đa thức Muntz không dễ. Do đó chúng tôi đã sử dụng một cách khai triển khác theo các đa thức Laguerre để chỉnh hoá bài toán. Điều này làm dễ dàng cho việc tính toán vì các đa thức Laguerre là các hàm thông dụng mà các phần mềm tính toán đều có. Chương 5 (Bài toán thứ tư) trình bày sự chỉnh hóa một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình Parabolic. Một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình parabolic là tìm một hàm u thỏa fAuut  từ dữ liệu Cauchy của nó được cho trên một phần biên ngoài   , với là một miền của nR , A là một toán tử elliptic và u là một hàm được định nghĩa trên  T,0Q   . Bài toán còn được gọi là bài toán Cauchy non-analytic cho các phương trình parabolic. Một phiên bản khác của bài toán có tên là bài toán parabolic với dữ liệu bên trong, hàm u được khôi phục từ nhiệt độ được cho trên một tập con các điểm trong của  . Bài toán được mô hình hoá từ việc tìm sự phân bố nhiệt độ của vật thể  có một phần (hay toàn bộ) biên ngoài  là không thể đo đạc được. Nếu nguồn nhiệt f triệt tiêu thì ta nói bài toán là thuần nhất. Như ta đã biết bài toán là không chỉnh. Trong [26], Holmgren đã nghiên cứu bài toán thuần nhất  0f  trong trường hợp  1,0 . Tác giả đã đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán. Với [31, ch.5], các tác giả đã dùng phương pháp quasi-reversibility để chỉnh hoá một bài toán thuần nhất. Tuy nhiên họ không đưa ra sự ước lượng sai số và việc chọn tường minh thứ nguyên chỉnh hóa. Trong [24], các tác giả xem xét bài toán thuần nhất trong trường hợp   ,0 với   00,xu  . Họ dùng phép biến đổi Fourier để đưa ra một công thức tường minh về nghiệm của bài toán, từ đó ta có thể dùng phương pháp mollification (xem [23]) để chỉnh hóa bài toán. Gần đây (xem [65]), các tác giả đã dùng phương pháp chỉnh hoá Fourier để chỉnh hóa bài toán trong một phần tư mặt phẳng. Trong thực hành, dữ liệu được đo chỉ trên một tập điểm rời rạc của thời gian  jt . Do đó bài toán khôi phục nhiệt độ  t,xu từ dữ liệu rời rạc là có ý nghĩa. Trong chương này chúng tôi sẽ xem xét bài toán không thuần nhất về việc tìm nhiệt độ  t,xu được định nghĩa trên      2,0,0T,0  từ phân bố nhiệt  jt,0u đã cho tại 0x  và một tập đếm được các thời điểm jt khác nhau. Dữ liệu ban đầu  0,xu trong bài toán của chúng tôi là chưa biết, nên bài toán được xem như là sự kết hợp của bài toán Cauchy theo biến không gian và bài toán nhiệt ngược. Vì nhiệt độ sẽ được xác định nếu tìm được  0,xu nên chúng tôi tập trung vào bài toán khôi phục dữ liệu ban đầu    0,xux  . Bài toán là không chỉnh. Chúng tôi dùng phương pháp hàm Green để chuyển hệ thống trên thành bài toán moment dạng phương trình tích phân. Sau đó dùng đa thức Laguerre, chúng tôi đưa bài toán moment về bài toán tìm một hàm giải tích được định nghĩa trên đĩa đơn vị của mặt phẳng phức. Sau đó phương pháp dùng hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt sẽ được áp dụng. Các kết quả trên của luận án đã được công bố trong [34, 41, 60, 61, 62]. CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa Chúng ta xét phương trình yAx  (1.0) với A là một toán tử liên tục (không nhất thiết là tuyến tính) từ một không gian Banach X vào một không gian Banach Y và Xx được tìm từ y đã cho. 1.1.1. Bài toán chỉnh và không chỉnh Chúng ta nói phương trình (1.0) biểu diễn một bài toán chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu toán tử A có một toán tử ngược liên tục từ Y vào X, với X và Y là các không gian Banach. Nói cách khác chúng ta đòi hỏi rằng  với bất kỳ Yy có nhiều nhất một Xx thỏa (1.0) (tính duy nhất nghiệm). (1.1.1.1)  với bất kỳ Yy tồn tại một nghiệm Xx thỏa (1.0) (sự tồn tại nghiệm). (1.1.1.2)  0*yAyA X 11   khi 0yy Y *  (tính ổn định nghiệm). (1.1.1.3) Nếu một trong các điều kiện (1.1.1.1) – (1.1.1.3) không thỏa thì bài toán (1.0) được gọi là không chỉnh (theo nghĩa Hadamard). 1.1.2. Sự chỉnh hóa Ý tưởng cơ bản trong việc giải (1.0) là dùng sự chỉnh hóa, nghĩa là thay phương trình này bởi một phương trình “gần” với nó bao gồm cả một tham số nhỏ  để ta có thể giải phương trình đã thay đổi một cách ổn định và nghiệm của nó là gần với nghiệm của phương trình (1.0) ban đầu khi  là nhỏ. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X và Y là các tập đã cho trong bài toán (1.0). Một họ các toán tử tuyến tính, liên tục R từ Y vào X được gọi là một chỉnh hóa đối với phương trình (1.0) nếu R thỏa điều kiện lim , 0 R Av v v X    . Số dương  được gọi là tham số chỉnh hóa. Nếu trong định nghĩa 1.1.2, R là một dãy đếm được các toán tử thì ta có thể lấy các số tự nhiên n làm tham số chỉnh hóa và điều kiện trên trở thành lim nn R Av v  . 1.2. Đa thức Lagrange - Biểu diễn Hermite 1.2.1 Hàm giải tích Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f là một hàm phức xác định tại 0z và lân cận của nó. Nếu giới hạn    lim 0 0 z z o f z f z z z   tồn tại, ký hiệu  0' zf thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của f tại z0. Định nghĩa 1.2.2. Nếu  0' zf tồn tại với mọi 0z thì ta nói f là giải tích trong  . Lớp tất cả các hàm giải tích trong  được ký hiệu là  H . Định lý 1.2.1. (Identity theorem) Giả sử f là hàm giải tích trên miền  và  nz là một dãy các điểm đôi một khác nhau, hội tụ đến điểm 0z . Nếu   0zf n  với mọi n N thì 0f  trên  . Định lý 1.2.2. (Maximum modulus theorem) Giả sử  là một miền,  Hf  và   r,aD . Khi đó     ireafmaxaf  . (*) Dấu bằng xảy ra trong (*) nếu và chỉ nếu f là hằng số trong  . f không có cực trị địa phương tại điểm bất kỳ trong  , trừ khi f là một hằng số. 1.2.2. Đa thức Lagrange. Ký hiệu K là tập các số thực R hay các số phức C và  RPn (hay )( CPn ) là tập tất cả các đa thức bậc 1 n . Cho n điểm phân biệt it K và n giá trị i K, ni1  đã cho. Ta tìm một đa thức nn Pp  (K) thoả:   ni1,tp iin   . (1.2.2.1) Để làm điều đó, ta giới thiệu các đa thức il :           t; n ij 1j ji j n1ii tt tt t;t,.....,tltl K , i =1, 2, , n. (1.2.2.2) Rõ ràng ni Pl  (K) , i = 1, 2, , n và       .ij0 ,ij1 tl ji (1.2.2.3) Các đa thức  n...,,2,1ili  được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản. Chúng có thể được viết dưới dạng khác. Ta giới thiệu đa thức         n 1j jn1 ttt;t,...,tt  . (1.2.2.4) Khi đó     i n ij 1j j tt ttt    ,      lim i ' i j it t ij 1 j i t t t t t t      . nếu nếu Điều đó cho phép ta viết      ii'i ttt ttl    . (1.2.2.5) Dễ thấy rằng đa thức       n 1i iin tltp  (1.2.2.6) là đa thức duy nh