Luận văn Các không gian có độ cong hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ************* LÊ MINH HÒA Chuyên ngành: Hình học Tô Pô Mã Số: 1.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts. Nguyễn Thái Sơn THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2004 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG I: 3 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TÔ PÔ VI PHÂN & HÌNH HỌC VI PHÂN §1. Đa tạp khả vi 1.1- Đa tạp khả vi 3 1.2- Trường vectơ 5 1.3- Trường tenxơ 12 1.4- Nhóm Lie – Đại số Lie 16 §2 Không gian phân thớ 2.1- Không gian phân thớ 20 2.2- Đồng cấu phân thớ 21 §3 Liên thông 3.1- Liên thông trên không gian phân thớ 27 3.2- Dạng cong và phương trình cấu trúc 29 3.3- Liên thông tuyến tính 33 3.4- Tenxơ cong – Tenxơ xoắn 37 3.5- Liên thông Riemanian 40 3.6- Sự biểu diễn trong tọa độ địa phương 41 CHƯƠNG II: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG 45 2.1- Định lý Vitt 45 2.2- Định lý 47 2.3- Định lý 48 2.4- Định lý 50 2.5- Định lý 54 2.6- Định lý 56 2.7- Định lý (Hệ quả Killing – Hopf) 56 2.8- Định lý (Định lý Riman) 57 CHƯƠNG III: CÁC KHÔNG GIAN RIEMANIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG 59 §1. Những khảo sát đại số có liên quan 1.1- Định lý 59 1.2- Định lý 59 1.3- Định lý 60 1.4- Định lý 61 1.5- Định lý 61 §2. Độ cong thiết diện 2.1- Định lý 62 2.2- Định lý 63 2.3- Hệ quả 64 2.4- Định lý 66 §3. Các không gian Riemanian có độ cong hằng 3.1- Định lý 67 3.2- Hệ quả 74 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Hình học tô pô là một ngành học lâu đời và phát triển mạnh trong hơn nửa thế kỷ gần đây, với những kiến thức về lý thuyết đa tạp không gian phân thớ và lý thuyết liên thông. Nó đã trang bị cho chúng ta những kiến thức cơ sở để áp dụng và nghiên cứu những vấn đề cơ bản của hình học vi phân, hình học cao cấp mà chúng ta đã biết trong giáo trình đại học. Kiến thức về “độ cong” trong hình học vi phân là một kiến thức hết sức cơ bản. Tuy nhiên, trong giáo trình đại học phạm vi giới hạn chỉ là độ cong của các tập trong En hoặc Rn. Trên cơ sở đã được nghiên cứu các lý thuyết cơ bản của hình học tô pô, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Các không gian có độ cong hằng” với nội dung chủ yếu là nêu được quá trình xây dựng các không gian có độ cong hằng một cách tổng quát. Từ đó, sẽ xây dựng các không gian hằng một cách cụ thể như không gian Riemanian có độ cong hằng Mục đích nghiên cứu gồm hai nội dung chính: + Giới thiệu quá trình xây dựng các không gian có độ cong hằng tổng quát thông qua các định lý từ các khái niệm cơ bản và các định lý cơ sở. + Cụ thể hóa các không gian tổng quát bằng các không gian cụ thể “Không gian Riemanian có độ cong hằng”. Trong luận văn chỉ nghiên cứu các không gian có độ cong hằng cơ bản và quen thuộc. - 1 - Để thực hiện mục đích nghiên cứu nói trên chúng tôi nghiên cứu các lý thuyết cơ bản của hình học tô pô: lý thuyết đa tạp khả vi – Lý thuyết không gian phân thớ – Lý thuyết liên thông. Ngoài ra cần nghiên cứu thêm các kiến thức đại số có liên quan như: “Đại số Lie – Nhóm Lie” để làm nền tảng cho các nghiên cứu các không gian có độ cong hằng. Để hoàn thành được luận văn tôi đặc biệt chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn đã dành nhiều thời gian và công sức để đọc, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn. Tôi cũng thành thật cảm ơn các thầy trong tổ hình học thuộc khoa Toán đã đọc và góp ý cho luận văn. Do kiến thức của bản thân còn hạn chế, tôi nghĩ rằng trong nội dung của luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự đóng góp của thầy cô và độc giả. - 2 - CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VI PHÂN & HÌNH HỌC VI PHÂN -------------------- Nội dung chủ yếu của luận văn này là chương 2 và chương 3 trình bày việc xây dựng các không gian có độ cong hằng. Tuy nhiên để đạt được điều đó, chúng ta bắt đầu từ những khái niệm đơn giản nhưng hết sức cần thiết của Tôpô vi phân và hình học vi phân, đó là: Đa tạp khả vi, không gian phân thớ và liên thông trên các không gian phân thớ. §1 ĐA TẠP KHẢ VI 1.1- Đa tạp khả vi: 1.1.1- Đa tạp khả vi n-chiều: Một đa tạp khả vi n-chiều là một không gian Hausdorff M cùng với họ }){( Aαα,αU ∈ϕ sao cho: (a) AU ∈αα}{ là một phủ mở của M; (b) αϕ là phép đồng phôi của αU lên một tập con mở của nR ; (c) Nếu A∈βα , , thì ánh xạ )()(:. 1 βαββαααβ ϕϕϕϕ UUUU ∩→∩− là một ánh xạ khả vi lên một miền trong của nR ; (d) }){( Aαα,αU ∈ϕ là họ tối đại có ba tính chất trên. - 3 - Các tập hợp αU gọi là các lân cận tọa độ trong M. Tọa độ địa phương αϕ trên αU được cho bằng n hàm thực: αααα ϕϕϕ Uxxxx n ∈= )),(),...,(()( 1 Trong đó )(1 xαϕ là tọa độ địa phương của điểm αUx∈ Cặp ),( αα ϕU được gọi là một hệ tọa độ địa phương. Từ đây về sau ta coi các ánh xạ là khả vi lớp ∞C , tức là ánh xạ trơn và đa tạp khả vi lớp ∞C , gọi là đa tạp trơn. 1.1.2- Ánh xạ khả vi: Ánh xạ liên tục ': MMf → ) giữa các đa tạp gọi là ánh xạ khả vi nếu với mỗi ,( αα ϕU trong M và mỗi ),( ββ ψV trong M’, sao cho βα VUf ⊂)( thì ánh xạ: )()(:1 ββαααβ ψϕϕψ VUf →−DD là ánh xạ khả vi. Nếu và là các hệ tọa độ địa phương ứng với nuu ,...,1 nvv ,...,1 αU và thì βV f được biểu diễn thành các hàm khả vi: ),...,(),...,,...,( 1111 nmmn uufvuufv == Ánh xạ khả vi mà có ánh xạ ngược khả vi gọi là một vi phôi. Dễ thấy rằng tích các ánh xạ khả vi là một ánh xạ khả vi. - 4 - Cho ': MMf → là một ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp: khi M là một khoảng mở trong R thì f gọi là một đường cong trơn (khả vi) trong M’. Khi M là tập con mở của đa tạp M’, còn M’ là đường thẳng thực R. thì f gọi là hàm thực khả vi trên 'MM ⊂ . 1.2- Trường véctơ: 1.2.1- Véctơ tiếp xúc với M tại một điểm Mp∈ ; không gian tiếp xúc: Giả sử )( pτ là đại số các hàm khả vi xác định trong lân cận của điểm p, x(t) là đường cong trơn trên M, sao cho ptx o =)( . Véc tơ tiếp xúc với đường cong x(t) tại p là ánh xạ X: Rp →)(τ được xác định như sau: of tdttxdfX )/))(((= Nói cách khác là đạo hàm của fX f theo hướng của đường cong )(tX khi 0tt = . Véc tơ X thỏa mãn hai điều kiện: (1) X là ánh xạ tuyến tính từ )( pτ vào R (2) ))(()()()( XgpfpgXffgX += với )(, pgf τ∈ Tập hợp các ánh xạ từ )( pτ và R, thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) tạo thành một không gian véctơ thực. Thật vậy, trong hệ tọa độ địa phương của lân cận U của điểm p, với mỗi j thì là một ánh xạ từ nuu ,...,1 )(pp ju )/( ∂∂ τ và R thỏa mãn (1) và - 5 - (2). Ta sẽ chứng tỏ rằng tập hợp các véctơ tại p là một không gian véctơ với cơ sở là . p n p uu )/(,...,)/( 1 ∂∂∂∂ Giả sử đã cho đường cong bất kỳ x(t) và )( 0txp = và giả sử là phương trình của nó trong hệ tọa độ địa phương . Khi đó: njtj ,...,1),( = nu 0 /()/)(( ftdttxdf xu j = u ,...,1 0)/)(.()( tdttdxu j p j∑ ∂= p n p u )/(,...,) 1 ∂∂ jtpu jjj ,...,1,)( =+= ξ pu )/( 1∂∂ 0)/( =∂∂ j p jj uξ j kj uuξ∑ ∂∂= /(0 ∂ Chứng tỏ rằng mỗi véctơ tại p là tổ hợp tuyến tính của . u/( ∂∂ Ngược lại, nếu đã cho tổ hợp tuyến tính , thì ta xét đường cong được xác định như sau: ∑ ∂∂ j p jj u )/(ξ nu Khi đó vectơ tiếp xúc với đường cong đó tại t=0 là ∑ ∂∂ j p jj u )/(ξ Để chứng minh độc lập tuyến tính, ta giả sử: p nu )/(,..., ∂∂ ∑ Khi đó: với k=1,...,n kp j ξ=) - 6 - Điều này suy ra độc lập tuyến tính. })/{( p ju∂∂ Tập hợp các vectơ tiếp xúc tại Mp∈ ta ký hiệu là )(MTp , gọi là không gian tiếp xúc của đa tạp M tại p. Bộ n số thực gọi là bộ thành phần của vectơ trong tọa độ địa phương . nξξ ,...,1 ∑ ∂∂ j p jj u )/(ξ nuu ,...,1 1.2.2- Trường vectơ trên đa tạp: Trường vectơ X trên tập mở MU ⊂ là ánh xạ X: )(MTU p→ , đặt tương ứng mỗi điểm Up∈ với vectơ )(MTX pp ∈ . Nếu f là hàm khả vi trên M, ta định nghĩa hàm Xf trên M như sau: fXpXf p=))(( Trường vectơ X được gọi là khả vi nếu Xf là khả vi đối với mỗi hàm khả vi f . Trong tọa độ địa phương trường vectơ X được biểu diễn là: nuu ,...,1 ∑ ∂∂= j jj uX )/(ξ trong đó là các hàm xác định trong lân cận tọa độ gọi là thành phần của X đối với . jξ u1 nu,..., Như vậy X khả vi khi và chỉ khi khả vi với mọi j. jξ - 7 - Khi X là ánh xạ hằng thì trường vectơ X gọi là trường vec tơ song song. 1.2.3- Trường mục tiêu: Trường mục tiêu trên tập hợp mở MU ⊂ là hệ gồm n trường vectơ },...,{ 1 nXX trên U sao cho với mỗi Up∈ thì hệ là một cơ sở của },...,{ 1 npp XX )(MTp . Nếu với mọi Up∈ mà ijjpip XX δ=. thì }{ iX được gọi là trường mục tiêu trực chuẩn. Nếu với mọi i mà trường vectơ iX trên U là song song thì }{ iX gọi là trường mục tiêu song song. Trong trường hợp này, mỗi trường vectơ X trên U được biểu diễn duy nhất dưới dạng: ∑= = n i i iXX 1 ϕ , là các hàm khả vi. iϕ 1.2.4- Đạo hàm của trường vectơ dọc theo một trường vectơ. Giả sử )(Mχ là tập hợp các trường vectơ khả vi trên M, thì nó thành lập một không gian vectơ thực đối với phép cộng tự nhiên và phép nhân với một vô hướng. Nếu )(, MYX χ∈ , ta định nghĩa các dấu móc [X,Y] là ánh xạ từ vành các hàm trên M vào chính nó như sau: )()(],[ XfYYfXfYX −= Khi đó [X,Y] cũng là một trường vectơ. - 8 - Thật vậy, trong tọa độ địa phương ta có: nuu ,...,1 ∑ ∂∂∑ =∂∂= j jj j jj uYuX )/(),/( μξ Khi đó: ∑ ∂∂∂∂−∂∂= kj jkjkkjk ufuufYX , )/))(/()/((],[ ξμμξ Điều đó có nghĩa là [X,Y] là một trường vectơ trên M, mà thành phần đối với là: nuu ,...,1 ∑ ∂∂−∂∂ k kjkkjk uu ))/()/(( ξμμξ , j=1,...,n Ở đây ta có thể xét )(Mχ là modul trên đại số )(Mτ của các hàm khả vi trên M như sau: Nếu f là hàm thuộc )(Mτ , còn X là trường vectơ trên M, thì fX là trường vectơ trên M, được xác định như sau: pp XpffX )()( = với Mp∈ Khi đó XYfgYXgfYXfggYfX )()(],[],[ −+= , với )(, Mgf τ∈ và )(, MYX χ∈ . Đạo hàm thuận biến trên đa tạp M là ánh xạ YYXMMM X∇→× 6),(),()()( χχχ đặt tương ứng với cặp trường vectơ (X,Y). Với trường vectơ YX∇ thỏa mãn 4 điều kiện như sau: (1) ZYZY XXX ∇+∇=+∇ )( - 9 - (2) ZZZ YXYX ∇+∇=∇ + )( (3) YfY XfX ∇=∇ . với mỗi )(Mf τ∈ (4) YXfYffY XX )(.)( +∇=∇ với mỗi )(Mf τ∈ Ở đây ta gọi YX∇ là đạo hàm của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X. Giả sử ': MMf → là ánh xạ khả vi của các đa tạp khả vi, và giả sử với Mp∈ , x là đường cong trơn trên M với góc px =)0( . Khi đó xf . đường cong trơn trong M’ với gốc )(p)0)(.( fxf = , và ta định nghĩa ))0('(* xf là )0()'.( xf . Giả sử y là đường cong trơn khác trong M với gốc py =)0( và giả sử )0(')0(' yx = . Khi đó, nếu biểu diễn f,x,y qua các hàm của tọa độ địa phương và theo quy tắc phép tính vi phân của hàm hợp, ta có: ))0('())0('( ** yfxf = Điều đó chứng tỏ, ánh xạ )'()(: )(* MTMTf pfp → giữa các không gian tiếp xúc, hoàn toàn xác định là ánh xạ tuyến tính. Ánh xạ *f được đặt trưng như sau: Với mọi )(MTX p∈ và mọi hàm khả vi tại h ')( Mpf ∈ , ta có ).()( * fhXhXf = Hàm fh. khả vi tại p được xác định bởi đẳng thức: - 10 - ))(())(.( xfhxfh = Nếu M’ là không gian vectơ thì *f trùng với vi phân . df Nếu X là trường vectơ trên tập mở MU ∈ , và trên ')( MUf ∈ đã cho trường vectơ Y, sao cho )( pf* p YXf = với mọi Uqp ∈, và )()( qfpf = , ta có: qp XfXf ** = Ngược lại, nếu đẳng thức trên đúng thì ta xác định được trường vectơ Y trên )(Uf bởi đẳng thức ppf XfY *)( = Ta nói rằng ánh xạ ': MMf → có hạng r tại Mp∈ , nếu rMTf p =))((dim * . Nếu hạng của f tại p bằng Mn dim= , thì *f là một đơn ánh và 'dimdim MM ≤ . Nếu hạng của f tại p bằng 'dim' Mn = , thì *f là một toàn ánh và 'dimdim MM ≥ . Ánh xạ ': MMf → được gọi là phép nhúng nếu *f là đơn ánh đối với Mp∈ , còn )(Mf là đa tạp con được nhúng trong M’. Nếu phép nhúng f là đơn ánh thì f được gọi là phép lồng từ M vào M’ còn )(Mf là đa tạp con được lồng trong M’. Vậy một đa tạp con của M’ có thể là tập con đóng hoặc mở của M’. Tất cả các tập con mở của M’ đều là tạp con của M’. 1.2.1- Thí dụ: - 11 - Giả sử f là hàm được xác định trên đa tạp M’, M là tập hợp các điểm 'Mp∈ , sao cho 0)( =pf . Nếu 0)( ≠pdf tại mỗi Mp∈ thì có thể đưa cấu trúc đa tạp khả vi vào M, sao cho M là đa tạp con đóng trong M’, và gọi là siêu mặt tiếp xúc được xác định bởi phương trình f = 0. Tổng quát hơn nếu M là tập hợp các hàm không rff ,...,1 )'M xác định trên M', nếu số chiều k của không gian con của T được định ra bởi (*p prp dfdf )(,...,)( 1 là không đổi, trong lân cận tập hợp 'MM ⊂ , thì M là đa tạp con đóng trong M' với số chiều là là không gian vectơ đối ngẫu của không gian tiếp xúc )'M(. *Tk p )'(MTp . 1.3- Trường tenxơ: 1.3.1- Tích tenxơ: Tích tenxơ VU ⊗ của hai không gian vectơ hữu hạn chiều U và V trên R được các định như sau: Giả sử M(U,V) là một không gian vectơ có tập hợp U x V trên R được xác định như sau: )',(),()',(),,'(),()'( vuvuvvuvuvuvuu −−+−−+ ),(),(),,(),( vurrvuvurvru −− trong đó Uuu ∈', và Vvv ', ∈ , Rr∈ . Ta đặt NVUMVU /),(=⊕ - 12 - Mỗi cặp (u,v) được xem là phần tử của M(U,V), ảnh của nó với phép toán là phép chiếu tự nhiên M(U,V)Ỉ VU ⊗ gọi là vu⊗ Ánh xạ VUVU ⊗→×:ϕ , vuvu ⊗=),(ϕ , với VUvu ×∈),( được gọi là ánh xạ song thuyến tính chính tắc. Với mỗi số nguyên dương r ta gọi rT = V⊗V⊗..⊗V (r tích tenxơ) là không gian vectơ phản biến bậc r. Mỗi phần tử của rT gọi là một tenxơ phản biến bậc r. Khi r=1 thì T1 là V. T0 ta xem chính là trường cơ sở của R. Tương tự TS=V*⊗V*⊗⊗V* (s lần tích tenxơ), V* là không gian vectơ đối ngẫu của không gian vectơ V, gọi là không gian tecxơ hiệp biến (thuận biến) bậc s. các phần tử của nó gọi là tenxơ hiệp biến bậc s. Ta cũng có T1=V* và T0 = R. Giả sử e1,,en là một cơ sở trong V và cơ sở đối ngẫu e1,,en trong V*. thì },...,1;...{ 11 niiee riri ≤≤⊗⊗ là cơ sở trong rT . Mỗi tenxơ phản biến bậc r, K biểu diễn duy nhất là tổ hợp tuyến tính sau: ∑ ⊗⊗= rí r r ii ii ii eeKK ,..., ... ... 1 1 Trong đó riiK ...1 là các thành phần của K đối với cơ sở e1,,en trong V. Tương tự mỗi tenxơ thuận biến bậc s, L được biểu diễn: ∑ ⊗⊗= s s s jj jj jj eeLL ,..., ,..., 1 1 1 ... - 13 - Trong đó là các thành phần của L đối với cơ sở e1,,en trong V*. sjj L ,...,1 Không gian tenxơ kiểu (r,s) hoặc là không gian tenxơ phản biến bậc r và hiệp biến bậc s là tích tenxơ s rr s TTVVVVT ⊗=⊗⊗⊗⊗⊗= *...*... (gồm r nhân tử V và s nhân tử V*). Phần tử của nó gọi là tenxơ kiểu (r,s) hay tenxơ phản biến bậc r và hiệp biến bậc s. Trong cơ sở e1,,en của V và e1,,en là cơ sở đối ngẫu của nó trong V*, thì tenxơ K kiểu (r,s) là: ∑ ⊗⊗⊗⊗⊗= jrj iri jrj iri iri jrj eeeekk ...1 ...1 1 1 ...1 ...1 ...... Trong đó là thành phần của k đối với cơ sở e1,,en. iri jrjk ...1 ...1 1.3.2- Trường tenxơ: Giả sử Tx = Tx (M) là không gian tiếp xúc với đa tạp M tại x và T(x) là đại số tenxơ trên Tx: ∑= )()( xTxT rs , trong đó )(xT rs là các không gian tenxơ kiểu (r,s) trên Tx. Trường tenxơ kiểu (r,s) trên tập con N của M là việc đặt tương ứng mỗi điểm Nx∈ với tenxơ )(xTK rsx ∈ . - 14 - Trong lân cận tọa độ U với tọa độ địa phương x1,,xn ta chọn: , i=1,,n là cơ sở đối với không gian tiếp xúc Tx , x∈U và ii xX ∂∂= / ii dx=ω , i=1,,n là cơ sở đối ngẫu trong *xT . Trường tenxơ K kiểu (r,s), được xác định trên U, khi đó biểu diễn như sau: ∑ ⊗⊗⊗⊗⊗= rrr r jjiiii jj XXK ωωε ...... 1111..... Trong đó là các hàm trên U, gọi là các thành phần của K đối với tọa độ địa phương x1,,xn. r r ii jjK ... ... 1 1 1.3.1- Thí dụ: Mêtric Riemanian trên M là một trường tenxơ g hiệp biến bậc 2, thỏa mãn các điều kiện: (1) 0),( ≥XXg với mọi )(MX χ∈ và 00),( =⇔= XXXg (2) ),(),( XYgYXg = với mọi )(, MYX χ∈ Nói cách khác, g xác định một tích vô hướng trong mỗi không gian tiếp xúc , x∈M. )(MTx Trong tọa độ địa phương x1,,xn các thành phần của g được cho như sau: )/,/( jiij xxgg ∂∂∂∂= Cách viết thông thường của g là ∑= ji ji ij dxdxgds , 2 - 15 - 1.4- Nhóm Lie và Đại số Lie: Nhóm Lie và đại số Lie là công cụ rất mạnh trong hình học vi phân và các lĩnh vực khác của toán học. Trong luận văn này, do giới hạn nên ta không đề cập nhiều về nhóm Lie và đại số Lie, tuy nhiên để có một kiến thức vững chắc và cần thiết, trong chứng minh định lý 3.1 chương 2, ở đây ta sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về nhóm Lie và đại số Lie. Đó là định nghĩa về nhóm Lie, trường vectơ bất biến trái, đại số Lie của một nhóm Lie, tác động của nhóm Lie trên một đa tạp và một vài ví dụ cần thiết. 1.4.1- Nhóm Lie: Nhóm Lie G là một nhóm, đồng thời là một đa tạp khả vi, sao cho phép toán GabbaGG ∈∋× −1),( 6 là một ánh xạ khả vi từ G x G vào G. Ta ký hiệu La (tương ứng Ra) là tác động trái (tương ứng tác động phải) trên G bởi phần tử a∈G: Lax=ax (tương ứng Rax=xa) với mỗi x∈G. Đối với a∈G, ada là đồng cấu trong của G được xác định là (ada)x=axa-1 với mọi x∈G. 1.4.2- Trường vectơ bất biến trái (phải). Trường vectơ X trên G được gọi là bất biến trái (phải) nếu nó bất biến đối với mọi tác động La (Ra), a∈G. Trường vectơ bất biến trái hoặc bất biến phải luôn luôn khả vi. Đại số Lie G của nhóm Lie G là tập hợp tất cả các trường vectơ bất biến trái trên G với phép cộng thông thường và phép nhân với một vô hướng và phép toán móc. - 16 - Giống như không gian vectơ, G đẳng cấu với không gian tiếp xúc Te (G) tại đơn vị e, phép đẳng cấu chính là ánh xạ đặt tương ứng trường vectơ X∈G với vectơ Xe, là giá trị của X tại e. Như vậy G là đại số con Lie n-chiều của đại số Lie của các trường vectơ của )(Gχ . Thí dụ 1.4.1: GL(n;R) và GL(n;R) Giả sử GL(n;R) là nhóm tất cả các ma trận không suy biến cấp n x n A=(aij), với phép nhân được cho như sau: ∑= = n k kjikij baAB 1 )( với A=(aij) và B=(bij) GL(n;R) được xem là một tập con mở và do đó cũng là một đa tạp con mở trong 2nR Đối với cấu trúc khả vi đó GL(n;R) là một nhóm Lie. Tập hợp GL(n;R) tất cả các ma trận thực n x n, tạo thành mộ