Luận văn Cơ sở wavelet trong không gian l 2 (r)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG DUY TIẾU CƠ SỞ WAVELET TRONG KHÔNG GIAN L2(R) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại: Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Tháng 8 năm 2011 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Trường Đại học Khoa Học hoặc Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 5 1.1 Không gian L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L2(R) . . . . . 8 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Định lí Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 17 2.1 Xây dựng phép chiếu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Phép chiếu trong I = [0,+∞) . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Phép chiếu trên đoạn I = [α, β] . . . . . . . . . . 20 2.2 Dùng các hàm sin và cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1. Trường hợp I = [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Trường hợp I = [α, β] . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. Cơ sở trực chuẩn trong L2(R) . . . . . . . . . . . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2Mở đầu Trong những năm gần đây nhiều vấn đề về khoa học, công nghệ thông tin, truyền thông và các ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ. Lợi ích của xử lý số trong việc truyền các tín hiệu ngày càng được khẳng định rõ ràng. Nó cũng được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với những hiệu quả đặc biệt là trong các ngành khoa học chứ không phải chỉ là một môn học. Với mức độ phát triển ngày càng cao về cơ bản, về phương pháp và khả năng ứng dụng nó đã lôi cuốn được nhiều kỹ sư, các nhà toán học cũng như các nhà vật lý quan tâm nghiên cứu. Khái niệm wavelet đã được đưa vào từ những năm 70 của thế kỷ trước và ngày càng có nhiều ứng dụng trong khoa học, truyền thông, công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật khác. Việc nghiên cứu khái niệm cơ sở wavelet trên đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng thực tế. Những hệ cổ điển của các cơ sở trực chuẩn trong không gian L2([0, 1)) bao gồm các hàm mũ { e2piimx : m ∈ Z} và tập hợp các hàm lượng giác thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới). Mô hình của những cơ sở này trong không gian L2([α, β)), −∞ < α < β < +∞, sẽ có được bằng phép tịnh tiến và phép co giãn thích hợp của các hàm số trên. Để tìm ra được cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) chúng ta có thể xét R là hợp của các nửa khoảng liên tiếp sau: [αj, αj+1), j ∈ Z,−∞ < ... < αj < αj+1 < ... < +∞, và xem xét từng cơ sở trên cho mỗi một không gian L2([αj, αj+1)), mở rộng những phần tử của cơ sở bởi các hàm đặc trưng của [αj, αj+1) và sau đó lấy tổng của các hàm có được. Cơ sở trực chuẩn này, tuy nhiên tạo ra "hiệu ứng cạnh không mong muốn" tại điểm cuối αj khi chúng ta cố gắng biểu diễn một hàm theo cơ sở đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta cần xét đến các hàm trơn, những hàm này thay thế cho hàm đặc trưng của [αj, αj+1) với j ∈ Z. Trong trường hợp có sự phân chia đơn giản R = ⋃ n∈N [n, n+ 1) thì chúng ta nghiên cứu hệ có dạng:{ gm.n(x) = e 2piimxg(x− n) : m,n ∈ Z} . Đối với mỗi hệ của loại này (thường được gọi là cơ sở Gabor), để trở thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) thì g không được "quá trơn" hoặc có giá có kích thước nhỏ (very localized). Điều này được trình bày rõ ràng trong phần 1.2.2 bởi Định lí Balian- Low. Tuy nhiên nếu các cơ sở thích hợp gồm các hàm sin và cosin được sử dụng, thì sẽ có nhiều tập hợp của hàm g trơn một cách tuỳ ý và "very localized", có thể được sử dụng để có được những cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R). Điều này sẽ được thực hiện trong phần 2.1, phần mà chúng ta sẽ trình bày lí thuyết về phép chiếu trơn, được giới thiệu bởi Coifman và Meyer. Lý thuyết này cho phép chúng ta "liên kết" những cơ sở thích hợp với khoảng [αj, αj+1). Một loạt các ví dụ của việc xây dựng này đã được đưa ra, nhưng phần lớn những ví dụ liên quan đến mục đích của chúng ta là những ví dụ tạo ra wavelet trực chuẩn ψ ∈ L2(R) như: ψi,k(x) = 2 j 2ψ(2jx− k), j, k ∈ Z là cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R). Tương tự như vậy, trong phần 2.2 chúng ta sẽ xây dựng nên wavelet Lemanrié và Meyer. Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm 2 chương. Chương 1 Cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian L2(R), biến đổi Fourier trong không gian L2(R), khái niệm cơ sở sóng nhỏ trong không gian L2(R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low và các ví dụ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4Chương 2 Một số phương pháp xây dựng cơ sở sóng nhỏ trong không gian L2(R) Trong chương này trình bày hai phương pháp, đó là xây dựng phép chiếu trơn và dùng các hàm sin và cosin. Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [7]. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn-Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết của Thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên Trường Đại học Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luân văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục & Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu trường THPT Lương Tài, các đồng nghiệp trường THPT Lương Tài-Bắc Ninh đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn thành kế hoạch học tập và đặc biệt xin cảm ơn vợ chồng em Hoàng Tuyết Mai-Cử nhân Anh ngữ đã giúp tôi trình bày luận văn này. Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở vịêc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy cô và bạn đọc quan tâm đến luận văn này. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011 Tác giả Lương Duy Tiếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 1.1 Không gian L2(R) 1.1.1. Các khái niệm cơ bản Trước hết chúng ta giới thiệu một số kí hiệu. R ký hiệu là "đường thẳng thực", T là vòng tròn đơn vị trong một mặt phẳng phức, mà có thể được xác định bởi khoảng [−pi,pi), mặc dù thỉnh thoảng chúng ta sử dụng khoảng [−12 ,12) hoặc [0,1); và Z sẽ biểu thị tập hợp của các số nguyên. Tích trong của các hàm f và g được xác định là: = ∫ f(x)g(x)d(x), ở đó tích phân được lấy trên R hoặc T, chúng ta có bất đẳng thức Schwarz’s || ≤ ‖f‖2 ‖g‖2 , trong đó ‖f‖2 = ( ∫ |f |2) 12 là chuẩn của f trong L2. Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chúng ta chứng minh bất đẳng thức Minkowski’s: ‖f + g‖2 ≤ ‖f‖2 + ‖g‖2. Chúng ta nói rằng hai hàm f và g là trực giao nếu = 0, kí hiệu f⊥g. Một dãy các hàm số {fn}n∈Z là một dãy trực chuẩn nếu = δm,n, trong đó δm,n = { 1, khi n = m , 0, khi n 6= m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6Một ví dụ tiêu biểu của dãy trực chuẩn trên T = [−pi, pi) là { 1√ 2pi en } n∈Z khi en(x) = e inx. Cho một hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} và một hàm f , chúng ta xác định hệ số Fourier của f với {fn : n ∈ Z} sẽ là ck =, k ∈ Z. Một câu hỏi cơ bản mà chúng ta sẽ nghiên cứu để xác định khi nào và trong tình huống nào, điều này đúng với f = ∑ k∈Z ckfk. (1.1) Khi fk(x) = e ikx, k ∈ Z, f ∈ L2(T), phép biểu diễn (1.1) là hợp lí trong L2 định chuẩn. Nhìn chung, đây là một trường hợp mà chúng ta nói rằng {fk : k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong L2(T). Đẳng thức (1.1) là một công thức được xây dựng lại và nó là cơ sở cho nhiều ứng dụng của lí thuyết về wavelet. Cho một hàm f (một tín hiệu hoặc một âm thanh) chúng ta có thể lập mã cho nó bằng các hệ số {ck}k∈Z. Đẳng thức (1.1) cho phép ta xây dựng lại tín hiệu đó từ những hệ số ck và cơ sở đã sử dụng khi lập mã. Những cơ sở đặc biệt là cơ sở của wavelet, tái tạo lại một cách hiệu quả hơn so với những cơ sở khác. Với mỗi hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} , chúng ta có bất đẳng thức Bessel’s∑ k∈Z |ck|2 ≤ ‖f‖22. Hơn thế nữa, nếu hệ đó là một hệ cơ sở thì chúng ta có đẳng thức. Ngược lại, nếu một hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} thỏa mãn∑ k∈Z |ck|2 = ‖f‖22 (1.2) với mọi f ∈ L2(T), thì hệ đó là một cở sở trong L2(T). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71.1.2. Biến đổi Fourier Trong R chúng ta có một lý thuyết "tương tự". Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1(R) ∩ L2(R) được xác định bởi f̂(ξ) = +∞∫ −∞ f(x)e−iξxdx Chúng ta sẽ nói rằng x là biến thời gian có thể thay đổi được và ξ được xem như là biến tần số của sự thay đổi. Biến đổi ngược Fourier là ∨ g(x) = 1 2pi +∞∫ −∞ g(ξ)eiξxdξ và nếu chúng ta áp dụng nó cho g = f̂ , thì chúng ta có được f ; đó là (f̂)∨ = f . Với các định nghĩa này, Định lý Plancherel khẳng định rằng = 1 2pi 〈f̂ , ĝ〉. (1.3) Biến đổi Fourier mở rộng đến mọi hàm f ∈ L2(R) và toán tử f 7→ 1√ 2pi f̂ là unita. Khi f ′ tồn tại trong L2 thì f̂ ′(ξ) = iξf̂(ξ). (1.4) Phép tính tích phân này có thể được chứng minh bằng những công thức +∞∫ −∞ f ′(x)g(x)dx = − +∞∫ −∞ f(x)g′(x)dx. (1.5) là hợp lí khi f, g ∈ L2(R) và f ′g, fg′ ∈ L1(R). Trong trường hợp f, g, f ′, g′ ∈ L2(R), điều đó có thể chứng minh được bằng sử dụng (1.3) và (1.4). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8Khái niệm mà sẽ được sử dụng trong nhiều chứng minh là điểm Lebesgue. Giả sử f là một hàm đo được và là hàm khả tích, thì điểm x0 được gọi là điểm Lebesgue của f khi và chỉ khi lim δ→0+ 1 2δ x0+δ∫ x0−δ |f(x)− f(x0)|dx = 0. Theo định lí về phép tìm đạo hàm Lebesgue thì hầu hết mọi điểm x0 là điểm Lebesgue. Chúng ta có thể tra cứu [Rud] về định lí đặc biệt này cũng như những kết quả khác trong định lí về độ đo Lebesgue. Ba toán tử đơn giản sau trên các hàm số được xác định trên R đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết: Phép tịnh tiến bởi h, τh, được xác định bởi (τhf)(x) = f(x− h), phép co giãn bởi r>0, ρr, được xác định bởi (ρrf)(x) = f(rx) và phép nhân bởi eimx. (Đôi khi chúng ta xét chúng như là một toán tử biến điệu). 1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L2(R) Một trong những mục đích chính của chúng ta là xây dựng các cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) bằng cách áp dụng những toán tử trên vào một hàm nào đó trong không gian L2(R). Điều quan tâm của chúng ta chính là những cơ sở wavelet. 1.2.1. Định nghĩa Hai toán tử đầu tiên được áp dụng cho những cơ sở wavelet được sinh bởi một hàm thích hợp. Nói một cách chính xác hơn, một wavelet trực chuẩn trên R là một hàm ψ ∈ L2(R) sao cho {ψj,k : j, k ∈ Z} là cơ sở trực chuẩn của L2(R), trong đó ψj,k(x) = 2 j 2ψ(2jx− k), j, k ∈ Z. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9Ta thấy ψj,k đã được chuẩn hóa, vì thế ‖ψj,k‖2 = ‖ψ‖2 = 1 với mọi j, k ∈ Z Ví dụ 1: Giả sử ψ(x) =  1, nếu 0 ≤ x < 12 , −1, nếu 12 ≤ x < 1, 0, trường hợp còn lại. Khi đó ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2(R). Nó được gọi là wavelet Haar. Rất đơn giản để chứng minh rằng {ψj,k : j, k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn trong không gian L2(R). Ví dụ 2: Ta chọn ψ sao cho ψ̂(ξ) = χI(ξ), với: I = [−2pi,−pi] ∪ [pi, 2pi], trong đó χI là hàm đặc trưng của tập hợp I, tức là χI(x) = { 1 nếu x ∈ I 0 nếu x /∈ I. Chúng ta sẽ chỉ ra ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2(R). Một phép tính đơn giản cho chúng ta thấy (ψj,k) ∧ (ξ) = 2− j 2 ψ̂(2−jξ)e−i2 −jkξ. Với j 6= l, đẳng thức này chỉ ra rằng phần giao của giá (ψj,k)∧ và (ψl,m)∧ có độ đo là 0; do đó = 1 2pi < (ψj,k) ∧, (ψl,m) ∧ >= 0, với j 6= l. Khi j = l ta có thể viết: = 1 2pi 2−j ∫ R ∣∣∣ψ̂(2−jξ)∣∣∣2ei2−j(m−k)ξdξ = 1 2pi {∫ −pi −2pi ei(m−k)ηdη + ∫ 2pi pi ei(m−k)ηdη } = δk,m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Để chứng minh hệ này là một cơ sở thì ta cần chứng minh (1.2). Theo Định lý Plancherel và sự thay đổi biến số cho phép chúng ta viết ∑∑ j,k∈Z |〈f, ψj,k〉|2 = ∑∑ j,k∈Z 2j 4pi2 ∣∣∣∣∫ R f̂(ξ)ψ̂(2−jξ)ei2 −jkξ dξ ∣∣∣∣2 = ∑ j∈Z 2j 2pi ∑ k∈Z ∣∣∣∣∫ I f̂(2jµ) eikµ√ 2pi dµ ∣∣∣∣2. Bây giờ chúng ta dùng hệ { 1√ 2pi eikµ : k ∈ Z } là một cơ sở trực chuẩn của không gian L2(R) (thực tế là tương đương với tính trực chuẩn của hệ tương tự trên đoạn [0, 2pi]). Ta viết: ∑∑ j,k∈Z |〈f, ψj,k〉|2 = ∑ j∈Z 2j 2pi ∣∣∣∣∫ I fˆ(2jµ) ∣∣∣∣2dµ = 1 2pi ∑ j∈Z ∫ R χI(2 −jξ) ∣∣∣fˆ(ξ)∣∣∣2dξ = 1 2pi ∥∥∥fˆ∥∥∥2 2 = ‖f‖22 , do ∑ j∈Z χI(2 −jξ) = 1, với hầu hết ξ ∈ R. Điều này chỉ ra rằng ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2(R). 1.2.2. Định lí Balian-Low Ta sẽ xét việc tạo ra cơ sở trực chuẩn từ một hàm số nào đó bằng phép tịnh tiến và phép nhân với một hàm số. Ví dụ, một cơ sở trong không gian L2(R) là như sau: Giả sử g = χ[0,1] và gm,n(x) = e 2piimxg(x− n) với m,n ∈ Z. Không quá khó để nhân ra rằng {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của không gian L2(R). Tiến sĩ D. Gabor ([Gab]) đã xem xét kiểu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 hệ này vào năm 1946 và ông đề xuất việc sử dụng nó (g ∈ L2(R)) cho mục đích truyền thông. Đối với một hàm g tổng quát thì định lí sau đây sẽ đưa ra các điều kiện mà g phải thỏa mãn để hệ {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn. Định lý 1.2.1. (Balian-Low) Giả sử g ∈ L2(R) và gm,n(x) = e2piimxg(x− n), m, n ∈ Z. Nếu {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) thì +∞∫ −∞ x2|g(x)|2dx = +∞ hoặc +∞∫ −∞ ξ2|ĝ(ξ)|2dξ = +∞. Chứng minh. Chúng ta đưa ra các toán tử Q và P , được xác định trên không gian S ′ gồm các hàm suy rộng tăng chậm với (Qf)(x) = xf(x) và (Pf)(x) = −if ′(x). Sự liên quan của các toán tử đối với định lí này là +∞∫ −∞ |Qg(x)|2dx = +∞∫ −∞ x2|g(x)|2dx +∞∫ −∞ |Pg(x)|2dx = 1 2pi +∞∫ −∞ ξ2|ĝ(ξ)|2dξ, Các công thức cuối là hệ quả của (1.3) và (1.4). Vì thế chúng ta cần phải thấy rằng cả (Qg) và (Pg) không thể cùng thuộc L2(R). Giả sử cả (Qg) và (Pg) đều thuộc L2(R). Chúng ta sẽ thấy rằng điều này dẫn đến mâu thuẫn, và từ điều này định lí được chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Ta có: = ∑ m,n∈Z , (1.6) = với mọi m,n ∈ Z (1.7) và = với mọi m,n ∈ Z. (1.8) Từ đẳng thức (1.6),(1.7) và (1.8) suy ra = (1.9) Nhưng (1.9) là không đúng nếu Pg và Qg thuộc L2(R). Thật vậy, chúng ta có thể áp dụng tích phân từng phần công thức (1.5) để có được = ∫ +∞ −∞ xg(x) { −ig′(x) } dx = −i ∫ +∞ −∞ {g(x) + xg′(x)}g(x)dx = −i + . Từ 〈g, g〉 = ‖g‖22 = ‖g0,0‖22 = 1, chúng ta có được = −i+ , điều này trái ngược với (1.9). Vì thế định lí được chứng minh nếu chúng ta thiết lập (1.6), (1.7) và (1.8). Từ Qg, Pg ∈ L2(R) và {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn chúng ta có: =< ∑∑ m,n∈Z gm,n, Pg > = ∑∑ m,n∈Z , điều này chứng minh (1.6). Để chứng minh (1.7) thì hãy quan sát n = 0 với mọi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 m,n ∈ Z. Điều này rõ ràng đúng với n = 0, còn nếu n 6= 0, thì g = g0,0 là trực giao với gm,n. Do đó, = −n = ∫ +∞ −∞ g(x)(x− n)g(x− n)e−2piimxdx = ∫ +∞ −∞ g(y + n)(y)g(y)e−2piim(y+n)dy =, chúng ta đã có (1.7). Để chứng minh (1.8) chúng ta sử dụng tích phân từng phần công thức (1.5) để có được = −i ∫ +∞ −∞ g′(x)g(x− n)e−2piimxdx = i ∫ +∞ −∞ g(x){ − 2piimg(x− n) + g′(x− n)}e−2piimxdx = 2pimδm,0δ0,n + ∫ +∞ −∞ g(y + n){−ig′(y)}e−2piimydy = . 1.2.3. Các ví dụ Ví dụ 1.2.1. Cho g = χ[0,1) khi đó {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R); trong trường hợp này tích phân đầu tiên theo định lí Balian-Low là hữu hạn, nhưng tích phân thứ hai là vô hạn, vì ξ2 ∣∣(χ[0,1))∧(ξ)∣∣2 = [2 sin(ξ 2 ) ]2 Ví dụ 1.2.2. Cho g(x) = sin(pix)pix ≡ sinc(x), khi đó {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R), ta thấy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 (χ[0,1)) ∧(ξ) = e−i ξ 2 sin(ξ2) ξ 2 = e− ξ 2 sin c( ξ 2pi ). Trong trường hợp này, tích phân đầu tiên theo định lí Balian-Low sẽ là vô hạn. Ví dụ 1.2.3. Nếu g ∈ L2(R) và gm,n(x) = e imw0xg(x− nt0) (1.10) với w0t0 = 2pi, thì định lí Balian-Low vẫn đúng. Để thấy được thì toán tử U được xác định bởi Ug(x) = (2piw−10 ) 1 2 .g(2piw−10 x) là unita trong L2(R) và Ugm,n(x) = e 2piimxUg(x− n) khi 2piw−10 = t0. Định lí này cho chúng ta biết nếu w0t0 = 2pi, thì cơ sở được đưa ra bởi (1.10) không đồng thời có giá compact và định vị tốt về thời gian và tần số. Ví dụ 1.2.4. Nếu b(x) là đủ trơn và có giá compact thì Định lí Balian- Low chỉ ra cho ta thấy rằng hệ {bm(x)}m∈Z = { e2piimxb(x) } m∈Z sẽ không tạo ra một cơ sở trực chuẩn bằng cách tịnh tiến các phần tử của hệ bởi các số nguyên. Điều này dễ dàng nhận thấy do sự giảm ở vô cực của biến đổi Fourier của b, đó là một hệ quả của độ trơn của b. Nếu chúng ta xét một trường hợp cục bộ hơn, chúng ta có thể tìm thấy một "hàm hình chuông" b(x) trơn và có giá compact mà {bm(x)}m∈Z = { e2piimxb(x) } m∈Z là một hệ trực chuẩn, chẳng hạn trong L2(0, 1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Ví dụ giả sử b là một hàm số xác định trên R với supp(b) ⊆ [−ε, 1 + ε′], khi ε + ε′ ≤ 1, ε, ε′ > 0 và b(x) ≥ 0. Thật dễ để tìm thấy các điều về b để {bm : m ∈ Z} là một hệ trực chuẩn. Ý tưởng này là sử dụng một "đối số gập" để thu được các mối quan hệ trực giao = δm,n trên đoạn [0, 1] : δm,n =< e 2piim(.)b, e2piin(.)b > = ∫ 1+ε′ −ε b2(x)e2pii(m−n)xdx = ( ∫ 0 −ε + ∫ ε′ 0 + ∫ 1−ε ε′ + ∫ 1 1−ε + ∫ 1+ε′ 1 ){b2(x)e2pii(m−n)x}dx. Trong tích phân đầu tiên chúng ta thực hiện thay đổi các biến số y = 1+ x; Trong tích phân cuối cùng, chúng ta sử dụng sự thay đổi của các biến y = x− 1. Do đó chúng ta có được δm,n = ∫ ε′ 0 [ b2(x) + b2(1 + x) ] e2pii(m−n)xdx + ∫ 1−ε ε′ b2(x)e2pii(m−n)xdx + ∫ 1 1−ε [ b2(x) + b2(x− 1)] e2pii(m−n)xdx. Đó là hàm f có giá trị b2(x) + b2(1 + x) trên đoạn [0, ε′], b2(x) trên [ε′, 1− ε] và b2(x) + b2(x− 1) trên [1− ε, 1] có hệ số Fourier là f̂(k) = 0 nếu k 6= 0 và f̂(0) = 1. Bây giờ thì đã trở nên dễ dàng hơn, nếu các mối quan hệ trực giao được thiết lập, thì b phải thỏa mãn: b2(x) + b2(1 + x) = 1 nếu x ∈ [0, ε′] b2(x) = 1 nếu x ∈ [ε′, 1− ε] b2(x) + b2(x− 1) = 1 nếu x ∈ [1− ε, 1]  (1.11) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16