Luận văn Đại số ngoài trên không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Lệ Thi ĐẠI SỐ NGOÀI TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và hỗ trợ. Tôi xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Hà Thanh đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán –Tin Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ý cho luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch tài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT Chuyên Hùng Vương đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ này. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như đã biết tích tenxơ của không gian Banach là một trong những công cụ để hiểu được cấu trúc của không gian Banach và được nghiên cứu hơn nửa thế kỷ qua. Người nghiên cứu đầu tiên là Alexander Grothendieck. Treân lyù thuyeát chuaån khoâng gian tuyeán tính, chuaån khoâng gian Banach Grothendieck ñaõ xaây döïng ñöôïc moäât ñaúng caáu töï nhieân giöõa khoâng gian tuyeán tính ( ; )L X Y Z vaø khoâng gian Banach ( ; )B X Y Z , khi đó tích tenxơ có thể xem như là không gian tuyến tính. Treân cô sôû ñoù Grothendieck ñaõ xaây döïng ñöôïc chuaån tenxơ treân khoâng gian Banach, trên đó cảm sinh hai chuẩn : chuẩn noäi xaï vaø chuaån xaï aûnh. Noù laø chìa khoaù ñeå Grothendieck ñaïi soá hoaù hình hoïc, xaây döïng thành công tích tenxơ tôpô, không gian hạch, K- lí thuyết, tôpô Grothendieck, . Sau ñoù, dựa vào các keát quaû cuûa Grothendieck . Joe Diestel, Jan H .Fourie, Johan Swart, Andreas Defant, . thác triễn roäng ra chuaån xaï ảnh, chuaån noäi xaï treân khoâng gian C(K), khoâng gian Lp, chuaån xaï aûnh, chuaån noäi xaï beân traùi vaø beân phaûi, chuaån tenxô treân khoâng gian Hilbert, toán tử ideal, không gian độ đo, cùng nhiều ứng dụng khác. Moät vấn đề ñaët ra laø chuaån noäi xaï, chuaån xaï aûnh cuûa Grothendieck lieäu coù coøn ñuùng hay khoâng treân tích ngoaøi, ñaïi soá ngoaøi trong khoâng gian Banach hay không? Chuùng toâi thaáy vaán ñeà naøy raát quan troïng ñeå ñöôïc nghieân cöùu. Vaø ñaây chính laø ñeà tài nghieân cöùu luaän vaên cuûa chuùng toâi. Trong luận văn này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc trả lời các câu hỏi sau đây: + Caùch xaây döïng moäât ñaúng caáu töï nhieân giöõa khoâng gian tuyeán tính ( ; )L X Y Z vaø khoâng gian Banach ( ; )B X Y Z cuûa Grothendieck nhö theá naøo? + Chuaån tenxơ treân khoâng gian Banach, cuøng vôùi hai chuaån hôïp lyù laø chuaån nội xaï, chuaån xaï aûnh, tính phoå duïng aùnh xaï treân hai chuaån ñoù ñöôïc Grothendieck xaây döïng nhö theá naøo? + Nhöõng keát quaû cuûa Grothendieck ñöôïc keá thöøa nhö theá naøo khi ta xaây döïng chuaån xạ ảnh ,chuẩn nội xạ treân tích ngoaøi, ñaïi soá ngoaøi? Cuøng vôùi moät soá ví duï vaø öùng dụng cuûa noù. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài này, chúng tôi muốn làm rõ hơn về chuẩn tenxơ trên không gian Banach theo kết quả nghiên cứu của Grothendieck, trên cơ sở mô phỏng kết quả đó, chúng tôi xây dựng chuẩn xạ ảnh, chuẩn nội xạ trên tích ngoài. Luận văn này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ một số định lý và mệnh đề về chuẩn tenxơ trên không gian Banach, và hai chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh cảm sinh trên tích ngoài. 3. Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về chuẩn trên tích ngoài không gian Banach, cụ thể là nghiên cứu về chuẩn tenxơ trên không gian Banach , chuẩn nội xạ và xạ ảnh trên tích ngoài. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về đại số ngoài trên không gian Banach. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương : Chương 1: Hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tenxơ và tích ngoài, các khái niệm cơ bản làm nền tảng xây dựng chương 2 và chương 3. Chương 2: Nghiên cứu về chuẩn tenxơ trên không gian Banach, chuẩn nội xạ và chuẩn xạ ảnh cảm sinh trên đó, cùng với tính phổ dụng trên hai chuẩn này, theo kết quả nghiên cứu của Grothendieck. Chương 3: Nghiên cứu về chuẩn nội xạ, chuẩn xạ ảnh trên tích ngoài trên tinh thần mô phỏng theo kết quả nghiên cứu của Grothendieck . Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ cung cấp các kiến thức cơ bản để chúng ta hiểu được các chương sau : 1.1. Đại số tenxơ Nhắc lại không gian vectơ và không gian đối ngẫu với các ký hiệu tenxơ. Cho K= ( hoặc  ) 1( ,..., )ne e e là cơ sở của V . ( , ) { : /linV Hom V K f V K f     là ánh xạ tuyến tính } 1( ,..., )ne e e  : đối ngẫu của V. 0 , , 1 , i j j i i j e e i j       1 1 : , , n i i i i i n i i i i i f V f f e f e f x x f f x f x            Đổi cơ sở : 1 ' ' ' ' ' ' ' 1 1 ( ) ' ( ,..., ) , n n n i i i i i i i i i i i i e e e x x e x e e C e C e         '( ) i i nC C ma trận đổi cơ sở Với 1 1 1 1' 2' ' 2 2 2 1' 2' ' 1' 2' ' ..... .. .. ... ... ... .. n n n n n C C C C C C C C C C          Công thức đổi toạ độ ' ' ' n i i i i i x C x (theo luật tenxơ) 1' ' ' ' ' 1 ( ) ' ( ,...., ); n n i i i e e e f f e     ' ' 1 ( ' 1... ) n i i i i i e C e i n    '( )ii nC C   , Ma trận đổi cơ sở * ( ) 'e e Ta có 1 1( ) ( )t tC C C   ' ' 1 n i i i i i f C f    1.1.1. Tenxơ kiểu (p, q) a/ Đặt : ( ) ( .... ... ; )qp pol P q T V Hom V V V V K        (tập hợp các ánh xạ đa tuyến tính cấp p+q từ .... ... P q V V V V       vào K ). ( )qpT T V gọi là tenxơ kiểu (p, q) hay một tenxơ p lần hiệp biến, q lần phản biến. Tức là : 1 1 1 1 : .... ... ( ,..., ; ,..., ) ( ,..., ; ,... ) P q q q p p T V V V V K v v f f T v v f f K            và T tuyến tính đối với từng biến một. * ( )qpT V là một không gian vectơ trên K với các phép toán sau: , ( ),qpT S T V K    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ,..., ; ,..., ) ( ,..., ; ,..., ) ( ,..., ; ,..., ) ( )( ,..., ; ,..., ) ( ,..., ; ,..., ) q q q p p p q q p p T S v v f f T v v f f S v v f f T v v f f T v v f f        b/ Tenxơ khai triển được 1 1 1 1 dn 1 1 1 1 1 * 1 ...... .... ,( ,...., , ,...., ) sao cho : ( ,..., ; ,...., ) , ... , ..... , ,..., ; ,...., KH p p p q q p p p p q q p T x x V x x V T v v f f v v x f K v v V f f V                         T gọi là tenxơ kiểu (p, q) khai triển thành tích tenxơ của 1 1,...., , ,...., p qV x x V    *Tính chất Với mọi tenxơ kiểu (p, q) đều là tổ hợp tuyến tính của các tenxơ khai triển được . Chọn 1( ) ( ,...., )ne e e là cơ sở của V * 1( ) ( ,..., )ne e e là cơ sở của V  c/ Định lý (số chiều và cơ sở của ( )qpT V ) ( )qpT V nhận 1 1 1{ .... .... / ,..., 1... ; ,...., 1... } p i q ii j j p pe e e e i i n j j n       làm cơ sở . * dim ( )q p qpT V n  ( )qpT V : không gian các kiểu (p, q) trên V. * Với mọi tenxơ T kiểu (p, q) có: 1. 1 11. .. 1 ,..., ..... .....pq qp p ij j i j ji i i i T e e e eT       tắt 1 1 .... ... )( q p j j i i T T gọi là thành phần của T trong (e) Ta sẽ cho hình dung cụ thể của 1 1 .... ... )( q p j j i i T T 1 *1,..., ; ,...., q pv v V f f V   1 n j i i j j v x e    , tức là 1( ,...., ), 1...ni i iv x x i p  trong (e) 1 1 , ( ,..., ) n i i j i i i j n j f f e f f f    trong (e ) Lúc đó : 1 1 11 ....1 1 1 1.....( ,..., ; ,..., ) .... .... pq qp ij j iq q p p j ji iT v v f f x x f fT +TH1:p=1, q=0 0 * 11( ) ( , ) ( ) kh linV Hom V K V T VT    +TH2: p=0, q=1 1 * ** 10 ( ) ( , ) ( ) KH linT V Hom V K V V T V    +TH3: p=1, q=1 1 * 21 ( ) ( , ) p q linT V Hom V V K n n     1 1 * 1 * * 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( ,..., ) , ( ,..., ) trong ( ) ( ,..., ) trong( ) ( ,...., ) trong ( ) ..... ..... ( ) ; ( ; ) [ ,..., ] ............ ........... n n n n n nj j i i n i j n nn n n e e e v x x e e e e e f f f e T T T x T T T x T T T v f T x f f f xT T                         Ta đồng nhất ( )ji nT T trùng với toán tử tuyến tính từ V vào V mà ma trận nó trong (e) chính là jiT Tức là 11 ( ) ( )T V End V không gian các toán tử tuyến tính trên V. +TH4: p=2, q=0 0 2 2( ) ( ) ( ) KH bilT V Hom V V K T V    :không gian các dạng song tuyến tính trên V. +TH5: p = 0, q = 0 0 0 ( ) QU T V K *Kết luận : Đại số tuyến tính là môn học nghiên cứu các tenxơ cấp bé (bé hơn bằng 2). Đại số đa tuyến tính là môn học nghiên cứu cấp tenxơ cấp tuỳ ý ( )qpT V Ta có công thức đổi thành phần: ' 1 11 1 111 1 '..... ...... '' ' '.... ' .... '.... ...... q pq q q pp p j ij j j jj i ij j ii i i iC C C CT T   luật tenxơ 1.1.2./ Đại số tenxơ Đặt: , 0 ( ) ( ) , , , ( ) q pp q q p T V T V T q p T T V        là không gian vectơ trên K. * Ta định nghĩa tích tenxơ của các tenxơ: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) Sao cho : ( ,..., , ,..., ; ,... ) ( ,..., ; ,..., ) ( ,..., ; ,... ) q s p r q s p r q s p p p r q q q s p p p r T T V T V S T V T V T S T V T S v v v v f f T v v f f S v v f f                     *Tính chất +Tính kết hợp : ( ) ( )T S R T S R     +Tính phân phối : 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) T T S T S T S T S S T S T S             +Tính kết hợp với phép vô hướng : ( ) ( ) ( )T S T S T S       * Chú ý : T S S T   T(V) là đại số gọi là đại số tenxơ trên V. 1.2. Đại số các dạng ngoài 1.2.1. Các p-dạng (ngoài) trên X Cho X là không gian vectơ n - chiều trên K { : ... /p w X X X K w      : đa tuyến tính phản xứng} ( )pT X ( ) : ...p X X X X K       sao cho tuyến tính được trên từng biến với : (..., ,..., ,....) (....., ,..., ,...)i j j iv v v v   Ta có : ( ) {0},khip X p n   Do đó chỉ cần xét ( ) {0}, 0,p X p n   Với mỗi ( )p X gọi là một p- dạng (ngoài ) trên X . Hay một dạng cấp p trên X. * Đặt biệt : Khi p=1, ( )p X X   (dạng tuyến tính thông thường cấp 1 ) 1.2.3. Tích ngoài a/Tích ngoài của hai dạng (cấp 1) trên X Cho 1 2 1, ( ) ( , )linX X Hom V K      Ta đã có : 1 2 1 2 1 2 1 2 : ( , ) ( )( , ) X K v v v v        Ta định nghĩa tích ngoài của 1 2,  : 1 2 1 2 1 2 1 2 : ( , ) ( )( , ) X X K v v v v         Xác định bởi: 1 1 1 21 2 1 2 2 2 1 2 , ,1( , ) det 2! , , v v v v v v                  Ta dễ dàng nhận thấy: 1 2 1 21 2, ( ) ( )X X       b/Tích ngoài của n dạng ( cấp 1 ) trên X Cho 1 1,..., ( ) p X   Khi đó, tích ngoài 1 2 .... ( )p p X      định nghĩa như sau: 1 2 ... : ....p X X X K p          1 2 1 1 1( ... )( ,...., ) det( , ) , ,..., ! p i p j p pv v v v v Xp            Và (1) (2) ( ) 1 2... sgn( ) ...p p               , với sgn( ) là dấu của hoán vị  . Lấy  là một p-dạng ngoài trên X,  là q-dạng ngoài trên X. Khi đó tích ngoài   là (p+q)- dạng trên X, +Với p q n  , định nghĩa bởi : 1 2 (1) ( ) ( , ) ( 1) ( ) 1( , ,..., ) sgn( ) ( ,..., ) ! ! ( ,..., ) p q p p q p p q X X X X X p q X X                  với ( , )p q là hoán vị của tập {1, 2, ., p+q} , sao cho: (1) (2) ... ( ), ( 1) ( 2) ... ( ) p p p p q                +Với p+q > n thì 0   1.... ( ), mm i i X K     sao cho : 1 1 1 .... 1 .. .... p p p ii i i i i n e e         , 11 ..... 1 ( ) p mi i i i n     là thành phần của  trong (e)=( 1 2, ,..., ke e e ) * Đặt biệt: m=n ( )n V là không gian 1nnC  - chiều , cơ sở của nó gồm một dạng cấp n- duy nhất 1 ... ne e  1 1 1 1 2 1 1 1 2 .. .. .. ... ..1.... ( ,..., ) .. .. .. ..! ... n n n n n n n x x x e e x x n x x x    Ở đây có một liên thông đóng giữa simple m- vectơ và không gian con tuyến tính m chiều của X. Lấy m X  , khi đó không gian con tuyến tính liên kết là Y={ : 0}x X x   . Nếu 0, dim( ) ,k Y m    mỗi cơ sở vectơ 1 2, ,..., ke e e của Y thì sẽ tồn tại một 1 2' : ... 'm k kX e e e        . (i) 0 m X  là phân tích được nếu và chỉ nếu không gian con Y liên kết của nó là m chiều,  có thể nghĩ như không gian sinh bởi tập ( 1,..., )me e (tức là  là không gian con nhỏ nhất chứa tập ( 1,..., )me e ). (ii) Không gian con liên kết của hai ,  với 0 , m X   là phân tích được m –vectơ là phụ thuộc nếu và chỉ nếu ,0c c R    . (iii) Nếu  khác 0 phân tích được m – vectơ,  khác 0 phân tích được n- vectơ thì 0   nếu và chỉ nếu không gian con liên kết với   là tổng trực tiếp của hai không gian con liên kết  và  . (iv) Không gian con liên kết với  khác 0 phân tích được m-vectơ được chứa trong một không gian con liên kết với  khác 0 phân tích được n- vectơ nếu và chỉ nếu , m n X        1.3. Số chiều dim( )X n   , gọi ( 1,..., )ne e là cơ sở của X . Cho mỗi m n , đặt ( , ) { :n m    là ánh xạ mở rộng từ tập {1, 2, , m} đến tập {1, 2, , n}}. Khi đó { (1) ( ): ( , )}, ... me n m e e e        là cơ sở của m X . dim( m X ) = ,khi 0mnC m n  dim 0 ,khim X m n   . dim(X)= , { }i i Ie  cơ sở Hamel của X, với luật “” có thứ tự tốt trên I. { : ( , )}e I m  là cơ sở của m X , dim ( m X )= , 1m  . Tập các ánh xạ liên kết ở trên được xét trên đa tạp Grassman G(X, m) của tất cả không gian vectơ con m- chiều X. Đặt 0( ) n mX X   là không gian vectơ 2n . 1.4. Các định nghĩa Định nghĩa 1: Nếu X, Y là không gian tuyến tính, dim(X)=m và ánh xạ tuyến tính :f X Y thì ánh xạ tuyến tính :m m mf X Y   được định nghĩa bởi : 1 1 1 1 ( ... ) ( ) .... ( ) (det )( ... ) , ,..., m m m m m f x x f x f x f x x x x X            + Lấy X là không gian vectơ Hilbert m-chiều với dim(X)=n, lấy 1( ,..., )me e là cơ sở trực chuẩn của X, khi đó { : ( , )}e I m   là cơ sở của m X . Với m n Lấy ( , ) ( , ), , , , ,m n m nm X e e e R                   Định nghĩa 2 : , : m mX X R     bởi : ( , ) , m n           Khi đó ,  là tích trong trên m X , { : ( , )}e I m   là một cơ sở trực chuẩn của m X . Chuẩn cảm sinh trên m X ký hiệu là . và  1/221/2 ( , ) , , m m n X         Với X , Y là không gian Hilbert số chiều hữu hạn, nếu :f X Y là ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ tuyến tính :m m mf X Y   thoả : ,mm f f m   . . là chuẩn tóan tử cảm sinh bởi tích trong . +Lấy 1( ,..., )me e là cơ sở trực chuẩn của X.  1,..., nw w là cơ sở trực chuẩn của *X sao cho : 1 ,, 0 ,i j i j e w i j     Định nghĩa 3: , : m mX X R     bởi: ( , ) ( , ) ( , ( , , , n m n m n m n m e w e w                       với 1 ,, 0 , e w          Định nghĩa 4: Khi X, Y là không gian Banach. Ta định nghĩa , : m mX X R      bởi : 1 1 1 1 1 1 ( ) .... ( ) . . .... . . ... , ... det( ( )) .. ..... .. ( ).... ( ) m m m i j m m m x x x x x x x x x x x x x x               với mọi 1 1... , ...m m m mx x X x x X        và tuyến tính có thể mở rộng đến tích đầy đủ. Xem m X  như không gian con của ( , )m X R , với ( , )m X R là không gian vectơ của tất cả hàm m- tuyến tính luân phiên từ X ...X X X R    . Lấy 1 ....i i mi mx x X     , 1( ,..., ) ....mx x X X   Khi đó 1 1 , 1 1... ( ,..., ) ... , ....ii m m m i mi i i x xx x x x x x            Ta dễ thấy nó là m-tuyến tính luân phiên. Định nghĩa 5: Cho p < q, ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính trên chuỗi: : : p q q p q p q p X X X X X X            Cho bởi : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... , ... .... ... ... ... , ... ... ... , ... .... ... q p q p q p p q q p q p q p p q q p q p q p q p p p q q x x x x x x x x x x x x x x x x x x X x x X x x x x X                                                              và có thể mở rộng tuyến tính đến tích đầy đủ. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... .... , ... ... ... , ... ... ... , ... .... q p p q q p q p q p p q p q q p q q p p x x x x x x x x x x x x x x x x X x x X x x X                                                  Ánh xạ tuyến tính :f X Y với X, Y là không gian Banach thì ánh xạ tuyến tính :m m mf X Y   ( do f có tương ứng 1-1 nên m f là tương ứng 1-1). Lấy{ 1,..., }me e là cơ sở của X Khi đó : 1 1 1 1.... .... ( .... ) ( ) ..... ( ) 0 p m p mm i i i i i i i i f a e e a f e f e        Do f tương ứng 1-1 nên  ( )i i If e  là độc lập tuyến tính và  1 1( ) .... ( ) : , , , ,....pi i m n pf e f e i i m n i i I     là cơ sở của m f (X), Do đó 1 1 1... ... 0 , , 0 p p pi i j i i i i a i a e e    Nếu f là toàn ánh thì m f cũng là toàn ánh . Định nghĩa 6: Ta định nghĩa một cách tự nhiên như sau: 1 2 ... :m m mf f f X Y     thoả: 1 2 1 1 (1) ( ) 1 sgn( .... )( ... ) ( 1) ( ) .... ( ) !m m m m f f f x x f x f x m            ( , )m X Y là không gian vectơ của tất cả m- tuyến tính luân phiên từ ...X X X X Y    . Định nghĩa 7: Cho không gian vectơ V trên trường K , không gian con tuyến tính sinh bởi tập S (không cần hữu hạn ) được định nghĩa là giao của tất cả các không gian con của V chứa S. Nếu 1 2{ , ,..., }rS v v v là tập con hữu hạn của V 1 1 1 1 ( ) ( ,..., ) { .... / ,..., } r r r r Span S span v v v v K         Ví dụ : Không gian vectơ thực 3R có {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} là tập sinh. Định nghĩa 8: (toán tử ) Không gian tuyến tính T gọi là liên tục nếu và chỉ nếu 0 : , .M Tx M x x X     Ta dùng từ “toán tử” có nghĩa là “ toán tử tuyến tính liên tục”. Không gian toán tử từ X Y , ký hiệu là ( ; )L X Y Ta viết cho( ) ( ; )L X L X X . Chuẩn toán tử định nghĩa trên ( ; )L X Y : sup{ : }XT Tx x B  , ở đó có một chuẩn và TS T S + Toán tử T là phép đẳng cự nếu ,Tx x x  Không gian X, Y được gọi là đẳng cự nếu có một phép đẳng cự từ X Y . + Một toán tử T gọi là đẳng cấu nếu nó là một song tuyến tính và 1,T T  là liên tục . Không gian X, Y gọi là đẳng cấu nếu nó có một phép đẳng cấu từ X Y . Định nghĩa 9: Một hàm tuyến tính bị chặn L trên H là một hàm tuyến tính khi tồn tại hằng số c >0 thoả ( ) ,L h c h h H   . Và ta có một hàm tuyến tính bị chặn nếu và chỉ nếu nó là liên tục . Cho một hàm tuyến tính bị chặn :L H F , được định nghĩa : sup{ ( ) : 1}L L h h  với L   là một chuẩn của L. Chương 2 CHUẨN TENXƠ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 2.1. Mở đầu Lấy X, Y, Z là không gian tuyến tính trên trường K (K= hay  ).