Luận văn Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy - Schwarz

i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------- Trần thị Minh Ngọc DẠNG HẰNG ĐẲNG THỨC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ Luận văn thạc sĩ khoa học Hà Nội, tháng 12/2011. ii Lời cảm ơn Sau hai năm nghiên cứu và học tập tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, tác giả đã hoàn thành khóa luận với đề tài: “Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz”. Để hoàn thành được luận văn này, đầu tiên tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, thầy đã dành thời gian hướng dẫn, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình làm luận văn và hoàn thành luận văn đúng định hướng ban đầu. Qua đây tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn thiện và phong phú hơn. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hoàn thành luận văn. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn. Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người. Chúc tất cả mọi người sức khỏe và thành đạt!!! iii Mục lục Lời cảm ơn .............................................................................................................. i Mục lục..................................................................................................................iii Mở đầu ................................................................................................................... 1 Phần 1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. ...... 3 1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. ................................................................ 3 1.2. Bất đẳng thức AM-GM. .............................................................................. 5 1.3. Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế. ................................... 8 Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ................. 25 Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất ............................................................. 25 1.1. Các định lý............................................................................................. 25 1.2. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trong đại số. ................................................................................... 30 1.3. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trong lượng giác. ........................................................................... 45 Bài 2. Dạng hằng đẳng thức thứ 2................................................................... 57 2.1. Các định lý. ............................................................................................ 57 2.2. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trong đại số. ................................................................................... 63 2.3. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trong lượng giác. ........................................................................... 65 Bài 3. Một số ví dụ mở rộng ............................................................................ 72 Kết luận ................................................................................................................ 75 Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 76 1 Mở đầu Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học. Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế. Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế. Một trong những bất đẳng thức cổ điển quan trọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã luôn được các nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu và phát triển. Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các bất đẳng thức khác hoặc trong hình học. Trong luận văn này, tác giả xin trình bày một hướng tiếp cận mới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” . Từ các hằng đẳng thức quen thuộc, khi kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta sẽ thu được nhiều dạng bất đẳng thức mới và lạ. Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức có ứng dụng trong đại số hoặc lượng giác. Luận văn gồm 2 phần: Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . Trong phần 2, tác giả đã phân chia thành ba bài. Bài 1: Từ dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy- Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. Bài 2: Từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy- Schwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng giác. 2 Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một số mở rộng. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn. Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm2011 Học viên Trần thị Minh Ngọc 3 Phần 1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. 1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Với ,i ia R b R  ( 1, )i n , chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b                      Chứng minh. Cách 1. (Sử dụng đẳng thức Lagrange). Từ đẳng thức 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) n n n i i i i i j j i i i i i j n a b a b a b a b                            Suy ra 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b                      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... n n a a a b b b    Cách 2. (Sử dụng tính chất của hàm bậc 2). Xét hàm số     22 2 2 1 1 1 1 2 n n n n i i i i i i i i i i f x x a x a b b a x b                   Ta có   0f x  với mọi giá trị của x 4 Nếu 2 1 0 n i i a    ia =0 1,i n  thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Áp dụng tính chất của hàm bậc 2 khi 2 1 0 n i i a   suy ra 2 2 2 1 1 1 ' 0 n n n i i i i i i i a b a b                         2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b                       Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... n n a a a b b b    Cách 3. (Áp dụng bất đẳng thức trung bình). Ta có  2 21 2 k k k kx y x y  1,k n  Cộng tất cả các bất đẳng thức ta thu được  2 2 1 1 1 2 n n k k k k k k x y x y      Kí hiệu 2 2 1 1 , n n k k k k A a B b      Chọn kk a x A  , kk b y B  ta có 2 2 1 1 1 n n k k k k x y      Và thu được 1 1 n k k k x y AB  5 2 2 2 2 2 1 1 1 n n n k k k k k k k a b A B a b                        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi kk k k a A x y b B    k . 1.2. Bất đẳng thức AM-GM. Trong luận văn này, ta cũng hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) sau: Với 1 2, ,..., na a a là các số thực không âm, ta luôn có: 1 1 1 1 nn n i i i i a a n            . Ở đây ta ký hiệu 1 2 1 . ... n i n i a a a a   . Chứng minh. Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, trong đó cách chứng minh quen thuộc nhất như sau: Cách 1: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n số không âm thì sẽ đúng với 2n số không âm. 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 n n n i i n i i i i a a a n n n               . 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n nn n n i i i n i i i a a a n                      . 6 1 22 2 1 1 1 2 nn n i i i i a a n             . Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với 2kn  . Bất đẳng thức AM – GM sẽ được chứng minh nếu chúng ta chứng minh khẳng định sau đây: Nếu bất đẳng thức đúng với n k thì cũng đúng với 1n k  . Thật vậy: 1 11 1 1 1 1 1 kk k i i i i a a k              . 1 1 1 11 1 1 1 1 1 k kk k k i i i i i i a a k a                         . Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra: 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 . k k k kk k k i i i i i i i i a a k a a                                . 1 1 1 11 1 1 1 1 1 k kk k k i i i i i i a a k a                         . (đpcm) Cách 2: Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với 2n k  , ta chứng minh bất đẳng thức đúng với 1n k  . Ta có: 1 11 1 1 1 1 1 1 k k i ki k i i k a a kS a k k            . Theo giả thiết quy nạp ta thu được: 7   1 11 1 1 k k i ki k k a a S k       . Để chứng minh bất đẳng thức đúng khi 1n k  ta cần chứng minh:   1 1 1 111 11 k k k ki ki i i k a a a k              . Ký hiệu: 1 1 1 1 1 , k k k k i k i a a             . Ta thu được:   1 1 1 .k k kk k           0k k kk          .    1 2 3 2 1... 0k k k k kk                      .        1 1... 0k k k k k k                    .      2 1 2 1 2 3 2 1... ... ... 0k k k k k k k                               Bất đẳng thức đúng vì , 0   . Các trường hợp riêng: 1.   2 2 2 0 2 a b ab a b      . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2.   2 , 0 : 2 a b a b ab a b       . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . 8 3. 3 , , : 3 a b c a b c abc         . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  . 4. 3 3 3 , , : 3 a b c a b c abc     . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  . 1.3. Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế. Bài 1. (Poland, 1996) Cho 2n  và 1 2, ,..., na a a R  với 1 1 n i i a   . Chứng minh rằng với 1 2, ,..., nx x x R  mà 1 1 n i i x   , chúng ta có: 2 1 2 2 1 1 n i i i j i j i i n a x x x n a         Chứng minh Nếu 1 1 n i i x   thì 2 2 1 1 1 2 n n i i i j i i i j x x x x               . Từ đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 1 1 1 1 n i i i x n a     Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh rằng:   2 2 1 1 1 1 1 n n n i i i i i ii x x a a             Bài 2. (Rumania 1996) 9 Cho 1 2 1, ,..., nx x x  là những số thực không âm với 1 2 1... n nx x x x     . Chứng minh rằng    1 1 1 1 1 n n i n i n n i i i x x x x x x         . Chứng minh. Ta có 2 1 1 1 1 ( ) ( 1) n n n i n i x x x n x       Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 1 1 ( 1. n i n i n i x x x n x      Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy ra ta có điều phải chứng minh. Bài 3. (Autria-Poland 1996). Nếu w, x, y, z là những số thực thỏa mãn 0w x y z    và 2 2 2 2 1w x y z    . Chứng minh rằng 1 0wx xy yz zw      . Chứng minh. Bất đẳng thức bên phải 2( )( ) ( ) 0wx xy yz zw w y x z w y          Từ bất đẳng thức bên trái, nhận thấy ( )( )wx xy yz zw w y x z      2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 2 w y x z w x y z           Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1wx xy yz zw w x y z w x y z           Bài 4. (Rumania 1998) 10 Cho số nguyên dương 2n  và 1 1 2 2, , , ,..., ,n nx y x y x y là các số thực thỏa mãn 1 2 1 1 2 2... ...n n nx x x x y x y x y       . Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2 ... ... nn n x x x x x x y y y        Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với 1 2 1 2 , ,..., n n x x x y y y        và  1 1 ,..., n nx y x y để có   2 1 1 2 1 1 1 ... . ... .nn n n n x x x x x x y x y y y               2 1 2 ... nx x x    1 2 1 1 2 2 1 2 ... ...n n n n x x x x y x y x y y y y               2 1 2 ... nx x x     1 2 1 2 1 2 ... ...n n n x x x x x x y y y            1 2 1 2 1 2 ... ... nn n x x x x x x y y y        . (đpcm) Bài 5. (Iran 1998). Cho , , 1x y z  và 1 1 1 2 x y z    . Chứng minh rằng: 1 1 1x y z x y z        . Chứng minh. 11 Ta có:   2 2 11 1 1 1 1 yx z x y z x y z x y z                  1 1 1x y z x y z x y z               1 1 1 3 x y z x y z            x y z   Vậy ta có: 1 1 1x y z x y z        (đpcm). Bài 6. (Ireland, 1999). Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn 1a b c d    . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 2 a b c d a b b c c d d a         . Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:   2 2 a b c d a b c d a b b c c d d a a b b c c d d a                    2 2 2 2 .2( ) a b c d a b c d a b b c c d d a                2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 a b c d a b c d a b b c c d d a                  . Bài 7. (Rumania 1999). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3ab bc ca abc   . Chứng minh rằng 3 3 3a b c a b c     . Chứng minh. 12 Từ giả thiết 3ab bc ca abc    1 1 1 3 a b c    . Mà ta có bất đẳng thức   1 1 1 9a b c a b c           3a b c    Vậy ta có     2 3 a b c a b c     23 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2a a b b c c            3 3 3 1 1 1a b c a b c            3 3 33 a b c   3 3 3a b c a b c      . (đpcm) Bài 8. (Belarus, 1999). Cho , , 0a b c  . Chứng minh rằng: 1 2 2 2 a b c b c c a a b       . Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b ab ca bc ab ca bc                 2 1 3 a b c ab bc ca       ( do     2 3a b c ab bc ca     ). 13 Bài 9. (Austria-Poland, 2000). Cho x, y, z là các số thực không âm sao cho 1x y z   . Chứng minh rằng:           2 2 22 2 22 1 1 1 1 1 1x y z x y z          . Chứng minh. Đặt 2 2 2A x y z   , B xy yz zx   , 2 2 2 2 2 2C x y y z z x   D xyz . Khi đó ta có: 1 2A B  ; 2 2B C D  4 4 4 2 22 4 4 1 2 2 4 8 1x y z A C B B C C B D            . Khi đó biểu thức ở giữa trở thành  3 2 2 4 8 1 2 2 8 2A C B D C D         . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0. Bây giờ biểu thức vế phải bằng 2 B D  . Bởi vậy ta phải chứng minh 2 8C D B D   hoặc 22 3 0B B D   . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có A B , vì vậy  1 2B B BA  . Vậy ta cần chứng minh 2 3 0B D C D    . Nhưng C xyyz yzzx zxxy D    có thể thu được từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bài 10. (IMO, 2001) Chứng minh rằng với , ,a b c là các số thực dương ta có: 2 2 2 1 8 8 8 a b c a bc b ca c ab       . 14 Chứng minh Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 2 2 2 2 28 8 8 a b c VT a a bc b b ca c c ab         2 2 2 2 1 8 8 8 a b c a a bc b b ca c c ab          . Bài 11. (Short list IMO, 2001). Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực, chứng minh rằng: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 ... 1 1 1 ... n x x x n x x x x x x           . Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2 2i i i ia b a b   với 1ia  và 1 2 2 2 1 21 ... i n x b x x x     Ta thu được 21 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 ... 1 1 1 ... i n x x x n b x x x x x x            . Từ đó ta thu được 2 1ib  . Để ý rằng với 2i  ,   2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ... 1 ... i i i i i x x b x x x x x x               15    2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 21 ... 1 ... i i i x x x x x x x          2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 ... 1 ...i ix x x x x x           Với 1i  sử dụng bất đẳng thức 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 x b x x      . Cộng vế với các bất đẳng thức này ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ... 1 ... n i i i i n x b x x x x x x                  . Bài 12. (Czech and Slovak Republics, 2004). Cho 2( )P x ax bx c   là đa thức bậc 2 với các hệ số không âm. Chứng minh rằng với 0x  ta luôn có: 2 1 ( ) ( (1))P x P P x       . Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta nhận được: 1 ( )P x P x       =  2 2 1 ax bx c a bx c x          =         2 2 2 2 2 2a b ax bx c c x x                            2 2 (1) a b ax bx c c a b c P x x             . Bài 13. (UK 2005) Cho , ,a b c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng 16   2 1 1 1a b c a b c b c a a b c                   . Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c b c a b c a                 Nhưng do 33 3 a b c abc b c a abc          nên 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a               Mặt khác 33 3 a b c abc c a b abc          nên 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a b c b c a c a b b c a          Thêm a b c c a b   vào 2 vế ta có: 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b                    2 1 1 1a b c a b c b c a a b c                    . Bài 14. (Litthuania, 2006). Cho , ,a b c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2a bc b ca c ab ab bc ca              Chứng minh 17 Ta có: 2 22 2a bc a bc ab ac   nên ta có 2 1 1 2a bc ab ac   Vậy: 1 1 1 1 2 VT ab ac bc ba cb ca         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2ab bc ca ab bc ca ab bc ca                       . Bài 15. (Romania JBMO Team Selection Test 2007). Giả sử , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn: 1 1 1 1 1 1 1b c c a a b          . Chứng minh rằng: a b c ab bc ca     . Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:      2 2 22 1 1 1 b c a b c a b c b c b c a b c a               . Tương