Luận văn Các bất biến của một lớp con các đại số lie giải được 4 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Trang CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 4 CHIỀU Chuyên ngành : Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Anh Vũ. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, vì Thầy đã tạo cơ hội cho tôi làm quen với lý thuyết về nhóm Lie và đại số Lie, hiểu được thuật toán tính các bất biến của đại số Lie và từ đó tự giải quyết bài toán của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ, Bến Cầu, Tây Ninh cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008 Tác giả Lê Thị Thu Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut(V) : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên không gian vectơ V. GL(V) : Giống hoàn toàn như Aut(V). exp : Ánh xạ mũ exp. G : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G . GL(n, ) : Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực. Lie(G) : Đại số Lie của nhóm Lie G. Mat(n, ) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực. : Trường số thực. : Trường số phức. TeG : Không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e.   *C G : Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên *G . Aut( G ) : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G . End(V) : Không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V. Der( G ) : Tập hợp các toán tử vi phân trên G . F : Quỹ đạo Kirillov qua F. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số Lie thực với số chiều thấp có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Toán học và Vật lí học. Cụ thể như sự phân loại các lớp đẳng cấu của các đại số Lie với số chiều thấp là nền tảng và cơ sở ban đầu để hình thành một phương pháp tính các bất biến của đại số Lie bằng cách thay đổi hệ tọa độ. Lý thuyết biểu diễn là một ngành thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô. Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là một hướng nghiên cứu lớn trong lĩnh vực này. Để giải quyết bài toán này, năm 1962, A. A. Kirillov (xem [Ki]) phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nó nhanh chóng trở thành phương pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn bất khả quy unitar của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ K – quỹ đạo nguyên của nó. Trong khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được nghiên cứu cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như L. Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp,. Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo là các K – quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp. Do đó, việc nghiên cứu K – biểu diễn của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để. Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K – quỹ đạo. Đó là lớp các MD – nhóm và MD – đại số. Một nhóm Lie thực giải được mà các K – quỹ đạo của nó hoặc không chiều hoặc chiều cực đại được gọi là MD – nhóm. Khi số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm còn được gọi là MD – nhóm. Đại số Lie của một MD – nhóm (tương ứng, MD – nhóm) được gọi là MD – đại số (tương ứng, MD – đại số). Năm 1982, Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp các MD – đại số. Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n – chiều n (n 1) , đại số Lie 2 – chiều aff và đại số Lie 4 – chiều aff . Việc phân loại lớp các MD – đại số đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD – nhóm và MD – đại số theo số chiều. Tức là xét các lớp con MDn – nhóm (và MDn – đại số) gồm các MD – nhóm (và MD – đại số) n – chiều. Vì tất cả các đại số Lie dưới 4 – chiều đã được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn – nhóm và MDn – đại số với n 4 . Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê toàn bộ lớp các MD4 – đại số. Đến năm 1990, trong các bài báo và luận án Tiến sĩ của mình, Lê Anh Vũ (xem [Vu1], [Vu2], [Vu3]) đã phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4 – đại số này. Hiện tại, lớp các MD5 – đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ. Tuy nhiên, lớp con các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất giao hoán đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006. Mới đây, trong bài báo: “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, arXiv: math–ph/0602046 v2 11 Apr 2006, các tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã giới thiệu một phương pháp mới cho việc tính toán các toán tử bất biến (toán tử Casimir tổng quát) của đại số Lie – thuật toán tính các toán tử Casimir tổng quát của đại số Lie. Thuật toán này sử dụng phương pháp thay đổi tọa độ của Cartan và kiến thức về nhóm của phép tự đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie. Đặc biệt, thuật toán này được ứng dụng để tính toán các bất biến của đại số Lie thực số chiều thấp. Khác với các phương pháp thông thường là nó không dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thay bằng việc giải hệ phương trình đại số, tức là chúng ta chỉ làm việc trong lĩnh vực đại số thuần túy – đây là thuận lợi chủ yếu của phương pháp này. Hơn nữa, việc tính toán đơn giản hơn hay không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở của đại số Lie. Hiện tại vẫn chưa có ai giải quyết vấn đề tính các bất biến của các MD– đại số. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về các bất biến của MD–đại số. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại các khái niệm về đại số Lie, lớp MD–đại số Lie. Đồng thời trên cơ sở thuật toán của các tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã đưa ra trong bài báo “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, chúng tôi sẽ cố gắng tính các bất biến của vài MD4–đại số. Bởi vậy, đề tài của chúng tôi mang tên: “Các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 4 chiều” 2. Mục đích Dùng thuật toán do các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đưa ra để nghiên cứu các bất biến của các đại số Lie. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Lớp con các MD4–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán và các bất biến của chúng. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tính được tường minh cơ sở của các bất biến của một lớp con các MD4–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán. Và chúng ta cũng có thể áp dụng thuật toán ở trên để tính toán các bất biến của các MD5–đại số, MD6–đại số và một vài MDn (5 < n) đặc biệt. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhóm Lie, và lớp các MD – nhóm, MD – đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét. Chương 2: Giới thiệu một thuật toán được các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu để tính toán các bất biến của các đại số Lie. Chương 3: Áp dụng thuật toán trên để tính các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 4 chiều. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài. Các nghiên cứu đạt được dựa trên việc tính toán thuần tuý đại số và sự trợ giúp của máy tính. Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Chương 1. ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD – nhóm và lớp các MD – đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản về đại số Lie (thực) và nhóm Lie. Một số mệnh đề và định lý được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Ha-Sch], [Ki]. 1.1. Đại số Lie 1.1.1. Định nghĩa Cho K là trường và G là không gian vectơ trên K. Ta bảo G là một đại số Lie trên K hay K – đại số Lie nếu trên G đã cho một phép nhân mà gọi là móc Lie:  .,. :  G G G    x, y x, y (tích Lie hay móc Lie của x và y) sao cho các tiên đề sau đây thoả mãn: (L1) Móc Lie là hoán tử song tuyến tính. Tức là:             x y,z x,z y,z , x, y z x, y x,z ; x, y, z , K                  G, (L2) Móc Lie phản xứng. Tức là: [x,x] = 0, x G (L3) Móc Lie thoả mãn đồng nhất thức Jacôbi. Tức là:        x, y ,z y,z ,x z,x , y 0 x, y, z               G Nhận xét Nếu K là trường có đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với      2L : x, y y,x , x, y    G Nếu [x,y] = 0, x, y G thì ta bảo móc Lie tầm thường và G là đại số Lie giao hoán. Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G . Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở  1 2, ,..., ne e e đã chọn trước trên G như sau: 1 , , 1 i<j n, n k k i j ij k ij k e e c e c K          Các hệ số kijc được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie G . Khi K là trường số thực thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực. 1.1.2. Ví dụ a. Không gian n với móc Lie  x, y 0 (tầm thường) hiển nhiên là một đại số Lie. Và được gọi là đại số Lie thực giao hoán n – chiều. b. Không gian 3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3 – chiều. c. Cho A là một đại số (kết hợp) trên trường K. Với mọi cặp  x, y A , ta định nghĩa  x, y xy yx  , khi đó A trở thành một đại số Lie. Nói riêng ta có đại số Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie với móc Lie    , , A B AB BA A, B Mat n,K    . d. Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K – không gian vectơ V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau:    , , ,f g f g g f f g End V     . e. Cho A là một đại số trên trường K. Toán tử tuyến tính : A A  được gọi là toán tử vi phân trên A nếu:      x, y x .y x. y     Kí hiệu Der(A) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A. Khi đó Der(A) trở thành một đại số trên K với phép nhân là phép hợp thành ánh xạ. Der(A) trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là :  1 2 1 2 2 1,        1.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu đại số Lie Cho 1G và 2G là hai K– đại số Lie và :f 1 2G G là một ánh xạ. Ta bảo f là một đồng cấu đại số Lie nếu: (i) f là ánh xạ K– tuyến tính. (ii) f bảo toàn móc Lie, tức là:       x, y x , y , x, yf f f     1G Nếu f còn là một song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số Lie. Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính là các đồng cấu đại số Lie. Mỗi đồng cấu đại số Lie : End(V)f 1G (End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của 1G trong không gian vectơ V, kí hiệu (f,V). Nếu dimV = n <  , khi ta cố định cơ sở nào đó của V thì ta có    : , V G1f End Mat n . Để đơn giản thì đôi khi người ta dùng thuật ngữ “biểu diễn” thay cho thuật ngữ “biểu diễn tuyến tính”. Khi f là một đơn cấu thì f được gọi là biểu diễn khớp. Định lý (Định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều. Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận. 1.1.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho G là đại số Lie. Der( G ) = {f: G  G / f là toán tử vi phân} là đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie    ad : Der End G G G xx ad ở đó adx : G G y    xad y x, y là biểu diễn tuyến tính ad của G trong chính G ( xad là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ G ). Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G . Hạt nhân của biểu diễn này là    xKer ad x ad 0  G/ chính là tâm của G . Ví dụ Xét đại số Lie 3G = với móc Lie là tích có hướng thông thường. Khi đó,     3G =v a,b,c ta có biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau: 0 0 0 v c b ad c a b a        Dễ thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói cách khác, đại số Lie 3G = với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie các trận thực phản xứng cấp 3. 1.1.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie luỹ linh Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G . Ta bảo M là đại số con của G nếu  M,M M . Ta bảo M là ideal của G nếu  ,M MG . Trong đó ký hiệu:          M,M x, y : x, y M , ,M x, y : x , y M    G G Khi M là một ideal của G thì không gian thương MG trở thành một đại số Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên như sau: M M M G G G      1 2 1 2 1 2, , : ,     g M g M g M g M g g M Cho G là K– đại số Lie. Đặt:    n n-1 n-1 n 2         , ,...,1 2 1 1G G, G G G , G G G , G        n n-1 n 2    11 2 1G G, G G G G , G G G , G, ,..., Mệnh đề a. k kG G, là các ideal dẫn xuất thứ k của G (k=1,2,3,) b. Ta có các dãy bao hàm thức sau: n n             1 2 1 2 G G G G G G G G ... ... ... ... c. Nếu dim G < + thì  n N sao cho: n n+1 n n+1 k .h k .h ... ...         G G G G G G Đại số Lie G gọi là giải được nếu  0 G , G gọi là luỹ linh nếu  0 G . Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, luỹ linh) G . Ví dụ       0 1 j<i n     ij ijnT n,K A a Mat n,K / a , (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được  1 2 n n chiều.       0 0 1 j i n      ij ijnT n,K A a Mat n,K / a , (đại số các ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie luỹ linh  1 2 n n chiều. Định lý (Định lý Lie) Cho f là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó f tương đương với biểu diễn ma trận tam giác trên, tức là    f x T n,K , x  G . Hệ quả Nếu G là đại số Lie giải được thì  1G G, G là đại số Lie luỹ linh. Định lý (Định lý Engel) Đại số Lie G là luỹ linh khi và chỉ khi với mọi Gx , adx là toán tử luỹ linh (tức là tồn tại  *n N sao cho   0nxad ). 1.2. Đa tạp vi phân và nhóm Lie 1.2.1. Đa tạp vi phân 1.2.1.1. Định nghĩa đa tạp vi phân (a) Cho M là không gian tôpô Housdorff và có cơ sở đếm được. M được gọi là một đa tạp tôpô n – chiều nếu: với mỗi x M , tồn tại lân cận mở U của x và đồng phôi n:U (U )   ( (U ) là tập mở trong n ). Khi đó:   U , là bản đồ địa phương trong lân cận của x.  Một họ các bản đồ   i i i IU ,  được gọi là một atlat của M nếu  i i IU  là một phủ mở của M.  Gom tất cả các bản đồ ta được một atlat cực đại. (b) Ta nói rằng atlat   i i i IU ,  khả vi lớp Cr (hay thuộc lớp Cr) nếu các bản đồ của atlat tương thích nhau “ một cách Cr” (ở đây r > 0). Tức là: Với mỗi cặp chỉ số i, j I sao cho i jU U  , ánh xạ:    1   j i i i j j i j. : U U U U    đều thuộc lớp Cr. (c) Hai atlat khả vi thuộc lớp Cr gọi là tương đương nhau nếu hợp của chúng vẫn là một atlat khả vi lớp Cr. Đó là một quan hệ tương đương trên tập các atlat khả vi lớp Cr. Nó định ra một sự chia lớp trên tập hợp các atlat khả vi lớp Cr trên M. Mỗi lớp tương đương như vậy gọi là một cấu trúc vi phân (hay cấu trúc khả vi) lớp Cr trên M. Định nghĩa Một cặp gồm một đa tạp tôpô n – chiều cùng với một cấu trúc vi phân lớp Cr đã cho trên M, gọi là đa tạp vi phân n – chiều lớp Cr (r > 0). M gọi là đa tạp tôpô nền của đa tạp vi phân đang xét. Nếu không sợ nhầm lẫn, đa tạp vi phân đang xét vẫn được kí hiệu là M. 1.2.1.2. Các ví dụ về đa tạp vi phân Ví dụ 1:  n ,Id là một đa tạp vi phân n – chiều, cấu trúc vi phân sinh bởi  n ,IdA = (atlat A chỉ gồm một bản đồ) gọi là cấu trúc vi phân tự nhiên. Ví dụ 2: Xét mặt cầu n – chiều:   0 1 1 1n n nS x x ,x ,...,x / x    M Ui Uj i j 1oj i  Xét:     0 1 0n n iiS x x ,x ,...,x S / x     , 0i ,n     0 1 0n n iiS x x ,x ,...,x S / x     , 0i ,n và đồng phôi:     ni : S       0 1 0 1n i nx ,x ,...,x x ,x ,...,x ,...,x atlat khả vi lớp C . Do đó nS trở thành đa tạp vi phân lớp C (n – chiều) 1.2.1.3. Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân a. Hệ toạ độ địa phương Cho M là đa tạp tôpô n – chiều,  U , là bản đồ địa phương của x. Khi đó   n:U U      1 2 nx x x ,x ,...,x  Ta thu được n hàm liên tục: ix :U   ix x x Gọi  1 2 nU ;x ,x ,...,x là hệ toạ độ địa phương xác định bởi bản đồ  U , . Đôi khi đồng nhất  U , và  1 2 nU ;x ,x ,...,x với mỗi x U ,       1 2 n nx x ,x x ,...,x x  gọi là toạ độ địa phương của x trong hệ toạ độ địa phương nêu trên. b. Hàm trên đa tạp tôpô Cho M là một đa tạp tôpô n – chiều, A =   U ,     là một atlat, xét hàm tuỳ ý f : M  , với mỗi   , xét Uf :U   Đặt  1Uf f . : U      Khi đó ta có:         1 2 x Unf x f x x ,x x ,...,x x ,       Ở đó,  1 2 nU ;x ,x ,...,x là hệ toạ độ địa phương ứng với bản đồ  U ,  , f được gọi là biểu diễn địa phương của f trong hệ toạ độ địa phương  1 2 nU ;x ,x ,...,x . Ta thường đồng nhất f với Uf  . Tức là xem Uf  là một hàm n – biến thực trên  U  . c. Ánh xạ trên các đa tạp vi phân n  1 M U f f Cho M là một đa tạp vi phân m – chiều và N là một đa tạp vi phân n – chiều. Xét ánh xạ liên tục f : M N . Với mỗi cặp bản đồ  U , trên M (ứng với hệ toạ độ địa phương  1 2 nU ;x ,x ,...,x ) và  V , (ứng với hệ toạ độ địa phương  1 2 mV ; y ,y ,..., y ) tương thích đối với f, tức là  f U V . Ta xét ánh xạ hạn chế Uf :U V cùng với ánh xạ:         1 1 2 1 2 U n m . f . : U V x ,x ,...,x y ,y ,..., y       ở đó  1 2 =j j ny f x ,x ,...,x , j 1,m  Hay là  1 1 2 mU. f . f , f ,..., f   là ánh xạ với m hàm thành phần  1 2 mf , f ,..., f : U  . 1 U. f .  gọi là biểu diễn địa phương của ánh xạ f trong cặp bản đồ     V,U , ,  tương thích với f . Các hàm thành phần 1 2 mf , f ,..., f gọi là các thành phần địa phương của f trong hệ toạ độ địa phương  1 2 nU ;x ,x ,...,x . Ta thường đồng nhất Uf và 1U. f .  . Tức là xem Uf như là ánh xạ đi từ  U vào  V với các thành phần  1 2 mf , f ,..., f : U  . d. Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân Ánh xạ f : M N được gọi là khả vi nếu với mọi cặp bản đồ    U , , V ,  tương thích